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[名校联盟]四川省成都翔博教育咨询公司高三数学复习:不等式


1.已知 x=lnπ ,y=log5 2, z ? e (A)x<y<z (B)z<x<y

?

1 2 ,则

(C)z<y<x

(D)y<z<x

2.若 0 ? a1 ? a2 ,0 ? b1 ? b2 ,且a1 ? a2 ? b1 ? b2 ? 1 ,则下列代数式中值最大的是 A. a1b1 ? a2b2 B. a1a2 ? b1b2 C. a1b2 ? a2b1 D.

1 2

3.若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为( ) | a | ?2 | b |
D.

A.

2 5 15

B.

2 4

C.

5 5

2 2

4.设 a, b, c, x, y, z 是正数,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 10 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 40 , ax ? by ? cz ? 20 ,则

a?b?c ? x? y?z
A. C.
1 4 1 2

B. D.

1 3 3 4

5.已知 0<b<1+a,若关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个,则 ( ) A.-1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.3<a<6 6.已知函数 f ?x ? ? ?

?? x ? 1 ? x ?1

x?0 ,则不等式 x ? ?x ? 1? f ?x ? 1? ? 1 的 解集是 x?0
(B) (D)

(A) (C)

?x | ?1 ? x ? 2 ? 1? ?x | x ? 2 ? 1?

?x | x ? 1?

?x | ?

2 ?1 ? x ? 2 ?1

?

7.设不等式 ?

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标 ?0 ? y ? 2


原点的距离大于 2 的是(

A.

? 4

B.

? ?2 2

C.

? 6

D.

4 ?? 4
4 分为面积相等的两部 3

8.若不等式组 ? 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? ?x ? 3y ? 4
?3 x ? y ? 4 ?

?x ? 0

分,则 k 的值是(

)

A.

7 3

B.

3 7

C.

4 3

D.

3 4

? x ? 2 y ? 19 ? 0 ? 9 . 设 二 元 一 次 不 等 式 组 ?x ? y ? 8 ? 0 所 表 示的 平面 区 域为 M , 使 函 数 ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?

y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是
A、 ?1,3? B、 [2,

10]

C、 [2,9]

D、 [

10,9]

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 10.如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在曲线 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 上,那么 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
PQ 的最小值为
(A) 5 ? 1 (B)

4 5

?1

(C) 2 2 ? 1

(D) 2 ? 1

? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 11. 若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形, 则 a 的取值范围是 ( ) y ≥ 0 , ? ? ?x ? y ≤ a 4 4 A. a ≥ B. 0 ? a ≤1 C. 1 ≤ a ≤ D . 0 ? a ≤1 或 3 3 4 a≥ 3
12.设 a>0,b>0. A.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b C.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a> b D.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b 13.若 x ? [0, ??) ,则下列不等式恒成立的是 (A) e ? 1 ? x ? x
x 2

(B)

1 1 1 ? 1 ? x ? x2 2 4 1? x
1 2 x 8

(C) cos x ? 1 ?

1 2 x 2

(D) ln(1 ? x) ? x ?

14.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每 吨乙产品可获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨, B 原 料不超过 18 吨,那么该企业可获得最大利润是( ) A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 15. 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱 原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加工一 箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车

间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、 乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 ( A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 16.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假 设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 黄瓜 4吨 1.2 万元 每吨售价 0.55 万元 )

韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种 植面积(单位:亩)分别为 A、50,0 B、30.0 C、20,30 D、0,50

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 17.在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为__________ 18.设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2 -ax-1)≥0,则 a=______________. 19.若不等式 3x ? b ? 4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围是

20.若对任意 x>0 ,

x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2
2



21. (不等式选讲选做题)已知 a ? R, 若关于 x 的方程 x ? x ? | a ? 则 a 的取值范围是 。

1 | ? | a |? 0 有实根, 4

22. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, 若关于 x 的不等式 f ( x) ? c ? ?) , b ? R) 的值域为[0 , 的解集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为 .

