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命题与量词、基本逻辑连接词


命题与量词、基本逻辑联结词复习

双基研习?面对高考

基础梳理 1.命题 判断真假 能____________的语句叫做命题. 2.全称量词与全称命题 (1)全称量词:短语“所有”在陈述中表示所述 事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量词. 全称量词 (2)全称命题:含有___________的命题. (3)全称命题的符号表示

形如“对M中所有x,p(x)”的命题,可用符号简 ?x∈M,p(x) 记为“_________________”. 3.存在量词与存在性命题 (1)存在量词:短语“有一个”或“有些”或“至 少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分, 存在量词 逻辑中通常叫做____________. 存在量词 (2)存在性命题:含有____________的命题. (3)存在性命题的符号表示 形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,用 ?x∈M,q(x) 符号简记为_________________.

4.基本逻辑联结词 或 常用的基本逻辑联结词有“____”、“____”、 且 非 “____”. 5.命题p∧q,p∨q,非p的真假判断
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真

6.含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) 命题的否定 _________________ ?x∈M,非p(x) ?x∈M,非p(x) ___________________

?x∈M,p(x)

思考感悟 全称命题与存在性命题的否定有什么关系? 提示:全称命题的否定是存在性命题,存在性

命题的否定是全称命题.

课前热身 1.下列命题中是全称命题并且是真命题的是 ( ) A.所有菱形的四条边都相等 B.若2x为偶数,则x∈N C.若x∈R,则x2+2x+1>0 D.π是无理数 答案:A

2.对命题“?x0∈R,x02-2x0 +4≤0”的否定正 确的是( ) A.?x0∈R,x02-2x0+4>0 B.?x∈R,x2-2x+4≤0 C.?x∈R,x2-2x+4>0 D.?x∈R,x2-2x+4≥0 答案:C

3.设p:大于90°的角叫钝角,q:三角形三边 的垂直平分线交于一点,则p与q的复合命题的真 假是( ) A.“p∨q”假 B.“p∧q”真 C.“非q”真 D.“p∨q”真 答案:D

4.命题p:?x∈R,f(x)≥m,则命题p的否定 非p是______________________________. 答案:?x0∈R,f(x0)<m

5. 命题 p: 0∈R, 2+ax0+1≤0 为假命题, ?x x0 则实数 a 的取值范围是________.
答案:(-2,2)

考点探究?挑战高考

考点突破 判断含有逻辑联结词的命题的真假

“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题真假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题p、q的真假; (3)确定“p∧q”“p∨q”“非p”形式命题的真假.

例1

写 出 由 下 列 各 组 命 题 构 成 的 “p 或 q” 、

“p且q”、“非p”形式的复合命题,并判断真 假. (1)p:平行四边形的对角线相等; q:平行四边形的对角线互相垂直; (2)p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同;

q:方程x2+x-1=0的两实根的绝对值相等.

【思路分析】

(1)利用“或”、“且”、“非”

把两个命题联结成新命题; (2)根据命题p和命题q的真假判断复合命题的真 假.

【解】 (1)p∨q:平行四边形的对角线相等或互相 垂直.假命题. p∧q:平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命 题 非p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题. (2)p∨q:方程x2+x-1=0的两实根符号相同或绝对 值相等.假命题. p∧q:方程x2+x-1=0的两实根符号相同且绝对值 相等.假命题. 非p:方程x2 +x-1=0的两实根符号不相同.真命 题.

【名师点评】

正确理解逻辑联结词“或”、

“且”、“非”的含义是解题的关键,应根据

组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结
词,进行命题结构与真假的判断.

互动探究1

把例1中的要求改为“写出下列各

组命题构成的(非p)∨(非q),(非p)∧(非q)形式 的复合命题,并判断真假”.

解:(1)非p:有些平行四边形的对角线不相等,真命题. 非q:有些平行四边形的对角线不互相垂直, 真命题. (非p)∨(非q):有些平行四边形的对角线不相等或不 互相垂直,真命题. (非p)∧(非q):有些平行四边形的对角线不相等且不 互相垂直,真命题.

(2)非p:方程x2+x-1=0的两实根符号不相同, 真命题. 分q:方程x2+x-1=0的两实根的绝对值不相等, 真命题. (非p)∨(非q):方程x2+x-1=0的两实根符号不 相同或绝对值不相等,真命题. (非p)∧(非q):方程x2+x-1=0的两实根符号不 相同且绝对值不相等,真命题.

