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2017届高考数学文科一轮总复习单元评估检测试卷(五)含解析


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单元评估检测(五)
第五章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知数列{an}为等差数列,若

a2=3,a1+a6=12,则 a7+a8+a9= ( A.27 B.36 C.45 D.63 )

【 解 析 】 选 C. 设 公 差 为 d, 则 a1+d=3,2a1+5d=12, 解 得 a1=1,d=2, 所 以 a7+a8+a9=3a1+21d=3+42=45. 2.(2016· 潍坊模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a≠0),则数列{an} ( A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 【解析】 选 C.当 a=1 时数列{an}为等差数列,当 a 为其他不等于 0 和 1 的值时,{an} 为等比数列. 3.如果数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an-1,?是首项为 1,公比为 3 的等比数 列,则 an 等于 ( A. B. ) C. D. )

【解析】选 C.a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an=

=

.

4.(2016·青岛模拟)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a10= ( A.4 ) B.5 C.6 D.7

【解析】选 B.由题意

=a3a11=16,且 a7>0,所以 a7=4,

所以 a10=a7〃q3=4×23=25, 从而 log2a10=5. 5.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是 ( A. B. C. D. )

【解析】选 D.由 8a2+a5=0,得到 =q3=-8, 解得:q=-2,则 =q2=4, 则 = 而 = =q=-2,故选项 A,C 中数值能确定;

= ,故选项 B 中数值能确定; = ,

所以数值不能确定的是选项 D. 【加固训练】 (2016 ·忻州模拟 ) 已知等差数列 a6+a7+a8= ( A.6 ) B.9 C.12 D.18 =13a7=39,所以 a7=3,所以 a6+a7+a8=3a7=9. = (n≥2),则这 的前 13 项之和为 39, 则

【解析】选 B.由已知得 S13=

6.(2016· 烟台模拟)如果数列{an}满足 a1=2,a2=1,且 个数列的第 10 项等于 ( )

A. C.

B. D. = -1(n≥2),

【解析】选 D.因为 1所以 = 所以 + + =2(n≥2), (n≥2), 是首项为 ,

公差为 的等差数列, 所以 = n,所以 a10= . 7.已知等差数列 = ( A.0 ) B.6 C.12 D.8 中,Sn 是前 n 项和,S3=-6,S5-S2=6,则 + + + +

【解析】选 C.设公差为 d,因为等差数列{an}中,Sn 是前 n 项和,S3=-6,S5-S2=6,所 以 a1+a2+a3=-6,a3+a4+a5=6, 所以 a2=-2,a4=2? d=2, 所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5| =|-4|+|-2|+|0|+|2|+|4|=12. 【加固训练】数列{an}的通项公式 an=2[n-(-1)n],设此数列的前 n 项和为 Sn,则 S10-S21+S100 的值是 ( A.9746 B.4873 ) C.9736 D.9748

【解析】选 A.当 n 为奇数时,an=2(n+1);当 n 为偶数时,an=2(n-1), 故有 S10= S21= ×5+ ×5=60+50=110, ×10=464,

×11+

S100=

×50+

×50=10100.

故 S10-S21+S100=9746. 8.(2016·淄博模拟)数列{an}满足 an +1+an=2n-3,若 a1=2,则 a21-a20= ( A.9 B.7 C.5 D.3 )

【解析】选 B.令 n=1,则 a2+a1=-1,a2=-3, 因为 an+1+an=2n-3, 所以 an+2+an+1=2n-1, 所以 an+2-an=2, 即{a2n-1}是以 2 为首项,2 为公差的等差数列, {a2n}是以-3 为首项,2 为公差的等差数列, 所以 a21=a1+(11-1)〃2=22, a20=a2+(10-1)〃2=15, 所以 a21-a20=7. 9.已知等差数列 的前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 an=2n+λ ,若数列 ) 在 n≥7 时

为递增数列,则实数λ 的取值范围为 ( A.(-15,+∞) C.[-16,+∞) 【解析】 选 D.因为数列 若数列 B.[-15,+∞) D.(-16,+∞)

是等差数列,所以 Sn=

=

=n2+(λ+1)n,

在 n≥7 时为递增数列,故对称轴-

<7.5,解得λ>-16. + ≥m ) 对任意等差

【加固训练】记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 数列{an}及任意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为 ( A. B. C. D.

【解析】选 D.因为 Sn= 所以 即 + + a1an+ ≥m ,

n,

≥0, ≥0, ≥0, 对任意等差数列{an}和正整数 n 恒成立,满足 -4m≥0,所以

整理得 5 即 若不等式

+2a1an+(1-4m) + + ≥m

m≤ ,所以实数 m 的最大值为 . 10.(2016·泰安模拟)若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平 数”,则在 1~100 这 100 个数中,能称为“和平数”的所有数的和是( A.130 B.325 C.676 D.1300 )

【解析】选 C.设两个连续偶数为 2k+2 和 2k(k∈N),则(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1), 故和平数是 4 的倍数,但不是 8 的倍数,故在 1~100 之间,能称为和平数的有 4 ×1,4×3,4×5,4×7,…,4×25,共计 13 个,其和为 4× ×13=676.

