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上海市长宁区2013届高三一模数学试题(理科)


长宁区 2012 学年第一学期高三数学质量调研试卷(理科)
一、填空题(本大题满分 56 分) 1、计算: lim

3n2 ? 4n ? 2 = n ?? (2n ? 1)2

2、记函数 y ? f ( x ) 的反函数为 y ? f ?1 ( x ). 如果函数 y ? f ( x ) 的图像过点 (1,2) ,那么函 数

y ? f ?1 ( x) ? 1 的图像过点 __________ . 3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的 16 个小球,其中 8 个白球、 8 个黑球,则从口袋 中任意摸出 8 个球恰好是 4 白 4 黑的概率为 4、 (2 ? x )8 展开式中含 x 4 项的系数为 . . (结果精确到 0.001 )

5、设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2x ? b ( b 为常数) , 则 f (?1) ?

1 6、已知 z ? C , z 为 z 的共轭复数,若 0

z 1

0 ,则 z ? 1 ? 0 ( i 是虚数单位)



z iz 0

1 }( n ? N * ) 中可以找出无限项构成一个新的等比数列 {bn } ,使得该新数列的 2n 1 各项和为 ,则此数列 {bn } 的通项公式为 7 . 8、阅读如图所示的程序框图,输出的 S 值为 _________
7、从数列 { 9、 已知 ?ABC 的面积为

3 ? 则 , AC ? 3, ?ABC ? , ?ABC 2 3

. 的周长等于 _______
10、给出下列命题中
0 b ① 非零向量 a、 满足 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为 30 ;

? ?

?

?

? ?

? ? ?

b ② a ? b >0,是 a、 的夹角为锐角的充要条件;
③ 将函数 y = x ? 1 的图象按向量 a =(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y =x ; ④ 在 ?ABC 中,若 ( AB? AC) ? ?( AB? AC) ? 0 ,则 ?ABC 为等腰三角形;
?? ??
?? ??

? ?

以上命题正确的是

(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

11、我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切圆,那么凸多边形的面积 S、周长 c 与 内切圆半径 r 之间的关系为 S ?

1 cr 。类比这个结论,在空间中,如果已知一个凸多面体有 2

内切球,且内切球半径为 R,那么凸多面体的体积 V、表面积 S'与内切球半径 R 之间的关 系是 。

0?m?
12、设

1 1 2 ? ?k 2 ,若 m 1 ? 2m 恒成立,则 k 的最大值为 _________ .

13 、 已 知 函 数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? b(a, b ? R) 的 值 域 为 (??,0] , 若 关 于 x 的 不 等 式

f ( x) ? c ? 1 的解集为 (m ? 4, m ? 1) ,则实数 c 的值为 _________ .
14、给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记 2 2 1 2 k (k 2

作 { x} ,即 {x} ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x) = | x – {x}|的四个命题: ①函数 y = f (x)的定义域是 R,值域是 [0, ] ;②函数 y = f (x)的图像关于直线 x = ∈Z)对称;③函数 y = f (x)是周期函数,最小正周期是 1;④函数 y = f (x)在 [? 函数. 则其中真命题是____________(写出所有真命题的序号). 二、选择题(本大题满分 20 分) 15、 “φ=

1 1 , ] 上是增 2 2

? ”是“函数 y=sin(x+φ)为偶函数的” ( 2



A.充分不必要条件 C. 充要条件 16、若 AB ? BC ? AB2 ? 0 ,则 ?ABC 必定是 A.锐角三角形

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ( )

? ??? ??? ???? ? ?

B.直角三角形 C.钝角三角形

D.等腰直角三角形 )

17、已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列命题中的假命题的是( A. 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? B. 若m // n, m ? ? , 则n ? ?

C. 若m // ? , ? ? ? ? n, 则m // n

D. 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ?

y?
18、函数

x sin x , x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 的图象可能是下列图象中的 (



三、解答题(本大题满分 74 分)

?? ? ?? ? m ? (2 cos x ? 2 3 sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 . 19、 (本题满分 12 分)已知

(1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f( 求 b ? c 的取值范围.

A ) ? 3 ,且 a ? 2 , 2

20、 (本题满分 12 分)如图,△ ABC 中, ?ACB ? 90 , ?ABC ? 30
0

0

, BC ? 3 ,

在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC 、 AB 分别相切于点 C 、 M , 与 BC 交于点 N ) ,将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体。 (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. A

M

C

O 第 20 题

N

B

21、 (本题满分 14 分)经过统计分析,公路上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流 密度 x (单位:辆/千米)的函数,当公路上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此 时车速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当

20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数.
(1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v( x) 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过公路上某观测点的车辆数,单位:辆/

v 小时) f ( x) ? x? ( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

22. (本小题满分 18 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x 。 (1)求函数 f ( x ) 的定义域和值域; (2)设 F ( x) ?

a ? ? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ( a 为实数) F ( x) 在 a ? 0 时的最大值 g (a) ; ,求 ? 2 ?

(3)对(2)中 g (a ) ,若 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? [?1,1] 恒成 立,求实数 m 的取值范围。

23. (本题满分 18 分) 已知函数 f ( x) ? kx ? m,当x ? [a1 , b1 ] 时,f (x) 的值域为 [a2 , b2 ] , x ? [a2 , b2 ] 时,f (x) 当 的值域为 [a3 , b3 ] ,依次类推,一般地,当 x ? [an?1 , bn?1 ] 时, f (x) 的值域为

[an , bn ] ,其中 k 、m 为常数,且 a1 ? 0, b1 ? 1.
(1)若 k=1,求数列 {an },{bn } 的通项公式; (2)若 m=2,问是否存在常数 k ? 0 ,使得数列 {bn } 满足 lim bn ? 4 ? 若存在,求 k 的值;
n ??

若不存在,请说明理由; (3)若 k ? 0 ,设数列 {an },{bn } 的前 n 项和分别为 Sn,Tn, 求 (T1 ? T2 ? ? ? T2013 ) ? (S1 ? S 2 ? ? ? S 2013 ).


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