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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式 新人教A版


4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础巩固强化 1.已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=π ,则 cos(a2+a8)的值为( 1 A.- 2 C. 1 2 B.- D. 3 2 3 2 )

[答案] A π [解析] 由条件知,π =a1+a5+a9=3a5,∴a5= , 3 2π π 1 ∴cos(a2+a8)=cos2a5=cos =-cos =- ,故选 A. 3 3 2 3 2.(文)(2012·大纲全国文)已知 α 为第二象限角,sinα = ,则 sin2α =( 5 24 A.- 25 C. 12 25 12 B.- 25 D. 24 25 )

[答案] A 3 π [解析] 此题是给值求值题,考查基本关系式、二倍角公式.∵sinα = ,α ∈( , 5 2 π ),∴cosα =- 1-? 3 ? 5
2

4 3 4 24 =- ,∴sin2α =2sinα cosα =2× ×(- )=- . 5 5 5 25

[点评] 使用同角基本关系式求值时要注意角的范围. (理)(2011·河北石家庄一模)已知 α ∈(0,π ),且 sinα +cosα = cosα 的值为( A.- 2 ) B.- 6 2 6 2 2 ,则 sinα - 2

C. 2 [答案] D [解析] ∵sinα +cosα = ∴

D.

2 2 ,0< <1,0<α <π , 2 2

π <α <π ,∴sinα -cosα >0. 2

1

1 2 ∴(sinα +cosα ) =1+2sinα cosα = , 2 1 ∴2sinα cosα =- ; 2 3 2 ∴(sinα -cosα ) =1-2sinα cosα = , 2 ∴sinα -cosα = 6 . 2

1 3.(文)已知角 α 的终边经过点 P(sin2θ ,sin4θ ),且 cosθ = ,则 α 的正切值为 2 ( ) 1 A.- 2 C. 1 2 B.-1 D.1

[答案] B sin4θ 2sin2θ ·cos2θ [解析] tanα = = =2cos2θ sin2θ sin2θ 1 2 =2(2cos θ -1)=2(2× -1)=-1,故选 B. 4 ( 理 )已知 向量 a = (tanα ,1), b =( 3 , - 1) ,α ∈(π , 2π )且 a ∥ b , 则点

? ?π ? ? P?cos? +α ?,sin? π -α ? ?在( ? ?2 ? ?
A.第一象限 C.第三象限 [答案] D

) B.第二象限 D.第四象限

[解析] ∵a∥b,∴tanα =- 3, 5π ∵α ∈(π ,2π ),∴α = , 3 13π π ?π ? ∴cos? +α ?=cos =cos >0, 6 6 ?2 ? 2π ? 2π ? sin(π -α )=sin?- ?=-sin <0, 3 ? 3 ? ∴点 P 在第四象限. 4.(2011·绵阳二诊、长春模拟)已知 tanθ >1,且 sinθ +cosθ <0,则 cosθ 的取值 范围是( A.(- ) 2 ,0) 2 B.(-1,- 2 ) 2
2

C.(0,

2 ) 2

D.(

2 ,1) 2

[答案] A 5π 3π [解析] 如图, 依题意结合三角函数线进行分析可知, kπ + <θ <2kπ + , ∈Z, 2 k 4 2 因此- 2 <cosθ <0.选 A. 2

5.已知 tan140°=k,则 sin140°=( A.

) B. 1 1+k
2

k
1+k
2

C.-

k
1+k
2

D.-

1 1+k
2

[答案] C [解析] k=tan140°=tan(180°-40°)=-tan40°, ∴tan40°=-k,∴k<0,sin40°=-kcos40°, sin140°=sin(180°-40°)=sin40°, ∵sin 40°+cos 40°=1,∴k cos 40°+cos 40°=1, ∴cos40°= 1
2 2 2 2 2

k +1

2

,∴sin40°=

-k

k2+1

.

π? π ? 6.(文)(2011·重庆诊断)已知 2tanα ·sinα =3,- <α <0,则 cos?α - ?的值是 6? 2 ? ( ) A.0 C.1 [答案] A 2sin α [解析] ∵2tanα sinα =3,∴ =3, cosα
2

B. D.

3 2 1 2

3



2?

