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2015最新高考数学解题技巧大揭秘 专题21 数学思想在解题中的应用(一)


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专题二十一 问题数学思想在解题中的应用(一)

1? 2 2 1.设平面点集 A={(x,y)|(y-x)? ?y-x?≥0},B={(x,y)|(x-1) +(y-1) ≤1},则 A∩B 所表示的平面图形 的面积为( 3 A. π 4 ). 3 B. π 5 4 C. π 7 π D. 2

答案

: D

[数形结合,画出图象,可知集合 B 表示的是一个圆面,集合 A 表示的图形在圆(x-1)2+(y-1)2

π =1 内的部分正好是圆面积的一半,因此 A∩B 所表示的平面图形的面积是 ,选 D.] 2 x2 y2 3a 2.设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的 a b 2 等腰三角形,则 E 的离心率为( A. 1 2 2 B. 3 C. 3 4 4 D. 5 ).

3 3 ? 答案:C [由题意可得|PF2|=|F1F2|,∴2? ?2a-c?=2c,∴3a=4c,∴e=4.]

x-y≤10, ? ? 3.设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, 则 2x+3y 的最大值为( ? ?0≤y≤15, A.20 B.35 C.45 D.55

).

答案:D

[根据不等式组确定平面区域,再平移目标函数求最大值.作出不等式组对应的平面区域 (如图所

2 示),平移直线 y=- x,易知直线经过可行域上的点 A(5,15)时,2x+3y 取得最大值 55,故选择 D.] 3 4.过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|= 解析 1? 设过抛物线焦点的直线为 y=k? ?x-2?, 25 ,|AF|<|BF|,则|AF|=________. 12

2 ? ?y =2x, 1 联立得? 整理得 k2x2-(k2+2)x+ k2=0, 1? 4 ? ?y=k?x-2?, ?

x1+x2=

k2+2 1 ,x1x2= . k2 4

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k2+2 25 1 1 |AB|=x1+x2+1= 2 +1= ,得 k2=24 代入 k2x2-(k2+2)x+ k2=0 得 12x2-13x+3=0,解之得 x1= , k 12 4 3 3 1 5 x2= ,又|AF|<|BF|,故|AF|=x1+ = . 4 2 6 答案 5 6

1.函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查一直是高考的重点内容之一.高考试题中, 既有灵活多变的客观性小题,又有一定能力要求的主观性大题,难度有易有难,可以说是贯穿了数学高考整份试 卷,高考中所占比重比较大. 2.数形结合思想的考查常以数学概念、数学式的几何意义、函数图象、解析几何等为载体,多数以选择题、 填空题出现,难度中等.

( 1)对于函数与方程思想,在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数与方程的 相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键. (2)在运用数形结合思想分析问题时, 要注意三点: ①理解一些概念与运算法则的几何意义以及曲线的代数特 征,对题目中的条件和结论既分析其几何意义,又分析其代数意义;②恰当设参、合理用参,建立关系,由形思 数,以数想形,做好数形转化;③确定参数的取值范围,参数的范围决定图形的范围.

必备知识 函数与方程思想 (1) 函数思想就是用运动和变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,并

通过函数形式建立函数关系,然后利用函数有关的知识(定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称 性、图象、导数)使问题得以解决.函数思想贯穿于高中数学教学的始终,不仅在函数各章的学习,而且在研究 方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时也起着十分重要的作用. (2) 方 程 的 思 想 , 是 分 析 数 学 问 题 中 变 量 间 的 等 量 关 系 , 从 而 建 立 方 程 或 方 程 组 , 通 过 解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.在实 际问题的解决过程中,函数、方程、不等式等常常互相转化.因此,函数与方程的思想是高考考查的重点知识. 数形结合思想 (1)数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方 法.数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问 题具体化,能够变抽象思维为形象 思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学规律性与灵活性的有机结合.
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(2)数形结合的思想方法应用广泛,如解方程、不等式问题,求函数的值域、最值问题、三角函数问题,运用 数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程. 必备方法 1.在高中数学的各个部分,都有一些公式和定理,这些公式和定理本身就是方程,如等差数列的通项公式、 余弦定理、解析几何的弦长公式等,当试题与这些问题有关时,就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求 解需要的量. 2.函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不等式 f(x)>0,借助于函数图象 与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式. 3.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都 实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过形分析这些数量关系,达到解题的目 的.

