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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.1 随机事件的概率课件 文


第十一章 概



§11.1 随机事件的概率

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1

.概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试 验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A) nA = n 为事件A出现的频率. (2) 对于给定的随机事件 A ,在相同条件下,随着试验次数的增加,事 件A发生的 频率 会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常 数来刻画随机事件A发生的可能性大小,并把这个 常数 称为随机事件A 的概率,记作P(A).
答案

2.事件的关系与运算
定义 包含关系 相等关系 并事件 (和事件) 如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称 事件B 包含 事件A(或称事件A包含于事件B) 若B?A且A?B 符号表示 B?A (或A?B) A=B

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发
生,称此事件为事件A与事件B的 并事件 (或 A∪B(或A+B)

和事件)
答案

交事件 (积事件)

若某事件发生当且仅当 事件A发生 且 事 件B发生,则称此事件为事件A与事件B的 交事件(或积事件) 若A∩B为不可能事件(A∩B=?),则称事 件A与事件B互斥 若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件, 那么称事件A与事件B互为对立事件

A∩B(或AB)

互斥事件

A∩B=?

对立事件

P(A)+P(B)=1

答案

3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: 0≤P(A)≤1 . (2)必然事件的概率P(E)= 1 . (3)不可能事件的概率P(F)= 0 . (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= P(A)+P(B) (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)= 1-P(B) .
答案

.

知识拓展

互斥事件与对立事件的区别与联系

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时
发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还

要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊
情况,而互斥事件未必是对立事件.

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的.( × ) (2)随机事件和随机试验是一回事.( × ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( × ) (5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( √ ) (6)两互斥事件的概率和为1.( × )

答案

2

考点自测
1. 一个人打靶时连续射击两次,事件 “ 至少有一次中靶 ” 的互斥事件 ④ 是________. ①至多有一次中靶 ③只有一次中靶 解析 ②两次都中靶 ④两次都不中靶

射击两次的结果有:一次中靶;两次中靶;两次都不中靶,故

至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶.

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2.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160 cm的概率 为 0.2 ,该同学的身高在 [160,175]( 单位: cm) 内的概率为 0.5 ,那么该 0.3 同学的身高超过175 cm的概率为________. 解析 因为必然事件发生的概率是1,

所以该同学的身高超过175 cm的概率为1-0.2-0.5=0.3.

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3.(2015· 湖北改编 ) 我国古代数学名著《数书九章》有 “ 米谷粒分 ” 题: 粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把, 169 数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为________ 石.
解析 28 因为样品中米内夹谷的比为254,

28 所以这批米内夹谷为 1 534×254≈169(石).

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解析答案

0 4.给出下列三个命题,其中正确的命题有________ 个. ①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次 品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率 3 是 ;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 7 解析 ①错,不一定是10件次品;

3 ②错,7是频率而非概率;

③错,频率不等于概率,这是两个不同的概念.

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5.(教材改编)袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则①恰有1 个红球和全是白球;②至少有1个红球和全是白球;③至少有1个红球 和至少有 2 个白球;④至少有 1 个白球和至少有 1 个红球 .在上述事件中,

② 是对立事件的为________. 解析 ①是互斥不对立的事件,

②是对立事件,

③④不是互斥事件.

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题型分类 深度剖析

题型一

事件关系的判断
某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件 A 为 “ 只订甲报

例1

纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”, 事件 D 为 “ 不订甲报纸 ” ,事件E 为 “ 一种报纸也不订 ”. 判断下列每 对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)A与C; 解 由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,

即事件A与事件C有可能同时发生,
故A与C不是互斥事件.
解析答案

(2)B与E; 解 事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能

同时发生的,故B与E是互斥事件. 由于事件B不发生可导致事件E一定发生,且事件E不发生会导致事件B 一定发生, 故B与E还是对立事件.

解析答案

(3)B与C; 解 事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只

订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”, 事件C“至多订一种报纸”中有这些可能:“一种报纸也不订”、“只 订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生, 故B与C不是互斥事件.

解析答案

(4)C与E. 解 由(3)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能,

即事件C与事件E有可能同时发生,

故C与E不是互斥事件.

思维升华

解析答案

跟踪训练1
判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件:某小组有 3名男生和2 名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中 ①恰有1名男生和恰有2名男生; 解 是互斥事件,不是对立事件.