23 . 已 知 正 数 a , ≥ a ? c ln , c 则 b, c 满 足 : 5c ? 3a≤ b ≤ 4 c ? a,c l n b 是 .

b 的取值范围 a

24 . 函 数 y ? l o g x ? 3? ) 1( a ? a (

图 象 恒 过定 点 A , 若 点 A 在 直 线 a 0 ,? 的1)

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为_______. m n

? x, y ? 0 ? 25.设 x , y 满足约束条 件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?
26.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是 _____
2 ①若 ab ? c ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

2 2 2 2 2 ⑤若 (a ? b )c ? 2a b ;则 C ?

?
3

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

27 . (本 小题 满分 10 分) 选修 4-5 : 不 等式 选讲 已知 a, b, c 均 为 正 数, 证明 :

1 1 1 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ? ? ) 2 ? 6 3 ,并确定 a, b, c 为何值时,等号成立。 a b c

28.(本小题满分 14 分)

已知 a 为正实数,n 为自然数, 抛物线 y ? ? x 2 ?

an 与x轴 2

正半轴相交于点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ;

(Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 成立的 a 的最小值; ? 3 f (n) ? 1 n ? 1

[ 来源 :Z xxk .Co m]

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) 的大小,并说明理由。 4 f (0) ? f (1)

29.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事船的正南方 向 12 海
[ 来源 :Z .xx .k. Com ]

里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?

12 49

x 2 ;②定位后救援

船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为. (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救 援船速度的大小和方向; (6 分) (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失 事船?(8 分) y P

O A

x

30.已知 a>0,b ? R,函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

参考答案 1.D 【解析】 x ? ln ? ? 1 , y ? log5 2 ?
? 1 1 1 1 1 , ? ? ,z?e 2 ? ? 1 ,所以 log2 5 2 2 e e 1

y ? z ? x ,选 D.
2.A 【解析】 a1a2 ? b1b2 ? (

a1 ? a2 2 b1 ? b2 2 1 ) ?( ) ? 2 2 2

a1b1 ? a2b2 ? (a1b2 ? a2b1 ) ? (a1 ? a2 )b1 ? (a1 ? a2 )b2 ? (a2 ? a1 )(b2 ? b1 ) ? 0 a1b1 ? a2b2 ? (a1b2 ? a2b1 ) 1 ? (a1 ? a2 )(b1 ? b2 ) ? a1b1 ? a2b2 ? a1b1 ? a2b1 ? 2(a1b2 ? a2b2 )
a1b1 ? a2b2 ?
3.B 【解析】 :a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则 a2 ? 1 ? 4b2 ? a2 ? 4b2 ? 1 ? 4 | ab | .

1 。 2

1 ?| ab |? . 4

a2 ? 4b2 ? (| a | ?2 | b |)2 ? 4 | ab |? 1.

?

2ab 2ab 2 | ab | 4(ab) 2 ? ? ? | a | ?2 | b | 1 ? 4 | ab | 1 ? 4 | ab | 1 ? 4 | ab |

?

4 4 1 ? ( )2 | ab | ab

? (

4 1 ? 2)2 ? 4 | ab |

1 1 | ab |? ? ? 4, 4 | ab |

?

2ab 4 2 max ? . | a | ?2 | b | 32 4

4.C. 【解析】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 由于

(a2 ? b2 ? c )(x2 ? y 2 ? z 2 ) ? (ax ? by ? cz)2
a b c ? ? ? t , 则 a=t x b=t y c=t z , t 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 10 x y z

2

等号成立当且仅当

所以由题知 t ? 1 / 2 , 又 5.C

a b c a?b?c a?b?c ? ? ? , 所以 ? t ? 1 / 2 ,答案选 C。 x y z x? y?z x? y?z

【解析】由 ( x ? b) ? (ax) ,整理可得(1- a ) x -2bx+ b >0,由于该不等式的解集中
2 2
2 2 2

的整数恰有 3 个,则有 1- a 2 <0,此时 a 2 >1,而 0<b<1+a,故 a>1, 由不等式 (a2 ?1) x2 ? 2bx ? b2 <0 解得

