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初二数学上册培优辅导讲义(人教版)


第 12 讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1.了解在平面内,两条直线的两种位置关系:相交与平行. 2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义,并能用 图形或几何符号表示它们. 3.掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关 系. 经典·考题·赏析 【例 1】如图,三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O,一共构成哪 E A 几对对顶角?一共构成哪几对邻补角? 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角:有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两 C 边的反向延长线. F ⑶邻补角:两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线. 有 6 对对顶角. 12 对邻补角. 【变式题组】 C 01.如右图所示,直线 AB、CD、EF 相交于 P、Q、R,则: ⑴ ∠ ARC 的 对 顶 角 是 . 邻补角 P 是 .⑵中有几对对顶角,几对邻补角? 02.当两条直线相交于一点时,共有 2 对对顶角; Q A 当三条直线相交于一点时,共有 6 对对顶角; 当四条直线相交于一点时,共有 12 对对顶角. F 问:当有 100 条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例2】如图所示,点 O 是直线 AB 上一点,OE、OF 分别平分∠BOC、 ∠AOC. ⑴求∠EOF 的度数; F ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的 定义,以及各角的数量关系,把它们转化为代数式从而求解; A O

【解】⑴∵OE、OF 平分∠BOC、∠AOC =
1 ∠ AOC 2

∴∠EOC=

1 ∠BOC,∠FOC 2

∴ ∠ EOF = ∠ EOC + ∠ FOC =

1 1 ∠ BOC + ∠ AOC = 2 2 1 ? 180 °= 2

1 ??BOC ? ?AOC? 2

又∵∠ BOC +∠ AOC = 180 ° ∴∠ EOF =

90° ⑵∠BOE 的余角是:∠COF、∠AOF;∠BOE 的补角是:∠AOE. 【变式题组】 01.如图,已知直线 AB、CD 相交于点 O,OA 平分∠EOC,且∠EOC D =100°,则∠BOD 的度数是( ) A.20° B. 40° C.50° D.80° E B A E C (第 1 题图) (第 2 题图) O 4

D

1

A

3

2

R D

B

段. C E

02. (杭州)已知∠1=∠2=∠3=62°,则∠4= . 【例3】如图,直线 l1、l2 相交于点 O,A、B 分别是 l1、l2 上 A 的点,试用三角尺完成下列作图: ⑴经过点 A 画直线 l2 的垂线. ⑵画出表示点 B 到直线 l1 的垂线 O B 【 解法指导 】垂线是一条直 线,垂线段是一条线段. 【变式题组】 01. P 为直线 l 外一点, A、 B、 C 是直线 l 上三点, 且 PA=4cm, PB=5cm,PC=6cm,则点 P 到直线 l 的距离为( ) A.4cm B. 5cm C. 不大于 4cm D. 不小于 6cm
1

l2

l1

B

02 如图,一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶,M、N 为位于公路两 侧的村庄; ⑴设汽车行驶到路 AB 上点 P 的位置时距离村庄 M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位置时,距离村庄 N 最近,请在图中的公路上分别画出点 P、Q 的位置. 03.如图,已知 AB⊥BC 于 B,DB⊥EB 于 B,并且∠CBE︰∠ABD=1︰2,请 作出∠CBE 的对顶角,并求其度数. A B A ⑵当汽车从 A 出发向 B 行驶的过程中,在 的路上距离 M 村越 来越近..在 的路上距离村庄 N 越来越近,而距离村庄M越来越远. 【例4】如图,直线 AB、CD 相交于点 O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF= 65°,求∠BOE 和∠AOC 的度数. E 【 解法指导 】图形的定义现可以作为判定图形的依 据,也可以作为该图形具备的性质,由图可得:∠AOF= A 90°,OF⊥AB. O C 【变式题组】 01. 如图, 若 EO⊥AB 于 O, 直线 CD 过点 O, ∠EOD︰∠EOB=1︰3, 求∠AOC、 ∠AOE 的度数. E E 【例5】如图,指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的, 并说出它们的名称: F C ∠1 和∠2: 1 4 D ∠1 和∠3: 2 3 6 A B F ∠1 和∠6: D ∠2 和∠6: ∠2 和∠4: ∠3 和∠5: ∠3 和∠4: A 【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是: 首先弄清所判断的是哪两个角,其次是找到这两个角公共边所在的 直线即截线,其余两条边所在的直线就是被截的两条直线,最后确 定它们的名称. 5 E

D

B

02. 如图, O 为直线 AB 上一点, ∠BOC=3∠AOC, OC 平分∠AOD. ⑴求∠AOC 的度数; ⑵试说明 OD 与 AB 的位置关系.

D B D

O

C

C
2

B

O

A

直线平行. 【变式题组】 01.如图,平行直线 AB、CD 与相交直线 EF,GH 相交,图中的同 旁内角共有( ) A A.4 对 B. 8 对 C.12 对 D.16 对 C 02.如图,找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. 5 3 2 4 1 乙 6 3 4 丙 A 3 5 H 1 2 F E


B D

⑵由∠BCD+∠ADC=180°,可推得 AD∥BC;根据同旁 内角互补,两直线平行. ⑶由∠ACD=∠BAC 可推得 AB∥DC;根据内错角相等,两 直线平行. 【变式题组】 A 01.如图,推理填空.

3 4 7 8 2 1 6 5 甲

03.如图,按各组角的位置判断错误的是( ) A.∠1 和∠2 是同旁内角 2 B.∠3 和∠4 是内错角 4 C.∠5 和∠6 是同旁内角 6 D.∠5 和∠7 是同旁内角 B 【例6】如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行?并说明理由? ⑴∠CBD=∠ADB; A ⑵∠BCD+∠ADC=180° ⑶∠ACD=∠BAC 【解法指导】图中有 即即有同 O 旁内 B

1

⑴∵∠A=∠ (已知) ∴AC∥ED( ) F E ⑵∵∠C=∠ (已知) ∴AC∥ED( ) ⑶∵∠A=∠ (已知) B D ∴AB∥DF( ) 02.如图,AD 平分∠BAC,EF 平分∠DEC,且∠1=∠2,试说明 DE 与 AB 的位置关系. 解:∵AD 是∠BAC 的平分线(已知) A ∴∠BAC=2∠1(角平分线定义) 1 又∵EF 平分∠DEC(已知) E ∴ 7 C 2 ( ) 又∵∠1=∠2(已知) B ∴ D F D ( ) ∴AB∥DE( )

C

C

C 03.如图,已知 AE 平分∠CAB,CE 平分∠ACD.∠CAE+∠ACE =90°,求证:AB∥CD. A E C
3

角,有“

”即有内错角.

B

【解法指导】⑴由∠CBD=∠ADB,可推得 AD∥BC;根据内错角相等,两

D

04.如图,已知∠ABC=∠ACB,BE 平分∠ABC,CD 平分∠ACB,∠EBF=∠ EFB,求证:CD∥EF. A D E

于 11°.

