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高中数学选修1-1人教A教案导学案:2.1.2椭圆的简单几何性质


2. 1.2 椭圆的简单几何性质 一、预习目标
① 了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

二 预习内容
1.椭圆的定义 (1) 平面内与两定点 F1, 的距离的和等于常数(大于 F2 点叫做椭圆的 ,
F1F2

)的点 的轨迹

叫椭圆, 这两个定

之间的距离叫做焦距. .

注:①当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是 ②当 2a<|F1F2|时,P 点的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程

x2

(1) 焦点在 x 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是: a
a2 ?

2

?

y2 b2

?1

,其中(

>

>0,且

)
y2 ? x2 b2 ?1

2 (2) 焦点在 y 轴上, 中心在原点的椭圆标准方程是 a

, 其中 a, 满足: b



x2

3.椭圆的几何性质(对 a (1) 范围:

2

?

y2 b2

?1

,a > b >0 进行讨论) ≤ y ≤ ;对称中心为 , 长半轴长: 的比), e ? . , 短半轴长: . ; ;

≤ x ≤



(2) 对称性:对称轴方程为 (3) 顶点坐标: (4) 离心率: e ? ( , 焦点坐标: 与

, e 越接近 1,椭圆越

e 越接近 0,椭圆越接近于

三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

1

课内探究学案 一、学习目标
1.熟悉椭圆的几何性质(对称性、范围、顶点、离心率) ; 2.掌握标准方程中 a, b, c 的几何意义,以及 a, b, c, e 的相互关系,能说明离心率的大小对 椭圆形状的影响. 3.理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法
王新敞
奎屯 新疆

重点:椭圆的几何性质 难点:如何贯彻数形结合思想,运用曲线方程研究几何性质 二、学习过程
1.回答下列问题; (1)椭圆曲线的几何意义是什么?? (2) “范围” 是方程中变量的取值范围, 是曲线所在的位置的范围, 椭圆的标准方程中的

x, y

取值范围是什么?其图形位置是怎样的? (3)标准形式的方程所表示的椭圆,其对称性是怎样的? ? (4) 椭圆的顶点是怎样的点?椭圆的长轴与短轴是怎样定义的?长轴长、 短轴长各是多少?

a, b, c 的几何意义各是什么?
? (5)椭圆的离心率是怎样定义的?用什么来表示?它的范围如何?在这个范围内,它的变 化对椭圆有什么影响? ? (6)画椭圆草图的方法是怎样的? 2.完成下列表格: 方程

2

图像

a、b、c a ? b ? 0 a ? c ? 0 焦点 范围 对称性 顶点

长、短轴 长 离心率 3.例题 例 1.求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
2 2

例 6 如图,设

M ? x, y ?

与定点

F ? 4,0?

的距离和它到直线 l :

x?

25 4 4 的距离的比是常数 5 ,

求点 M 的轨迹方程.

分析: 若设点

M ? x, y ?

, 则

M ? x ? 4 ? ?y F ?
2

2

, 到直线 l :

x?

25 25 d ? x? 4 , 4 的距离

则容易得点 M 的轨迹方程.

三、反思总结
1.记住椭圆的几何性质(注意焦点所在的轴) 2.会求动点的轨迹方程。

四、当堂检测
1、椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( A、5、3、0、8 ) B、10、6、0、8
3

C、5、3、0、6

D、10、6、0、6

2、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是(



A、

B、

C、

D、

3、若椭圆经过原点,且焦点为 F1(1,0) 、F2(3,0) ,则其离心率为( )

A、

B、

C、

D、

4、已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若 ⊿ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )

A、

B、

C、

D、

5 已知点(3,2)在椭圆

上,则(



A、点(-3,-2)不在椭圆上 B、点(3,-2)不在椭圆上 C、点(3,-2)在椭 圆上 D、无法判断点(-3,-2)(3,-2)(3,-2)是否在椭圆上 、 、

6、设椭圆 A、 B、

的短轴为 B1B2,F1 为椭圆的左焦点,则∠B1F1B2 等于( C、 D、



课后练习与提高
1.设 a、b、c、P 分别是椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距及焦点到对应准线的距离,则 它们的关系是( )

P?
A.

b2 a

P?
B.

a2 b

P?
C.

b2 c

P?
D.

a2 c

x2 b2 ? 2 ?1 2.椭圆 2m ? 1 m 的准线平行于 x 轴,则 m 的取值范围是(



?1 ? ? ? , ?? ? A.? 2

?1 ? 0 ? ,? ?2 ? B.

C. (1,+∞)

?1 ? 1? ? ? , ? (1, ?) ?2 ? D.

