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圆锥曲线题型总结1


圆锥曲线题型

一.曲线方程
1 定义法
( 1 ) (2011 年 高 考 广 东 卷 第
2

19

题 ( 理 ) )

设 圆

C

与 两 圆

(x ?
的方程;

52 ) ? y2 ? 4 x , ( ?

C 的圆心轨迹 L 5? y )2 中的一个内切,另一个外切。求圆 ? 4

解: (1)两圆半径都为 2,设圆 C 的半径为 R,两圆心为 F 1 (? 5, 0) 、 F 2 ( 5, 0) , 由题意得 R ?| CF 1 | ?2 ?| CF2 | ?2 或 R ?| CF2 | ?2 ?| CF 1 | ?2 ,

? || CF1 | ? | CF2 ||? 4 ? 2 5 ?| F1F2 | ,
可知圆心 C 的轨迹是以 F 1, F 2 为焦点的双曲线,设方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 b2

x2 2a ? 4, a ? 2, c ? 5, b ? c ? a ? 1, b ? 1,所以轨迹 L 的方程为 ? y 2 ? 1 . 4

2 待定系数法

4 5 2 5 (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 3 和 3 ,
过 P 作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程

1

3 方程法
(3)(2011 年高考广东卷第 21 小题(理)) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线

l : x ? ?2交x 轴于点 A ,设 P 是 l 上一点, M 是线段 OP 的垂直平分线上的一点,且满足

?MPO ? ?AOP. 当点 P 在 l 上与动时,求点 M 的轨迹 E 的方程;
解: (1)如图 1,设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线,交 OP 于点 Q,

?MPQ ? ?AOP,? MP ? l , 且 | MO |?| MP | .
因此

x 2 ? y 2 ?| x ? 2 |, 即 y 2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1).



另一种情况,见图 2(即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧) 。

MQ 为线段 OP 的垂直平分线, 又

??MPQ ? ?MOQ.

?MPQ ? ?AOP,??MOQ ? ?AOP.

因此 M 在 x 轴上,此时,记 M 的坐标为 ( x, 0). 为分析 M ( x,0)中x 的变化范围,设 P(?2, a) 为 l 上任意点 (a ? R). 由 | MO |?| MP | (即 | x |?

( x ? 2) 2 ? a 2 )得, x ? ?1 ?

1 2 a ? ?1. 4


故 M ( x, 0) 的轨迹方程为

y ? 0, x ? ?1

综合①和②得,点 M 轨迹 E 的方程为

?4( x ? 1), x ? ?1, y2 ? ? x ? ?1. ?0,

2

二 离心率
1 找 a, b, c 等量关系,求出 e
1 若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等级差数列, 则该椭圆的离心率是 ( )

A

4 5

B

3 5

C

2 5

D

1 5

2 已知椭圆短轴上两个顶点分别为

B1 , B2 ,焦点为 F1 , F2 ,若四边形 B1F1B2 F2 是正


方形,则这个椭圆的离心率 e 等于(

A

2 2

B

1 2

C

3 2

D

3 3

2 利用椭圆焦点三角形面积

S ? b 2 tan

?
2

x2 y2 ? 2 ?1 2 PF PF2 ? 0 b 3 若椭圆 a ( a ? b ? 0 )上存在点 P ,使得 1 ,则椭圆离心率
的取值范围是( )

3 利用双曲线焦半径最小值 c ? a
x2 y2 ? ?1 F (?c,0), F2 (c,0). a2 b2 ( a ? 0, b ? 0 )的左、右焦点分别为 1 若双 4 已知双曲线

sin ?PF1F2 a ? sin ?PF2 F1 c ,则双曲线的离心 的取值范围是----曲线存在点 P 使 率

3

三 焦点三角形(边长与周长,角度与面积)
方法:余弦定理,基本不等式,
PF1 ? PF2 ? 2a
y2 ?1 F F 8 的两个焦点为 1 , 2 , P 是双曲


x2 ?
1(2013 内蒙古高三摸底考试)设双曲线

线上的一点,且
A 10 3

PF1 : PF2 ? 3 : 4

,则

?PF1F2 的面积等于(
D 16 5

B

8 3

C

8 5

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 2(06 年四川)如图把椭圆 a 的长轴分成 8 等分,过每个点作 x 轴的垂线交椭圆的
上半部分于

P 1, P 2,

, P7 七个点。 F 是椭圆的一个焦点,则 PF1 ? PF2 ?

