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高考数学(文科)知识点归纳


集合 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 符号 2.集合间的关系 (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). (2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A?B(或 B?A). (3)空集

:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即??A,??B(B≠?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1 个. (5)集合相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. 3.集合的运算 集合的并集 图 形 符 号 A∪B={x|x∈A 或 x∈B} A∩B={x|x∈A 且 x∈B} ?UA={x|x∈U,且 x?A} 集合的交集 集合的补集 自然数集 N 正整数集 N*(或 N+) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

4.集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. 命题 1.命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为 真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题及相互关系

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 4.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件. 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断

(1)全称量词: 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词, 用“?”表示; 含有全称量词的命题叫做全称命题. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用“?” 表示;含有存在量词的命题叫做特称命题. 3.含有一个量词的命题的否定

函数: 1.常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)y=ax (a>0 且 a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为 R.

π ? ? (5)y=tan x 的定义域为?x|x∈R且x≠kπ+2,k∈Z?.
? ?

(6)函数 f(x)=xα 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}. 2. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个 区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2), 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 是增函数 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

图象描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,区间 D 叫做函数 y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1) 对 于 任 意 x∈I , 都 有 条件 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 结论 4. 函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)是偶函数,关于 y 轴对称 奇函数,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇 函数,关于原点对称 5..周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何 值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期. 6. 二次函数 M 为最大值 (3)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M ; (4)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最小值 自左向右看图象是下降的

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 (-∞,+∞) 2 4 ? ac-b ,+∞? ? 4a ? b? 在 x∈? ?-∞,-2a?上单调递 b ? 减;在 x∈? ?-2a,+∞?上单 调递增 对称性 7.幂函数 (1)定义:形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. (2)幂函数的图象比较 (-∞,+∞) 2 ?-∞,4ac-b ? 4a ? ? b ? 在 x∈? ?-2a,+∞?上单调递 b? 减在 x∈? ?-∞,-2a?上单调 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)

单调性

递增 b 函数的图象关于 x=- 对称 2a

(3)幂函数的性质比较 特征 函数 性质 定义域 R R R [0,+∞) {x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇函数 y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2

y=x

-1

值域 奇偶性

R 奇函数

[0,+∞) 偶函数

R 奇函数

[0,+∞) 非奇非偶

函数 x∈[0,+∞) 单调性 增 时, 增; x∈(- ∞,0]时,减 8. 分数指数幂 m n (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1);正数的负 n m 1 分数指数幂的意义是 a- = (a>0,m,n∈N*,且 n>1);0 的正分数指数幂等于 0; n n am 0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质:aras=ar s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中 a>0,b>0,r,s∈Q.


x∈(0,+∞) 增 增 时, 减; x∈(- ∞,0)时,减

指数函数的图象与性质

9. 对数的概念 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中__a__ 叫做对数的底数,__N__叫做真数. 对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga =logaM-logaN; N n n ③logaMn=nlogaM (n∈R);④ loga m M = logaM. m (2)对数的性质 ①alogaN=__N__;②logaaN=__N__(a>0 且 a≠1).

(3)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); logab 1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba 对数函数的图象与性质

反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线__y=x__对称. 10. 图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换 ①y=f(x) ― ― → y=-f(x); ②y=f(x) ― ― → y=f(-x); ③y=f(x) ― ― → y=-f(-x); ④y=ax (a>0 且 a≠1) ― ― → y=logax(a>0 且 a≠1). ⑤y=f(x)将x轴下方图象翻折上去 ― ― → y=|f(x)|. ⑥y=f(x)
保留y轴右边图象,并作其 关于y轴对称的图象 保留x轴上方图象 关于y=x对称 关于原点对称 关于y轴对称 关于x轴对称

― ― →

y=f(|x|).

(3)伸缩变换

②y=f(x)0<a<1,纵坐标缩短为原来的 ― ― → a倍,横坐标不变 y=af(x).

a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变

11. 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x) (x∈D),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么, 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个__c__也就是 方程 f(x)=0 的根. 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系

二分法 (1)定义:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值 的方法叫做二分法. (2)给定精确度 ε,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε; ②求区间(a,b)的中点 c; ③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;

(ⅱ)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复②③④. 12.导数 基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c (c 为常数) f(x)=x (α∈Q ) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0) f(x)=ex f(x)=logax (a>0,且 a≠1) f(x)=ln x 导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ′= (g(x)≠0). ?g?x?? [g?x?]2
α *

导函数 f′(x)=__0__ f′(x)=αxα
-1

f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a f′(x)=ex 1 f′(x)= xln a f′(x)= 1 x

函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减. 函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 函数的最值

(1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函 数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的 步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小 值. 13.三角函数 1. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系: =tan α. cos α 2. 下列各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α

