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三角函数的图象与性质(第1课时)教学设计与思考


“三角函数的图象与性质(第 1 课时) ”教学设计
朱荣峰
(江苏省吴江高级中学 江苏吴江 215200) 1.教学内容的分析 三角函数这一章学习是在学生完成必修 1 函数的第一阶段学习的基础上, 进行第二阶段函数的学 习。主要的学习内容是三角函数的概念、图象与性质,以及函数模型的简单应用。研究的方法主要是 代数变形和图象分析。三角函数是重要的数学模型之一,是研究自然界周期变化规律最强有力的数学 工具,三角函数作为描述周期现象的重要数学模型,与其他学科(特别是物理、天文学)联系紧密。 《三角函数的图象与性质(第 1 课时) 》这节课是是在已有函数基础知识和三角函数线知识的基 础上,来研究正弦函数的图象与性质的,它是学习三角函数图象与性质的入门课,是今后研究余弦函 数、正切函数的图象与性质、正弦型函数 y ? A sin(wx ? ? ) 的图象的知识基础和方法准备。因此, 本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。 2.教学目标 2.1 知识与技能 (1)能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象; (2)会用“五点法”画出正(余)弦函数的图象; (3)掌握用列表描点画出由正(余)弦函数经简单复合后的函数的草图; (4)通过组织学生观察、猜想、验证与归纳,培养学生的数学能力。掌握利用数形结合思想分 析问题、解决问题的技能。 2.2 过程与方法 借助单位圆,利用三角函数线, 作出正弦函数图象; 让学生通过类比,联系正弦函数的诱导公式, 自主探究出余弦函数的诱导公式;能学以致用,尝试用五点作图法作出余弦函数的图像,并能结合图 像分析得到余弦函数的性质。 2.3 情感、态度与价值观 (1)通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习精神; (2)会用联系的观点看问题,培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,使学生理解 动与静的辩证关系,激发学生的学习积极性; (3)培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自 信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而 不舍的钻研精神。 3.教学重点与难点 重点:用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线。 难点:借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象。 4.教学方法与教学手段 教学方法:启发式引导,开放式探究,互动式讨论,发现法教学 学习方法:自主探究,观察发现,合作交流,归纳总结。 教学手段:多媒体投影,计算机辅助。 5.教学过程 (一)问题情境
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问题1. 单位圆和三角函数线是研究三角函数的重要几何工具, 上一节课我们已经知道 y ? sin x 是一个周期函数,它的周期是什么?( 2? ) 问题2.那么我们不禁要问 y ? sin x 还有其它哪些性质呢?研究函数性质最直观的工具是什 么?(函数图象) 画出 y ? sin x , x ? ?0,2? ? 呢?画图主要用什么方法?(描点法) 问题 3.由于 y ? sin x 是一个周期函数,我们只要画出 y ? sin x 在 x ? ?0,2? ? 的图象,怎样才能 问题 4.怎样在 y ? sin x , x ? ?0,2? ? 上取点呢?(学生回答) 设计意图:让学生先想几个特殊点,然后找到一般的点的画法,从而化解本节课的难点,也符合 新课程:让学生自己探索的理念。这几个问题逐步展开, 让学生感悟,给学生一定的思考讨论的时间。 (二)学生活动 1.利用三角函数线画出 x ? 找到了一个点 P (

?
3

的正弦线。 (让同学自己在草稿上画,让学生活动起来)

) ,如何用正弦线在直角坐标系作点 P ( , sin ) ? 3 3 3 3 ? ? (在单位圆中作出 终边,与终边的交点为 P,则 AP 的长为 ,这样以弧 AP 的长为横坐标标 3 3 ? ? 出 。 那么 sin 值如何标记?(正弦线平移得到) ) 3 3 2.如何作坐标为( x0 , sin x0 ) 的点S? (在单位圆中设弧 AP 的长为 x0 (即 ?AO?P ? X 0 )则 MP= sin x0 。所以点 S( x0 , sin x0 ) 是以 , sin
弧 AP 的长为横坐标,正弦线 MP 的数量为纵坐标的点。 ) 3.如何利用正弦线画出 y ? sin x , x ? ?0,2? ? 的图象呢?(几何作图法) (给学生一定的思考讨论时间,全班分成若干组,就近原则每组 3-4 人。学生分组讨论研究,总 结交流成果。 ) 设计意图:这是本节课的难点。分组合作交流,为学生提供一个轻松、开放的学习环境,有助于 有效地组织课堂学习,有助于带动和提高全体(包括差生)学习的积极性、主动性,更有助于培养学 生的集体荣誉感,以及他们的竞争意识。老师的点拨,学生探究实践,进一步加深学生对几何法作正 弦函数图象的理解。 (三)数学建构 1.几何法作 y ? sin x , x ? R 的图象 (1)动手操作,总结步骤: (教师引导) ①建立直角坐标系,在 Y 轴左侧作单位圆; ②单位圆分成 12 等份(份数宜取 6 的倍数,份数越多,画出的图象越精确) ,过单位圆上的各分 点作 x 轴的垂线,可以得到对应于 0、

?

?

?

?