PF7 ?

x2 y2 ? ?1 ?F1PF2 为钝角时, 4 3(2000 全国)椭圆 9 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当
点 P 横坐标的取值范围是

? x2 y2 ? ?1 ? ? F PF 4 1 2 6 ,则 PF1F2 的面积 4 P 是椭圆 5 上的点, F1 , F2 是椭圆的焦点,若
等于

4

四 双曲线的渐近线
x2 y2 ? 2 ?1 2 b 1 (2013 福建省三明市高中毕业班质检)过双曲线 a ( a ? 0, b ? 0 )的左焦点 F
0 作圆 O: x ? y ? a 的两条切线,切点为 A, B,双曲线左顶点为 C,若 ?ACB ? 120 ,

2

2

2

则双曲线的渐近线方程为

16 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 2 9 2 已知双曲线 a 的两条渐近线与以椭圆 25 9 的左焦点为圆心、 5 为半径
的圆相切,则渐近线方程为

五 直线与圆锥曲线
(一)直线斜率问题
x2 y2 ? ?1 A,A PA2 的斜 率范 围为 3 1 1 2 是椭圆 4 的左右 顶点 ,动 点 P 在椭圆 上, 直线

? ?2, ?1? ,求直线 PA1 的范围

5

2 (2010 山东理)如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a2 b2



2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 2

为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) ,一等轴双曲线 的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于项点 的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、 B 和 C、D. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,证明: k1 ? k 2 ? 1 ; (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立?若存在,求 ? 的值; 若不存在,请说明理由. 本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质,考查直线和椭圆的位置关系,考查坐 标第、定值和存在性问题,考查数形结合思想和探求问题的能力。 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c , 由题意知

c 2 ? , 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) a 2

所以 a ? 2 2, c ? 2 又 a ? b ? c ,因此 b ? 2.
2 2 2

x2 y 2 ? ?1 故椭圆的标准方程为 8 4
由题意设等轴双曲线的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(m ? 0) , m2 m2

因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点, 所以 m ? 2 因此双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 4 4

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) 则 k1 ?

y0 y0 , k2 ? x0 ? 2 x0 ? 2
6

因为点 P 在双曲线 x2 ? y 2 ? 4 上,
2 2 所以 x0 ? y0 ? 4.

因此 k1 k2 ? 即 k1k2 ? 1.

y0 y y ? 0 ? 2 0 ?1 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

(Ⅲ)由于 PF1 的方程为 y ? k1 ( x ? 2) ,将其代入椭圆方程得

(2k12 ? 1) x2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 8 ? 0

8k12 8k12 ? 8 由违达定理得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 2k12 ? 1 2k1 ? 1
所以 | AB |? 1 ? k1
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? 1? k

2 1

8k12 8k12 ? 8 ( 2 ) ? 4? 2 2k1 ? 1 2k1 ? 1

?4 2

k12 ? 1 2k12 ? 1

2 k2 ?1 同理可得 | CD |? 4 2 . 2 2k2 ? 1 2 ?1 1 1 1 2k12 ? 1 2k2 则 ? ? ( 2 ? 2 ) | AB | | CD | 4 2 k1 ? 1 k2 ? 1

又 k1k2 ? 1

2 ?1 1 1 1 2k ? 1 k12 2 2k12 ? 1 k12 ? 2 3 2 ? ? ( ? )? ( 2 ? 2 )? 所以 1 | AB | | CD | 4 2 k ? 1 8 k1 ? 1 k1 ? 1 8 ?1 2 k1
2 1 2 1

故 | AB | ? | CD |?

3 2 | AB | ? | CD | 8

因此,存在 ? ?

