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2015一轮复习课时精品提升作业之幂函数与二次函数Word版含答案


课时提升作业(九) 一、填空题 1.设 a=0.64.2,b=0.74.2,c=0.65.1,则 a,b,c 的大小关系是__________. 2.已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范 围是_______.
2 1 3.已知 P ? 2 , Q ? ( )3 , R ? ( )3, 则 P,Q,R 的大小关系是_

_______. 5 2
? 3 2

4.若定义在 R 上的二次函数 f(x)=ax2-4ax+b 在区间[0,2]上是增函数,且 f(m)≥ f(0),则实数 m 的取值范围是__________. 5.函数 f(x)=ax2+(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数 a 的取值范围是 _________. 6.(能力挑战题)若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈(0, ______. 7.函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(x+1)=f(1-x), 且 f(0)=3,则 f(bx)与 f(cx)的大小关系 是________. 8.(2013·徐州模拟)函数 y ? log a ? 2x ? 3? ? f(x)的图象上,则 f(9)=_______. 9.函数 y=x-2 在区间[
1 ,2]上的最大值是_________. 2

1 ]恒成立,则 a 的最小值是 2

2 的图象恒过定点 P,点 P 在幂函数 2

10.若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(4,0),且函数的最大 值为 9,则这个二次函数的表达式是________. 11.若二次函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则 该函数的解析式 f(x)=________. 12.二次函数 f(x)的二次项系数为正,且对任意 x 恒有 f(2+x)=f(2-x),若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则 x 的取值范围是_______. 二、解答题 13.(2013·无锡模拟)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间[-2,2]上的最大值、最小 值分别为 M,m,集合 A={x|f(x)=x}. (1)若 A={1,2},f(0)=2,求 M+m 的值.
-1-

(2)若 A={1},a≥1,记 g(a)=M+m,若 g ? a ? ?

135 , 求 a 的值. 8

14.(能力挑战题)已知幂函数 f(x)=x(2-k)(1+k),k∈N+,且满足 f(2)<f(3). (1)求实数 k 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式. (2)对于(1)中的函数 f(x), 试判断是否存在正数 q,使函数 g(x)=1-qf(x)+ (2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为[-4,
17 ].若存在,求出 q 值;若不存在,请说明理由. 8

答案解析 1.【解析】函数 y=x4.2 在(0,+≦)上是增函数, ?0.64.2<0.74.2. 又函数 y=0.6x 是减函数, ?0.64.2>0.65.1, ?0.74.2>0.64.2>0.65.1,即 b>a>c. 答案:b>a>c 2.【解析】y=(x-1)2+2,由 x2-2x+3=3 得 x=0 或 x=2,?1≤m≤2. 答案:[1,2]
2 1 3.【解析】由函数 y=x3 在 R 上是增函数,知 ( )3 ? ( )3 , 5 2

由函数 y=2 在 R 上是增函数,知 2 ?P>R>Q. 答案:P>R>Q

x

?

3 2

1 ? 2?3 ? ( )3 , 2

4.【解析】f(x)=ax2-4ax+b=a(x-2)2+b-4a, 又函数 f(x)在[0,2]上是增函数, 因此函数 f(x)在[2,4]上是减函数, 且 f(0)=f(4),又 f(m)≥f(0), ?0≤m≤4. 答案:[0,4] 5.【解析】当 a=0 时,f(x)=-3x+1 显然成立,

-2-

?a<0, ? 当 a≠0 时,需 ? a ? 3 ? ? ?1, ? ? 2a
解得-3≤a<0, 综上可得-3≤a≤0. 答案:[-3,0] 【误区警示】本题易忽视 a=0 这一情况而得答案[-3,0),失误的原因是将关于 x 的函数误认为是二次函数. 6.【解析】方法一:设 g(a)=ax+x +1,
1 ],?g(a)为单调递增函数. 2 1 1 1 5 当 x= 时满足: a ? ? 1 ? 0 即可,解得 a≥ ? . 2 2 4 2 1 1 方法二:由 x2+ax+1≥0 得 a≥-(x+ )在 x∈(0, ]上恒成立, x 2 1 1 令 g(x)=-(x+ ),则知 g(x)在(0, ]上为增函数, x 2 1 5 5 ? g ? x ?max ? g( ) ? ? ,? a ? ? . 2 2 2 5 答案: ? 2
2