1-cos α ? 2 =3,∴2cos α +3cosα -2=0, cosα

2

1 ∵|cosα |≤1,∴cosα = , 2 π? π 3 ? ∵- <α <0,∴sinα =- ,∴cos?α - ? 6? 2 2 ? π π 1 3 3 1 =cosα cos +sinα sin = × - × =0. 6 6 2 2 2 2 (理)(2012·广东六校联考) 3 2 sin? -250°? cos70° 的值为( 2 2 cos 155°-sin 25° 1 B.- 2 D. 3 2 )

A.- C. 1 2

[答案] C -sin? [解析] 原式= = 270°-20°? cos? 90°-20°? 2 2 cos 25°-sin 25°

cos20°sin20° sin40° cos50° 1 = = = ,故选 C. cos50° 2cos50° 2cos50° 2

1 π 7. (文)(2011·山东烟台模拟)若 sin(π +α )= , ∈(- , 则 tanα =________. α 0), 2 2 [答案] - 3 3

1 [解析] 由已知得 sinα =- , 2 π 3 2 又 α ∈(- ,0),所以 cosα = 1-sin α = , 2 2 sinα 3 因此 tanα = =- . cosα 3 (理)(2011·盐城模拟)已知 cos( ________. 2 2 [答案] - 3 π 7π 5π π [解析] ∵-π <α <- ,∴- < +α <- , 2 12 12 12 5π 1 5π 2 2 ∵cos( +α )= ,∴sin( +α )=- , 12 3 12 3 5π 1 π π +α )= ,且-π <α <- ,则 cos( -α )= 12 3 2 12

4

π π 5π ∴cos( -α )=cos[ -( +α )] 12 2 12 5π 2 2 =sin( +α )=- . 12 3 π 8.已知向量 a=(cosα ,-2),b=(sinα ,1),且 a∥b,则 tan(α - )=________. 4 [答案] -3 1 [解析] ∵a∥b,∴cosα +2sinα =0,∴tanα =- , 2 1 - -1 2 π tanα -1 ∴tan(α - )= = =-3. 4 1+tanα 1 1- 2 2tan70° 9.设 a= ,b= 2 1+tan 70° 用“<”号连接起来________. [答案] b<c<a 2tan70° 2sin70°cos70° [解析] a= = =sin140°, 2 2 2 1+tan 70° cos 70°+sin 70° 1+cos109° 3 1 ,c= cos81°+ sin99°,将 a、b、c 2 2 2

b=

1+cos109° = 2

1-cos71° =sin142°, 2

c=sin60°cos81°+cos60°sin81°=sin141°,
∵y=sinx 在(90°,180°)内单调递减,∴a>c>b. 10.(文)已知三点:A(4,0),B(0,4),C(3cosα ,3sinα ). → → (1)若 α ∈(-π ,0),且|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin α +sin2α → → (2)若AC·BC=0,求 的值. 1+tanα → → [解析] (1)由题得AC=(3cosα -4,3sinα ),BC=(3cosα ,3sinα -4), → → 2 2 2 2 由|AC|=|BC|得,(3cosα -4) +9sin α =9cos α +(3sinα -4) ? sinα =cosα , ∵α ∈(-π ,0),∴α =- 3π . 4
2

→ → (2)由AC·BC=0 得,3cosα (3cosα -4)+3sinα (3sinα -4)=0, 3 7 解得 sinα +cosα = ,两边平方得 2sinα cosα =- , 4 16 ∴ 2sin α +sin2α 2sin α +2sinα cosα 7 = =2sinα cosα =- . 1+tanα sinα 16 1+ cosα
5
2 2

π π (理)已知 tan(α + )=2,α ∈(0, ). 4 2 (1)求 tanα 的值; 4π (2)求 sin(2α + )的值. 3 π tanα +1 π tanα +1 [解析] (1)∵tan(α + )= ,tan(α + )=2,∴ =2.解得 tanα 4 1-tanα 4 1-tanα 1 = . 3 1 π 10 3 10 (2)由 tanα = ,α ∈(0, ),可得 sinα = ,cosα = .因此 sin2α = 3 2 10 10 3 4 4π 4π 4π 2 2sinα cosα = ,cos2α =1-2sin α = ,sin(2α + )=sin2α cos +cos2α sin 5 5 3 3 3 3 1 4 3 -3-4 3 =- × - × = . 5 2 5 2 10 [点评]
2

