当前位置:首页 >> 数学 >>

第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 教案


人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)

第四章

圆与方程

4.1 圆的方程
教案 A 第 1 课时
教学内容:4.1.1 圆的标准方程 教学目标 一、知识与技能 1. 掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程; 2. 会用待定系数法求圆的标准方程. 二、过程与方法 进一步发展

能用解析法研究几何问题的能力,体现数形结合思想, 三、情感、态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣. 教学重点、难点 教学重点:圆的标准方程. 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 教学关键:根据圆的定义与两点间距离公式推导出圆的标准方程,把握圆的标准方 程的结构特点及方程中参数的几何意义. 教学突破方法:求圆的标准方程最关键的是圆心及半径,要根据题目所给的具体条 件, 采用适当的方法求出圆心和半径, 同时特别注意圆的几何性质在求解过程中的应用. 教法与学法导航 教学方法:启发诱导法,讲练结合法.教学过程中,教师要引导学生把握圆的标准 方程的结构特征,并能从圆的标准方程求出圆心与半径.通过适当的练习,使学生熟练 掌握由待定系数法求圆的标准方程. 学习方法:自主讨论与练习穿插进行. 教学准备 教师准备:多媒体课件. 学生准备:圆的定义及性质. 教学过程 详见下页表格.

1

教师备课系统──多媒体教案

教学 环节

教学内容

师生互动

设计 意图

复习 引入

在直角坐标系中,确定直线的基 本要素是什么?圆作为平面几何中 的基本图形,确定它的要素又是什么 呢?什么叫圆?在平面直角坐标系 由学生回答,然后 中,任何一条直线都可用一个二元一 引入课题. 次方程来表示,那么圆是否也可用一 个方程来表示呢?如果能,这个方程 具有什么特征? 确定圆的基本条件为圆心和半 径,设圆的圆心坐标为 A(a,b) , 半径为 r (其中 a、b、r 都是常数, r>0) .设 M (x,y)为这个圆上任 意一点, 那么点 M 满足的条件是 (引 导学生自己列出)P = {M|MA| = r}, 由两点间的距离公式让学生写出点 的坐标适合的条件
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r ,

设置 情境 引入 课题.

引导学生自己证明 (x 2 2 2 – a) + (y – b) = r 为 圆的方程,得出结论. 方程②就是圆心为 A (a,b)半径为 r 的圆的 方程,我们把它叫做圆的 标准方程. 通过学 生自己 证明培 养学生 的探究 能力.



概念 形成

2 2 2 化简可得: (x – a) ? (y – b) ? r .②

y
6 – – 4 – – 2 – – –5 O– –2 – – –4 – – – A M 5

x

2

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)

续上表 例 1 写出圆心为 A (2,–3) , 引导学生分析探究: 半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 从计算点到圆心的距离入 手. M1(5,–7) , M 2 (? 5, ?1) 是否在这 例 1 【解析】圆心 个圆上. 是 A(2,–3) ,半径长等 分析探求:可以从计算点到圆心 于 5 的圆的标准方程是 的距离入手. (x -2)2 + (y + 3)2 =25. 探究:点 M(x0,y0)与圆(x – a)2 把 M1 (5,–7) ,M2 2 2 + (y – b) = r 的关系的判断方法: (? 5 , –1) 的坐标代入 2 2 2 (1)(x0 – a) + (y0 – b) >r ,点在圆 方程(x –2)2 + (y +3)2 =25, 外. 左右两边相等, 点 M1 的坐 2 2 2 (2)(x0 – a) + (y0 – b) = r ,点在圆 标适合圆的方程,所以点 上. M1 在 这 个 圆 上 ; 把 M2 2 2 2 (3)(x0 – a) + (y0 – b) <r ,点在圆 ( ? 5 ,–1)的坐标代入 内. 方程(x – 2)2 + (y +3)2 =25, 左右两边不相等,点 M2 的坐标不适合圆的方程, 所以 M2 不在这个圆上. 例 2 △ABC 的三个顶点的坐标 是 A(5,1) , B(7, –3) ,C (2,– 8) , 求它的外接圆的方程. 【解析】设所求圆的方程是 (x– a)2 + (y – b)2 = r2. ① 因为 A (5,1) ,B (7,–3) ,C (2, – 8) 都在圆上,所以它们的坐标都 满足方程①. 于是 师生共同分析:从圆 的标准方程(x – a)2 + (y – b)2 = r2 可知,要确定圆的 标准方程,可用待定系数 法确定 a、b、r 三个参数, (学生自己运算解决).