全称(存在性)命题及真假判断

(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集 合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称 命题为假命题,只要能举出集合M中的一个x= x0,使得p(x0)不成立即可. (2)要判断一个存在性命题为真命题,只要在限定 集合M中,至少能找到一个x=x0 ,使p(x0)成立 即可;否则,这一存在性命题就是假命题.

例2 判断下列命题的真假.

1 (1)?x∈R,x -x+1> ; 2 (2)?α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ; (3)?x,y∈N,x-y∈N; (4)?x0,y0∈Z, 2x0+y0=3.
2

【思路分析】 (1)(3)中含全称量词,使每一个x 都成立才为真;(2)(4)中含存在量词,存在一个 x0成立即为真.

【解】 3 1 ≥ > . 4 2

1 2 3 (1)真命题,∵x -x+1=(x- ) + 2 4
2

π π (2)真命题,如 α= ,β= 符合题意. 4 2 (3)假命题,如 x=1,y=5,但 x-y=-4?N. (4)真命题,如 x0=0,y0=3 符合题意.

【规律小结】

(1)要证全称命题是真命题,必须

确定对集合中的每一个元素都成立,若是假命题, 举一反例即可. (2)要证存在性命题是真命题,只要在限定集合中,

找到一个元素使得命题成立即可.

全称命题与存在性命题的否定 全称(存在性)命题的否定与命题的否定有着一定

的区别,全称命题的否定是将全称量词改为存
在量词,并把结论否定.存在性命题的否定是

将存在量词改为全称量词,并把结论否定;而
命题的否定是直接否定其结论.

例3 写出下列命题的否定并判断其真假.

(1)p:不论 m 取何实数值,方程 x2+mx-1=0 必有实数根; (2)p:有的三角形的三条边相等; (3)p:菱形的对角线互相垂直; (4)p:?x0∈N,x2-2x0+1≤0. 0

【思路分析】

【解】 (1)非 p: 存在一个实数 m0, 使方程 x2+m0x -1=0 没有实数根.因为该方程的判别式 Δ=m2+ 0 4>0 恒成立,故非 p 为假命题. (2)非 p:所有的三角形的三条边不全相等. 显然非 p 为假命题.

(3)非p:有的菱形的对角线不垂直. 显然非p为假命题. (4)非p:?x∈N,x2-2x+1>0. 显然当x=1时,x2-2x+1>0不成立,故非p是假 命题.

【名师点评】

常见量词的否定形式

求参数的取值范围 解决这类问题时,应先根据题目条件,推出每

一个命题的真假(有时不一定只有一种情况),然
后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围,

最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取
值范围.

例4 已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负

实根;q:方程4x2 +4(m-2)x+1=0无实根,
若p或q 为真 ,p且q为假 ,求实 数 m的 取 值范 围. 【思路分析】 先求出当p、q为真命题时m的 取值范围.再根据“p或q”,“p且q”的真假 进一步求出m的取值范围.

【解】

?Δ=m2-4>0 p:? ,解得 m>2. ?m>0

q:Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0. 解得 1<m<3. ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假. ∴p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真. ?m>2 ?m≤2 即? 或? . ?m≤1或m≥3 ?1<m<3 解得 m≥3 或 1<m≤2. 综上,m 的取值范围是 m≥3 或 1<m≤2.

【误区警示】

在求m的取值范围时,一是不

注意端点值,二是由p,q的真假列关于m的不

等式不正确.
互动探究2 在本例中,若将条件“p或q为真,

p且q为假”,改为“p且q为真”,结果如何?

解:p 且 q 为真,则 p、q 同时为真,
?m>2 ? 则? ?1<m<3 ?

,∴2<m<3.故 m 的取值范围为

2<m<3.

方法感悟 方法技巧

1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中,
字面上未出现“或”与“且”字,此时应从语句的陈述

中搞清含义,从而分清是“p或q”还是“p且q”形
式.一般地,若两个命题属于同时都要满足的为“

且”,属于并列的为“或”.

2.逻辑联结词中,较难理解含义的是“或”,应 从以下两个方面来理解概念:(1)逻辑联结词中 的“或”与集合中的“或”含义的一致性.(2)结合 实例,剖析生活中的“或”与逻辑联结词中的“或 ”之间的区别.生活中的“或”一般指“或此或彼 只必具其一,但不可兼而有之”,而逻辑联结词 中的“或”具有“或此或彼或兼有”三种情形. 3.“非”的含义就是对“命题的否定”.课标只要 求能正确地对“含有一个量词的命题”进行否 定.