B

C

F

【例7】如图⑴,平面内有六条两两不平行的直线,试证:在所有的交角中, 至少有一个 l4 l4 l3 l3 l5 角小于 31°. l5 l2 l6 l2 l6 l1 l1

02. 在同一平面内有 2010 条直线 a1,a2,?, a2010,如果 a1⊥a2,a2∥a3, a3⊥a4,a4∥a5??那么 a1 与 a2010 的位置关系是 . 03.已知 n(n>2)个点 P1,P2,P3?Pn.在同一平面内没有任何三 点在同一直线上, 设 Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直 线的条数, 显然: S2=1, S3=3, S4=6, ∴S5=10?则 Sn= . 演练巩固·反馈提高 01.如图,∠EAC=∠ADB=90°.下列说法正确的是( ) A.α 的余角只有∠B B.α 的邻补角是∠DAC C.∠ACF 是 α 的余角 D.α 与∠ACF 互补 E E A A A α M B B D C F C F N D B D 第 4 题图 C

图⑴

图⑵

【解法指导】 如图⑵, 我们可以将所有的直线移动后, 使它们相交于同一点, 此时的图形为图⑵. 证明:假设图⑵中的 12 个角中的每一个角都不小于 31° 则 12?31°=372°>360° 这与一周角等于 360°矛盾 所以这 12 个角中至少有一个角小于 31° 【变式题组】 01.平面内有 18 条两两不平行的直线,试证:在所有的交角中至少有一个角小

第 1 题图 第 2 题图 02.如图,已知直线 AB、CD 被直线 EF 所截,则∠EMB 的同位角为 ( ) A.∠AMF B.∠BMF C.∠ENC D.∠END 03.下列语句中正确的是( ) A.在同一平面内,一条直线只有一条垂线 B.过直线上一点的直线只有一条 C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 D.垂线段就是点到直线的距离 04. 如图, ∠BAC=90°, AD⊥BC 于 D, 则下列结论中, 正确的个数有 ( ) ①AB⊥AC ②AD 与 AC 互相垂直 ③点 C 到 AB 的垂线段是线段 AB ④线段 AB 的长度是点 B 到 AC 的距离 ⑤垂线段 BA 是点 B 到 AC 的距离 ⑥AD >BD A.0 B. 2 C.4 D.6
4

05.点 A、B、C 是直线 l 上的三点,点 P 是直线 l 外一点,且 PA=4cm,PB= 5cm,PC=6cm,则点 P 到直线 l 的距离是( ) A.4cm B.5cm C.小于 4cm D.不大于 4cm 06. 将一副直角三角板按图所示的方法旋转 (直角顶点重合) , 则∠AOB+∠DOC = . c C D B G B A O 第 6 题图 1 H 第 7 题图 第 9 题图 F C b A E D a 2 1 3 4 6 5 7 8

13.如图,推理填空: ⑴∵∠A= ∴AC∥ED( ⑵∵∠2= ∴AC∥ED( ⑶∵∠A+ ∴AB∥FD.

(已知) ) (已知) ) =180°(已知)

14.如图,请你填上一个适当的条件

使 AD∥BC. F E A B D 第 14 题图 C

07.如图,矩形 ABCD 沿 EF 对折,且∠DEF=72°,则∠AEG= . 08.在同一平面内,若直线 a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,?则 a1 a10.(a1 与 a10 不重合) 09.如图所示,直线 a、b 被直线 c 所截,现给出下列四个条件:①∠1=∠5, ②∠1=∠7,③∠2+∠3=180°,④∠4=∠7,其中能判断 a∥b 的条件的 序号是 . 10.在同一平面内两条直线的位置关系有 . 11.如图,已知 BE 平分∠ABD,DE 平分∠CDB,且∠E=∠ABE+∠EDC.试 说明 AB∥CD? A 12.如图,已知 BE 平分∠ABC,CF 平分∠BCD,∠1 =∠2,那么直线 AB 与 CD 的位置关系如何? A 1 E 2 E C

B

D B

F

5

C

D

培优升级·奥赛检测 01.平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是( ) A.1,3 B.0,1,3 C.0,2,3 D.0,1,2,3 02.平面上有 10 条直线,其中 4 条是互相平行的,那么这 10 条直线最多能把平 面分成( )部分. D A.60 B. 55 C.50 D.45 A 03.平面上有六个点,每两点都连成一条直线,问除了原来的 6 个点之外,这些直线最多还有( )个交点. A.35 B. 40 C.45 D.55 C 04 . 如 图 , 图 上 有 6 个 点 , 作 两 两 连 线 时 , 圆 内 最 多 有 __________________交点. B 05.如图是某施工队一张破损的图纸,已知 a、b 是一个角的两 边,现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线,请你帮助这个施 工队画出这条平行线,并证明你的正确性.

09.如图,在一个正方体的 2 个面上画了两条对角线 AB、 AC,那么两条对角线的夹角等于( ) A.60° B. 75 ° C . 90 ° D.135° E

C

A

10.在同一平面内有 9 条直线如何安排才能满足 下面的两个条件? B ⑴任意两条直线都有交点; F ⑵总共有 29 个交点. 第 13 讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 1.掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联 系; 2.初步了解命题,命题的构成,真假命题、定理; 3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直 a b 线的位置关系,感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析 【例1】 如图, 四边形 ABCD 中, AB∥CD, BC∥AD, ∠A=38°, D 求∠C 的度数. 06. 平面上三条直线相互间的交点的个数是 ( ) 【解法指导】 A.3 B.1 或 3 C.1 或 2 或 3 D.不一定是 1,2,3 两条直线平行,同位角相等; A 07.请你在平面上画出 6 条直线(没有三条共点)使得它们中的每条直线都恰好 两条直线平行,内错角相等; 与另三条直线相交,并简单说明画法? 两条直线平行,同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一,必须正确识别图形的特征,看 08.平面上有 10 条直线,无任何三条交于一点,要使它们出现 31 个交点,怎么 清截线,识别角的关系式关键. 安排才能办到? 【解】 :∵AB∥CD BC∥AD ∴∠A+∠B=180° ∠B+∠C=180° (两条直线平行,同旁内角互补) ∴∠A=∠C ∵∠A=38° ∴∠C=38°

6

【变式题组】 01.如图,已知 AD∥BC,点 E 在 BD 的延长线上,若∠ADE=155° ,则∠DBC 的度数为( ) A.155° B.50° C.45° D.25° A D B (第 1 题图) F C 2 α 1 1 (第 2 题图) E 3 2 l2 l1

【变式题组】 01.如图,已知 AF∥BC, 且 AF 平分∠EAB,∠B=48° ,则∠C 的的度数= _______________ E A D B C B O E C A D N P (第 3 题图) A B M C

F

C

(第 1 题图)

(第 2 题图)

A

B D (第 3 题图) E

02.如图,已知∠ABC+∠ACB=120°,BO、CO 分别∠ABC、∠ACB,DE 过点 O 与 BC 平行,则∠BOC=___________ 03.如图,已知 AB∥ MP∥CD, MN 平分∠AMD,∠A=40°,∠D=50°,求 ∠NMP 的度数.