? ? ? 、 、 、??、 2? 角的正弦线; 6 3 2 ③找横坐标:把 x 轴上从 0 到 2? 这一段( 2? ≈6.28)分成 12 等份;
④找纵坐标:把角 x 的正弦线向右对应平移,既可指出相应 12 个点; ⑤连线:再用光滑的曲线把这些正弦线的终点从左至右依次连结起来,就得到了函数 y ? sin x , ⑥ 全 图 : 因 为 终 边 相 同 的 角 有 相 同 的 三 角 函 数 值 , 所 以 函 数 y ? sin x 在

x ? ?0,2? ?的图象;

x ? ?2k? ,2(k ? 1)? ? , k ? Z , k ? 0 的图象与函数 y ? sin x , x ? ?0,2? ? 的图象的形状完全一样,只
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是位置不同, 于是只要将它向左、 右平行移动 (每次 2? 个单位长度) 就可以得到正弦函数 y ? sin x , ,

x ? R 的图象。
说明:正弦函数 y ? sin x , x ? R 的图象叫做正弦曲线。 (正弦曲线与正弦线不同) (2)课件演示:

问题:我们已经得到的函数的图象了,正弦函数的图象的形状象什么形?(波浪形) 设计意图:为了给学生认识理解“正弦函数的图象”提供更加形象、直观、清晰的材料,我准备 利用电脑动画模拟演示利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象的过程。 运用多媒体教学手段使问 题变得形象直观,易于突破难点,借以帮助学生完成对所学知识的过程建构。

2.五点法作 y ? sin x , x ? ?0,2? ?的简图

问题: (1)函数 y ? sin x , x ? ?0,2? ?的图象中起着关键作用的点是哪些点? (2)几何作图法虽然比较精确,但是不太实用,如何快捷地画出正弦函数的图象呢?

3? ,?1), (2? ,0) 2 2 事实上,描出这五个点,函数 y ? sin x , x ? ?0,2? ?的图象的形状就基本确定了。今后在精确度
五个关键点: (0,0), (

?

,1), (? ,0), (

要求不太高时,常常先找出这五个关键点,用光滑曲线将它们连结起来即可得到函数的简图,我们把 这种方法称为“五点作图法” 。 (图象中起关键作用的五点,学生可能说不全,应进行耐心引导。 ) 在图中标出关键点的横、纵坐标。请两个学生板演。 ) (2)课件演示: 设计意图:图象是研究、验证性质的工具之一,也是函数的表示方法之一。本环节目的之一是培 养学生的动手能力,目的之二是加深学生对三角函数图象的理解,目的之三是为后继学习由三角函数 的图象验证其性质做准备。 (四)数学应用 例 用“五点法”画出下列函数的简图: (1) y ? sin x ? 1, x ? [0,2? ] ; (2) y ? sin 2 x, x ? R ; (3) y ? sin( x ? (1)动手操作: (课堂练习:用“五点作图法”画出函数 y ? sin x , x ? ?0,2? ?的简图。应注意

?
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), x ? R .

3

(教材中直接由 y ? sin x 平移得到 y ? cos x 总体感觉可能对学生来说有点突兀,所以选择了一 个例作过渡,从而导出 y ? sin x 的图象再进行总结,这样感觉上比较顺畅。 ) 设计意图:例中的(1)让同学通过图象了解 y ? sin x ? 1 可由 y ? sin x 向上平移一个单位得到; 例中的(2)是让同学了解 y ? sin 2 x, x ? R 不是正弦函数,而是由一次函数与正弦函数复合而成, 通常用的思想是换元的思想也就是三角函数中常用的大 x 思想, 第二个用途也是为后面的图象变换作 一个铺垫;而例中的(3)一方面由学生通过上题的大 x 思想看出 y ? cos x 可由 y ? sin x 向左平移

个单位得到,另一方面通过设置与正弦函数一样进行比较说明 y ? cos x , x ? ?0,2? ? 也可用五点作图 而得到。 (五)回顾反思: 1.用几何画板的课件把今天的课再回顾一下: (1)正弦函数图象的几何作图法; (2)五点作图法; (3)本节课所涉及到的主要数学思想方法有那些? 2.课前发给学生学案,先完成前面部分,做完以后再看后面部分,让学生预习下一节内容(承 上启下,留下悬念) 。 设计意图:用几何画板的意图是想通过一个几何画板的图象的运用,让这一节课生动起来,同时 也是把用几何方法画正弦函数的图象的方法再从无到有的回顾一下, 让同学再进一步在头脑中清晰地 形成正弦函数的图象的过程。并且通过运动让同学知道正弦函数与余弦函数之间的关系,为下一节课 研究三角函数的性质作一个铺垫。并且培养学生在运动变化的过程中认识客观世界,使学生体会知识 之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣。用学案的意图是描点作图始终是学生的 薄弱环节,学生在作图时随意性很强,直列好表格,画好数轴,这样可以规范画图,让学生经历一个 过程,养成一个严谨的作风,有利于培养学生的良好的个性品质。三个图画在一个坐标系中,能够比 较容易地看出三个函数图象间的关系,为后续学习服务。在做的过程中,通过学生间的互相交流,动 手操作,来加深对这两种曲线的理解,增强数学交流的能力,培养学生数形结合的思想。 (六)作业布置 1.阅读课本并预习; 2. 《自编学案配套作业》 (分当天上课内容书面作业和预习下节内容两部分) 。 设计意图:阅读课本旨在培养学生良好的学习习惯,要强调重视教材,同时也能预习下节内容。 6.教学心得 (1)为了让学生自己能够清晰地在头脑中建立起正弦函数,余弦函数的图象,安排课堂教学时 按照新课程的要求:要学生自己能经历知识的产生,形成的过程,并能主动地探究新的知识。课堂内 容的组织形式是:问题情境→学生活动→数学建构→数学理论→数学运用→回顾反思。 (2)本节课能注重学生发展的自主性 (自主探究和分组讨论) 和数学学习的实践性 (动手操作) , 主张给学生多一点空间、时间,使学生在亲历知识结论的探索中获得对数学价值的认识。 (3)整个教学过程突出三个注重,即①注重问题情景,启发式引导,探究讨论发现法;②注重 学生参与知识的形成过程,体验应用数学知识解决问题的乐趣;③注重师生间、同学间的互动协作, 共同提高。

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