≧x∈(0,

【变式备选】对于任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,那 么 x 的取值范围是______. 【解析】f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4, 令 g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
? ?g ?1? ? 0, 由题意知 ? ? ?g ? ?1? ? 0,
2 ? ? x ? 3x ? 2 ? 0, 即? 2 ? ? x ? 5x ? 6 ? 0,

解得 x>3 或 x<1. 答案:(-≦,1)∪(3,+≦)

?f ? 0 ? ? c ? 3, ? b ? 2, ? 7.【解析】由题意知 ? b ?? ?c ? 3. ? ? 1, ?2

-3-

当 x≥0 时,cx≥bx≥1, ?f(cx)≥f(bx), 当 x<0 时,cx<bx<1, ?f(cx)>f(bx). 综上知,f(bx)≤f(cx). 答案:f(bx)≤f(cx) 8.【解析】函数 y ? log a ? 2x ? 3? ? 设 f(x)=xα,则 2? ? ? f ?9? ? 9 答案:
1 3
? 1 2

2 2 的图象恒过点 P(2, ), 2 2

2 1 ,?? ? ? , 2 2

1 ? . 3

9.【解析】≧函数 y=x-2 在第一象限是减函数,
1 1 1 ?函数 y=x-2 在区间 [ , 2] 上的最大值是 f ( ) ? ( ) ?2 ? 4. 2 2 2

答案:4 10.【解析】设 y=a(x+2)(x-4),对称轴为 x=1, 当 x=1 时,ymax=-9a=9,?a=-1, ?y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8. 答案:y=-x2+2x+8 11.【思路点拨】化简 f(x),函数 f(x)为偶函数,则一次项系数为 0 可求 b.值域 为(-≦,4],则最大值为 4,可求 2a2,即可求出解析式. 【解析】≧f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2 是偶函数,则其图象关于 y 轴对 称. ?2a+ab=0,?b=-2 或 a=0(舍去). ?f(x)=-2x2+2a2, 又 f(x)的值域为(-≦,4], ?2a2=4,f(x)=-2x2+4. 答案:-2x2+4
-4-

12.【思路点拨】由题意知二次函数的图象开口向上,且关于直线 x=2 对称,则距 离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式求解. 【解析】由 f(2+x)=f(2-x)知 x=2 为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距 对称轴越远,函数值越大, ?|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|, 即|2x2+1|<|x2-2x+1|, ?2x2+1<x2-2x+1, ?-2<x<0. 答案:(-2,0) 13.【解析】(1)由 f(0)=2 可知 c=2. 又 A={1,2},故 1,2 是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的两实根,
b ?1 ? 3?? , ? ? a ?? 解得 a=1,b=-2. 2 ?2 ? , ? a ?

?f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1. ≧x∈[-2,2],?当 x=1 时,f(x)min=f(1)=1, ?m=1. 当 x=-2 时,f(x)max=f(-2)=10,?M=10. ?M+m=11. (2)由题意知,方程 ax2+(b-1)x+c=0 有两相等的实根 x1=x2=1,
b ?1 ? 2?? , ? ? a ?? ?c=a,b=-2a+1, ?1 ? c , ? ? a

?f(x)=ax2+bx+c=ax2+(1-2a)x+a, 对称轴 x ? 1 ? 又 a≥1,故
1 . 2a

1 1 ? 1? ? 1. 2 2a 4a ? 1 . ?M=f(-2)=9a-2, m ? 4a

-5-

?g(a)=M+m=9a-

1 135 -1= . 4a 8

≧g(a)在区间[1,+≦)上单调递增, ?a=2. 14.【解析】(1)由题意知(2-k)(1+k)>0, ?-1<k<2,又 k∈N+, ?k=1.?f(x)=x2. (2)由(1)知 g(x)=-qx2+(2q-1)x+1. 假设存在这样的正数 q 符合题意, 则函数 g(x)的图象是开口向下的抛物线, 对称轴 x ?
2q ? 1 1 ? 1? ? 1. 2q 2q

?函数 g(x)在[-1,2]上的最小值只能在 x=-1 或 x=2 处取得, 又 g(2)=-1≠-4,故必有 g(-1)=2-3q=-4. ?q=2. 此时,g(x)=-2x2+3x+1, 其对称轴 x=
3 ∈[-1,2]. 4

?g(x)在[-1,2]上的最大值为
3 3 3 17 g( ) ? ?2 ? ( ) 2 ? 3 ? ? 1 ? 符合题意. 4 4 4 8

?存在正数 q=2,使函数 g(x)在区间[-1,2]上的值域为 [ ?4,

17 ]. 8

-6-


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