应用 举例

通过实 例引导 学生掌 握求圆 的标准 方程的 两种方 法.

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2, ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r , ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 . ?
? a ? 2, ? 解此方程组,得 ?b ? ?3, ? r 2 ? 25. ?
所以,△ABC 的外接圆的方程是 3

教师备课系统──多媒体教案
(x– 2)2 + (y +3)2 =25.

续上表 例 3 已知圆心为 C 的圆 C 经过 点 A(1,1)和 B(2,–2) ,且圆心 在 l : x – y + 1 = 0 上,求圆心为 C 的 圆的标准方程. 比较例 2、例 3 可得出△ABC 外 接圆的标准方程的两种求法: ①根据题设条件,列出关于 a、b、 r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 的值,写出圆根据确定圆的要素,以 及题设条件,分别求出圆心坐标和半 径大小,然后再写出圆的标准方程. 师生共同分析:如图 确定一个图只需确定圆心 位置与半径大小 . 圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2,–2) ,由于 C 与 A、B 两点的距离相等,所 以 C 在线段 AB 的垂直平 分线 l′上,又 C 在直线 l 上,因此 C 是直线 l 与直 线 l′的交点, 半径长等于 |CA|或 |CB|. (教师板书解 题过程) 例 3 【解析】因为 A (1, 1) ,B (2,– 2) ,所以线 段 AB 的中点 D 的坐标为
3 1 ( ,? ) ,直线 AB 的 2 2

应用 举例

斜率 kAB =

?2 ? 1 = –3, 2 ?1

因为线段 AB 的垂直 平 分线 l′的方程是 y+
1 1 3 ? (x ? ) , 2 3 2

即 x –3y –3 = 0. 圆心 C 的坐标是方程 组?

? x ? 3 y ? 3 ? 0, 的解. ? x ? y ? 1 ? 0,
解此方程组,得

? x ? ?3, ,所以圆心 C 的 ? ? y ? ?2.
坐标是(–3,–2) . 圆心为 C 的圆的半径 4

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
r=|AC|=
(1 ? 3)2 ? (1 ? 2)2

= 5. 所以, 圆心为 C 的圆 的标准方程是 (x + 3)2 + (y +2)2 =25. 续上表 归纳 总结 1.圆的标准方程. 2.点与圆的位置关系的判断方法. 3.根据已知条件求圆的标准方程的 方法. 教师启发,学生自己 比较、归纳. 形成知 识 体 系.

课堂作业 1. 写出下列方程表示的圆的圆心和半径 (1)x2 + (y + 3)2 = 2; (2)(x + 2)2 + (y–1)2 = a2 (a≠0). 【解析】 (1)圆心为(0,–3) ,半径为 2 ; (2)圆心为(–2,1) ,半径为|a|. 2. 圆心在直线 x–2y–3 = 0 上,且过 A(2,–3) ,B(–2,–5) ,求圆的方程. 2 2 2 【解析】设所求的圆的方程为(x-a) + (y–b) = r , 由条件知

? ?a ? 2b ? 3 ? 0, ? 2 2 2 2 ? ? (a ? 2) ? (b ? 3) ? (a ? 2) ? (b ? 5) .

解方程组得 a= –1,b= –2. 即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10. 3. 已知三点 A(3,2) ,B(5,–3) ,C(–1,3) ,以 P(2,–1)为圆心作一个圆, 使 A、B、C 三点中一 点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程. 【解析】要使 A、B、C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半 径是|PA|、|PB|、|PC|的中间值.因为|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的半径 r = (2 ? 5) 2 ? (?1 ? 3) 2 = 13 . 故所求的圆的方程为(x–2)2 + (y + 1)2 = 13.