?b b ?2b ? 2ab ?2b ? 2ab ?x? ? 1 要使该不等式的解集中的整数恰有 3 ?x? ,即 2 2 a ?1 a ?1 2(a ? 1) 2(a ? 1) ?b ?b b b 1? a <-2, 由 <-2 得-b<-2 (a-1) , 则有 a< +1, 即 a< +1< +1, a ?1 a ?1 2 2 2 ?b 解得 a<3,由-3< 得 3a-3>b>0,解得 a>1,则 1<a<3. a ?1
个, 那么-3< 6.C 【解析】依题意得 ?

?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 或? ? x ? ( x ? 1)(? x) ? 1 ? x ? ( x ? 1) x ? 1

所以 ? 7.D

? x ? ?1 ? ? x ? ?1 或? ? x ? ?1或 ? 1 ? x ? 2 ? 1 ? x ? 2 ? 1,选 C. ?? 2 ? 1 ? x ? 2 ? 1 ?x ? R ?

【解析】 题目中 ?

?0 ? x ? 2 表示的区域如右图正方形所示 , 而动点 D 可以存在的位置为正方 ?0 ? y ? 2

1 2 ? 2- ? ? 22 4-? 4 形面积减去四分之一圆的面积部分,因此 p = ,故选 D = 2? 2 4
【考点定位】 本小题是一道综合题, 它涉及到的知识包括: 线性规划、 圆的概念和面积公式、 概率。 8.A 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC y

y=kx+ 3 D C O A x

4

由? ∴S

?x ? 3y ? 4 4 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3x ? y ? 4
△ABC

= (4 ? ) ? 1 ?

1 2

4 3

交点为 D,则由 S ?BCD

4 ,设 y ? kx 与 3x ? y ? 4 的 3 1 2 1 5 ? S ?ABC ? 知 xD ? ,∴ y D ? 2 3 2 2



5 1 4 7 ? k ? ? , k ? 选 A。 2 2 3 3

9.C 【解析】如图阴影部分为平面区域 M, 显然 a ? 1 ,只需要研究过 (1,9) 、 (3,8) 两种情形。

a1 ? 9 且 a3 ? 8 即 2 ? a ? 9.

10.A

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 【解析】 点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上, 画出可行域如图, 点 Q 在圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
上, 那么 P Q 的最小值为圆心(0, -2)到直线 x-2y+1=0 的距离减去半径 1, 即为 5 -1, 选 A。

3 2 1 -2 -1 0 1 -1 -2 2 3

11.D

? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 【解析】 不等式组 ? , 将前三个不等式画出可行域, 三个顶点分别为(0, 0), (1, y ≥ 0 , ? ? ?x ? y ≤ a 2 2 0),( , ),第四个不等式 x ? y ? a ,表示的是斜率为-1 的直线的下方,∴ 当 0<a≤ 3 3 4 1 时,表示的平面区域是一个三角形,当 a≥ 时,表示的平面区域也是一个三角形,选 D。 3
2
y

1

? ?
2 3 , 2 3 x

0

1

12.A
b b a? 2 ? b 3 , 必 有 2a ? 2 a? 2 ? b 2 . 构 造 函 数 : f ? x ? ? 2x ? 2 x , 则 【 解 析 】 若 2a ? 2

f ? ? x ? ? 2x ? l n ? 2 ? 2 恒成立, 0 故有函数 f ? x ? ? 2x ? 2x 在 x>0 上单调递增, 即 a>b 成立. 其

余选项用同样方法排除 13.C

1 ? x ? x ,当 x ? 5 时,e x ? 32 ,而 1 ? x ? x 2 ?31 ,所以 A 选项不正确; 【解析】 对于 e 与
x 2

对于

1 1 1 1 1 2 5 1 1 57 2 5 ,所 与1 ? x ? x 2 ,当 x ? 时, = , 1 ? x ? x2 ? ? 4 2 4 5 2 4 64 5 1? x 1? x 1 2 x ? 1 ,则 f ' (x) ? x ? sin x ?0 ,对 x ? [0, ??) 恒成 2

以 B 选项不正确;令 f ( x) ? cos x ?