3 2 , 8

使 | AB | ? | CD |? ? | AB | ? | CD | 恒成立。
7

(二)直线与圆锥曲线相离
x2 y2 ? ?1 椭圆 25 9 上点到直线 2 x ? 3 y ?12 ? 0 的最短距离

(三)直线与圆锥曲线相切
(2012 年高考广东卷第 20 小题(文科)) (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,

x2 y 2 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,且点 P(0,1) 在 C1 上. a b
(1) 求椭圆 C1 的方程;(2)设直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方 程. 解:(1):依题意:c=1,…………………………………………………………………………1 分
2 2 则: a ? b ? 1,…………………………………………………………………………2 分
2 2 设椭圆方程为: x ? y ? 1………………………………………………………………3 分 2 2

b ?1

b

将 P(0,1) 点坐标代入,解得: b 2 ? 1 …………………………………………………………4 分 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 故椭圆方程为: x 2 ? y 2 ? 1…………………………………………………………………………5
2

分 (2)设所求切线的方程为: y ? kx ? m ……………………………………………6 分
? y ? kx ? m ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ? 2

消除 y

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx? (2m2 ? 2) ? 0
8

?1 ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 2) ………7 分
化简得:

m 2 ? 2k 2 ? 1?????①………………………………………………………8 分
同理:联立直线方程和抛物线的方程得:

? y ? kx ? m ? 2 ? y ? 4x
消除 y 得:

k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 ?2 ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0
………9 分 化简得: ……………………………………………………………

km ? 1????????
② …………………………………………………………………………10 分
4 2 将②代入①解得: 2k ? k ? 1 ? 0

解得: k 2 ?

1 2 2 , (k 2 ? ?1舍去),故k ? , 或者k ? ? 2 2 2
切 线 方 程 为 :

当k ? 1时,m ? 2,当k ? ?1时,m ? ? 2 ………………………………………………………12 分



y?

2 2 x ? 2或者y ? ? x ? 2 …………………………………………………14 分 2 2
2

2(2012 辽宁文)已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 A. 1 B. 3 C.

?4

D.

?8

9

3(2013 辽理)如图,抛物线

C1 : x2 ? 4 y, C2 : x2 ? ?2 py ? p ? 0?.点M ? x0 , y0 ? 在抛物线C2上,
过M 作C1 的切线,切点为A, B ? M 为原点O时,A, B重合于O ? .当x0 ? 1 ? 2时,
1 切线MA的斜率为- . 2
(I) 求P的值 ; (II) 当M 在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程

? A, B重合于O时,中点为O?.

10

(四)直线与圆锥曲线相交(相交弦,韦达定理)
1 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y 2 i 右焦点, 过F ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 1 斜率为 1 的直线 a 2 b2

与 E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (1)求 E 的离心率; (2) 设点 p(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程 解: (I)由椭圆定义知 AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2 , 得 AB ?

4 a 3

l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a2 ? b2 。
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 2 ? a b2
化简的 a 2 ? b 2 x 2 ? 2a 2cx ? a 2 c 2 ? b 2 ? 0

?

?

?

?

a 2 ? c 2 ? b2 ? ?2a 2c 则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? a ? b2 a 2 ? b2
因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB ?
2 2 x2 ? x1 ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?



4 4ab 2 a? 2 , 故 a 2 ? 2b2 2 3 a ?b

c a 2 ? b2 2 ? 所以 E 的离心率 e ? ? a a 2
(II)设 AB 的中点为 N ? x0 , y0 ? ,由(I)知

x1 ? x2 ?a 2 c 2 c x0 ? ? 2 ? ? c , y0 ? x0 ? c ? 。 2 3 2 a ?b 3
由 PA ? PB ,得 kPN ? ?1 ,

11



y0 ? 1 ? ?1 x0

得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2, b ? 3

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 18 9

2 (2013 年山西省山大附中高三 9 月月考)

P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上

相异两点,Q,P 到 y 轴的距离的积为 4,且 OP OQ ? 0 。 (1)求抛物线的标准方程 (2)过 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R,与 x 轴的交点为 T ,且 Q 为线段 RT 的中点, 试求弦 PR 长度的最小值

12

(五)焦点弦
1(2014 江西师大附中高三开学考试)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,已知点 A,B 为
2

抛物线上的两个动点,且满足 ?AFB ? 120 ,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,
0

MN
垂足为 N,则

AB

的最大值为

13

2(2011 年江西文)已知过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点,斜率为 2 2 的直线交抛物 线于 A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ? ( x1 ? x2 )两点,且 AB ? 9 . (1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB ,求 ? 的值. 解析: (1)直线 AB 的方程是

p y ? 2 2 ( x ? ),与y 2 ? 2px联立,从而有4x 2 ? 5 px ? p 2 ? 0, 2
5p ,由抛物线定义得: AB ? x1 ? x2 ? p ? 9 ,所以 p=4, 4

所以: x1 ? x2 ?