第 2 课时
教学内容:4.1.2 圆的一般方程 教学目标 一、知识与技能 1. 在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一 5

教师备课系统──多媒体教案
般方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件; 2. 能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆 的方程. 二、过程与方法 经历对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,提高发现及分析解决问题 的实际能力. 三、情感、态度与价值观 感受几何和代数的完美结合,提高学习兴趣. 教学重点、难点 教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条 件确定方程中的系数 D、E、F. 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教学关键:引导学生掌握利用待定系数法求确定方程中的系数 D、E、F,特别注意 应用圆的几何性质确定. 教学突破方法:使学生在理解圆的一般方程与标准方程的基础上,掌握求圆的一般 方程的基本方法,强调圆的几何性质的应用. 教法与学法导航 教学方法:问题教学法,讨论法,练习法.通过提出问题,学生思考并体会确定圆 的一般方程中系数的方法. 学习方法:自主探究与练习相结合. 教学准备 教师准备:多媒体、实物投影仪 学生准备:圆的标准方程的相关知识. 教学过程
新疆

王新敞
学案

新疆

王新敞
学案

教学 环节

教学内容

师生互动

设计 意图

复习 引入

问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4, 师生讨论:利用圆 2)的圆的方程. 的标准方程显然有 些麻烦,用直线的 知识解决又有其简 单的局限性,那么 有没有其他的解决 方法呢?带着这个 问题我们来共同研 究圆的方程的另一 种形式——圆的一 般方程.

设置 情境 引入 课题.

6

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)

续上表 1. 圆的一般方程的由来 圆的标准方程: (x 2 2 2 -a) + (y-b) =r , 圆心 (a, b) , 半径 r. 把 2 2 圆的标准方程展开,并整理:x +y -2ax- 2by+a2+b2-r2=0 反过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方,得

教师可让同学自己 完成从标准方程到 一般方程的展开. (配方过程由学生 去完成)这个方程 是不是表示圆? 师:圆的一般方程有 什么特点: 通过学 生自己 (启发学生归纳) 推导出 圆的一 (1) ①x2 和 y2 的系 般 方 数相同,不等于 0. 程,并 ②没有 xy 这样的 观察归 纳出圆 二次项. 的一般 (2)圆的一般方程 方程的 中有三个特定的系 特点. 数 D、E、F,因此只 要求出这三个系数, 圆的方程就确定了. (3)与圆的标准方 程相比较,它是一种 特殊的二元二次方 程,代数特征明显, 圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半 径大小,几何特征较 7

(x ?

D 2

) ? (y ?
2

E 2

) ?
2

D2 ? E 2 ? 4F 4



取 D ? ?2a,E ? ?2b,F ? a 2 ? b2 ? r 2, 得 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0,①
2 2

这个方程是圆的一般方程. 概念 形成 (1 )当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程①表 1 D E 2 2 示以 (- , - ) 为圆心, D ? E ? 4F 2 2 2 为半径的圆; (2 )当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程只有 D E 实数解 x ? ? , y ? ? ,即只表示一个点 2 2 (D E ,- ); 2 2

(3 )当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程没有 实数解,因而它不表示任何图形. 综上所述,方程

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定
是圆. 只有当 D ? E ? 4F ? 0 时, 它表示的
2 2

曲线才是圆,我们把形如

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的表示圆的方程称

教师备课系统──多媒体教案
为圆的一般方程. 明显.

续上表

8

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
例 1 判断下列二元二次方程是否表示 圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半 径. 学生自己分析探求解决途 径:①用配方法将其变形 化成圆的标准形式. ②运用圆的一般方程的判 断方法求解.但是, 要注意 对于

?1? 4x2 ? 4 y 2 ? 4x ? 12 y ? 9 ? 0; ? 2? 4 x2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0.

例 2 求过三点 A(0,0) ,B(1,1) , ?1? 4x2 ? 4 y2 ? 4x ? 12 y ? 9 ? 0 C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径 长和圆心坐标. 来说,这里的先把二次项 例 2 【解析】设所求的圆的方程为: 系数化为 1.得 D=-1, E=3,

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0,
A(0,0), B(11 , ),C(4,2)在圆上,所以它们的

F=

9 . 4

应用 举例

例 2 师生讨论待定 系数法方程的选择 坐标是方程的解 . 把它们的坐标代入上面 【分析】 据已知条件, 的方程,可以得到关于 D, E , F 的三元一次 很难直接写出圆的标准方 程,而圆的一般方程则需 ? F ? 0, ? 确定三个系数,而条件恰 方程组,即 ? D ? E ? F ? 2 ? 0, 给出三点坐标,不妨试着 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0, ? 先写出圆的一般方程. 解此方程组, 可得 D ? ?8, E ? 6, F ? 0 . ∴所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 .

r?