“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,与“恰有2名 男生”不可能同时发生, 所以是互斥事件,不是对立事件.

解析答案

②至少有1名男生和至少有1名女生; 解 不是互斥事件,也不是对立事件.

“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生 ” 两 种结果, “至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生 ” 两 种结果, 它们可能同时发生.

解析答案

③至少有1名男生和全是女生. 解 是互斥事件且是对立事件. “至少有1名男生”,即“选出的2人不全是女生”, 它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件, 所以两个事件互斥且对立.

解析答案

题型二

随机事件的频率与概率
(2015· 北京)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、

例2

乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购
买,“×”表示未购买.

商品
顾客人数









100 217 200 300 85 98

√ × √ √ √ ×

× √ √ × × √

√ × √ √ × ×

√ √ × × × ×

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;



从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了

乙和丙,
200 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为1 000=0.2.

解析答案

(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; 解 从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买

了甲、丙、丁, 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 100+200 1 000 =0.3.

解析答案

(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可 能性最大? 解 与(1)同理,可得:
200 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为1 000=0.2,
100+200+300 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 = 0.6 , 1 000
100 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1 000=0.1.

所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
思维升华 解析答案

跟踪训练2
某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部 门对某批产品进行了抽样检测,检查结果如下表所示: 抽取球数n 优等品数m 优等品频率 m n 50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902

(1)计算表中乒乓球优等品的频率; m 解 依据公式 f= n ,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是
0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.

(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少? (结果保留到小数点后三位) 解 由(1)知,抽取的球数n不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取 球数的增多,频率在常数0.950的附近摆动, 所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
解析答案

题型三

互斥事件、对立事件的概率

命题点1 互斥事件的概率
例 3 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取

1 5 一球,得到红球的概率是3,得到黑球或黄球的概率是12,得到黄球或 5 绿球的概率也是12,试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少?

解析答案

命题点2 对立事件的概率
例4 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C);
解 1 10 1 50 1 P(A)=1 000,P(B)=1 000=100,P(C)=1 000=20.

1 1 1 故事件 A,B,C 的概率分别为1 000,100,20.

解析答案

(2)1张奖券的中奖概率; 解 1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.

设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C. ∵A、B、C两两互斥,
1+10+50 61 ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 1 000 =1 000.
61 故 1 张奖券的中奖概率为1 000.

解析答案

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 解 设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,

则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
? ? ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-?1 ?

1 1 ? 989 ? =1 000. 000+100? ?

989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1 000.

思维升华

解析答案

跟踪训练3
国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩,正在加紧备战, 经过近期训练,某队员射击一次命中7~10环的概率如下表所示: 命中环数 10环 9环 8环 7环

概率

0.32

0.28

0.18

0.12

求该射击队员射击一次:
(1)射中9环或10环的概率;

(2)命中不足8环的概率.
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思想与方法系列

思想与方法系列

21.用正难则反思想求互斥事件的概率

典例

(14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一

名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上

顾客数(人)
结算时间(分钟/人)

x
1

30
1.5

25
2

y
2.5

10
3

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率)
思维点拨 解析答案 温馨提醒 易错提示 返回

思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率 fn(A) 随着试验次数的 增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 2.从集合角度理解互斥事件和对立事件

从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组
成的集合彼此的交集为空集,事件A的对立事件

A 合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

所含的结果组成的集

失误与防范

1. 正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互 斥事件中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件, “ 互斥 ” 是 “对立”的必要不充分条件.

2. 需 准 确 理 解 题 意 , 特 别 留 心 “ 至 多 ??”“ 至 少 ??”“ 不 少
于??”等语句的含义.

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练出高分

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1.下列命题:①将一枚硬币抛两次,设事件M:“两次出现正面”,事

件N:“只有一次出现反面”,则事件M与N互为对立事件;②若事件
A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件;③若事件A与B为互斥事

件,则事件A与B互为对立事件;④若事件A与B互为对立事件,则事件
A∪B为必然事件,其中,真命题是________.

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2.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 1 12 7,都是白子的概率是35,则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 17 ________. 35 解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,

“从中取出2粒都是白子”为事件B,
“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C, 则C=A∪B,且事件A与B互斥. 1 12 17 所以 P(C)=P(A)+P(B)=7+35=35.

17 即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为35.