二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线 上) 11.(2016· 德州模拟)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,Sm-1=45,Sm=93,Sm+1=189,则 m=__________. 【解析】因为 Sm-1=45,Sm=93, 所以 am=Sm-Sm-1=93-45=48, 同理得 am+1=Sm+1-Sm=189-93=96,公比 q=2, 又 Sm-1= Sm= =93, =45,

两式相除得 2m=32,即 m=5.

答案:5 【加固训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{an},a1=2,a3=6,若将 a1,a4,a5 都加 上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为____________. 【 解 析 】 由 已 知 可 得 等 差 数 列 的 通 项 为 an=2n, 设 所 加 的 数 为 x, 由 已 知 2+x,8+x,10+x 成等比数列,所以(8+x)2=(2+x)(10+x),解得 x=-11. 答案:-11 12. 设 数 列 {2n-1} 按 第 n 组 有 n 个 数 (n 是 正 整 数 ) 的 规 则 分 组 如 下:(1),(2,4),(8,16,32),?,则第 101 组中的第一个数为______. 【解析】前 100 组共有 1+2+3+…+100=5050 个数,则第 101 组中的第一个数为数 列{2n-1}的第 5051 项,该数为 25050. 答案:25050 13.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,

那么位于表中的第 n 行第 n+1 列的数是__________. 【解析】 第 n 行的第一个数是 n,第 n 行的数构成以 n 为公差的等差数列,则其第 n+1 项为 n+n〃n=n2+n. 答案:n2+n 14.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,Sn 为其前 n 项和,当整数 n>1 时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1) 都成立,则 S15=______.

【解析】由 Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2, 即 an+1-an=2(n≥2), 所以数列{an}从第 2 项起构成等差数列, 则 S15=1+2+4+6+8+…+28=211. 答案:211 15.已知函数 f(n)=n2cosnπ ,且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+?+a100=________. 【解析】f(n)=n2cosnπ= 由 an=f(n)+f(n+1)=(-1)n〃n2+ (-1)n+1〃(n+1)2 =(-1)n[n2-(n+1)2]=(-1)n+1〃(2n+1), 得 a1+a2+a3+…+a100=3+(-5)+7+(-9)+…+199+(-201)=50×(-2)=-100. 答案:-100 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 16.(12 分 )(2016 · 济 宁 模 拟 ) 已 知 正 项 数 列 a1=1,Sn= ( (1)求数列 (2)若 时,求 kn. 【解析】(1)由 Sn= ( +3an+2),n∈N*,得 +3an-3an-1), ∈ +3an+2),n∈N*. 的通项公式. ,且 , ,?, ,?成等比数列,当 k1=1,k2=4 的 前 n 项 和 为 Sn, 且 =(-1)n〃n2,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (

整理,得(an+an-1)(an-an-1-3)=0,

因为 an>0,所以 an+an-1>0, 所以 an-an-1=3,所以,数列{an}是首项为 1,公差为 3 的等差数列.故 an=3n-2,n∈N*. (2) 所以{ 所以 又 所以 =a1=1, =a4=10,

}是首项为 1,公比为 10 的等比数列. =10n-1,n∈N*, ∈{a1,a2,…,an,…}, =3kn-2,

于是 3kn-2=10n-1, 所以 kn= ,n∈N*. 中,前 m 项依次构成首项为 1,公差为-2 的等差数列,第

17.(12 分)已知数列

m+1 项至第 2m 项依次构成首项为 1,公比为 的等比数列,其中 m≥3,m∈N*. (1)求 am,a2m. (2)若对任意的 n∈N*,都有 an+2m=an.设数列 【解析】(1)am=1+(m-1)〃(-2)=3-2m, a2m=1〃 = . 的前 n 项和为 Sn,求 S4m+3.

(2)因为对任意的 n∈N*,都有 an+2m=an, 所以数列{an}具有周期性,周期为 2m. S4m+3=S4m+a4m+1+a4m+2+a4m+3 =2S2m+a1+a2+a3 =2[(a1+a2+…+am)+(am+1+am+2+…+a2m)]+a1+a2+a3 =2 =4m-2m2+1. +2〃 +1-1-3

18.(12 分)(2016·德州模拟)已知数列 等比数列,且 a1=1,b2=b1+2. (1)求 an 与 bn. (2)设 cn= ,求数列 ,



满足 a1a2?an=

,若



的前 n 项和 Sn.

【解析】(1)由已知,得 a1=

因为 a1=1,所以 b1-1=0,b1=1,b2=1+2=3. 又 a1a2= ,得 a2=2.