构造函数、利用函数性质解决有 关问题

[来源:21 世纪教育网]

函数思想, 不仅是利用函数的方法来研究解决有关函数问题, 更重要的是运用函数的观点去分析、 解决问题, 它的精髓是通过建立函数关系或构造函数,再运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解 决. 【例 1】设 f(x)=ln(x+1)+ (1)求 a,b 的值; (2)证明:当 0<x<2 时,f(x)< [审题视点] 9x . x+6 3 x+1+ax+b(a,b∈R,a,b 为常数),曲线 y=f(x)与直线 y= x 在(0,0)点相切. 2

[听课记录] [审题视点] (1)应用导数研究函数性质;(2)应用导数研究函数性质,并且结合放缩法的应用. (1)解 由 y=f(x)过(0,0)点,得 b=-1. 1 x +1 +a?| = =3+a,得 a=0. ?x 0 2 ?

? 1 3 由 y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为 ,又 y′|x=0=?x+1+ 2 2 ?
(2)证明 由均值不等式,当 x>0 时,

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2

?x+1?· 1<x+1+1=x+2,故 9x x+6 ,则 1 x+1 54 ?x+6?2 54 ?x+6?2

x x+1< +1. 2

记 h(x)=f(x)-

1 h ′( x ) = + x +1 2 2+ x+1





2?x+1? x+6





54 - 4?x+1? ?x+6?2

?x+6?3-216?x+1? = . 4?x+1??x+6?2 令 g(x)=(x+6)3-216(x+1), 则当 0<x<2 时,g′(x)=3(x+6)2-216<0. 因此 g(x)在(0,2)内是递减函数,又由 g(0)=0,得 g(x)<0,所以 h′(x)<0. 因此 h(x)在(0,2)内是递减函数,又 h(0)=0,得 h(x)<0. 9x 于是当 0<x<2 时,f(x)< . x+6 根据所证不等式的结构特征构造相应的函数,研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键,本 题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中,而是具体问题具体分析,使问题得解,体现了导数的 工具性以及函数、方程的数学思想. 1 ? 1 1 【突破训练 1】 证明:对任意的正整数 n,不等式 ln? ?n+1?>n2-n3都成立. 证明 令 f(x)=x3-x2+ln(x+1),则 f′(x)= 3x3+?x-1?2 在(0,1]上恒正. x+1

∴f(x)在(0,1]上单调递增,当 x∈(0,1]时,有 x3-x2+ln(x+1)>0,即 ln(x+1)>x2-x3,对任意正整数 n,取 1 1 ? 1 1 x= ∈(0,1],得 ln? ?n+1?>n2-n3. n 利用方程思想构造方程解决有 关问题 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,用到最多的是方程思想,即列方程组,通过判别式、根与系数的关 系来研究方程解的情况进一步研究直线与圆锥曲线的关系,同时处理范围与最值问题时也要用到函数思想.

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1 【例 2】在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C:x2+y2-4x+2=0 2 的圆心. (1)求椭圆 E 的方程; 1 (2)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 的直线 l1,l2 .当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求 P 的坐标. 2 [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)将圆的一般方程化为标准方程,然后根据条件列出关于 a,b,c,e 的方程,解方程(组)即可; (2)设出点 P 的坐标及直线方程,根据直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,构造一元二次方程,利用根 与系数的关系及 P 在椭圆上列出方程组,求解得 P 点的坐标. 解 x2 y2 (1)由 x2+y2-4x+2=0 得(x-2 )2+y2=2,故圆 C 的圆心为点(2,0).从而可设椭圆 E 的方程为 2+ 2= a b

c 1 x2 y2 1(a>b>0),其焦距为 2c.由题设知 c=2,e= = .所以 a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆 E 的方程为 + =1. a 2 16 12 (2)设点 P 的坐标为(x0,y0),l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则 l1,l2 的方程分别为 l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y |2k1+y0-k1x0| 1 -y0=k2(x-x0),且 k1k2= ,由 l1 与圆 C:(x-2)2+y2=2 相切得 = 2 k2 1+1
2 即[(2-x0)2-2]k2 1+2(2-x0)y0k1+y0-2=0. 2 同理可得[(2-x0)2-2]k2 2+2(2-x0)y0k2+y0-2=0.