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3. 从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A = { 抽到一等品 } ,事件 B = { 抽到二等品 } ,事件 C = { 抽到三等品 } ,且已知 P(A) = 0.65 , P(B) = 0.2 , P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_______. 0.35 解析 “抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,

∴所求概率=1-P(A)=0.35.

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4.从存放的号码分别为1,2,3,?,10的卡片的盒子中,有放回地取100 次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:

卡片号码
取到次数

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则取到号码为奇数的卡片的频率是________. 0.53 解析 取到号码为奇数的卡片的次数为:13+5+6+18+11=53,

53 则所求的频率为100=0.53.
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5.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频 率分布直方图.根据标准,产品长度在区间 [20,25)上的为一等品,在区 间[15,20)和[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概 率为________.

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6.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件: ①在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品; ②在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品;

③在这200件产品中任意选出9件,不全是二级品.
③ ② 是不可能事件; ________ ① 是随机 其中________ 是必然事件;________

事件.

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7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法 估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0到9之 间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中, 5,6,7,8,9,0表示不命中; 再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如 下20组随机数: 907 966 431 257 191 925 271 393 027 556 932 812 458 488 730 113 569 683 537 989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
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8.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,
5 4 (4,3] P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是__________.
解析
? ?0<P?A?<1, ? 由题意可知?0<P?B?<1, ? ? ?P?A?+P?B?≤1 ? ?0<2-a<1, ? ??0<4a-5<1 ? ? ?3a-3≤1



? ?1<a<2, ?5 ? <a<3, ??4 2 ? 4 ? a≤3 ? ?

5 4 ?4<a≤3.
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9.(2014· 陕西 ) 某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽 样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1 000 130 2 000 100 3 000 150 4 000 120

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(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;



设A表示事件“赔付金额为3 000元”,

B表示事件“赔付金额为4 000元”,

以频率估计概率得
150 120 P(A)=1 000=0.15,P(B)=1 000=0.12.

由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
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(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样 本车辆中,车主是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获 赔金额为4 000元的概率. 解 设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”, 由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆), 而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),
24 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为100=0.24,

由频率估计概率得P(C)=0.24.
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10. 从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量其身高,被测学生身高 全部介于155 cm和195 cm之间,将测量结果按如下方式分组:第一组 [155,160) ,第二组 [160,165) , … ,第八组 [190,195] ,如图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数 相同,第六组的人数为4.

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(1)求第七组的频率;
解 4 第六组的频率为50=0.08,

所以第七组的频率为
1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06.

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(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm) 的人数;

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(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记 他们的身高分别为x,y,事件E={|x-y|≤5},事件F={|x-y|>15},求 P(E∪F).

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11. 在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A , B , C , D 的概率分别是 0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是___________. ①A+B与C是互斥事件,也是对立事件; ②B+C与D是互斥事件,也是对立事件; ③A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件; ④A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件.

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12.如图所示,茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评 中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙 的平均成绩的概率为________.

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4 1 13.若 A,B 互为对立事件,其概率分别为 P(A)= x,P(B)=y ,且 x>0,

9 y>0,则 x+y 的最小值为________.
解析 4 1 由题意可知x +y =1,

4 1 4y x 则 x+y=(x+y)( x +y )=5+( x +y)≥9,
4y x 当且仅当 x =y,即 x=2y 时等号成立.
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14.如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机 抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果 如下: 所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60

选择L1的人数
选择L2的人数

6
0

12
4

18
16

12
16

12
4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; 解 由已知共调查了100人,

其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),

故用频率估计相应的概率为0.44.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; 解 选择L1的有60人,选择L2的有40人,

故由调查结果得频率为 所用时间/分钟 L1的频率 10~20 0.1 20~30 0.2 30~40 0.3 40~50 0.2 50~60 0.2

L2的频率

0

0.1

0.4

0.4

0.1
解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽 最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何 选择各自的路径. 解 设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站; B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站. 由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1; 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.
解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

15.(2015· 陕西 ) 随机抽取一个年份,对西安市该年 4 月份的天气情况进 行统计,结果如下:

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率; 解 在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,

以频率估计概率,4月份任选一天,
26 13 西安市不下雨的概率为 P=30=15.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续 2天的运动会,估 计运动会期间不下雨的概率. 解 称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等), 这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不 下雨的有14个,
7 所以晴天的次日不下雨的频率为8,
7 以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为8.
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