立, f ( x ) 在 [0, ??) 上为 增函 数, 所以 f ( x ) 的最 小值 为 f (0) ? 0 ,所以 f ( x ) ? 0 ,

cos x ? 1 ?
'

1 2 1 1 1 x ,故 C 正确;令 g ( x) ? ln(1 ? x ) ? x ? x 2 ,则 g ' ( x) ? ? x ?1, 2 8 x ?1 4
' '

令 g ( x) ? 0 ,得 x ? 0或x ? 3 .当 x ? (0,3) 时, g ( x) ? 0 ,当 x ? (3, ??) 时, g ( x) ? 0 .

g ( x) 在 x ? 3 时取得最小值 g (3) ? ln 4 ? 3 ?

9 ? 0 ,所以 D 不正确。 8

考点定位:本题考查不等式恒成立问题,意在考查考生用构造函数的方法,利用导数求最值 来比较大小的能力 14.D 【解析】设甲、乙种两种产品各需生产 x 、 y 吨,可使利润 z 最大,故本题即

? 3 x ? y ? 13 ? 2 x ? 3 y ? 18 ? 已 知 约束 条 件 ? , 求 目标 函数 z ? 5 x ? 3 y 的 最 大 值, 可 求出 最优 解 为 ?x ? 0 ? ?y ? 0

?x ? 3 ,故 z max ? 15 ? 12 ? 27 ,故选择 D。 ? ?y ? 4
15.B 【解析】设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱,则 x,y 满足

10 x ? 6 y ? 480 ? ? x ? y ? 70 ,,总获利 z=280x+200y.作出不等式组表示的可行域,可知当 ? ? x ? 0, y ? 0, x ? N ? , y ? N ? ?
直线 z=280x+200y 经过点直线 10x+6y=480 与 x+y=70 的交点(15,55)时,Z 取得最大值。 所以此时甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱,故选 B. 16.B 【解析】 本题考查线性规划知识在实际问题中的应用, 同时考查了数学建模的思想方法以及 实践能力 . 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩 , 总利润为 z 万元,则目标函数为

? x ? y ? 50, ?1.2 x ? 0.9 y ? 54, ? z ? (0.55? 4 x ? 1.2 x ) ? (0.3 ? y 6 ? 0.9 y ? ) x ? 0.9 y.线性约束条件为 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0. ? x ? y ? 50, ? x ? y ? 50, ?4 x ? 3 y ? 180, ?4 x ? 3 y ? 180, ? ? 即 ? 作出 不等 式组 ? 表示的 可行 域, 易求得点 ? x ? 0, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0. ?y ? 0

A? 0 , 5?0 B ?,

30 C ?,2 ?0 , ? . 0 , 4 5

平移直线 z ? x ? 0.9 y ,可知当直线 z ? x ? 0.9 y 经过点 B ? 30, 20? ,即 x ? 30, y ? 20 时,z

取得最大值,且 zmax ? 48 (万元).故选 B. 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值 问题. 17. ? x ? R | ?

? ?

3 ?x? 2

3? ? 2?

【解析】本题考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想.

1 1 1 ? ? 1 ? ?x ? ? , ?? ? x ? , ?x ? , 原不等式可化为 ? .①或 ? 2 ②或 ? ③ 2 2 2 ? ? ? ?1 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 6, ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 6, ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 6,
由①得 ?

3 1 1 1 1 3 ? x ? ? ;由②得 ? ? x ? ;由③得 ? x ? , 2 2 2 2 2 2

综上,得原不等式的解集为 ? x ? R | ?

? ?