2,

从而 k1,k2 是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y2 0-2=0 的两个实根,于是
2 ? ??2-x0? -2≠0, ? ① 2 2 ?Δ=8[?2-x0? +y0-2]>0, ?

且 k1k2= x2 0

y2 1 0-2 = . ?2-x0?2-2 2 y2 0

?16+12=1, 由? y -2 1 ??2-x ? -2=2
2 0 0 2

得 5x2 0-8x0-36=0,

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解得 x0=-2,或 x0=

18 . 5

18 57 由 x0=-2 得 y0=± 3;由 x0= 得 y0=± ,它们均满足①式. 5 5 故点 P 的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或? 18 57? 57? ?18 ? 5 , 5 ?,或? 5 ,- 5 ?.

直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想, 在解决解析几何问题时常常用到函数与 方程的思想.

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x2 y2 【突破训练 2】如图,F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直 a b 线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60° .

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 解 3,求 a,b 的值.
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(1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,

1 所以 e= . 2 (2)法一 a2=4c2,b2=3c2,

直线 AB 的方程可为 y=- 3(x-c). 8 3 3 ? 将其代入椭圆方程 3x2+4y2=12c2,得 B? c,- c . 5 ? ?5 所以|AB|=

?8c-0?=16c. 1+3· ?5 ? 5

1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|· |AB| sin∠F1AB= a· c· = a =40 3,解得 a=10,b=5 3. 2 2 5 2 5 法二 设|AB|=t.

因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t. 8 再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60° 可得,t= a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a· a· = a =40 3知,a=10,b=5 3. 2 5 2 5

利用数形结合讨论方程的根 讨论方程的解可构造两个函数,使求方程的解的问题转化为讨论两曲线交点的问题,但用图象法讨论方程的 解,一定要注意图象的精确性、全面性.
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1?x 【例 3】? 方程? ?2? -sin x=0 在区间[0,2π]上的实根个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
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).

[审题视点]

[听课记录] 答案: B 1?x ?1?x [方程? ?2? - sin x=0 在区间[0,2π]上解的个数,可以转化为两函数 y= ?2? 与 y=sin x 交点的个

数.根据右面图象可得交点个数为 2,即方程解的个数为 2.故选 B.] 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种 重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变 形转化为两熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
2 ? ?x +bx+c,x≤0, ? 【突破训练 3】设函数 f(x)= 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解 ?2,x>0. ?

的个数为( A.1

). B.2 C.3 D.4

【突破训练 3】 C [?

?f?-4?=f?0?, ? ? ?f?-2?=-2

?

? ? ?16-4b+c=c, ? b =4 , ?? ? ?4-2b+c=-2 ? ? ?c=2.
∴f(x)=x2+4x+2,x≤0,这个函数的图象如图所示:可知直线 y=x 与 f(x)的图象有三个交点,选 C.] 利用数形结合求参数?参数范围?、 或求最值 在解含有参数的不等式时,由于涉及到参数,往往需要讨论,导致演算过程繁琐冗长.如果题设与几何图形 有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决. 【例 4】不等式|x+3|-|x-1|≤ a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-1]∪[4,+∞) C.[1,2] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) ).

D.(-∞,1]∪[2,+∞)

[审题视点]

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[听课记录] [审题视点] 去掉绝对值化为分段函数,画出函数图象找到这个函数的最大值再求解.
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答案:A

-4?x<-3?, ? ? [f(x)=|x+3|-|x-1|=?2x+2?-3≤x<1?, ? ?4?x>1?.

