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高一新课标人教版必修4公式总结复习指南


高一新课标人教版必修 4 公式总结复习指南
1. 注重基础和通性通法 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上,因为听懂了不一定会,会了不一定对,对了不一定美。即数学学习的 五种境界:听——懂——会——对——美。 3. 注重应用意识的培养 4.培养学习与反思的整合 在平时学习中要注意反思,只有这样才能使内容得到巩固,知识的得到拓展,能力得到提高,思维得

到优化,创 新能力得到真正的发展,希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯! 5.注重平时的听课效率 在这里我再一次强调听课要做到“五得” ? 听得懂 ? 想得通 ? 记得住 ? 说得出 ? 用得上 6. 注重思想方法的学习 “传授知识”是数学的一种境界,加上“能力培养”是稍高的境界,再加上“方法渗透”是较高的境界,而再 加上“提高修养(指数学文化和非智力引力的介入) ”则是最高境界。

基本三角函数 Ⅰ

?

? ?Ⅰ

? ? ? ?
2 2 2 2

? 2
? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅱ、Ⅳ ? Ⅱ、Ⅳ
? 终边落在 y 轴上的角的集合:

? ?Ⅱ ? ?Ⅲ ? ?Ⅳ
Ⅱ ? 终边落在 x 轴上的角的集合:

?? ? ? ??,? ? z?

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? , ? ? z ? ? 终边落在坐标轴上的角的集合: ?? ? ? ? , ? ? z ? 2 2 ? ? ? ?
l ? ? r

3 60度 ? 2? 弧度 1? ?

?

?
1 80 .

S ?

1 1 l r ? ? r2 2 2

弧度 1 80

1 弧度 ?

?



? 基本三角函数符号记 忆: “一全,二正弦,三切,四 余弦” 或者“一全正,二正弦,三两 切,四余弦”

1 80? ? ? 弧度

t a n c o? ?1 ? t

? ? ?倒数关系: S i n C s c ? 1
C o ?S e ? ? 1 s c

正六边形对角线上对应的三角函数之积为 1

tan2 ? ? 1 ? Sec2?
平方关系: Sin2? ? Cos 2? ? 1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方

1 ? Cot 2? ? Csc 2? 乘积关系: Sin? ? tan ?Cos ? , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积
Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等
Sin?? ? 2k? ? ? Sin? , k ? z Cos?? ? 2k? ? ? Cos? , k ? z t an?? ? 2k? ? ? t an? , k ? z

?

角?与角 ? ?关于x轴 对 称

C o ?? ? ? ? C o ? s s

S i ?? ? ? ? ? S i ? n n t a ?? ? ? ? ? t a n n ?
C o ?? ? ? ? ? ?C o ? s s t a ?? ? ? ? ? ? t a n n ?

?

角? ? ?与角?关于y轴对称

?? S i n ??? ? S i n ?

?

角? ? ?与角?关 于 原 点 对 S i n 称 ??

C o ?? ? ? ? ? ?C o ? s s t a ?? ? ? ? ? t a n n ?

? ? ? ? ?S i n ?

?角

?
2

? ?与角 ?关于 y ? x对称

?? ? Sin? ? ? ? ? Cos? 2 ? ? ?? ? Cos? ? ? ? ? Sin? ?2 ? ?? ? t an? ? ? ? ? cot? ?2 ?

?

tan ? ? 2Cot? ?

?? ? S i ?Cos? ? ? C o ? s Sinn ? ? ?

Sec ?Csc? ?? ? C o ? ? ? ? ? ?S i ? s n ?2 ? ?? ? t a ? ?? ? ? ?c o? n t ?2 ?

上述的诱导公式记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” Ⅳ 周期问题
y ? AS in??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? ACo s??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? AS in??x ? ? ? y ? ACo s??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0, T ? 2?

?

? 2? T ? ? ? T ? ? ? T ? ?
, , T ? T ?

y ? AS in??x ? ? ? ? b y ? ACo s??x ? ? ? ? b

, A ? 0,? ? 0, b ? 0 , A ? 0,? ? 0, b ? 0

2? 2?

?

?

y ? A t an??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

?

y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? A t an??x ? ? ? y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0,

? T? ? ? T? ?
T?

? ? ? T? ?

Ⅴ 性 质 定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性

三角函数的性质

y ? Sin x
R

y ? Cos x
R

?? 1,1?
2?
奇函数

?? 1,1?
2?
偶函数

? ?? ? ?2k? ? ? ,2k? ?, k ? z, 增函数 ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z, 增函数 ? ? ?2k? ,2k? ? ? ?, k ? z, 减函数 ? 3? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z, 减函数 ? ?