02. (安徽)如图,直线 l1 ∥ l2,∠1=55° ,∠2=65° ,则∠3 为( ) A. 50° B. 55° C. 60° D.65° 03.如图,已知 FC∥AB∥DE,∠α:∠D:∠B=2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B 的度数. 【例2】如图,已知 AB∥CD∥EF,GC⊥CF,∠B=60° ,∠EFC=45° , 求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平 A 分线相结合,可求各种位置的角的度数,但注意看清角的位置. 【 解 】 ∵ AB ∥ CD ∥ EF ∴ ∠ B = ∠ BCD ∠F=∠ FCD(两条直线平行,内错角相等 )又∵∠ B= 60° ∠ EFC= 45° C ∴∠ BCD = 60° ∠ FCD= 45° 又∵ GC⊥ CF ∴∠ GCF= 90° (垂直定理) ∴∠GCD=90° -45° =45° ∴∠BCG=60° E -45° =15°

【例3】如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D. 求证:∠A=∠F. 【解法指导】 因果转化,综合运用. 逆向思维:要证明∠A=∠F,即要证明 DF∥AC. 要证明 DF∥AC, 即要证明∠D+∠DBC=180°, 即:∠C+∠DBC=180°;要证明∠C+∠DBC =180°即要证明 DB∥EC. 要证明 DB∥EC 即要 B 证明∠1=∠3. 证明:∵∠1=∠2,∠2=∠3(对顶角相等)所以∠1=∠3 ∴ G DB∥EC(同位角相等?两直线平行)∴∠DBC+∠C=180°(两直线 平行,同旁内角互补)∵∠C=∠D ∴∠DBC+∠D=180° ∴DF D ∥AC(同旁内角,互补两直线平行)∴∠A=∠F(两直线平行,内 错角相等) E F F D 2 3 A 1 B C
7

【变式题组】 01.如图,已知 AC∥FG,∠1=∠2,求证:DE∥FG A

01.如图,若 AE⊥BC 于 E,∠1=∠2,求证:DC⊥BC. C 1 2 D F 3 B A 1 2 B E

D

E G (第 1 题图) 02.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B. 求证:∠AED=∠ACB D 1 B A 3 E

C

02.如图,在△ABC 中,CE⊥AB 于 E,DF⊥AB 于 F, AC∥ED,CE 平分∠ ACB. 求证:∠EDF=∠BDF. A E F B D C

F 2 C

03.如图,两平面镜 α、β 的夹角 θ,入射光线 AO 平行 于 β 入射到 α 上,经两次反射后的出射光线 O′B 平行 于 α,则角 θ 等于_________. O θ

(第 2 题图) α B

3.已知如图,AB∥CD,∠B=40°,CN 是∠BCE 的平分线. CM⊥CN,求: ∠BCM 的度数. β O
/

A N

B

【例4】如图,已知 EG⊥BC,AD⊥BC,∠1=∠3. 求证:AD 平分∠BAC. 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的,仔细分析 条件给我们带来的结论,对于不能直接直接得出结论 的条件,要准确把握住这些条件的意图.(题目中的: ∠1=∠3) 证明:∵EG⊥BC,AD⊥BC ∴∠EGC=∠ADC=90° (垂直定义)∴EG∥AD(同位角相等,两条直线平行) B ∵∠1=∠3 ∴∠3=∠BAD(两条直线平行,内错角相等) ∴AD 平分∠BAC(角平分线定义) 【变式题组】

E A 1 3 E C

M D

G

D

C

8

【例5】已知,如图,AB∥EF,求证:∠ABC+∠BCF+∠CFE=360° 善于从复杂的图形中找到基本图形,运用基本图形的规律打开思路. 【解法指导】从考虑 360° 这个特殊角入手展开联想,分析类比, 【解】过点 E 作 EH∥AB. 过点 F 作 FG∥AB. ∵AB∥EH ∴∠α=∠ 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 1(两直线平行,内错角相等)又∵FG∥AB ∴EH∥FG(平行于同 B 过点 C 作 CD∥AB 即把已知条件 AB∥EF 联系起来,这 一条直线的两直线平行) ∴∠2=∠3 又∵AB∥CD ∴FG∥CD (平 A 是关键. 行于同一条直线的两直线平行)∴∠ψ+∠4=180° (两直线平行,同 1 D 【证明】 :过点 C 作 CD∥AB ∵CD∥AB ∴∠1+∠ 旁内角互补) ∴∠α+∠γ+∠ψ-∠β=∠1+∠3+∠4-ψ-∠1-∠2 C 2 ABC=180° =∠4+ψ=180° (两直线平行,同旁内角互补) 又∵AB∥EF,∴CD∥EF 【变式题组】 F E (平行 01.如图, AB∥EF,∠C=90°,则∠α、∠β、∠γ 的关系是( ) 于同一条直线的两直线平行) ∴∠2+∠CFE=180° (两直线平行, A. ∠β=∠α+∠γ B.∠β+∠α+∠γ=180° 同旁内角互补) ∴∠ABC+∠1+∠2+∠CFE=180° +180° =360° C. ∠α+∠β-∠γ=90° D.∠β+∠γ-∠α=90° 即∠ABC+∠BCF+∠CFE=360° 【变式题组】 02.如图,已知,AB∥CD,∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点 F,∠E=140°, 01.如图,已知,AB∥CD,分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB、∠PCD 求∠BFDA 的度数. B α 的关系, 请你从所得四个关系中选出任意一个, 说明你探究的结论的正确性. A B 结 论 : ⑴ ____________________________ ⑵ C ____________________________ E ⑶ ____________________________ ⑷ γ D F ____________________________ β C D P A B / E B F ,设点 A 移动到点 A ,画出平移后的三角 A 【例7】如图,平移三角形 ABC A B / / / B 形ABC. A 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定,找,移,连. A′ P P P D ⑴定:确定平移的方向和距离. ⑵找:找出图形的关键点. l C ⑴ D C ⑷ C D C ⑶ D ⑵ ⑶移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对 A B′ 【例6】如图,已知,AB∥CD,则∠α、∠β、∠γ、∠ψ 之间的关系是 应点. ∠α+∠γ+∠ψ-∠β=180° ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. B A / / α 【解法指导】基本图形 【解】 ①连接 AA ②过点 B 作 AA 的平行线 l ③在 B A / / / l 截取 BB =AA ,则点 B 就是的 B 对应点,用同样的方法 B α H 1 β C / / / / / / / / / 2 作出点 C 的对应点 C/.连接 A B ,B C ,C A 就得到平移后的三角形 A B C . E P ∠P=α+β 3 F 9 γ 4 β C D ψ C D

C′

【变式题组】 01.如图,把四边形 ABCD 按箭头所指的方向平移 21cm,作出平移后的图形. A D

C 02 .如图 , 已知 三角形 ABC 中,∠C=90° , BC=4,AC= / / / 4, 现将△ABC 沿 CB 方向平移到△A B C 的位置, 若平移距离为 3, 求△ABC A A/

B

02.命题:①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③垂直于同一条直线的两直线 平行;④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 03.一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相 同,两次拐弯的角度可能是( ) A.第一次向左拐 30° ,第二次向右拐 30° B.第一次向右拐 50° ,第二次 向左拐 130° C.第一次向左拐 50° ,第二次向右拐 130° D. 第一次向左拐 60° , 第二次 向左拐 120° 04.下列命题中,正确的是( ) A.对顶角相等 B. 同位角相等 C.内错角相等 D.同 旁内角互补 05.学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法,是 通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷] P. P. P. P.

与△A B C 的重叠部分的面积.

/

/

/

C

C/

B

B/

03.原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着 BC 方向平移 BE 的 距离,就得到此图形,求阴影部分的面积.(单位:厘米) A D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷

8 B 5 E

3 C F A 北 30° 西

演练巩固 反馈提高 01.如图,由 A 测 B 得方向是( ) A.南偏东 30° B.南偏东 60° C.北偏西 30° D.北偏西 60°

从图中可知,小敏画平行线的依据有( ) ①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③同位角相等, 两直线平行;④内错角相等,两直线平行. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 06.在 A、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路,从 A 地测得 B 地的走向是南 偏东 52°.现 A、B 两地要同时开工,若干天后,公路准确对接,则 B 地所 修公路的走向应该是( ) A.北偏东 52° B.南偏东 52° C.西偏北 52° D.北偏西 38° 东
10

B 南

07.下列几种运动中属于平移的有( ) ①水平运输带上的砖的运动;②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动(忽略 车轮的转动) ;③升降机上下做机械运动;④足球场上足球的运动. A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 08.如图,网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置 .平移这个图案,使它 正好位于左上角的位置(不能出格)

11.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例. ⑴对顶角是相等的角;⑵相等的角是对顶角; ⑶两个锐角的和是钝角;⑷同旁内角互补,两直线平行.