1 2sinα cosα 2tanα 3 求第(2)问时,可由 tanα = 得,sin2α = 2 = = , 2 2 3 sin α +cos α tan α +1 5
2 2

cos α -sin α 1-tan α 4 4π cos2α = 2 = = ,再求 sin(2α + ). 2 2 cos α +sin α 1+tan α 5 3 能力拓展提升 11.(2013·浙江金华一中 12 月月考)△ABC 的内角 A 满足 tanA-sinA<0, A+cosA>0, sin 则角 A 的取值范围是( π A.(0, ) 4 π 3 C.( , π ) 2 4 [答案] C [解析] 由 tanA-sinA<0 及 A 为△ABC 的内角知,A 为钝角,排除 A、B;再由 sinA+ 3π cosA>0 知,A< ,排除 D,选 C. 4 π 2π [点评] ①可取特值检验,取 A= , ,排除 A、B、D; 3 3 ②可利用单位圆中的三角函数线求解. ) π π B.( , ) 4 2 3 D.( π ,π ) 4

6

12.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等比数列,且

a+c=3,tanB=
A. C. 7 4 7 2

7 ,则△ABC 的面积为( 3

) B. D. 5 4 5 2

[答案] A [解析] ∵a、b、c 成等比数列,∴b =ac, ∵tanB= 7 7 3 ,∴sinB= ,cosB= , 3 4 4
2 2 2 2

∵a+c=3,b =a +c -2accosB,∴ac=2, 1 7 ∴S△ABC= acsinB= . 2 4 4 13.(文)(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考)已知 cosα = ,α 5 π ∈(- ,0),则 sinα +cosα 等于( 4 A. 1 5 ) 1 B.- 5 D. 7 5

7 C.- 5 [答案] A 4 π [解析] 由于 cosα = ,α ∈(- ,0), 5 4

3 1 所以 sinα =- ,所以 sinα +cosα = ,故选 A. 5 5 (理)已知函数 f(x)=sinx-cosx 且 f ′(x)=2f(x),f ′(x)是 f(x)的导函数,则
7

1+sin x =( 2 cos x-sin2x 19 A.- 5 C. 11 3

2

) B. 19 5

11 D.- 3

[答案] A [解析] f ′(x)=cosx+sinx,∵f ′(x)=2f(x), 1+sin x 1+sin x ∴cosx +sinx =2(sinx -cosx),∴tanx =3,∴ = = 2 2 cos x-sin2x cos x-2sinxcosx 2sin x+cos x 2tan x+1 19 = =- . 2 cos x-2sinxcosx 1-2tanx 5
2 2 2 2 2

?2cosπ x, x≤2000 ? 3 14.已知函数 f(x)=? ?x-102, x>2000 ?
[答案] -1

,则 f[f(2014)]=________.

?2cosπ x, x≤2000 ? 3 [解析] 由 f(x)=? ?x-102, x>2000 ?
=2cos?

得,(2014)=2014-102=1912,(1912) f f

?π ×1912?=2cos(637π +π )=-2cosπ =-1,故 f[f(2014)]=-1. ? 3 3 ?3 ?

π 7 2 π π 15.已知 sin(A+ )= ,A∈( , ),求 cosA. 4 10 4 2 π π π π 3π [解析] 解法一:∵ <A< ,∴ <A+ < , 4 2 2 4 4 π 7 2 ∵sin(A+ )= , 4 10 π ∴cos(A+ )=- 4 1-sin ?
2

A+ ? =-

π 4

2 . 10

π π π π ∴cosA=cos[(A+ )- ]=cos(A+ )cos + 4 4 4 4 π π 2 2 7 2 2 3 sin(A+ )sin =- × + × = . 4 4 10 2 10 2 5 π 7 2 解法二:∵sin(A+ )= , 4 10 7 7 ∴sinA+cosA= ,∴sinA= -cosA, 5 5

8

14 49 2 2 2 代入 sin A+cos A=1 中得 2cos A- cosA+ =1, 5 25 ∵ π π 2 3 <A< ,∴0<cosA< ,∴cosA= . 4 2 2 5