1 D F D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5; ? ? 4, ? ? ?3. 2 2 2

得圆心坐标为(4,-3). 或将 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆 的标准方程,( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ,从而 求出圆的半径 r ? 5 , 圆心坐标为 (4, -3) .

续上表 9

教师备课系统──多媒体教案
例 3 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4, 3) , 端点 A 在圆上 ? x ? 1?2 ? y 2 ? 4 运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 【解析】设点 M 的坐标是(x,y) ,点 A 的坐 标是(x0,y0) ,由于点 B 的坐标是(4,3) , 且中点 M 的坐标为 x ?
x0 ? 4 y ?3 , y? 0 , 即 2 2

x0=2x+4,y0=2y-3.
2



2 所以点 因为点 A 在圆 ? x ? 1? ? y ? 4 上运动,

A 的 坐 标 满 足 方 程 ? x ? 1?2 ? y 2 ? 4 , 即

? x0 ? 1?

2

? y02 ? 4 , ②

把①代入②,得 ? 2x ? 4 ? 1?2 ? ? 2 y ? 3?2 ? 4,
3? ? 3? ? 整理,得 ? x- ? ? ? y ? ? ? 1. 2? ? 2? ?
2 2

学生讨论交流,归 纳得出使用待定 系数法的一般步 骤: (1)根据题意, 选择标准方程或 一般方程; (2)根据条件列 出关于 a 、 b 、 r 或 D、E、F 的方 程组; (3)解出 a、b、 r 或 D、E、F,代 入标准方程或一 般方程.

所以,点 M 的轨迹是以 ? , ? 为圆心,1 为 半径的圆

?3 3? ?2 2?

例 3 师生讨论分 析: 如图点 A 运动 引起点 M 运动, 而 点 A 在已知圆上 运动, 点 A 的坐标 满足方程

A

? x ? 1?

2

? y2 ? 4 .

建立点 M 与点 A 坐标之间的关系, 就可以建立点 M 的坐标满足的条 件, 求出点 M 的轨 迹方程.

续上表 10

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
1. 对方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论 归纳 总结 (什么时候可以表示圆). 2.与标准方程的互化. 3.用待定系数法求圆的方程. 4.求与圆有关的点的轨迹. 师生互动归纳 总结. 形成知 识 体 系.

课堂作业 1. 若圆 x2+y2-2kx-4=0 关于直线 2x-y+3=0 对称,则 k=( A.



3 2

B. ?

3 2

C. 3

D. -3

2. 圆 x2+y2-2x+6y+8=0 的面积为( ) A. 8? B. 4? C. 2? D. ? 2 2 2 2 3. 方程 x +y +2ax+2by+a +b =0 表示的图形为( ) . A. 以点(a,b)为圆心的圆 B. 以(a,-b)为圆心的圆 C. 以点(-a,b)为圆心的圆 D. 以(-a,-b)为圆心的圆 2 2 4. 当点 P 在圆 x +y =1 上运动时,它与定点 Q(3,0)的连线 PQ 的中点的轨迹方 程为 . 2 2 5. 圆 2x +2y +3x+4y-6=0 的圆心坐标为 ,半径为 . 6. 已知圆 C 过三点 O(0,0) 、A(1,0) 、B(0,-1) ,求圆 C 的方程. 参考答案:1. B 6. x2+y2-x+y=0 2. C 3. D
3? ? 4. ? x ? ? ? y 2 ? 1 2? ?
2

? 3 ? 5. ? ? ,?1? , ? 4 ?