失误防范 1.p∨q为真命题,只需p、q有一个为真即可, p∧q为真命题,必须p、q同时为真.(如例1) 2.p或q的否定为:非p且非q;p且q的否定为:非p 或非q. 3.对一个命题进行否定时,要注意命题所含的量 词,是否省略了量词,否定时将存在量词变为全称 量词,将全称量词变为存在量词,同时也要否定命 题的结论.(如例3)

真题透析 (2010年高考课标全国卷)已知命题p1 :函 数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+ 2-x在R上为减函数,则在命题q1:p1∨p2,q2: p1∧p2,q3:(非p1)∨p2和q4:p1∧(非p2)中,真命 题是( ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4


【解析】 法一:函数 y=2 -2 是一个增函数 -x x 与一个减函数的差, 故函数 y=2 -2 在 R 上为 1 x 增函数, 1 是真命题; p 而对 p2: y′=2 ln2- xln2 2 1 1 x x =ln2(2 - x), x∈[0, 当 +∞)时, ≥ x, ln2>0, 2 又 2 2 所以 y′≥0,函数单调递增;同理当 x∈(-∞, 0)时, 函数单调递减, p2 是假命题. 故 由此可知, q1 真,q2 假,q3 假,q4 真.故选 C.

x

-x

法二:1 是真命题同法一; p 由于 2x+2-x≥2 2x·-x 2 =2,故函数 y=2x+2-x 在 R 上存在最小值,故 这个函数一定不是 R 上的单调函数, p2 是假命 故 题.由此可知,q1 真,q2 假,q3 假,q4 真.故选 C.
【答案】 C

【名师点评】 本题考查复合函数的单调性以 及 p∨q 和 p∧q 的真假,有一定难度,处理这 类问题的基本方法为:首先判断 p、q 的真假, 再根据复合命题的形式,确定复合命题的真 假. 本题在判断 p2 的真假时, 也可用下列方法: 5 当 x=1, x=-1 其函数值都为 y= , 一定不是 2 减函数.

名师预测

1.若命题 p:?x∈R,2x2-1>0,则该命题的否 定是( ) A.?x∈R,2x2-1<0 2 B.?x∈R,2x -1≤0 2 C.?x0∈R,2x0-1≤0 D.?x0∈R,2x2-1>0 0
解析:选 C.全称命题的否定为存在性命题.命 题 p 的否定为存在一个实数 x0,使 2x2-1≤0, 0 故选 C.

2.下列说法中,正确的是( ) A.命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是真 命题 B.命题“?x0∈R,x2-x0>0”的否定是“?x 0 ∈R,x2-x≤0” C.命题“p∨q”为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题 D.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条 件 解析:选 B.“?x0∈R,x2-x0>0”为存在性命题, 0 则它的否定应为全称命题, 即“?x∈R,2-x≤0”, x 故选 B.

1 3.已知命题 p:?a,b∈(0,+∞),当 a+b=1 时, + a 1 =3;命题 q:?x∈R,x2-x+1≥0,则下列命题是假 b 命题的是( ) A. (非 p)∨(非 q) B. (非 p)∧(非 q) C. (非 p)∨q D. (非 p)∧q

1 1 1 1 解析:选 B.由基本不等式可得:a+b=(a+b)×(a b a +b)=2+ + ≥4,故命题 p 为假命题,非 p 为真 a b 12 3 2 命题;?x∈R,x -x+1=(x- ) + >0,故命题 2 4 q 为真命题,分 q 为假命题,非 p∧非 q 为假命题, 故选 B.

4.设p:关于x的不等式ax>1的解集为{x|x<0},q:

函数y=lg(ax2 -x+a)的定义域为R,若p∨q为真
命题,p∧q为假命题,则a的取值范围是 ________.

解析:p 真时,0<a<1;q 真时,ax2-x+a>0 对 x ?a>0 1 ∈R 恒成立,则? ,即 a> ;p∨q 为 2 2 ?Δ=1-4a <0 真,p∧q 为假,则 p、q 应一真一假:①当 p 真 q ?0<a<1 ? 1 1 假时,? ?0<a≤ ;②当 p 假 q 真时, 2 ?a≤ 2 ?
?a≤0或a≥1 ? ? 1 ?a> ? 2

1 ?a≥1.综上, a∈(0, ]∪[1, +∞). 2

1 答案:(0, ]∪[1,+∞) 2


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