图示

与角 α 终边的 关系 角 π-α π -α 2 π +α 2 相同 关于原点对称 关于 x 轴对称

图示

与角 α 终边的 关系 3. 六组诱导公式 组数 角 正弦 一 2kπ+α (k∈Z) sin_α

关于 y 轴 对称

关于直线 y=x 对称

二 π+α -sin_α

三 -α -sin_α

四 π-α sin_α

五 π -α 2 cos_α

六 π +α 2 cos_α

余弦 正切 口诀 4.

cos_α tan_α

-cos_α tan_α 函数名不变 符号看象限

cos_α -tan_α

-cos_α -tan_α

sin_α

-sin_α

函数名改变 符号看象限

两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (Cα-β)

cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β (Cα+β) sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β tan α-tan β tan(α-β)= (Tα-β) 1+tan αtan β tan α+tan β tan(α+β)= (Tα+β) 1-tan αtan β 5. 二倍角公式 sin 2α=2sin_αcos_α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α tan 2α= . 1-tan2α 6. 在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变 形用等.如 Tα±β 可变形为 tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β), tan α+tan β tan α-tan β tan αtan β=1- = -1. tan?α+β? tan?α-β? b 7. 函数 f(x)=asin α+bcos α(a, b 为常数), 可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ)(其中 tan φ= ) a a 或 f(α)= a2+b2cos(α-φ)(其中 tan φ= ). b 8. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 π 3π 正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),( ,1),(π,0),( ,- 2 2 1),(2π,0). π 3π 余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),( ,0),(π,-1),( , 2 2 0),(2π,1). 9. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x (Sα-β) (Sα+β)

图象

定义域

R [-1,1] π π [- +2kπ, + 2 2

R [-1,1] [-π+2kπ, 2kπ](k∈Z)上递增; [2kπ,π+2kπ](k∈Z) 上递减

π {x|x∈R 且 x≠ + 2 kπ,k∈Z}

值域

R

单调性

2kπ](k∈Z)上递增; π 3π [ +2kπ, + 2 2 2kπ](k∈Z)上递减

π π (- +kπ, + 2 2 kπ)(k∈Z)上递增

π x= +2kπ(k∈Z)时, 2 x=2kπ(k∈Z)时, 最值 ymax=1; π x=- +2kπ(k∈Z) 2 时,ymin=-1 奇偶性 奇函数 (kπ,0)(k∈Z) π x= +kπ 2 (k∈Z) 2π 2π π ymax=1; x=π+2kπ(k∈Z) 时,ymin=-1 偶函数 π ( +kπ,0) 2 (k∈Z) 对称轴 方程 周期 10. ]x=kπ(k∈Z) 奇函数 kπ ( ,0)(k∈Z) 2

对称中心

y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0),x∈[0,+∞) 振幅 A 周期 2π T= ω 频率 1 ω f= = T 2π 相位 ωx+φ 初相 φ

11. 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点. 如下表所示. x 0-φ ω π -φ 2 ω π-φ ω 3π -φ 2 ω 2π-φ ω

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

0 0

π 2 A

π 0

3π 2 -A

2π 0

12. 函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下:

13.

正弦、余弦定理

在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 a b c = = =2R sin A sin B sin C (1)a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c =2Rsin_C; a b (2)sin A= ,sin B= ,sin C 2R 2R 变形 = c ; 2R b2+c2-a2 cos A= ; 2bc c2+a2-b2 cos B= ; 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos_A; 内容 b2=c2+a2-2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C

(3)a∶b∶c= sin_A∶sin_B∶sin_C; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A

1 1 1 abc 1 14. S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径), 并 2 2 2 4R 2 可由此计算 R、r. 15. 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角

图形 关系式 解的 个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a> b 一解

16. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方叫 仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).

(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等. (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 向量: 1. 1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 定义 既有大小又有方向的量; 向量的大小叫 做向量的长度(或称模) 长度为 0 的向量;其方向是任意的 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共 线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等, 不能比较大小 0 的相反向量为 0 0 与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作 0 a 非零向量 a 的单位向量为± |a|

(1)交换律:a+b 加法 求两个向量和的运算 =b+a. (2)结合 律:(a+b)+c=

a+(b+c).
求 a 与 b 的相反向量- 减法 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 法则 (1)|λa|=|λ||a|; (2)当 λ>0 求实数 λ 与向量 a 的积 的运算 时, λa 的方向与 a 的方 向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相 反;当 λ=0 时,λa=0 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. 4. 平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且 只有一对实数 λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
2 λa=(λx1,λy1),|a|= x2 1+y1.