对称中心

?k? ,0?, k ? z
x ? k? ?
5 4

? ? ? ? k? ? ,0 ?, k ? z 2 ? ?
x ? k? , k ? z
5 4 3

对称轴

?
2

,k ? z

3

y
y
2


-π /2
-8

2

1
1

x
3π /2 O π /2 2 π
4 6

x
-8

-2π-6

-3π /2

-2π -6

-3π /2 -4



-2

-π /2

O

π /2

2

π

4

3π /2

6



8

-4



-2



8

-1

-1



-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

性 质 定义域

y ? tan x

y ? cot x

? ? ? ? x x ? ?? ? , ? ? z ? 2 ? ?
R

?x x ? ??,? ? z?
R

值 域 周期性 奇偶性 单调性

?
奇函数

?
奇函数

? ?? ? ? k? ? , k? ? ?, k ? z, 增函数 2 2? ?

?k? , k? ? ? ?, k ? z, 增函数
? ? ? ? k? ? ,0 ?, k ? z 2 ? ?

对称中心

?k? ,0?, k ? z

对称轴


10 8

无 y
y

6

图 像
-15 -10 -5

4

2

x -3π /2 -π -π /2 O π /2 π 3π /2 5
10 15

-2

0

x

-4

-6

-8

-10

?

怎样由y ? S i n变化为y ? A S i??x ? ? ? ? k x n
振幅变化: y ? Sinx



y ? ASinx 左右伸缩变化:
左右平移变化

y ? ASin?x
上下平移变化

y ? ASin(?x ? ? )

y ? ASin(?x ? ? ) ? k

Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量

a, a ? 0 , b, 如果有

?

?

一个实数 , 使得b ? ? a, a ? 0 , 则b与a是共线向量;反之如果与a是共线向量 ? b 那么又且只有一个实数 , 使得b ? ? a. ?
Ⅶ 线段的定比分点 点 P 分有向线段 P P 所成的比的定义式P P ? ? PP 1 2 1 2 . 线段定比分点坐标公式 线段定比分点向量公式

?

?

x?

x1 ? ?x2 1? ? y ? ?y 2 y? 1 1? ?

?

. OP ?

OP1 ? ? OP 2 1? ?
? 当? ?1时
线段中点向量公式

? 当? ?1时
线段中点坐标公式
x? x1 ? x2 2

y ? y2 y? 1 2

. OP ? OP1 ? OP 2 2



向量的一个定理的类似推广 向量共线定理:
b ? ?a

?a ? 0?

? 推广
平面向量基本定理:
? 其中e1 , e 2 为该平面内的两个 ? ? a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 , ? ? 不共线的向量 ? ? ?

? 推广
a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 ? ? 3 e3 ,
空间向量基本定理:

? 其中e1 , e 2 , e3为该空间内的三个? ? ? ? 不共面的向量 ? ? ?

Ⅸ一般地,设向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ?且a ? 0, 如果a ∥ b那么x1 y2 ? x2 y1 ? 0 反过来,如果 x1 y2 ? x2 y1 ? 0, 则a ∥ b . Ⅹ 一 般 地 , 对 于 两 个 非 零 向 量 a, b 有 a ? b ? a b Cos? , 其 中 θ 为 两 向 量 的 夹 角 。

Cos? ?

a ?b ab

? x1

x1 x2 ? y1 y2
2 ?

y1

2

x2

2

?

y2

2

特别的, a ? a ? a ? a Ⅺ

2

2

或者 a ? a ? a

如果 a ? ?x1 , y 1 ? , b ? ?x2 , y 2 ? 且a ? 0 , 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 特别的 , a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0



若正n边形A1 A2 ? ? ? An的中心为O , 则OA1 ? OA2 ? ? ? ? ? OAn ? 0
三角形中的三角问题 ?
A? B?C ?? , A? B?C ? ? 2 2 , A? B ? C ? 2 2 2
? A? B? ?C ? Sin? ? ? Cos? ? ? 2 ? ?2?

Sin? A ? B ? ? Sin?C ?

Cos? A ? B ? ? ?Cos?C?

? A? B? ?C ? Cos? ? ? Sin? ? ? 2 ? ?2?

? 正弦定理:

a b c a?b?c ? ? ? 2R ? SinA SinB SinC SinA ? SinB ? SinC

余弦定理:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bcCosA , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2acCosB c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abCosC

CosA ?
变形:

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 , CosB ? 2bc 2ac 2 2 2 a ?b ?c CosC ? 2ab

?

tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C
, S(? ? ? ) , S(? ? ? )

三角公式以及恒等变换 ? 两角的和与差公式: Sin?? ? ? ? ? Sin?Cos? ? Cos?Sin? Sin?? ? ? ? ? Sin?Cos? ? Cos?Sin?

Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ?
? 二倍角公式: 变形:
t an? ? t an ? ? t an?? ? ? ??1 ? t an? t an ? ? t an? ? t an ? ? t an?? ? ? ??1 ? t an? t an ? ? t an? ? t an ? ? t an ? ? t an? t an ? t an ? 其中? , ? , ?为 三 角 形 的 三 个 内 角

, T(? ? ? ) , T(? ? ? )

Sin2? ? 2Sin?Cos? Cos2? ? 2Cos 2? ? 1 ? 1 ? 2 Sin2? ? Cos 2? ? Sin2? 2 t an? t an 2? ? 1 ? t an2 ?

? 半角公式:

Sin

?
2

?? ??

1 ? Cos? 2 1 ? Cos? 2
2

Cos

?
2

t an

?
2

??

1 ? Cos? Sin? 1 ? Cos? ? ? 1 ? Cos? 1 ? Cos? Sin?

? 降幂扩角公式: Cos 2? ? 1 ? Cos 2?
Sin?Cos? ?

, Sin 2? ?

1 ? Cos 2? 2

1 ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ?? 2 1 ? 积化和差公式: Cos?Sin? ? ?Sin?? ? ? ? ? Sin?? ? ? ?? 2 1 Cos?Cos? ? ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ?? 2 1 Sin?Sin? ? ? ?Cos?? ? ? ? ? Cos?? ? ? ?? 2

?? ? ? ? ?? ? ? ? Sin? ? Sin? ? 2 Sin? ?Cos? ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? Sin? ? Sin? ? 2Cos? ? Sin? ? ? 和差化积公式: 2 ? ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? Cos? ? Cos? ? 2Cos? ?Cos? ? 2 ? ? 2 ?? ? ? ? ?? ? ? Cos? ? Cos? ? ?2 Sin? ? Sin? ? 2 ? ? 2

S ? S ? 2 SC

( S ? S ? 2CS
? ? ? ? ? ?
C ? C ? 2CC C ? C ? ?2 SS



Sin? ?

2 t an

?
2
2

1 ? t an

?
2

? 万能公式:

Cos? ?

1 ? t an2 1 ? t an2

? ?
2 2

(

S ?T ?C ? ?

)

t an? ?

2 t an

?
2
2

1 ? t an

?
2

? 三倍角公式: Sin3? ? 3Sin? ? 4Sin ? Cos3? ? 4Cos3? ? 3Cos?
3

t a n? ? 3

3 3 t a n ? t a n? ? 2 1 ? 3 t a n?

“三四立,四立三,中间横个小扁担” ?
1. y ? aSin? ? bCos? ? 2. y ? aCos? ? bSin? ? ? 3. a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 , 其中 , 其中 , 其中 , t an? ? b a a t an? ? b b t an? ? a b t an? ? a a t an? ? b t an? ? a b

y ? aSin? ? bCos? ?

? ? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? 其中 , 4. y ? aCos? ? bSin? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ?

? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? 其中 , ? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ? 其中 ,

b a 注 : 不同的形式有不同的化 , 相同的形式也有不同的 归 化归, 进而可以 t an? ? 求解最值问题 不需要死记公式 只要记忆 1. 的推导即表达技巧 其它 . , , 的就可以直接写出 . 一般是表达式第一项是 正弦的就用两角和与差 的正弦来靠, 第一 项是余弦的就用两角和 与差的与弦来靠 比较容易理解和掌握 . .

? 补充: 1. 由公式

t an? ? t an ? 1 ? t an? t an ? t an? ? t an ? t an?? ? ? ? ? 1 ? t an? t an ? t an?? ? ? ? ?

, T(? ? ? ) , T(? ? ? )

可以推导 : 当? ? ? ? ?? ? 在有些题目中应用广泛。 2. 3.

?
4

时, ? ? z , ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ? ? 2

tan? ? tan? ? tan?? ? ? ? tan? tan? ? tan?? ? ? ?
柯西不等式 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) , a, b, c, d ? R.
2 2 2 2 2

补充 1.常见三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

2.

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . (3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 2 sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

?

cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决 b 定, tan ? ? ). a
3. 三倍角公式 : sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? ? 4sin ? sin(
3

?

? ? ) sin( ? ? ) . 3 3

?

cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) . 3 3

?

?

tan 3? ?

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3

4.三角形面积定理:(1) S ?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) . (3) S ?OAB ? 2
在△ABC 中,有

5.三角形内角和定理

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2
k? ?

6. 正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的对称轴为 x ?

?
2

??

?

(k ? Z ) ;对称中心为

(

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ;类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心; ?

〈三〉易错点提示:
1. 在解三角问题时,注意正切函数、余切函数的定义域了,注意正弦函数、余弦函数的有界性 2. 在三角中,你知道 1 等于什么吗?( 这些统称为 1 的代换) 3. 要记得三角化简的通性通法(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同 角,异名化同名,高次化低次) 4. 要记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式 ( )


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