3 ?x? 2

3? ?. 2?

【点评】 不等式的求解除了用分类讨论法外, 还可以利用绝对值的几何意义——数轴来求解; 后者有时用起来会事半功倍.体现考纲中要求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对值不等 式.来年需要注意绝对值不等式公式 a ? b ? a ? b , a ? b ? a ? c ? c ? b 的转化应用.
3 2 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: ? (a-1) x-1 ? 0 (A) ? 2 , 无解; ? x -ax-1 ? 0

18. a ?

(B) ?

? (a-1) x-1 ? 0 , 无解. 2 ? x -ax-1 ? 0

因为受到经验的影响, 会认为本题可能是错题或者解不出本题. 其实在 x>0 的整个区间上, 我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图) 我们知道:函数 y1 =(a-1)x-1,y2 =x 2 -ax-1 都过定点 P(0,—1). 考查函数 y1 =(a-1)x-1:令 y=0,得 M( 考查函数 y2 =x 2 -ax-1:显然过点 M(
a ? 0 or 1 ,0),还可分析得:a>1; a ?1
2

1 a ? 1 ? ? 1 ? 0 ,解之得: ,0),代入得: ? ? ? a ? 1 a ?1 a ?1 ? ?

3 3 ,舍去 a ? 0 ,得答案: a ? . 2 2

19. (5,7) 【解析】由 3x ? b ? 4 得

b?4 b?4 ?x? 3 3

b?4 ? 0? ?1 ? ? 3 由整数有且仅有 1,2,3 知 ? ,解得 5 ? b ? 7 ?3 ? b ? 4 ? 4 ? 3 ?
20. a ?

1 5 1 ? 2 (当且仅当 x=1 时取等号) ,所以有 x

【解析】因为 x>0 ,所以 x+

1 1 x x 1 1 1 的最大值为 , 故 a ? 。 ? ? = ,即 2 5 5 x +3x+1 x +3x+1 x+ 1 +3 2+3 5 x
2

【命题意图】 本题考查了分式不等式恒成立问题以及参数问题的求解, 考查了同学们的转化 能力。属中档题。 21. ?0, ? 4 【解析】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用;由于关于 x 的二次方 程有实根,那么 ? ? 1 ? 4( a ?

? 1? ? ?

1 1 1 1 1 ? a ) ? 0 即 a ? ? a ? ,而 a ? ? a ? 2a ? ,从 4 4 4 4 4

而 2a ? 22.9。

1 1 1 ? ,解得 0 ? a ? 。 4 4 4

? ?) ,当 x 2 ? ax ? b =0 时有V? a 2 ? 4b ? 0 ,即 b ? 【解析】由值域为 [0 ,

a2 , 4

∴ f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? x 2 ? ax ?
2

a2 ? a? ??x? ? 。 4 ? 2?

2

a? a a a ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? 。 2? 2 2 2 ?
∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 c ? 9 【考点】函数的值域,不等式的解集。 23. ? e, 7? 。

a 2

a 2

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥a ?c lnc 可化为: ? ? ? 4 。 ?c c a ?b ? ? ec ?c


a b =x,y = ,则题目转化为: c c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x ,求 的取值范围。 ,y 满足 ? x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x 。 ,y )所在平面区域(如图)

求出 y =e x 的切线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0? , 则

y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m =0 。 x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。 x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x ?? ? y =7 x ? =7 , ,y )对应点 C 时, ? y =5 ? 3 x 4 y =20 ? 12 x x ? ?

y 的最大值在 C 处,为 7。 x y b ∴ 的取值范围为 ? e, 7? ,即 的取值范围是 ? e, 7? a x
∴ 【考点】可行域。 24.8 【 解 析 】 函 数 y ? l o ag x( ? 的, 图 象 3 ?)a 1 ?( a ? 0 1恒 ) 过 定 点 A(?2, ?1) ,

(?2) ? m ? (?1) ? n ? 1 ? 0 , 2m ? n ? 1 , m, n ? 0 ,

1 2 1 2 n 4m n 4m ? ? ( ? ) ? (2m ? n) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ? 8. m n m n m n m n
25. [?3,3] 【解析】做出不等式所表示的区域如图

, 由 z ? x ? 2y 得 y ? 直线 y ?