73 4

教案 B 第 1 课时

教学内容:4.1.1 圆的标准方程 教学目标 1.掌握圆的标准方程的形式特点. 2.能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程. 3.能从圆的标准方程求出它的圆心和半径. 教学重点、难点 教学重点:圆的标准方程. 教学难点:根据条件建立圆的标准方程. 教学过程 11

教师备课系统──多媒体教案
一、设置情境 在初中的几何课本中,大家对圆的性质就比较熟悉,首先来回顾一下圆的定义. 平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆,定点就是圆心,定长就是半径. 二、新课教学 按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程. (一)圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2, 其中圆心坐标为(a,b) ,半径为 r. 方程推导:如右图,设 M(x,y)是圆上任意一点, 根据定义,点 M 到圆心 C 的距离等于 r,所以圆 C 就是 集合 P ? {M | MC |? r}. 由两点间的距离公式, 点M适
2 2 合的条件可表示为 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r,



把①式两边平方,得(x-a)2+(y-b)2=r2, 当圆心在原点,这时圆的方程是:x2+y2=r2. 小结:由圆的标准方程知道,只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程. 课堂练习: 1.写出下列各圆的方程 ⑴圆心在原点,半径是 3; ⑵圆心在点 C(3,4) ,半径是 5; ⑶圆心在点 C(8,-3) ,经过点 P(5,1). 2.说出下列圆的圆心、半径 (1) (x-2)2+(y+3)2=25; (2) (x+2)2+(y-1)2=36; (3)x2+y2=4. 3.判断下列各点与圆(x+1)2+(y-1)2=4 的位置关系: ①A(1,1) ;②B(0,1) ;③C(3,1). 小结:点 P(x0,y0)与(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系是 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 等价于点 P 在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2>r2 等价于点 P 在圆外; (x0-a)2+(y0-b)2<r2 等价于点 P 在圆内. (二)例题讲解 例 1 求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方程. 回忆初中直线与圆的位置关系: ①设圆心到直线的距离 d,圆的半径为 r,则 d>r 等价于直线与圆相离;d=r 等价 于直线与圆相切;d<r 等价于直线与圆相交. ②从交点个数来看:直线与圆没有交点等价于直线与圆相离;直线与圆只有一个点 等价于直线与圆相切;直线与圆有两个点等价于直线与圆相交. 12

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
③从方程的观点来看:由圆的方程与直线的方程消去 y(或 x)后得到一个一元二 次方程,用判别式 Δ 与 0 的大小来判别:Δ>0 等价于直线与圆相交;Δ=0 等价于直线 与圆相切;Δ<0 等价于直线与圆相离. 【解析】因为圆 C 和直线 3x-4y-7=0 相切, 所以半径 r 等于圆心 C 到这条直线的 距离. 根据点到直线的距离公式,得 r ?

3 ?1 ? 4 ? 3 ? 7 3 ? (?4)
2 2

?

16 5



2 2 因此,所求的圆的方程是 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ?

. 25 说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识. 例 2 已知圆的方程是 x2+y2=r2,求经过圆上一点 M(x0, y0)的切线的方程. 【解析】如图,设切线的斜率为 k,半径 OM 的斜率为 k1,因为圆的切线
垂直于过切点的半径,于是 k ? ?

256

1 , k1
M (x 0, y 0)

y x ? k1 ? 0 ,? k ? ? 0 . x0 y0
经过点 M 的切线方程是: y ? y0 ? ?
2 2 整理得: x0 x ? y0 y ? x0 ? y0 . 2 2 2 因为点 M(x0, ,y0)在圆上,所以 x ? y ? r , 0 0

x0 ( x ? x0 ), y0

所求切线方程为: x0 x ? y0 y ? r 2 . 当点 M 在坐标轴上时,上述方程同样适用. 猜测:已知圆的方程是(x-a)2+(y-b) 2 2 =r ,则经过圆上一点 M(x0, y0)的切线的方 程是(x-a) (x0-a)+(y-b) (y0-b)=r2. 说明:例 2 结论要求学生熟记,一题多解. 例 3 右图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图. 该圆拱跨度 AB=20m,拱高 OP=4m,在建造时 每隔 4m 需用一个支柱支撑, 求支柱 A2P2 的长度 (精确到 0.01m). 【解析】建立直角坐标系如右图所示. 圆心在 y 轴上,设圆心的坐标是(0,b) ,圆的半径是 r,那么圆的方程是 x2+(y 13

教师备课系统──多媒体教案
-b)2=r2. 因为 P、B 都在圆上,所以它们的坐标(0,4) 、 (10,0)都是这个圆的方程的解. 于是得到方程组.