三角形

a-b=a+(-b)

λ(μa)=(λμ)a;(λ +μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb

数乘

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 6.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b?x1y2-x2y1=0. 7. 平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内 积),记作 a· b=|a||b|cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为__0__. 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a· b=0,两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是

a· b=± |a||b|. 8.平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 9.平面向量数量积的重要性质 (1)e· a=a· e=|a|cos θ; (2)非零向量 a,b,a⊥b?a· b=0; (3)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|,a· a=a2,|a|= a· a; a· b (4)cos θ= ; |a||b| (5)|a· b|__≤__|a||b|. 10.平面向量数量积满足的运算律 (1)a· b=b· a(交换律); (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(λ 为实数); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 11.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2,由此得到 (1)若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2 或|a|= x2+y2. → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点间的距离|AB|=|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0. 12.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平 行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:a∥b?a=λb(b≠0) ?x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. (3)求夹角问题,利用夹角公式 x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2 (θ 为 a 与 b 的夹角). |a||b| x1+y1 x2+y2 13.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一个运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识 结合,当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到 关于该未知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的 综合问题. 数列:

1.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做这 个数列的通项公式.
? S1 ? 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,则 an=? ?Sn-Sn-1 ?

?n=1? ?n≥2?

.

2. 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫 做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示. 3.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d. 4 等差中项 a+b 如果 A= ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 2 5.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d,(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. 6.等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 或 Sn=na1+ d. 2 2 7 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d? d Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn(A、B 为常数). 8.等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最__大__值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最__小__值. 等比数列: 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数 列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q__表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1· qn 1.


3.等比中项

若 G2=a· b_(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· qn
-m

,(n,m∈N*).

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则 ak· al=am· an.
?1? ?an? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ?,{a2 bn},?b ?仍是等 n},{an· ? n? ? n?

比数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列, 其公比为__qn__. 数列求和: 1.求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d. 2 2 ②等比数列的前 n 项和公式 (Ⅰ)当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq (Ⅱ)当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和, 即等比数列求和公 式的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,

可采用两项合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+?+22-12=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5 050. 2.常见的裂项公式 (1) (2) (3) 1 1 1 = - ; n n?n+1? n+1 1 ? 1 1 1 - = ? ; ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? = n+1- n. n+ n+1 a+b 2 1

不等式: 1.基本不等式 ab≤

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). b a (2) + ≥2(a,b 同号). a b (3)ab≤? a+b?2 ? 2 ? (a,b∈R).

a2+b2 ?a+b?2 (4) ≥ 2 ? 2 ? (a,b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两 2 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和最小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4 立体几何: 1.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 表面积 S 表面积=S 侧+2S 底 S 表面积=S 侧+S 底 体积 V=Sh 1 V= Sh 3

台体(棱台和圆台)

S 表面积=S 侧+S 上+S 下

1 V= (S 上+S 下+ 3 S上S下)h

球 2.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形

S=4πR2

4 V= πR3 3

定理

性质

条件 结论

a∩α=? a∥α

a?α,b?α,a∥b b∥α

a∥α a∩α=?

a∥α,a?β,α∩β =b a∥b

3.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 图形 a?β, b?β, a∩b =P,a∥α,b∥α α∥β α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b α∥β, a? β a∥ α 定理

条件 结论 4 直线与平面垂直

α∩β=? α∥β

(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个 平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 5.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法.

②利用判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 解析几何 直线 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间 所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . ②倾斜角的范围为[0° ,180° ). (2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示, 即 k=tan_α,倾斜角是 90° 的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 y2-y1 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= . x2-x1 2.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0(A2 +B2≠0) 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用

3.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为 x=x1; (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为 y=y1; (3)若 x1=x2=0,且 y1≠y2 时,直线即为 y 轴,方程为 x=0; (4)若 x1≠x2,且 y1=y2=0 时,直线即为 x 轴,方程为 y=0. 4.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y),则

x ?x=x + 2 ? y +y ?y= 2
1 1

2

,此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.

2

5.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别为 k1、k2,则有 l1∥l2?k1=k2.特别地,当直线 l1、l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2 平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1,l2 斜率存在,设为 k1,k2,则 l1⊥l2?k1· k2=-1,当一条直线斜率为零, 另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直. 6.两直线相交 交点:直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 和 l2 : A2x + B2y + C2 = 0 的公共点的坐标与方程组
? ?A1x+B1y+C1=0 ? 的解一一对应. ? ?A2x+B2y+C2=0

相交?方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行?方程组无解; 重合?方程组有无数个解. 7.三种距离公式 (1)点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离: |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.

