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2016届东北三省四市教研联合体高三第三次模拟考试数学(理)试题


2016 年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(三)

:Z.XK] 源 [来

理 科 数 学
1. 若集合 A ? {1,2} , B ? {1,3} ,则集合 A ? B 的真子集的个数为( A.7 B.8 C.15 ) D.16 ) D. 3 ? 4i ) D. ) D.15 2. 设复数 z1 , z 2 在复平面内对应

的点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 =( A. 3 ? 4i 3. 已知函数 f ( x) ? ? A.2016 B. ? 3 ? 4i C. ? 3 ? 4i

? x( x ? 4), x ? 0 ,则 f (a ) 的值不可能为( ? x( x ? 4) , x ? 0
B.0 C.-2

1 2016

4. 设等比数列 {an } 的公比 q ? A.5

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 3 =( 2 a3
C.8

B .7

5. 已知 m, n 是两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,给出下列四个命题:其中正确命题的个 数是( ) (1)若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; (2) 若n ? ? , m ? ? , 且n ? m, 则? ? ? ; (3)若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m // ? ; (4)若 m, n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则 ? // ? . A.1 B.2 C.3 D.4 6. 在边长为 2 的等边三角形 ?ABC 中,点 M 在边 AB 上, 且满足 BM ? 3MA ,则 CM ? CB ? ( A.
开始

输入 a

???? ?
5 2

????

???? ? ??? ?
B.



b=0

8 3

:Z-XK] 源 [来

i=1

C.

7 2

D.4

把 a 的右数第 i 位数字赋给 t

7. 若输入 a=110011,则输出结果是( ) A.51 B.49 C.47

D.45

b ? b ? t ? 2i ?1

i=i+1

否 i>6? 是 输出 b

结束



1第

2 8. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,直线 y ? ?3 与抛物线交于点 M ,| MF |? 5 ,则抛物线的标

准方程是( A. y ? 2 x
2

) B. y ? 18x
2

C. y ? x
2

D. y ? 2 x 或 y ? 18x
2

2

9. 已知长方体 ABCD ? A 1 内随机取一点 M , 则 1B 1C1 D 1 中, AB ? 2, BC ? BB 1 ? 2 ,在四边形 ABC1D 满足 ?AMB ? 135? 的概率为( )

A.

?
8

B.

? ?2
8

C.

2? ? 3 3 12

D.

2 2 ?2 8

10. 已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F ,以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双 a 2 b2


曲线的一个交点为 M ,且 MF 与双曲线的实轴垂直,则 C 的离心率是( A.

5 2

B. 5

C. 2

D. 2

11. 在 ?ABC 中, D 是 BC 中点,已知 ?BAD ? ?C ? 90? ,则 ?ABC 的形状为( A.等腰三角形 B.直角三角形
2



C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形 )

12.已知函数 f ( x) ?| ln | x ? 1 || ? x 与 g ( x) ? 2 x 有 n 个交点,它们的横坐标之和为( A.0 B.2 C.4 D.8

4 2 13. 设 a 为非零常数,已知 ( x ? )(1 ? ax) 的展开式中各项系数和为 3 ,展开式中 x 项的系数是

2 x

____________.

x2 y2 ? ? 1 上 有 两 个 动 点 M , N , K (3,0) 为 定 点 , 14. 在 椭 圆 36 27
???? ? ???? ? KM ? KN ? 0 ,则 KM ? NM 最小值为____________.
15. 已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形, 俯视图是边长为 3 的等 边三角形,侧视图是直角三角形,且三棱锥的外接球表面积为 8? ,则三 棱锥的高为 .

16. 已知数列 {2n ? an } 的前 n 项和为 是 .

n( n ? 3) ? ,若存在 n ? N ,使得 an ? m 成立,则 m 的取值范围 2

17. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? 4, | ? |? 函数 f ( x) 取得最大值 1.
页 2第

1 ? ? ) 过点 (0, ) ,且当 x ? 时, 2 6 2

(1) 将函数 f ( x) 的图象向右平移

? 个单位得到函数 g ( x) ,求函数 g ( x) 的表达式; 6
2

(2) 在(1)的条件下,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 cos x ?1,如果对于 ?x1 , x2 ? R ,都有

h( x1 ) ? h( x) ? h( x2 ) ,求 | x1 ? x2 | 的最小值.
18. (本小题满分 12 分)以下为甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩(单位:分) 甲 乙 102 96 126 117 131 120 118 119 127 135

(1)试判断甲、乙两位同学哪位同学的数学考试成绩更稳定?(不用计算,给出结论即可) (2)若从甲、乙两位同学的数学考试成绩中各随机抽取 2 次成绩进行分析,设抽到的成绩中 130 分以上 的次数为 X ,求随机变量 X 的分布列及数学期望.
:Z-xk.Com] 源 [来

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面四边形 ABCD 是正方形, PA ? PD ,且 PA ? CD. (1)求证:平面 PAD ? 底面ABCD;