?02 ? (4 ? b) 2 ? r 2, ? 解得 b=-10.5, r2=14.52. ? 2 2 2 ? ?10 ? (0 ? b) ? r ,
所以这个圆的方程是:x2+(y+10.5)2=14.52. 把点 P 的横坐标 x=-2 代入圆方程得
y ? 14.5 ? ( ?2) ? 10.5 ? 3.86(m).
2 2

答:支柱 A2P2 的长度约为 3.86m . 说明:例 3 一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤,另一方面了解待定系 数法确定曲线方程的思路. (三)课堂练习 1. 圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y-25=0 的最小距离是__________. 2. 直线 3x-4y+17=0 被(x-2)2+(y-2)2=25 所截得的弦长是_____________. 三、归纳总结 基本知识 1.圆的标准方程的结构特点. 2.点与圆的位置关系的判断方法. 3. 求圆的标准方程的方法:①待定系数法;②代入法. 思想方法:数形结合,解析法,图形法. 四、布置作业 P120-121 练习:1,2,3,4.

第 2 课时
教学内容:4.1.2 圆的一般方程 教学目标 1.掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化; 2.掌握二元二次方程表示圆的充要条件; 3.进一步熟悉并掌握待定系数法. 教学重点、难点 教学重点:圆的一般方程应用. 教学难点:待定系数法. 教学过程 14

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
一、设置情境 1. 求下列各圆的标准方程 (1)圆心在直线 y=-x 上,且过两点(2,0) , (0,-4) ; (2)圆心在直线 2x+y=0 上,且与直线 x+y-1=0 相切于点(2,-1) ; (3)圆心在直线 5x-3y=8 上,且与坐标轴相切. 答案: (1) (x-3)2+(y+3)2=10; (2) (x-1)2+(y+2)2=2; (3) (x-4)2+ (y-4)2=16. 2. 已知圆 x2+y2=25,求: (1)过点 A(4,-3)的切线方程; (2)过点 B(-5,2)的切线方程. 答案(1)4x-3y-25=0(2)21x-20y+145=0 或 x=-5. 3. 圆的标准方程及其应用回顾: (x-a)2+(y-b)2=r2 其中圆心坐标为(a,b) ,半径为 r. 2 2 2 2 2 变形圆的标准方程 x +y -2ax-2by+a +b -r =0, 由此可见,任一个圆的方程都可以写成下面的形式: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, ① 反过来,我们研究形如①的方程的曲线是不是圆. 将①的左边配方,整理得

(x ?

D 2

)2 ? ( y ?

E 2

)2 ?

D2 ? E 2 ? 4F 4





(1)当 D2+E2-4F>0 时,比较方程②和圆的标准方程,可以看出方程①表示以 (-D/2,-E/2)为圆心,半径为
1 D 2 ? E 2 ? 4F 的圆. 2

(2)当 D2+E2-4F=0 时,方程①只有实数解 x=-D/2,y=-E/2,所以表示一 个点(-D/2,-E/2). (3)当 D2+E2-4F<0 时,方程①没有实数解,因而它不表示任何图形. 二、解决问题 1. 圆的一般方程: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2+E2-4F>0) ,其中圆心(―D/2,―E/2) ,半径为
1 D 2 ? E 2 ? 4F . 2

2. 二元二次方程表示圆的充要条件: 由二元二次方程的一般形式: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 和圆的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的系数比较, (1)x2 和 y2 的系数相同,且不等于 0,即 A=C≠0; (2)没有 xy 项,即 B=0; (3)D2+E2-4AF>0. 练习: 15

教师备课系统──多媒体教案
1. 下列方程各表示什么图形? (1)x2 + y2 = 0; (2)x2 + y2 -2x + 4y -6 = 0; (3)x2 + y2 + 2ax-b2 = 0. 2. 求下列各圆的圆心与半径. (1)x2 + y2 -6y = 0; ⑵x2 + y2 + 2by = 0; ⑶x2 + y2 -4x + 6y -12= 0. 三、反思应用 例 1 求过三点 O(0,0) 、M1(1,1) 、M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半 径和圆心坐标. 【解析】设所求圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, 用待定系数法,根据所给条件来确定 D、E、F, 因为 O、M1、M2 在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面 的方程,可得