12.把下列命题改写成“如果??那么??”的形式,并指出命题的真假. ⑴互补的角是邻补角; ⑵两个锐角的和是锐角; ⑶直角都相等.

09.观察图,哪个图是由图⑴平移而得到的(



10.如图,AD∥BC,AB∥CD,AE⊥BC,现将△ABE 进行平移. 平移方向为射 线 AD 的方向. 平移距离为线段 BC 的长,则平移得到的三角形是图中( ) 图的阴影部分. D A D A D A

13.如图,在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A=120° ,第二个拐弯处∠B =150° ,第三个拐弯处∠C,这时道路 CE 恰好和道路 AD 平行,问∠C 是多 少度?并说明理由.

D



E

120° B E A C B E B C B E C C B E D C E D

150° B

C

11

14.如图,一条河流两岸是平行的,当小船行驶到河中 E 点时,与两岸码头 B、 D 成 64°角. 当小船行驶到河中 F 点时,看 B 点和 D 点的视线 FB、FD 恰 好有∠1=∠2,∠3=∠4 的关系. 你能说出此时点 F 与码头 B、D 所形成的 角∠BFD 的度数吗? A 1 2 F C E
3 4

B

15.如图,AB∥CD,∠1=∠2,试说明∠E 和∠F 的关系. A 1 3

03.如图,长方体的长 AB=4cm,宽 BC=3cm, D 高 AA1=2cm. 将 AC 平移到 A1C1 的位置上 时,平移的距离是 ___________,平移的方向 B 是___________. A D1 04.如图是图形的操作过程(五个矩形水平方向 的边长均为 a,竖直方向的边长为 b) ;将线 段 A1A2 向右平移 1 个单位得到 B1B2,得到 A1 B1 封闭图形 A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴ ]; 将折现 A1A2 A3 向右平移 1 个单位得到 B1B2B3, 得到封闭图形 A1A2 A3B3B2B1 D [即阴影部分如图⑵]; ⑴在图⑶中,请你类似地画出一条有两个折点的直线,同样的向右平移 1 个 单位,从而得到 1 个封闭图形,并画出阴影. ⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积 S1=________, S2=________, S3= ________. B ⑶联想与探究:如图⑷,在一矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路 (小路在任何地方的水平宽度都是 1 个单位) ,请你猜想空白部分草地面积 E 是

C

C1

F C A D E F

4
2

P

D A1 B1 A1 B1 A2 B2 草地 A2 B2 多少? ⑴ A3 B3 ⑵ ⑶ ⑷ A4 B4 ⑸ 草地 A1 B1 A2 A3 B2 B3

培优升级·奥赛检测 01.如图,等边△ABC 各边都被分成五等分,这样在 △ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有 25 个,那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三 角形共有( )个

02.如图,一足球运动员在球场上点 A 处看到足球从 B 点沿着 BO 方向匀速滚来,运动员立即从 A 处 B C 以匀速直线奔跑前去拦截足球 .若足球滚动的速 度与该运动员奔跑的速度相同,请标出运动员的平移方向及最快能截住足球 A 的位置.(运动员奔跑于足球滚动视为点的平移)

.

12

.
O

.
B

05.一位模型赛车手遥控一辆赛车,先前进一半,然后原地逆时针旋转 α° (0° <α° <180° ) ,被称为一次操作,若 5 次后发现赛车回到出发点,则 α° 角为 ( ) A.720° B.108°或 144° C.144° D . 720 ° 或 144° 06.两条直线 a、b 互相平行,直线 a 上顺次有 10 个点 A1、A2、?、A10,直线 b 上顺次有 10 个点 B1、B2、?、B9,将 a 上每一点与 b 上每一点相连可得线 段.若没有三条线段相交于同一点,则这些选段的交点个数是( ) A.90 B.1620 C.6480 D.2006 07.如图,已知 AB∥CD,∠B=100° ,EF 平分∠BEC,EG⊥EF. 求∠BEG 和 ∠DEG. B 100° G F A

FOB=∠AOB,OE 平分∠COF. ⑴求∠EOB 的度数; ⑵若平行移动 AB,那么∠OBC:∠OFC 的值是否随之发生变化?若变化, 找出变化规律;若不变,求出这个比值. ⑶在平行移动 AB 的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?若存 在,求出其度数;若不存在,说明理由. E F C

B

O 10.平面上有 5 条直线,其中任意两条都不平行,那么在这 5 条直线两两相交所 成的角中,至少有一个角不超过 36° ,请说明理由. 11.如图,正方形 ABCD 的边长为 5,把它的对角线 AC 分成 n 段,以每一小段为 对角线作小正方形,这 n 个小正方形的周长之和为多少? A

A

B

D

E

C

08.如图,AB∥CD,∠BAE=30° ,∠DCE=60° ,EF、EG 三等分∠AEC. 问: EF 与 EG 中有没有与 AB 平行的直线?为什么? A B F E

D 12.如图将面积为 a2 的小正方形和面积为 b2 的大正方形放在一起,用添补法 如何求出阴影部分面积?

C

G C D

F 09.如图,已知直线 CB∥OA,∠C=∠OAB=100° ,E、F 在 CB 上,且满足∠ E

A

13

B

C

D

第 06 讲 实 考点·方法·破译 1.平方根与立方根:

数 输入 x 取算术平方根

是无理数 输出 y

若 x 2 =a(a≥0)则 x 叫做 a 的平方根,记为:a 的平方根为 x=± a ,其中 是有理数 a 的平方根为 x= a 叫做 a 的算术平方根. 若 x3=a,则 x 叫做 a 的立方根.记为:a 的立方根为 x= 3 a . 2.无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称实数.实数与数轴上 的点一一对应.任何有理数都可以表示为分数 【 例 2 】( 全 国 竞 赛 ) 已 知 非 零 实 数 a 、 b 满 足

2a ? 4 ? b ? 2 ?
A.-1

? a ? 3? b2 ? 4 ? 2a ,则 a+b 等于(
C.1 D.2

)

B. 0

p (p、q 是两个互质的整数,且 q q

【解法指导】若 a≥3

? a ? 3? b 2

有意义,∵a、b 为非零实数,∴b2>0∴a-3≥0

≠0)的形式. 3 非负数: 实数的绝对值,实数的偶次幂,非负数的算术平方根(或偶次方根)都是非 负数.即 a >0, a 2 n ≥0(n 为正整数) , a ≥0(a≥0) . 经典·考题·赏析 【例 1】若 2m-4 与 3m-1 是同一个数的平方根,求 m 的值. 【解法指导】 一个正数的平方根有两个, 并且这两个数互为相反数. ∵2m ?4 与 3m?l 是同一个数的平方根,∴2m?4 +3m?l=0,5m=5,m=l. 【变式题组】 01.一个数的立方根与它的算术平方根相等,则这个数是____. 02.已知 m 是小于 15 ? 2 的最大整数,则 m 的平方根是____. 03. 9 的立方根是____. 04.如图,有一个数值转化器,当输入的 x 为 64 时,输出的 y 是____.

∵ 2a ? 4 ? b ? 2 ? ∴ 2a ? 4 ? b ? 2 ? ∴?

? a ? 3 ? b 2 ? 4 ? 2a ? a ? 3? b2 ? 4 ? 2a ,∴ b ? 2 ? ? a ? 3? b2
? 0.