抛物线方程为: y 2 ? 8x (2)、 由 p=4 ,

4x 2 ? 5 px ? p 2 ? 0, 化 简 得 x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 , 从 而

x1 ? 1, x2 ? 4, y1 ? ?2 2, y2 ? 4 2 ,从而 A:(1, ? 2 2 ),B(4, 4 2 )
设 OC ? ( x3, y3 ) ? (1,?2 2 ) ? ? (4,4 2 ) = (1 ? 4?,?2 2 ? 4 2? ) , 又 y3 ? 8x3 , 即
2
?

?2

2 ?2? ? 1? ? 8(4 ? ? 1 ) ,即 (2? ?1) 2 ? 4? ? 1 ,解得 ? ? 0, 或? ? 2
2

?

3 若抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,动点 P 在
2

曲线 y ? ?4 x( y ? 0) 上,则 ?PAB 的面积的最小值为------2

14

六 定点、定值问题(两种方法:方程组或不等式,特殊情况法)
x2 y2 ? 2 ?1 2 b 1(2013 河北省唐山市高三年级摸底考试)已知点 M 是椭圆 C: a ( a ? 0, b ? 0 )
上一点,
0 F1 , F2 分别为 C 的左、右焦点,且 F1 F2 ? 4 , ?F 1MF2 的面积 1MF 2 ? 60 , ?F

4 3 为 3 。
(1)求椭圆 C 的过程; (2)设 N (0, 2) ,过点 P(1,-2)作直线 l ,交椭圆 C 异于 N 的 A,B 两点,直线 NA,NB 的 斜率分别为

k1, k2 ,证明: k1 ? k2 为定值

15

2(2012 福建文)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线

E : x 2 ? 2 py( p ? 0) 上。
(I)求抛物线 E 的方程; (II)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ,与直线 y ? ?1 相交于点 Q 。证明以 PQ 为直 径的圆恒过 y 轴上某定点。

本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查运算求解能力、 推理论证能力, 考查数形结合思想、 化归与转化思想、 特殊与一般思想. 满 分 12 分 解法一: (1) 依题意 | OB | = 8 3 , ?Boy ? 30。 设 B(x,y) ,则 x= | OB | sin30。 = 4 3 ,y= | OB | cos30。 =12

(4 3)=2p*12,所以 p=2 因为点 B( 4 3 ,12)在 x2 =2py 上,所以
所以抛物线 E 的方程为 x 2 ? 4 y (2)由(1)知 y ?

2

1 2 1 x ,y’= x. 2 4 1 1 x0 x ? x0 2 4

设 P(x0 ,y0 ),则 x0 ? 0,并且 l 的方程为 y - y 0 = x 0 (x - x 0 ) ,即 y ?
2 ? x0 ?4 1 1 2 ? x ? ? ? y ? x0 x ? x0 2 x0 由? 2 4 ,得 ? ? ? ? y ? ?1 ? y ? ?1

2 x0 ?4 ,?1) 所以 Q( x ? 2 x0

设 M (0, y1 ) ,令 MP ? MQ=0 对满足 y ?

1 2 x0 ( x0 ? 0) 的 x0 , y0 恒成立。 4

? 由于 MP ? ( x0 , y0 ? y1) , MQ (

2 x0 ?4 , - 1 - y1 ) 2 x0

16

由于 MP ? MQ ? O ,得

2 x0 ?4 ? y 0 ? y0 y1 ? y1 ? y12 ? 0 2 x0

2 即( (y1 ? y1 ? 2) ? (1 ? y1 ) y0 ? 0

(*)

由于(*)对满足 y 0 ?