(2)设

PA 5 ? ? ,当 ? 为何值时直线 PA 与平面 PBC 所成角的余弦值为 ? AB 3

20. (本小题满分 12 分)已知 A(?2a,0), B(2a,0)(a ? 0),| AP |? 2a, D为线段BP的中点 . (1)求点 D 的轨迹 E 的方程; (2)抛物线 C 以坐标原点为顶点,以轨迹 E 与 x 轴正半轴的交点 F 为焦点,过点 B 的直线与抛 物线 C 交于 M , N 两点,试判断坐标原点与以 MN 为直径的圆的位置关系. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ax, x ? 0 是极值点. (1)求实数 a 的值; (2) 设g ( x) ?

f ( x ? 1) ? x ? 1 2n 2 ? n ? 1 , 试比较g (4) ? g (9) ? ? ? ? ? g (n 2 )与 (n ? Z , n ? 2)的大小. x 2(n ? 1)

22.(本小题满分 10 分).选修 4-1 几何证明选讲
页 3第

如图所示, AB 是⊙ O 的直径,点 C 在⊙ O 上, CD 为⊙ O 的切线,过 A 作 CD 的垂线,垂足为 D , 交⊙ O 于 F . (1) 求证: AC 为 ? DAB 的角平分线;
:Z-xk.Com] 源 [来

F

D

C

(2)过 C 作 AB 的垂线,垂足为 M ,若⊙ O 的直径为 8,且

OM : MB ? 3 : 1 ,求 DF ? AD 的值.

A

O

M

B

23. (本小题满分 10 分).选修 4-4 坐标系与参数方程 经过抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 外的点 A(?2,?4) ,且倾斜角为
2

? 的直线 l 与抛物线 C 交于 M , N 两点, 4

且 | AM | 、 | MN | 、 | AN | 成等比数列. (1)求抛物线 C 的方程;

) ,求 ?OEF 的面积的最小值. (2) E , F 为抛物线 C 上的两点,且 OE ? OF (O为坐标原点
24(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? m( ,若 f ( x) 的最小值为 1. | m ? 2) (1)试求实数 m 的值;
a b (2)求证: log 2 ( 2 ? 2 ) ? m ?

a?b . 2



4第

2016 年三模理科数学答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 C 6 A 7 A 8 D 9 B 10 C 11 D 12 C

13、 -72 14、9 15、2 16、 m ?

1 8 1 2 1 ? , ?? 6 2
…………(2 分)

17. (I)由题意 A ? 1 …………(1 分) 将点 (0, ) 代入解得 sin ? ? 且? ?

? 2k? , k ? Z 6 6 2 因为 0 ? ? ? 4 所以? ? 2 ,…………(4 分) ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) .…………(5 分) 6 ? ?
g ( x) ? sin( 2 x ?

?

?

?

?

6

) …………(7 分)

(II) h( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ,…………(9 分)

周期 T ? ? …………(10 分) 所以 | x1 ? x 2 | 的最小值为

? …………(12 分) 2
…………(4 分)

18.解:(I)甲同学的数学考试成绩更稳定. (II) X 的取值为 0.1.2,则…………(6 分)

1 2 2 2 1 1 2C 4 C 4 12 C4 C4 C4 C 9 4 , P( X ? 1) ? 2 2 ? , P( X ? 2) ? 2 42 ? ,…………(10 分) P( X ? 0) ? 2 2 ? 25 C5 C5 25 C5 C5 25 C5 C5

X 的分布列如下: 0 X
P …………(11 分) ∴ EX ?

1

2

9 25

12 25

4 25

4 . 5

…………(12 分)

19. (Ⅰ)因为 CD ? AD, , CD ? PA, PA ? AD ? A, 所以 CD ? 平面PAD, …………(2 分)



5第

又 CD ? 平面ABCD 所以 平面PAD ? 平面ABCD …………(4 分) (Ⅱ)取 AD的中点O, 连接PO ,设 PO ? h, AB ? 1 因为 平面PAD ? 平面ABCD

平面PAD ? 平面ABCD ? AD , PO ⊥ AD , PO ? 平面PAD
所以 PO ⊥ 平面ABCD …………(6 分) 以 D 为坐标原点, DA 方向为 x 轴, DC 方向为 y 轴, OP 方向为 z 轴,建立空间直角坐标系. 由题意 P ( ,0, h), A(1,0,0), B(1,1,0), C (0,1,0), …………(7 分) 得平面 PBC 的法向量为 (0, h,1) …………(8 分)

1 2

1 PA ? ( ,0,?h) …………(9 分) 2


2 ?| 3

h 1 ? h2 h2 ?1 4

| ,…………(10 分)

h?

2 …………(11 分) 2 3 …………(12 分) 2

??