?b ? 2 ? 0 ?a ? 3 ? ,∴ ? ,故选 C. 2 ? ?b ? ?2 ?? a ? 3? b ? 0

【变式题组】 0l.在实数范围内,等式 2 ? a ? a ? 2 ? b ? 3 =0 成立,则 ab=____. 02.若 a ? 9 ? ? b ? 3? ? 0 ,则
2

a 的平方根是____. b
2009

?x? 03. (天津)若 x、y 为实数,且 x ? 2 ? y ? 2 ? 0 ,则 ? ? ? y?
A.1 B.-1 C.2 D.-2

的值为( )

14

04.已知 x 是实数,则 x ? ? ? ? ? x ? A. 1 ?

x ?1

?

的值是( )

【例 4】若 a 为 17 ?2 的整数部分,b?1 是 9 的平方根,且 a ? b ? b ? a ,求 a +b 的值. 【解法指导】 一个实数由小数部分与整数部分组成, 17 ?2=整数部分+小 数部分.整数部分估算可得 2,则小数部分= 17 ?2 ?2= 17 ?4.∵a=2,b?1

1

?

B. 1 ?

1

?

C.

1

?

?1

D.无法确定

【例 3】若 a、b 都为有理效,且满足 a ? b ? b ? 1 ? 2 3 .求 a+b 的平方 根. 【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商(除数不为 0)还是有理数, 但两个无理数的和、差、积、商(除数不为 0)不一定是无理数.∵

=±3 ,∴b=-2 或 4
∵ a ? b ? b ? a .∴a<b ,∴a=2, b=4,即 a+b=6. 【变式题组】 01.若 3+ 5 的小数部分是 a,3? 5 的小数部分是 b,则 a+b 的值为____. 02. 5 的整数部分为 a,小数部分为 b,则( 5 +a) ?b=____. 演练巩固 反馈提高 0l.下列说法正确的是( ) 2 A.-2 是(-2) 的算术平方根 B.3 是-9 的算术平方根 C. 16 的平方根是±4 D.27 的立方根是±3 02.设 a ? ? 3 ,b= -2, c ? ?

a ? b ? b ? 1? 2 3 ,
∴ ?

? ? ?a ? 13 ?a ? b ? 1 ?a ? b ? 1 即? ,∴ ? , ? ?b ? 12 ? b ?2 3 ? ? b ? 12

a +b=12 +13=25. ∴a+b 的平方根为: ? a ? b ? ? 25 ? ?5 . 【变式题组】 01. (西安市竞赛题)已知 m、n 是有理数,且( 5 +2)m+(3-2 5 )n+7=0 求 m、n.

5 ,则 a、b、c 的大小关系是( ) 2
D.c<a<b

A.a<b<c B.a<c<b C. b<a<c 03.下列各组数中,互为相反数的是( )

1 ? 1 ? 02. (希望杯试题) 设 x、 y 都是有理数, 且满足方程 ( ? ) x+ ( ? ) y?4? ? 3 2 2 3
=0,则 x?y=____.

A. -9 与 81 的平方根
? ?

B.4 与

3

?64

C.4 与 3 64
? ?

D. 3与 9

04.在实数 1.414, ? 2 ,0.15,5? 16 , ? ,3.14, 3 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D. 5 个

8 中无理数有( 125

)

15

05.实数 a、b 在数轴上表示的位置如图所示,则( ) A.b>a C. -a<b B. a ? b D.-b>a 3※2= 11.对于任意不相等的两个数 a、b,定义一种运算※如下:a※b=

a?b ,如 a ?b

3? 2 = 5 .那么 12.※4=____. 3? 2

12. (长沙中考题)已知 a、b 为两个连续整数,且 a< 7 <b,则 a+b=____. 06.现有四个无理数 5 , 6 , 7 , 8 ,其中在 2 +1 与 3 +1 之间的有 ( ) A. 1 个 B.2 个 C. 3 个
2
2 ? ?a b 13.对实数 a、b,定义运算“*” ,如下 a*b= ? 2 ? ?ab

D .4 个 )

? a≥b ? ,已知 3*m ? a<b ?

=36,

07.设 m 是 9 的平方根,n= A. m=±n B.m=n

? 3 ? .则 m,n 的关系是(
C .m=-n D. m ? n

则实数 m=____. 14.设 a 是大于 1 的实数.若 a,

a ? 2 2a ? 1 , 在数轴上对应的点分别是 A、B、 3 3

08. (烟台)如图,数轴上 A、B 两点表示的数分别为-1 和 3 ,点 B 关于点 A 的对称点 C,则点 C 所表示的数为( )

C,则三点在数轴上从左自右的顺序是____. 15.如图,直径为 1 的圆与数轴有唯一的公共点 P.点 P 表示的实数为-1.如果 该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为 P′, 那么点 P′所表示的数是 ____.

A.-2 ? 3

B.-1 ? 3

C.-2 + 3

D.l + 3 16.已知整数 x、y 满足 x +2

y = 50 ,求 x、y.

09.点 A 在数轴上和原点相距 5 个单位,点 B 在数轴上和原点相距 3 个单位, 且点 B 在点 A 左边,则 A、B 之间的距离为____. 17.已知 2a?1 的平方根是±3,3a+b?1 的算术平方根是 4,求 a+b+1 的立方 根.

1 1 1 10.用计算器探索:已知按一定规律排列的一组数:1, , ?, , 2 3 19 1 .如果从中选出若干个数,使它的和大于 3,那么至少要选____个数. 20

16

18.小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏,如图有一圆心角为 60° ,半径为 1 个 单位长的扇形放置在数轴上,当扇形在数轴上做无滑动的滚动时,当 B 点恰 好落在数轴上时,(1)求此时 B 点所对的数;(2)求圆心 O 移动的路程.

培优升级 奥赛检测 01. (荆州市八年级数学联赛试题) 一个正数 x 的两个平方根分别是 a+1 与 a?3, 则 a 值为( ) A. 2 B.-1 C. 1 D. 0 02. (黄冈竞赛)代数式 x + x ? 1 + x ? 2 的最小值是( ) A.0 B. 1+ 2 C.1 D. 2

03.代数式 5 ? 3x ?2 的最小值为____. 04. 设 a、 b 为有理数, 且 a、 b 满足等式 a2+3b+b 3 =21?5 3 , 则 a+b=____. 05. 若 a ? b =1, 且 3 a =4 b , 则在数轴上表示 a、 b 两数对应点的距离为____. 19.若 b= 3a ? 15 + 15 ? 3a +3l,且 a+11 的算术平方根为 m,4b+1 的 立方根为 n,求(mn?2)(3mn +4)的平方根与立方根. m 满足关系式 06.已知实数 a 满足 2009 ? a ? a ? 2010 ? a ,则 a? 20092=_______.

3x ? 5 y ? 2 ? m ? x ? 3y ? m ? x ?199 ? y ? 199 ? x ? y ,

试确定 m 的值.

2 2 20.若 x、y 为实数,且(x?y+1)2 与 5x ? 3 y ? 3 互为相反数,求 x ? y 的

值.
17

10 . (北 京竞 赛试题 )已知 实 数 a 、 b 、 x 、 y 满足 y + 08. (全国联赛)若 a、b 满足 3 a ? 5 b =7,S= 2 a ? 3 b ,求 S 的取值范围.

x ? 3 ? 1 ? a2 ,

x ? 3 ? y ?1? b2 ,求 2 x ? y ? 2a ?b 的值.