3.以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同点,这四个顶点和两个焦点恰好构 成一个 边长为 2 的正六边形,则关于此椭圆有( ) A.长轴长为 3 ? 1 B.短轴长为 4 3

4

C.离心率为 3 ? 1

D.焦点相应准线的距离为 3 ? 3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 4.已知椭圆 a 的三个顶点为

, B2 (0,b) ,A(a,0) ,

焦点 F(c,0)且 B1 F ? AB2 ,则离心率 e=________________________________。

x2 y2 ? ?1 9 5.椭圆 25 上一点 P 到左准线的距离为 2.5,则 P 到右焦点的距离是
_____________________。

x2 y2 3 ? ?1 6 6. 若椭圆 k 的离心率为 3 , k=__________________________________。 则 x2 y2 ? ?1 5 1 7.在椭圆 25 上求一点 P,使 PF ? PF2 。

5

2.1.2 椭圆的简单几何性质 教学目标:
(1)通过对椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,并正确地画出它的图形;领 会每一个几何性质的内涵,并学会运用它们解决一些简单问题。 (2)培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力;运用数形结合思想解决实际问题 的能力。

教学重点:椭圆的简单几何性质及其探究过程。 教学难点:利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程
度的给出过程

教学过程: 一、复习引入:
1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点 的轨迹
王新敞
奎屯 新疆

x2 y2 y2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 b b 2.标准方程: a ,a (a ? b ? 0)

二、新课讲解:
1.范围:

y
2 2

x y ? 1, 2 ? 1 ( x, y ) 满足不等式 a 2 b 由标准方程知,椭圆上点的坐标 , A 1
2 2 2 2 ∴ x ? a , y ? b ,∴ | x |? a , | y |? b ,

B2 A2
O

F2
A2

x

说明椭圆位于直线 x ? ? a , y ? ?b 所围成的矩形里. 2.对称性: 在曲线方程里,若以

? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点 ( x, ? y ) 也在曲线
y 轴对称。若同时

上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 以 ?x 代替 x ,

? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称.
y 轴和原点对称.这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,

所以,椭圆关于 x 轴、

椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3.顶点: 确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、

y 轴的交点坐标 .

6

在椭圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则

B1 (0, ?b ) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个

A (?a, 0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点. 交点。同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 1
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点. 同时,线段

A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和 2b , a 和 b 分

别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在 Rt ?OB2 F2 中, | OB2 |? b ,

| OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c2 ? a 2 ? c 2 .
4.离心率:

y

c e? a 叫椭圆的离心率. 椭圆的焦距与长轴的比
∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越 小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 ,c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a .
2 2 2

B2 A1
O

A2 B1

x

5.填写下列表格: 方程

图像

a、b、c a ? b ? 0 a ? c ? 0 焦点 范围

F1 ( 0 , ? c) F2 ( 0 , c)

x ? a, y ? b y ? a, x ? b

对称性 椭圆关于 y 轴、x 轴和原点都对称

7

顶点

长、短轴 长轴: A1A2 长轴长 长

短轴:B1B2 短轴长

离心率 例 1.求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
2 2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 解:把已知方程化为标准方程 a , a ? 5 ,b ? 4 ,
∴c ?

25 ? 16 ? 3,
e? c 3 ? a 5,

∴椭圆长轴和短轴长分 别为 2a ? 10 和 2b ? 8 ,离心率 焦点坐标

F1 (?3, 0) , F2 (3,0) ,顶点 A1 (?5, 0) , A2 (5,0) , B1 (0, ?4) , B2 (0, 4) .

例 2.过适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点 P(?3, 0) 、 Q(0, ?2) ;

3 (2)长轴长等于 20 ,离心率等于 5 .
解:(1)由题意, a ? 3 , b ? 2 ,又∵长轴在 x 轴上,

x2 y 2 ? ?1 4 所以,椭圆的标准方程为 9 .
(2)由已知 2a ? 20 ,

e?
2

c 3 ? a 5,
2 2

∴ a ? 10 , c ? 6 ,∴ b ? 10 ? 6 ? 64 ,

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 ? ?1 所以,椭圆的标准方程为 100 64 或 100 64 .

例 3.如图,设

M ? x, y ?

与定点

F ? 4,0?

的距离和它到直线 l :

x?

25 4 4 的距离的比是常数 5 ,

8

求点 M 的轨迹方程.

分析: 若设点

M ? x, y ?

, 则

M ? x ? 4 ? ?y F ?
2

2

, 到直线 l :

x?

25 25 d ? x? 4 , 4 的距离

则容易得点 M 的轨迹方程.

作业:P47 第 4、5 题

9


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