20. (Ⅰ) 解:设 D( x, y ), P(m, n)

2a ? m ? x? ? ? 2 …………(1 分) ? ?y ? n ? 2 ? ?m ? 2 x ? 2a 所以 ? …………(2 分) ?n ? 2 y 又 (m ? 2a) 2 ? n 2 ? 4a 2 …………(3 分)
所以所求方程为 x ? y ? a
2 2 2 2

…………(4 分)

(Ⅱ)轨迹 E 与 x 轴正半轴的交点 F (a,0) …………(5 分) 抛物线 C 的方程为 y ? 4ax …………(6 分) 设M(

y12 y2 , y1 ) , N ( 2 , y 2 ) ,设直线 MN 的方程为 x ? ty ? 2a 4a 4a
2 2

联立得 y ? 4aty ? 8a ? 0 ,
页 6第

则?

? y1 ? y2 ? 4at
2 ? y1 y2 ? ?8a

…………(8 分)

OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y 2 ?

2 y12 y 2 ? ? y1 y 2 ? ?4a 2 ? 0 …………(10 分) 4a 4a

所以坐标原点在以 MN 为直径的圆内…………(12 分) 21. 解:(I) f ?( x) ?

1 ? a …………(2 分) x ?1

由题意因为 f ?(0) ? 1 ? a ? 0 …………(3 分 所以 a ? 1 …………(4 分) (II) g ( x ) ?

ln x . …………(5 分) x 先证当 x ? 1 时, ln x ? x ? 1
令 h( x) ? ln x ? x ? 1

h , ( x) ?

1 ? 1 ? 0 .…………(6 分) x

所以 h( x) 在(1,+∞)上单调递减 所以 h( x) ? h(1) ? 0 所以当 x ? 1 时 g ( x) ?

x ?1 1 ? 1 ? .…………(8 分) x x
2

所以 g (4) ? g (9) ? ? ? ? ? g (n ) ? 1 ?

1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 .…………(9 分) 2 2 3 4 n
1 1 1 1 ?1? ?1? ? ??? ?1? 2?3 3? 4 4?5 n ? (n ? 1)
.…………(10 分)

? 1?

1 1 2n 2 ? n ? 1 ……………………12 分 ? n ?1? ( ? )? 2 n ?1 2(n ? 1)
22. (Ⅰ)连接 OC , 由题意可知 OC ∥ AD ,…………(1 分) 所以 ?CAD ? ?ACO …………(2 分) 又 OC ? OA ,所以 ?CAO ? ?ACO ,…………(3 分) 所以 ?CAO ? ?CAD 所以原题得证. …………(4 分) (Ⅱ)由题意 OM ? 3, MB ? 1 . …………(4 分)
2 . CM ? AM ? MB ? 7 …………(5 分)

又 AC ? AC, ?CAO ? ?CAD ,
页 7第

所以 Rt ?ACB ≌ Rt ?ACD .. …………(6 分) 所以 CD ? CM , . …………(7 分) 又 CD 2 ? DF ? DA ,. …………(8 分) 而 CD 2 ? 7 . …………(9 分) 所以 DF ? DA ? 7 . …………(10 分) 23. 解:(I)

? ? x ? ?2 ? ? 直线 MN 的参数方程是 ? ? y ? ?4 ? ? ?
2

2 t 2 ( t为参数 )…………(1 分) 2 t 2

代入抛物线方程得 t ? (8 2 ? 2 2 p)t ? 32 ? 8 p ? 0 所以 | AM | ? | AN |? 32 ? 8 p …………(2 分)

| MN |2 ? (8 2 ? 2 2 p) 2 ? 4(32 ? 8 p) …………(3 分)
解得 p ? 1 所以抛物线方程为 y 2 ? 2 x …………(4 分) (Ⅱ) 抛物线的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 2 cos? ,…………(5 分) 设 E ( ?1 , ? ), F ( ? 2 , ? ? ? ) ,

3 2

?1 ?

2 cos ? …………(6 分) sin 2 ? 2 sin ? …………(7 分) cos 2 ?
1 2 cos ? 2 sin ? 4 …………(8 分) ? ? ? 2 2 2 sin ? cos ? sin 2?

?2 ?

所以 S ? 当 2? ?

? ? ? 2k? 时,即 ? ? ? k? , k ? Z 所求面积取得最小值 4…………(10 分) 2 4
当且仅当 ( x ? 2)(x ? m) ? 0 时 取等号…………

24. 解析:(I) f ( x) ?| 2 ? m | 错误!未找到引用源。, (2 分) 所以 | 2 ? m |? 1 , …………(3 分) 解得 m ? 1 …………(4 分) (Ⅱ) 因为 2 a ? 0,2b ? 0 …………(5 分)
页 8第

所以 2 a ? 2b ? 2 2 a?b …………(7 分) 所以 log 2 (2 a ? 2 b ) ? log 2 2 2 a ?b ? 1 ? 所以原不等式得证. …………(10 分)

a?b …………(9 分) 2



9第


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