因为{an}为等比数列,则公比 q=2,所以 an=2n-1, 又因为 a1a2…an= 所以 所以 bn= ,且 a1=1, ,

=1×2×22×…×2n-1= +n= . , -2 ,

(2)由(1)知 an=2n-1,bn= 所以 cn= =

所以 Sn=c1+c2+…+cn = = =2 = . -2 -2+ -2

19.(12 分)(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数 列{bn}的公比为 q.已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式.

(2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解题提示】(1)由已知可列出方程组 比,再代入通项公式即可求得. (2)由(1)结合 d>1 可得 an=2n-1,bn=2n-1,于是 cn= ,易发现:cn 的通项是一个等 求解首项、公差、公

差数列和一个等比数列相乘而得的,直接对其进行求和运用错位相减法即可得 出结论. 【解析】(1)由题意有, 解得 或 故 或 即

(2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2n-1, 故 cn= ,于是 , ① . ②

Tn=1+ + + + +…+ Tn= + + + + +…+ ①-②可得 Tn=2+ + +…+ =3, . -

故 Tn=6-

【加固训练】(2016·合肥模拟)等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、 三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式. 3 6 9

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)lnan,求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. 【解析】(1)由题意知 a1=2,a2=6,a3=18,因为{an}是等比数列,所以公比为 3,所以 数列{an}的通项公式 an=2〃3n-1. (2)因为 bn=an+(-1)lnan=2〃3n-1+ (-1)ln(2〃3n-1), 所以 Sn=b1+b2+…+bn=(a1+a2+…+an)-(lna1+lna2+…+lnan)= ln(a1a2…an)=3n-1-ln(2n〃1×31×32×…×3n-1) =3n-1-ln 所以 S2n=32n-1-ln , ,=9n-1-2nln2-(2n2-n)ln3. + an+ ,n∈ -

20.(13 分)已知在正项数列{an}中,Sn 表示数列{an}前 n 项和且 Sn= N*,数列{bn}满足 bn= (1)求 an,Sn. ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

(2)是否存在最大的整数 t,使得对任意的正整数 n 均有 Tn> 总成立?若存在,求 出 t;若不存在,请说明理由. 【解题提示】(1)由 an 与 Sn 的关系先求出 an,再求出 Sn. (2)求出 Tn 后利用数列的单调性求解.

【解析】(1)由已知 Sn= 所以当 n=1 时,S1=a1= 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 = -

+ an+ . + a1+ 得 a1=1.

整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0, 因为数列{an}各项为正, 所以 an+an-1>0, 所以 an-an-1-2=0,即 an-an-1=2(n≥2), 所以数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 所以 an=a1+(n-1)×2=2n-1. Sn= = = =n2. ,

(2)由(1)知 bn= 于是 Tn= 易知数列

= 是递增数列,故 T1= 是最小值,

,

所以只需 > ,即 t<12,因此存在 t=11 符合题意. 【加固训练】 (2016· 天津模拟)已知函数 f(x)= (n∈N*), (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn= (n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+?+bn,若 Sn< 对一切 n∈N*成立,求最 ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f

小正整数 m 的值. 【解析】(1)因 an+1=f = =an+ ,

所以 an+1-an= , 故数列{an}是以 为公差,首项为 1 的等差数列,an= n+ . (2)当 n≥2 时,bn= 当 n=1 时,上式也成立, 所以 Sn=b1+b2+…+bn = = 因恒有 即 所以 ≤ < . < 成立,Sn< 对一切 n∈N*成立. = ,

对一切 n∈N*成立,

? m≥2011,最小正整数 m 的值为 2011. 在直

21.(14 分)(2016· 滨州模拟)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点 线 y=2x+1 上,其中 n∈N*. (1)若数列 是等比数列,求实数 t 的值.

(2)设各项均不为 0 的数列{cn}中,所有满足 ci·ci+1<0 的整数 i 的个数称为这个 数列{cn}的“积异号数”,令 cn= 异号数”. 【解析】(1)由题意,当 n≥2 时,有 两式相减,得 an+1-an=2an,即 an+1=3an(n≥2), 所以 , 当 n ≥ 2 时 ,{an} 是等比数列 , 要使 n ≥ 1 时 ,{an} 是等比数列 , 则只需 = =3,从而得出 t=1. (n∈N*),在(1)的条件下,求数列{cn}的“积

(2)由(1)得,等比数列{an}的首项为 a1=1,公比 q=3,所以 an=3n-1, 所以 cn= = =1,

因为 c1=1- =-3,c2=1所以 c1c2=-1<0, 因为 cn+1-cn= -

= ,

=

>0,所以数列{cn}递增,

由 c2= >0,得当 n≥2 时,cn>0. 所以数列{cn}的“积异号数”为 1.

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