1 1 1 x ? z ,平移直线 y ? x ,由图象可知当直线经过点 D(3,0) 时, 2 2 2

1 1 x ? z 的截距最小,此时 z 最大为 z ? x ? 2 y ? 3 ,当直线经过 B 点时,直线 2 2

截距最大,此时 z 最小,由 ?

? x ? y ? ?1 ?x ? 1 ,解得 ? , 即 B(1,2) , 此 时 ?x ? y ? 3 ?y ? 2

z ? x ? 2 y ? 1 ? 4 ? ?3 ,所以 ? 3 ? z ? 3 ,即 z 的取值范围是 [?3,3] .
26.①②③ 【解析】① ab ? c ? cos C ?
2

a 2 ? b2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ? ?C ? 2ab 2ab 2 3

a 2 ? b2 ? c 2 4(a 2 ? b2 ) ? (a ? b)2 1 ? ? ? ?C ? ② a ? b ? 2c ? cos C ? 2ab 8ab 2 3

③当 C ?

?
2

时, c2 ? a 2 ? b2 ? c3 ? a 2c ? b2c ? a3 ? b3 与 a3 ? b3 ? c3 矛盾

④取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b)c ? 2ab 得: C ?

?
2

⑤取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 得: C ?
1

?
3

27.证明见解析,当且仅当 a=b=c= 3 4 时,等号成立 【解析】 (证法一) 因为 a,b,c 均为正数,由平均值不等式得
2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3(abc) 3
1 ? 1 1 1 ? ? ? 3(abc) 3 a b c



所以 ?

2 ? ? 1 1 1? ? ? ? ? 9(abc) 3 ?a b c?

2



……6 分

故a ?b ?c ?( ?
2 2 2

1 a

2 2 ? 1 1 2 ? ) ? 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 . b c

又 3(abc) 3 ? 9(abc) 所以原不等式成立.

2

?

2 3

? 2 27 ? 6 3

③ ……8 分
2 ? 2 3

当且仅当 a=b=c 时, ①式和②式等号成立。 当且仅当 3(abc) 3 ? 9(abc)
1

时, ③式等号成立。

即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立。 (证法二) 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得

……10 分

a 2 ? b2 ? 2ab b2 ? c 2 ? 2bc c 2 ? a 2 ? 2ac
所以 a ? b ? c ? ab ? bc ? ac
2 2 2

① ② ……6 分

1 1 1 1 1 1 ? 2? 2 ? ? ? 2 a b c ab bc ac 1 1 1 2 2 2 2 故a ?b ?c ?( ? ? ) a b c
同理

? ab ? bc ? ac ? 3 ?6 3

1 1 1 ?3 ?3 ab bc ac



所以原不等式成立.

……8 分

当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c, (ab)2 ? (bc)2 ? (ac)2 ? 3 时, ③式等号成立。
1

即当且仅当 a=b=c= 3 4 时,原式等号成立。

……10 分

【考点定位】 本题考查放缩法在证明不等式中的应用, 本题在在用缩法时多次用到基本不等 式, 请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理, 并与利用基本不等式求最值再 据最值成立的条件求参数题型比较.深入分析等号成立的条件什么时 候必须考虑,什么时 候可以不考虑. 28. (1)
n f (n) ? a ;

(2)a 的最小值是
n

17 ;
27 f (1) ? f (n) ? . 证明见解析. 4 f (0) ? f (1) ,

(3)

? f ( k ) ? f ( 2k ) ?
k ?1

1

? ? 【解析】(1)由已知得,交点 A 的坐标为 ? ? ?
则 抛物线在点 A 处的切线方程为 y ? ? 2
n

a

? 1 n 2 ,0 ? ,对 y ? ? x ? a 求导得 ? 2 2 ? ?
n

y ? ?2 x
n

'

a (x ?