16.(2011·潍坊质检)如图,以 Ox 为始边作角 α 与 β (0<β <α <π ),它们终边分别

? 3 4? 与单位圆相交于点 P,Q,已知点 P 的坐标为?- , ?. ? 5 5?

sin2α +cos2α +1 (1)求 的值; 1+tanα → → (2)若OP·OQ=0,求 sin(α +β ). 3 4 [解析] (1)由三角函数定义得 cosα =- ,sinα = , 5 5 2sinα cosα +2cos α 2cosα ? sinα +cosα ? ∴原式= = sinα sinα +cosα 1+ cosα cosα
2

? 3?2 18 2 =2cos α =2·?- ? = . ? 5? 25
π π → → (2)∵OP·OQ=0,∴α -β = ,∴β =α - , 2 2 π 3 ∴sinβ =sin(α - )=-cosα = , 2 5 π? 4 ? cosβ =cos?α - ?=sinα = . 2? 5 ? ∴sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ 4 4 ? 3? 3 7 = · +?- ?· = . 5 5 ? 5? 5 25

9

1.设 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+α ),其中 a,b,α ∈R,且 ab≠0,α ≠kπ (k∈Z).若 f(2011)=5,则 f(2014)等于( A.4 C.-5 [答案] C [解析] ∵f(2011)=asin(2011π +α )+bcos(2011π +α )=-asinα -bcosα =5, ∴asinα +bcosα =-5.∴f(2014)=asinα +bcosα =-5. 2.设 cos(-80°)=k,那么 tan100°=( A. C. 1-k
2

) B.3 D.5

) B.- D.- 1-k
2

k k
1-k
2

k k
1-k
2

[答案] B [解析] sin80°= 1-cos 80° = 1-cos ? -80°? = 1-k , sin80° 1-k 所以 tan100°=-tan80°=- =- . cos80° k 3.已知 sin10°=a,则 sin70°等于( A.1-2a C.1-a
2 2 2 2 2 2

) B.1+2a D.a -1
2 2

[答案] A [解析] 由题意可知,sin70°=cos20°=1-2sin 10°=1-2a ,故选 A. 4.下列关系式中正确的是( A.sin11°<cos10°<sin168° B.sin168°<sin11°<cos10° C.sin11°<sin168°<cos10° D.sin168°<cos10°<sin11° [答案] C [解析] ∵sin11°=cos79°,sin168°=cos78°, 又∵y=cosx 在[0°,90°]上单调递减, 90°>79°>78°>10°, ∴cos79°<cos78°<cos10°,
10
2 2

)

∴sin11°<sin168°<cos10°,选 C. π 3 1 5.(2012·银川第一次质检)已知 α ∈(0, ),sinα = ,则 +tan2α 的值为 2 5 cos2α ________. [答案] 7 4 7 sinα 2 2 [解析] 由题意知,cosα = 1-sin α = ,cos2α =1-2sin α = ,tanα = 5 25 cosα 3 2tanα 24 1 25 24 = ,tan2α = = ,因此 +tan2α = + =7. 2 4 1-tan α 7 cos2α 7 7 sin? kπ -α ? ·cos[? k-1? π -α ] 6.化简 =______(k∈Z). sin[? k+1? π +α ]·cos? kπ +α ? [答案] -1 [解析] 对 参 数 k 分 奇 数 、 偶 数 讨 论 . 当 k = 2n + 1(n ∈ Z) 时 , 原 式 =

sin? 2nπ +π -α ? ·cos? 2nπ -α ? sin? 2nπ +2π +α ? ·cos? 2nπ +π +α ? = sin? π -α ? ·cosα sinα ·cosα = =-1. sinα ·cos? π +α ? sinα ·? -cosα ?

当 k=2n(n∈Z)时,原式 = = sin? sin? 2nπ -α ? ·cos? 2nπ -π -α ? 2nπ +π +α ? ·cos? 2nπ +α ?

-sinα ·? -cosα ? =-1. -sinα ·cosα

sin? kπ -α ? ·cos[? k-1? π -α ] 所以 =-1. sin[? k+1? π +α ]·cos? kπ +α ?

11


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