09 . ( 北 京 市 初 二 年 级 竞 赛 试 题 ) 已 知

0<a<1 , 并 且

1? ? 2? ? 3? 28 ? ? 29 ? ? ? a ? ? ? ? a ? ? ? ? a ? ? ?? ? ?? ? a ? ? ? ? a ? ? ? 18 ,求 [10a] ? 30 ? ? 30 ? ? 30 ? 30 ? ? 30 ? ? ?
的值[其中[x]表示不超过 x 的最大整数] .

18

第 14 讲

平面直角坐标系(一)

考点.方法.破译 1.认识有序数对,认识平面直角坐标系. 2.了解点与坐标的对应关系. 3.会根据点的坐标特点,求图形的面积. 经典.考题.赏析 【例 1】在坐标平面内描出下列各点的位置. A(2,1),B(1,2),C(-1,2),D(-2,-1),E(0,3),F(-3,0) 【解法指导】 从点的坐标的意义去思考, 在描点时要注意点的坐标的有序性. 【变式题组】 01. 第三象限的点 P(x, y), 满足|x|=5,2x+|y|=1, 则点 P 得坐标是_____________. 02.在平面直角坐标系中,如果 m.n>0,那么(m, |n|)一定在____________象 限. 03.指出下列各点所在的象限或坐标轴. A(-3,0),B(-2,-

的坐标. 【解法指导】关于 x 轴对称的点的坐标的特点:横坐标(x)相等,纵坐标(y) 互为相反数, 关于 y 轴对称的点的坐标特点: 横坐标互为相反数, 纵坐标(y)相等. 【变式题组】 01.P(-1,3)关于 x 轴对称的点的坐标为____________. 02.P(3,-2)关于 y 轴对称的点的坐标为____________. 03.P(a,b)关于原点对称的点的坐标为____________. 04.点 A(- 3, 2m-1 ) 关于原点对称的点在第四象限,则 m 的取值范围是 ____________. 05.如果点M(a+b,ab)在第二象限内,那么点 N(a,b) 关于 y 轴对称的点在第 ______象限. 【例4】P(3,-4),则点 P 到 x 轴的距离是____________. 【解法指导】P(x,y)到 x 轴的距离是| y|,到 y 轴的距离是|x|.则 P 到轴的距 离是|-4|=4 【变式题组】 01.已知点 P(3,5),Q(6,-5),则点 P、Q 到 x 轴的距离分别是_________, __________.P 到 y 轴的距离是点 Q 到 y 轴的距离的________倍. 02.若 x 轴上的点P到 y 轴的距离是 3,则 P 点的坐标是__________. 03.如果点 B(m+1,3m-5) 到 x 轴的距离与它到 y 轴的距离相等,求 m 的值.

1 1 ),C(2, ),D(0,3),E(π -3.14,3.14-π ) 3 2
) D.第四

【例 2】若点 P(a,b)在第四象限,则点 Q(―a,b―1)在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 象限

【解法指导】∵ P(a,b)在第四象限,∴a>0,b<0,∴-a<0, b-1<0, 故选 C. 【变式题组】 01.若点 G(a,2-a)是第二象限的点,则 a 的取值范围是( ) A.a<0 B.a<2 C.0<a<2 B.a<0 或 a >2 02.如果点 P(3x-2,2-x)在第四象限,则 x 的取值范围是____________. 03.若点 P(x,y)满足 xy>0,则点 P 在第______________象限. 04.已知点 P(2a-8,2-a)是第三象限的整点,则该点的坐标为___________. 【例3】已知 A 点与点 B(-3,4)关于 x 轴对称,求点 A 关于 y 轴对称的点

04.若点(5-a,a-3)在一、三象限的角平分线上,求 a 的值.

05.已知两点 A(-3,m),B(n,4),AB∥x 轴,求 m 的值,并确定 n 的取值范 围.

19

【例5】如图,平面直角坐标系中有 A、B 两点. (1)它们的坐标分别是___________,___________; (2)以 A、B 为相邻两个顶点的正方形的边长为_________; (3)求正方形的其他两个顶点 C、D 的坐标. 【解法指导】平行 x 轴的直线上两点之间的距离是:两个点的横坐标的差得 绝对值, 平行 y 轴的直线上两点之间的距离是: 两个点的纵坐标的差得绝对值. 即: A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB∥x 轴,则|AB|=|x1-x2|;若 AB∥y,则|AB|=|y1- y2| ,则(1)A(2,2),B(2,-1);(2)3;(3)C(5,2),D(5,-1)或 C(-1,2),D(-1, -1). 【变式题组】 01.如图,四边形 ACBD 是平行四边形,且 AD∥x 轴, 说明,A、D 两点的___________坐标相等,请你依 据图形写出 A、B、C、D 四点的坐标分别是 _________ 、 _________ 、 ____________ 、 ____________. 02.已知:A(0,4),B(-3,0),C(3,0)要画出平行四 边形 ABCD,请根据 A、B、C 三点的坐标,写出 第四个顶点 D 的坐标,你的答案是唯一的吗?

(2) 通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将 不规则的图形割补成规则图形,然后计算其面积.则S
△ABC

=S△ABD=S△BCD=

1 1 ?3?5- ?3?1=6. 2 2

【变式题组】 01.在平面直角坐标系中,已知△ABC 三个顶点的坐标 分别为 A(―3,―1),B(1,3),C(2,-3),△ABC 的面积. 02.如图,已知 A(-4,0),B(-2,2),C,0,-1),D(1,0),求四边形 ABDC 的面积.

03.已知:A(-3,0),B(3,0),C(-2, 2),若 D 点在 y 轴上,且点 A、B、C、D 四点所组成的四边形的面 积为 15,求 D 点的坐标.

03.已知:A(0,4),B(0,-1),在坐标平面内求作一点,使△ABC 的面积为 5, 请写出点 C 的坐标规律. 【例 7】如图所示,在平面直角坐标系中,横、纵坐标都为整数的点称为整 点. 请你观察图中正方形 A1B1C1D1、 A2B2C2D2??每个正方形四条边上的整点的 个数,推算出正方形 A10B10C10D10 四条边上的整点共有__________个. 【解法指导】寻找规律,每个正方形四条边上的整点个数为 S=8n, 所以 S10=8?10=80 个.
20

【例 6】平面直角坐标系,已知点 A(-3,-2),B(0,3),C(-3,2),求 △ABC 的面积. 【解法指导】(1)三角形的面积=

1 ?底?高. 2

【变式题组】 01.如图所示,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB 变换成△OA1B1,第二次 将△ OA1B1 变换成△ OA2B2,第三次将△ OA2B2 变成△OA3B3.已知:A(1,2), A1(2,2),A2(4, 2), A3(8, 2), B(2, 0), B1(4, 0), B2(8, 0), B3(16, 0). (1) 观察每次变换前后的三角形有何变化?找出 规律,按此规律再将三角形△OA3B3 变换成△OA4B4, 则 A4 的坐标是____________,B4 的坐标是_____________; (2)若按(1)题找到的规律将△OAB 进行 n 次变换,得到三角形△OAnBn,推 测 An 的坐标是_____________,Bn 的坐标是_____________. 【解法指导】由 AA1A2A3、BB1B2B3 的坐标可知,每变换 一次,顶点 A 的横坐标乘以 2,纵坐标不变,顶点 B 的横坐标 乘以 2,纵坐标不变. 如图,已知 A1(1,0),A2(1,1),A3(-1,1),A4(-1,- 1),A5(2,-1)?则点 A2010 的坐标为_______________. 演练巩固 反馈提高 01.若点 A(-2,n)在 x 轴上,则点 B(n-1,n+1)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 02.若点 M(a+2,3-2a)在 y 轴上,则点 M 的坐标是( ) A.(-2,7) B.(0,3) C.(0,7) D.(7,0) 03.如果点 A(a,b),则点 B(-a+1,3b-5)关于原点的对称点是( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 四象限 04.下列数据不能确定物体位置的是( ) 0 A.六楼 6 号 B.北偏西 40 C.文昌大道 10 号 0 0 26 ,东经 135 05.在坐标平面内有一点 P(a,b),若 ab=0,则 P 点的位置是(

A.原点 B.x 轴上 C.y 轴上 D.坐标 轴上 06.已知点 P(a,b)到 x 轴的距离为 2,到 y 轴的距离为 5,且|a-b |=b-a,则 点 P 的坐标是_______________. 07.已知平面直角坐标系内两点 M(5,a),N(b,-2),①若直线 MN∥x 轴,则 a=______,b=__________; ②若直线 MN∥y 轴, 则 a=___________,b=_________. 08. 如图, 将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2010 次,点 P 依次落在点 P1,P2,P3,?,P2010 的位置,则 P2010 的横 坐标 x2010=___________?