画出函数 f(x)的图象,如图,可以看出函数 f(x)的

最大值为 4,故只要 a2-3a≥4 即可,解得 a≤-1 或 a≥4.选项为 A.] 本题的知识背景涉及函数、不等式、绝对值等,“题目中的某些部分都可以使用图形”表示,在 解题时我们就是把这些可以用图形表示的部分用图形表示出来,借助于图形的直观获得了解决问题的方法,这就 是以形助数,是数形结合中的一个主要方面.在解答选择题的过程中,可以先根据题意,做出草图,然后参照图 形的作法、形状、位置、性质,并综合图象的特征得出结论.
? ?g?x?+x+4,x<g?x?, 【 突 破 训 练 4 】 设 函 数 g(x) = x2 - 2(x ∈ R) . f(x) = ? ?g?x?-x,x≥g?x?, ?

则 f(x) 的 值 域 是

(

). 9 ? A.? ?-4,0?∪(1,+∞) 9 ? C.? ?-4,+∞? B.[0,+∞) 9 ? D.? ?-4,0?∪(2,+∞)

2 ? ?x +x+2,x<g?x?, 答案: D [由题意知 f(x)=? ?x2-x-2,x≥g?x?, ?

?x2+x+2,x∈?-∞,-1?∪?2,+∞?, ? =? ?x2-x-2,x∈[-1,2], ?

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? ?? ?x+2? +4,x∈?-∞,-1?∪?2,+∞?, =? 1? 9 ?? ?x-2? -4,x∈[-1,2].
2

1

7

2

所以结合图形,可得当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f(x)的值域为(2,+∞);当 x∈[-1,2]时,f(x)的值域为

?-9,0?.故选 D.] ? 4 ?

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突破数形结合思想缺失的障碍 解答函数试题,很多 时候函数图象是隐形的,即在试题中没有出现函数图象,在答题中一般也不要画出函数 图象,但在寻找解题思路时必须借助于函数图象,这就是数形结合思想的深刻体现,而很多学生常常在解题中对 这种隐形的数形结合意识不到,导致解题错误. 【示例】已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围. [满分解答] (1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),

当 a<0 时,对任意的 x∈R,有 f′(x)>0,此时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,由 f′(x)>0 解得 x<- a或 x> a,由 f′(x)<0 解得- a<x< a, 故当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,- a),( a,+∞);f(x)的单调减区间为(- a, a).(4 分) (2)因为 f(x)在 x=-1 处取得极值,所以 f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.(6 分) 所以 f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,由 f′(x)=0 解得 x1=-1,x2=1.

由(1)中 f(x)的单调性可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3.因为直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合 f(x)的单调性画出图象(如图所示)可知,m 的取值范围是(- 3,1).(12 分) 老师叮咛:解答本题的关键是数形结合,但前提必须是利用导数把函数的性质研究透彻,根据函数的性质把 函数图 象的大致形态勾画出来,根据数形结合思想找到实数 m 所满足的条件,再进行严格的推理论证. 【试一试】设函数 f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们在 x=1 处的切线互相平行. (1)求 b 的值;
? ?f?x?,x≤0, (2 )若函数 F(x)=? 且方程 F(x)=a2 有且仅有四个解,求实数 a 的取值范围. ?g?x?,x>0, ?



函数 g(x)=bx2-ln x 的定义域为(0,+∞).

(1)f′(x)=3ax2-3a?f′(1)=0,

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1 g′(x)=2bx- ?g′(1)=2b-1, x 1 依题意 2b-1=0,所以 b= . 2 1 (2)x∈(0,1)时,g′(x)=x- <0, x 1 x∈(1,+∞)时,g′(x)=x- >0, x 1 所以当 x=1 时,g(x)取极小值 g(1)= ; 2 当 a=0 时,方程 F(x)=a2 不可能有四个解; 当 a<0 时,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0, x∈(-1,0)时,f′(x)>0, 所以 x=-1 时,f(x)取得极小值 f(-1)=2a, 又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如下:

从图象可以看出 F(x)=a2 不可能有四个解. 当 a>0 时,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,x∈(-1,0)时,f′(x)<0, 所以 x=-1 时,f(x)取得极大值 f(-1)=2a. 又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如下:

1 2 从图象看出方程 F(x)=a2 有四个解,则 <a2<2a,所以实数 a 的取值范围是? ,2?. 2 2 ? ?

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