(2)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离: d= |Ax0+By0+C| . A2+B2 |C2-C1| A2+B2

(3)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 (C1≠C2)间的距离为 d= 圆: 1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 3.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径. 4.圆的一般方程

D E? x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0,其中圆心为? ?- 2 ,- 2?,半

径 r=

D2+E2-4F . 2

5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2. 7.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判 别式为 Δ. 方法 位置关系 相交 相切 相离 8.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2 (r2>0). 方法 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 椭圆: 几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 代数法: 两圆方程联立组成方程组的 解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解 几何法 d< r d=r d> r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0

1.椭圆的概念 在平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定 点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 + =1 (a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1 (a>b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 性质 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系

-a≤x≤a-b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b-a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

双曲线: 1.双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数 2a (2a<2c),则 点 P 的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0: (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 a=c 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 a>c 时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 - =1 标准方程 a2 b2 y2 x2 - =1 a2 b2

(a>0,b>0)

(a>0,b>0)

图形

范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R 对称轴:坐标轴 对称中心:原点

x∈R,y≤-a 或 y≥a

A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a y=± x y=± x a b c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲线的

实虚轴

虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的半实轴长,b 叫做双曲线的半虚 轴长

a、b、c 的关系 抛物线 1.抛物线的概念

c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛 物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 p x=- 2 x≥0,y∈R p x= 2 x≤0,y∈R p ? F? ?2,0? y=0 p ? F? ?-2,0?

O(0,0) x=0 p? F? ?0,2? e=1 p y=- 2 y≥0,x∈R p y= 2 y≤0,x∈R p? F? ?0,-2?

开口方向 概率:

向右

向左

向上

向下

1.随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件. (2)在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件. (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. (4)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S 的随机事件. (5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母 A,B,C?表示. 2.频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出 nA 现的次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. n (2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某 个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 3.事件的关系与运算 定义 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这 包含关系 时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于 事件 B) 相等关系 若 B?A 且 A?B 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 并事件(和事件) B 发生,称此事件为事件 A 与事件 B 的并 事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 交事件(积事件) B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的 交事件(或积事件) 互斥事件 若 A∩B 为不可能事件, 则称事件 A 与事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件, 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A∩B=? A∩B=?P(A∪B)= P(A)+P(B)=1 A∩B(或 AB) A∪B(或 A+B) A=B B?A(或 A?B) 符号表示

对立事件 4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(E)=1. (3)不可能事件的概率 P(F)=0. (4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件,则 P(A)=1-P(B). 古典概型: 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一 1 个基本事件的概率都是 ;如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 n m P(A)= . n 4.古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数 P(A)= . 基本事件的总数 几何概型: 1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2.几何概型中,事件 A 的概率的计算公式 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性. 4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的 近似值的方法就是模拟方法. (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步 骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数, 并赋予每个随机数一定的意义; ②统计 M 代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N;③计算频率 fn(A)= 作为所求 N 抽样方法; 1.系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. (1)先将总体的 N 个个体编号;

N N (2)确定分段间隔 k,对编号进行分段.当 (n 是样本容量)是整数时,取 k= ; n n (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l (l≤k); (4)按照一定的规则抽取样本.通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k),再加 k 得到第 3 个个体编号(l+2k),依次进行下去,直到获取整个样本. 2.分层抽样 (1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽 取一定数量的个体, 将各层取出的个体合在一起作为样本, 这种抽样方法叫做分层抽样. (2)分层抽样的应用范围: 当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样. 数字特征: 1.频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种,一种是用样本的频率分布估计总体的分 布,另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征. 频率 (2)在频率分布直方图中,纵轴表示 ,数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积 组距 表示,各小长方形的面积总和等于 1. (3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.随着样本容 量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率分布折线图就会越来越接近 于一条光滑的曲线,统计中称之为总体密度曲线,它能够更加精细的反映出总体在各个 范围内取值的百分比. (4)当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留所有信息,而且 可以随时记录,给数据的记录和表示都带来方便. 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据 的平均数)叫做这组数据的中位数. 1 平均数:样本数据的算术平均数,即 x = (x1+x2+?+xn). n 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (2)样本方差、标准差 1 标准差 s= [?x - x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2], n 1 其中 xn 是样本数据的第 n 项,n 是样本容量, x 是平均数. 标准差是反映总体波动大小的特征数,样本方差是标准差的平方.通常用样本方差估计 总体方差,当样本容量接近总体容量时,样本方差很接近总体方差. 算法:

1.算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 2.程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 通常程序框图由程序框和流程线组成, 一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤; 流程线带方向箭头,按照算法步骤的执行顺序将程序框连接起来. 3.三种基本逻辑结构 (1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结 构.

其结构形式为 (2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形 式. 其结构形式为

(3)循环结构是指从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况.反复执行的步 骤称为循环体.循环结构又分为当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型). 其结构形式为

复数: 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+bi (a,b∈R)的数叫做复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a +bi 为实数,若 b≠0,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴上 的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数.

(5)复数的模 → 向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作__|z|__或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= a2+b2. 2.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi (2)复数 z=a+bi 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ?a+bi??c-di? ④除法: = = z2 c+di ?c+di??c-di? ac+bd bc-ad = 2 2+ 2 i(c+di≠0). c +d c +d2 (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +z3=z1+(z2+z3). 复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R). → 平面向量OZ(a,b∈R).


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