A.(2,3) 2,

09.按下列规律排列的一列数对,(2,1),(5,4),(8,7) ?, 则第七个数对中的两个数之和是______________? 10.如图,小明用手盖住的点的坐标可能为( ) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(-

) D. 第

D.北纬 )

-3) 11.点 P 位于 x 轴的下方,距 y 轴 3 个单位长度,距 x 轴 4 个单位长度,则点 P 的坐标是____________. 12.将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序数对(n,m)表示 第 n 排 , 从 左 到 右 第 m 个 数 , 则 表 示 实 数 25 的 有 序 数 对 是 ______________.

21

13.已知点 A(-5,0),B(3,0), (1)在 y 轴上找一点 C,使之满足 S△ABC=16,求点 C 的坐标;

16.如图所示,在直角坐标系 xOy 中,四边形 OABC 为正方形,其边长为 4,有 一动点 P,自 O 点出发,以 2 个单位长度/秒得速度自 O→A→B→C→O 运 动,问何时 S△PBC=4?并求此时 P 点的坐标.

(2)在平面直角坐标系内找一点 C, 使之满足 S△ABC=16 的点 C 有多少个?这 样的点有什么规律. 14.若 y 轴正方向是北,小芳家的坐标为(1,2),小李家的坐标为(-2,-1),则 小芳家的________________方向. 15.如图在平面直角坐标系中 A(0,1),B(2,0),C(2,1.5) (1)求△ABC 的面积;

(2)如果在第二象限内有一点 P(a, 的面积;

1 ),试用含 a 的式子表示四边形 ABOP 2

培优升级 奥赛检测 01.如果点 M(a+b,ab)在第二象限,那么点 N(a,b)在第_____________象限. 02.若点 A(6-5a,2a-1). (1)点 A 在第二象限,求 a 的取值范围;

(2)当 a 为实数时,点 A 能否在第三象限,试说明理由; (3)在(2)的条件下,是否存在一点 P,使得四边形 ABOP 的面积与△ABC 的 面积相等?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)点 A 能否在坐标原点处?为什么?

22

y 03.点 P{-

1 1 ,-[ -|1- | ]}关于 y 轴对称点的坐标是_____________. 2 2

B

C

04 .已知点 A (2a + 3b ,- 2) 与点 B(8 , 3a + 2b) 关于 x 轴对称,那么 a + b = __________. 05. 已知a<0, 那么点P(-a2-2, 2-a)关于原点对称的点在第________象限. 06.已知点 P1(a-1,5)在第一、三象限角平分线上,点 P2(2,b-8)在第二、四 象限角平分线上,则(-a+b)2010=___________. 07.无论 x 为何实数值,点 P(x+1,x-1)都不在第_________象限? 08.已知点 P 的坐标为(2-a,3b+6),且点 P 到两坐标轴的距离相等,则点 P 的坐标为_________. 09. 若点 P(x, y)在第二象限, 且|x-1|=2, |y+3|=5, 则 P 点的坐标是__________. 10.若点 A(2x-3,b-x)在坐标轴夹角的平分线上,且在第二象限,则点 A 的坐 标是__________. 11.已知线段 AB 平行于 y 轴,若点 A 的坐标为(-2,3),且 AB=4,则点 B 的 坐标是__________. 12.已知 A(-3,2)与点 B(x,y)在同一条平行于 y 轴的直线上,且点 B 到 x 轴的 距离等于 3,求 B 点的坐标.

D A -2 O x

(2)当点 D 运动到 CB 上时,经过多长时间△ABD 的面积等于 的面积?并求此时 D 点的坐标.

1 矩形 ABCO 4

14.已知:A(a-

3 2 ,2b+ ),以 A 点为原点建立平面直角坐标系. 5 3

(1)试确定 a、b 的值; 13.如图,B(2,4),点 D 从 O→C→B 运动,速度为 1 单位长度/秒. (1)当 D 在 OC 上运动时, 直线 BD 能否将长方形 ABCD 的面积分为 1:2 两部 分,若能,求点 D 的坐标,若不能,请说明理由;

(2)若点 B(2a- 求 m 的值.

7 , 2b+2m), 且 AB 所在直线为第二、 四象限夹角的平分线, 5

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第 15 讲

平面直角坐标系(二)

考点?方法?破译 1.建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置. 2.了解可以用不同的方式确定物体的位置. 3.在同一坐标系中,会用坐标表示平移变换. 经典?考题?赏析 【例 1】在平面直角坐标系中,将点 A(-2,3)先向左平移 2 个单位,再 向上平移 2 个单位后得到 B 点的坐标是 . 【解法指导】 在平面直角坐标系中, 将点 P (x,y) 向右或向左平移 a 个单位, 可以得到 P’(x+a,y)或 P’(x-a,y) ,将点 P(x,y)向上或向下平移 b 个单 位长度,可以得到 P’(x,y+b)或 P’(x,y-b). 一句话:右、上作加,左、下作减.即 B 点的坐标为(-4,5) ,所以 B 点的 坐标为(-4,5). 【变式题组】 01.在平面直角坐标系中,将点 A(5,-2)先向下平移 3 个单位,再向右平移 2 个单位得到点 B 的坐标是 . 02. 在平面直角坐标系中,将点 M(3,-4)平移到点 N(-1,4) ,是经过了先 向 ,再向 ,而得到的. 03.点 A(-5,-b)经过先向下平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位长度后得 到点 B(a,-1) ,则 ab= . 【例 2】△ABC 三个顶点坐标分别是 A(4,3)B(3,1)C(1,2) ⑴将△ABC 向右平移 1 个单位,得到△A1B1C1,再向下平移 2 个单位长度得 到△A2B2C2,求△A2B2C2 三个顶点的坐标. ⑵将△ABC 三个顶点坐标的横坐标都减去 5,纵坐标不变得到△A3B3C3,则 △A3B3C3 与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? ⑶将△ABC 三个顶点坐标的纵坐标都加上 5,横坐标不变得到△A4B4C4,则 △A4B4C4 与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? 【解法指导】平移后得到的图形与平移前的图形的大小相等,形状相同. 解:⑴A2(5,1)B2(4,-1)C2(2,0) ; ⑵△A3B3C3 与△ABC 大小相等,形状相同,△A3B3C3 是△ABC 向左平移

5 个单位得到的; ⑶A4(4,8) B4(3,6) C4(1,7) ,△A4B4C4 与△ABC 大小相等,形状 相同,△A4B4C4 是△ABC 向上平移 5 个单位得到的. 【变式题目】 01.如图将三角形向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个 单位长度,则平移后三个顶点的坐标是( ) A. (1,7) , (0,2) (3,5) B(1,7) , (0,2) (4,5) C(1,7) , (2,2) (3,5) D(1,7) , (2,2) (3,3) 02.将正方形向下平移 3 个单位长度,再向左平移 5 个单位长度,所得到的顶点 坐标分别是(-1,2) , (3,2) , (3,-2) , (-1,-2) ,则平移前该正方形 的四个顶点的坐标分别为: 3.如图所示的直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别是:A(0,0)B(6,0) C(5,5)

⑴求△ABC 的面积; ⑵如果将△ABC 向上平移 1 个单位长度,得到△A1B1C1,再向右平移 2 个单 位长度得到△A2B2C2,试求△A2B2C2 三个顶点的坐标; ⑶试说明△A2B2C2 与△ABC 的形状、大小有什么关系?