a

n

2

), 即y ? ? 2 a x ? a .则f (n) ? a

n

n

由(1)知 f(n)= 即 知,

a

n

,则

f (n) ? 1 n3 n ? 3 成立的充要条件是 ? 2n 3 ? 1 a f (n) ? 1 n ? 1
17

a
n

n

? 2n 3 ? 1 对于所有的 n 成立,特别地,取 n=2 时,得到 a≥

当 a ? 17, n ? 3时 ,

a

n

? 4 ? (1? 3) ? 1 ? C n ? 3 ? C n ? 3 ? C n ? 3 ? ?
n 1 2 2 3 3
1 2 2 3 3

? 1? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3

? 1? 2n ?

3

2 1 ? n 5 (n ? 2) ? (2n ? 5)? >2n3 +1 ? ? ? 2 ?

当 n=0,1,2 时,显然

( 17 )

n

? 2n ?1

3

f ( n) ? 1 ? 故当 a= 17 时, f ( n) ? 1
所以满足条件的 a 的最小值是

n 对所有自然数都成立 n ?1
3

3

17 。

(3)由(1)知 f ( k ) ?
n

a

n

,则

?
k ?1

n

n 1 1 , ?? k f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a2k

f (1) ? f (n) a ? a ? f (0) ? f (1) 1 ? a
n

下面证明:

? f ( k ) ? f ( 2k ) ?
k ?1

1

27 f (1) ? f (n) ? . 4 f (0) ? f (1)

首先证明:当 0<x<1 时,

1 x?x
3

?

27 x 4

设函数 g ( x) ?

27 2 x( x ? x) ? 1,0 ? x ? 1 4

则g ' ( x) ?

81 2 x( x ? ) 4 3 2 2 时, g ( ' x) ? 0;当 ? x ? 1时, g ' ( x) ? 0 3 3
2 3

当0 ? x ?

故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)min =g ( ) ? 0

所以,当 0<x<1 时,g(x)≥0,即得

1 x?x
k 2

?

27 x 4 ? 27 k ,从而 4 a

由 0<a<1 知 0<ak <1( k ?

N

*

),因此

1

a ?a

2k

?
k ?1

n

n 1 1 ?? k f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a2k

?

27 n k ? 4 k ?1 a
n ?1

27 a ? a ? ? 4 1? a

27 a ? a ? ? 4 1? a 27 f (1) ? f (n) ? ? 4 f (0) ? f (1)
[点评]本小题属于高档题, 难度较大, 需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.

n

主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题 与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等 数学思维方法。
7 29. (1)arctan 30 弧度; (2)救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船.

【解析】[解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP = 7t ? 中,得 P 的纵坐标 yP =3. 由|AP|=
949 2

7 2

,代入抛物线方程 y ?

12 49

x2

……2 分 ……4 分

,得救援船速度的大小为 949 海里/时.
7

由 tan∠OAP= 3 ?212 ?

7 30

7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

7 为北偏东 arctan 30 弧度.

……6 分

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t 2 ) . 由 vt ? 因为 t 2 ?
2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 .……10 分 t
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

所以 v ? 144? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. 30.(Ⅰ) 见解析; (Ⅱ)
3? . ? ?1,

……14 分

【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ) (ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a f max ? x ? ? max{ f (0),( f 1) } ? max{(b ? a),(3a ? b) }? ? =|2a-b|﹢a; b ? 2a ?3a ? b,

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a.

亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ? 当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
g max ? x ? ? max{g ( b ),( g 1) } 6a b . 6a

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? 6a ? a ? b, ? b ? ? 3 6a b ? 6a ?b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ?
? b ? 2a ? b ? 2a 和? ,目标函数为 z=a+b. ? b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1

作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 , zmin ? ?1 .
3? . ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ?1,

[来 源:Zx xk. Com ]


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