? F ? 0, ? D ? ?8, ? ? 解得 ? E ? 6, ? D ? E ? F ? 2 ? 0, ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0, ? F ? 0, ? ?
于是所求圆方程为:x2+y2-8x+6y=0. 化成标准方程为: (x-4)2+[y-(-3)]2=52, 所以圆半径 r=5,圆心坐标为(4,-3). 说明:例 4 要求学生进一步熟悉待定系数法,并能将圆的一般方程化成标准形式, 并求出相应半径与圆心半径. 例 2 已知一曲线是与两个定点 O(0,0) 、A(3,0)距离的比为 1/2 的点的轨迹, 求此曲线的方程,并画出曲线. 【解析】在给定的坐标系里,设点 M(x,y)是曲线上的任意一点,也就是点 M 属 于集合 | OM | 1 P ? {M | ? }. | AM | 2 由两点间的距离公式,点 M 所适合的条件可以 表示为

x2 ? y2 ( x ? 3) ? y
2 2

?

1 , 2



将①式两边平方,得

x2 ? y2 1 ? 2 2 ( x ? 3) ? y 4

化简得 x2+y2+2x-3=0, ② 2 2 化为标准形式得: (x+1) +y = 4. 所以方程②表示的曲线是以 C(-1,0)为圆心,2 为半径的圆,它的图形如图所 16

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
示. 例 3 求过原点及点 A(1,1)且在 x 轴上截得的线段长为 3 的圆的方程. 【解析】设所求圆的方程为:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,则

? F =0, ? ? D ? E ? F ? 2 ? 0,
又圆被 x 轴上截得的线段长为 3,即|D|=3 ∴D=± 3,当 D=3 时,E=-5,F=0;当 D=-3 时,E=1,F=0. 故所求的圆的方程为:x2 + y2 + 3x -5y = 0 或 x2 + y2 -3x +y = 0. 课堂练习:P123 练习:1,2,3. 四、课堂小结 1.圆的一般方程的结构特点. 2 用配方法化一般方程为标准方程. 3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹方程. 五 布置作业 P124 习题 4.1A 组:1,2,3,4.
新疆

王新敞
学案

17


相关文章:
1.示范教案(4.1.1 圆的标准方程)
1.示范教案(4.1.1 圆的标准方程)_数学_高中教育_教育专区。SX-2013-10-30-...SX-2013-10-30-026 第四章 圆与方程 编写:杨晓敏 4.1 圆的方程 4.1.1 圆...
4.1.2圆的一般方程教学设计
4.1.2 圆的一般方程教学设计三维目标:知识与技能 : (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方 程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方...
4.1.2圆的一般方程(教案)
高中数学必修二《圆的方程》相关教案 习题 检测题及答案高中数学必修二《圆的方程》相关教案 习题 检测题及答案隐藏>> 必修2 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般...
第四章圆与方程复习教案(教师)
第四章圆与方程复习教案(教师)_数学_高中教育_教育专区。圆与方程复习【学习...圆心及半径有关的一般设圆的标准方程,已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的...
4.1 圆的方程 教学设计 教案
4.1 圆的方程 教学设计 教案教学准备 1. 教学目标知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 ...
数学必修2第四章圆与方程教案有三维目标
数学必修2第四章圆与方程教案有三维目标_数学_高中教育_教育专区。第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程授课类型:新授课 授课时间:第周年月日(星期 ) 一、教学...
圆的一般方程第二课时教案-人教A版数学必修二第四章圆与方程4.1
圆的一般方程第二课时教案-人教A版数学必修二第四章圆与方程4.1_数学_高中教育_教育专区。圆的一般方程第二课时教案-人教A版数学必修二第四章圆与方程4.1精彩的...
数学必修2 第四章 圆与方程教案
数学必修2 第四章 圆与方程教案_数学_高中教育_教育专区。第 1 页共 13 页 第四章 圆与方程错误!未找到引用源。4.1.1 圆的标准方程 三维目标:知识与技能:...
第四章 圆与方程集体备课教案
第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程教学三维目标: 知识与技能: 1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程...
更多相关标签:
2015版思修第四章教案 | 2015思修第四章教案 | 七年级数学第四章教案 | 思修第四章教案 | 常微分方程第四章答案 | 北师大七上第四章教案 | 数学物理方程第四章 | 2015版毛概教案第四章 |