?1 ? y1 ? 0 1 2 x 0 ( x 0 ? 0) 的 y0 恒成立,所以 ? 2 4 ? y1 ? y1 ? 2 ? 0

解得 y1 ? 1 故以 PQ 为直径的预案横过 y 轴上的定点 M(0,1) 解法二 (1) 同解法一 (2)

1 2 1 x ,y ’ = x ,设 P( x0 ,y0 ),则 x0 ? 0 ,且 l 的直线方程为 2 4 1 1 1 2 y ? y 0 ? x 0 ( x ? x 0 ) ,即 y ? x0 x ? x0 2 2 4
由( 1 )知 y ?

2 ? x0 ?4 1 1 2 ? 2 x ? x0 ?4 ? ? y ? x0 x ? x0 2 x 0 ,所以 Q( x ? 由? ,?1) 2 4 得, ? 2 x0 ? ? ? y ? ?1 ? y ? ?1

2 取 x0 =2, 此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的圆为 ( x ? 1 交 y 轴于点 M ( ) ? y2 ? 2 , 1 0,1)

1 2 ), Q ( ? , -1 ),以 PQ 为直径的圆为 4 3 7 1 3 125 (x ? )2 ? ( y ? )2 ? ,交 y 轴于 M 3 (0,1)或, M 4 (0, ? ) 4 4 8 64 故若满足条件得点 M 存在,只能是 M (0,1)。 以下证明点 M (0,1)就是所要求的点。
或 M 2 ( 0 , -1);取 x0 =1 ,此时 P ( 1, 因为 MP ? ( x0 , y 0 ? 1 , MQ ( ? )
2 x0 ?4 , - 2) 2 x0

MP ? MQ ?

2 x0 ?4 - 2 y0 ? 2 ? 2 y0 ? 2 ? 2 y0 ? 2 ? 0 2 x0

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M

17

x2 ? y2 ? 1 4 3(2013 江苏扬州中学高三检测)已知椭圆 C: 的上,下顶点分别为 A,B,点 P
在椭圆上,且异于点 A,B,直线 AP,BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M,N。 (1)设直线 AP,BP 的斜率分别为

k1, k2 ,求证: k1k2 为定值

(2)求线段 MN 长的最小值 (3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?,请证明你的结论。

18



最值问题
(一)抛物线中的最值问题

1 定义转换法
(1)已知抛物线的方程为 x ? 8 y ,F 是焦点,点 A(-2,4) ,在此抛物线上求一点 P,使
2

PF ? PA

的值最小

(2)已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的动点,B (-1,1) ,点 P 到直线 l :
2

x??

1 2 的距离为 d ,



d ? PB

的最小值

2 平移直线法
抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是
2

19

3 函数法
2 2 2 PQ 若点 P 在抛物线 y ? x 上,点 Q 在圆 ( x ? 3) ? y ? 1 上,则 的最小值为

八 设而不求中点差法的应用
1 点差法在椭圆中的应用
2 y ? 2 x ? 1 (0,5 2) 求焦点是 F ,并截直线 所得弦的中点的横坐标是 7 的椭圆的标准方程

2 点差法在双曲线中的应用
x2 y2 ? ?1 若直线 ax ? y ? 2 ? 0 平分双曲线 16 9 中斜率为 1 的弦,求 a 的取值班范围

20

3 占差法在抛物线中的应用
已知点 Q 是 抛物 线

C1 : y2 ? 2 px( p ? 0) 上异于 坐标原 点 O 的点 ,过 点 Q 与抛物线

C2 : y ? 2x2 相切的两条直线分别交抛物线 C1 于点 A,B。
(1)若点 Q 的坐标为(1,-6) ,求直线 AB 的方程及弦 AB 的长; (2)判断直线 AB 与抛物线

C2 的位置关系,并说明理由。

21



圆锥曲线中对称问题

方法:方程法与点差法
x2 y2 ? ?1 3 1 已知椭圆 C 的方程为 4 ,试确定 m 的取值范围,使得椭圆 C 上有不同两点关于
直线 l : y ? 4 x ? m 对称。

2 2 在已知抛物线 y ? x 上存在两个不同的点 M,N 关于直线 l :

y ? ?kx ?

9 2 对称,求 k 的

取值范围

22


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