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【例 3】在平面直角坐标中,点 A(1,2)平移后的坐标 A’(-3,3) ,按照 同样的规律平移其它点,则下列哪种变换符合这种规律( ) A. (3,2)→(4,-2) B. (-1,0)→(-5,-4) C(2.5,-1/3)→ (-1.5,2/3) D(1.2,5) → (-3.2,6) 【解法指导】先仔细分析平移规律:点 A(1,2)→ A’(-3,3) ,规律是: 横坐标减少 4,纵坐标增加 1,再依据规律作出正确的判断. 【解】依据坐标平移规律,故选 C. 【变式题组】 01.在平面直角坐标系中,点 A(-2,3)平移后的坐标为 A’(2,-3) ,按照 同样的规律平移(1,-2) ,得到 . 02.线段 CD 是由线段 AB 平移得到的,点 A(-1,4)的对应点 C(4,7) ,则点 B (-4,-1)的对应点 D 的坐标是 . 03.将点 P(m-2,n+1),沿 x 轴负方向平移 3 个单位长度得到 P1(1-m,2),求 点 P 的坐标. 04.平面直角坐标系中,△ABC 个顶点的坐标分别是 A(6,8) ,B(-2,0) ,C (-5,-3) ,△DEF 各顶点的坐标是 D(0,3) ,E(8,11) ,F(-3,0) , 请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系,判断△ DEF 是不是由△ABC 平移得到的?如果是请回答平移规律;如果不是,请说明理由. 【例 4】如图是某市市区几个旅游景点的示意图(图中每个小正方形的边长 为 1 个长度单位) ,请以某景点为原点,画出直角坐标系,并用坐标表示下列景 点的位置. 光岳楼 金凤广场 动物园

岳楼(1,1) ⑵金凤广场(0,0) ;⑶动物园(6,5). 【变式题组】 01.如图为某市旅游景点示意图,试以中心广场为坐标原点建立直角坐标系,用 坐标表示各个景点的位置.

02.如图是传说中的一个藏宝图,藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图, 现金的寻宝人没有原来的地图,但知道在该图上有两块大石头 A(2,1),B(8,2),而藏宝地的坐标是(6,6) ,试设法在地图上找到藏宝地点.

【解法指导】若以金凤广场为坐标原点 O,过点 O 的水 平线为 x 轴,取向右为正方向;过点 O 的竖直直线为 y 轴,取向上为正方向,即 可建立平面直角坐标系,各景点坐标的位置就可以表示出来. 【解】以金凤广场为坐标原点 O, ,建立如图所示的直角坐标系.所以:⑴光
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【例 5】某村是一个古树名木保护模范村,仅百年以 上树龄的古树就有 5 棵, 第一棵古松树在小刚家的院子里, 第二棵古松树在小刚家东南方向 2000 米处,第三棵古松 树在小刚家北偏西 30?方向 1000 米处,第四棵古松树在小 刚家正东 1000 米处,第五棵古槐树在小刚家南偏西 45?方 向 1500 米处,请你画图表示这五棵古树的位置. 【解法指导】以小刚家为坐标原点,水平线为 x 轴, 正东方向为正方向,取竖直线为 y 轴,正北方向为正方向 建立平面直角坐标系,再根据这五棵树的方位和数量关系即可确定它们的位置. 【解】以小刚家为坐标原点,水平线为 x 轴,正东方向为正方向,取竖直线 为 y 轴,正北方向为正方向建立平面直角坐标系,比列尺为 1:50000,即 1 厘米 表示 500 米.那么五棵数的位置如图所示. 【变式题组】 01.如图,为一公园内运动园的平面示意图:A 为孔雀 园,B 为猴山,C 为鹦鹉园,D 为天鹅园,E 为熊 猫园,F 为师虎园.现以孔雀园来说: ⑴猴山在孔雀园的北偏东多少度的方向上?要想 确定猴山的位置,还需要什么数据? ⑵与孔雀园距离相等的有几个园?它们是什么园? ⑶要确定狮虎园的位置还需要几个数据?请借助刻度尺、量角器,说出狮虎 园距鹦鹉园的位置? 【例 6】如图,早直角坐标系中,第一次将 ? OAB 变换成 ? OA1B1,第二次 将 ? OA1B1 变换成 ? OA2B2,第三次将 ? OA2B2 变换成 ? OA3B3,已知 A(1,3) , A1(2,3) ,A2(4,3)A3(8,3) ,B(2,0) ,B1(4,0) ,B2(8,0) ,B3(16,0). ⑴观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再次将 ? OA3B3 变换成 ? OA4B4,则 A4 的坐标是 ,B4 的坐标是 ; ⑵若按⑴题找到的规律,将 ? OAB 进行了 n 次变换,得到 ? OAnBn,推测 An 的坐标是 ,Bn 的坐标是 . 【解法指导】此题为猜想题,解这类题一般步骤是:

⑴<1>观察:高清观察的对象; <2>分析:分析个数之间的关系,如:和、倍、分等数量关系; <3>对比:在分析个数据的情况下,找出个数据之间的区别和联 系,为归纳作准备; <4>归纳:将观察、分析、对比得出的结论用文字或数学式子表 示出来; ⑵这种数学方法是从特殊到一半的思想方法. +1 分析:观察图形,可知 An 的横坐标是 2n,而 Bn 的横坐标是按 2n 变化的. +1 解:⑴A4(16,3),B4(32,0);An(2n,3),Bn(2n ,0). 【变式题组】 01.(菏泽.淄博)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整 数的点称为整点,观察图中每一个正方形(实线)四条边 上的整点的个数,请你猜想由里向外第 10 个正方形(实 线)四条边上的整点个数共有 个.

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【例 7】如图所示,在平面直角坐标系中,将坐标为(0,0), (5,0), (4,3), (1,3), (0,0),的点用线段依次连接起来形成一 个图案,不画图形,回答下列问题. 若每个点的横坐标保持不变,纵坐标变成原来的 2 倍,将所 得各点用线段依次连接起来,那么所得的图案与原来图案相比有 什么变化? 若横坐标保持不变,纵坐标分别加 2 呢? 若纵坐标保持不变,横坐标分别加 2 呢? 若横坐标保持不变,纵坐标分别乘-1 呢? 若纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1 呢? 【解法指导】⑴所得图案与原图案相比,图案横向未变,纵向被拉长为原来 的 2 倍; ⑵所得图案与原图案相比,图案的形状、大小未发生改变,它被向上纵向平 移了 2 个单位; ⑶所得图案与原图案相比,图案的形状、大小未发生改变,它被向右横向平 移了 2 个单位; ⑷所得图案与原图案相比,新图案与原图案关于 x 轴成轴对称. ⑸所得图案与原图案相比,新图案与原图案关于 y 轴成轴对称. 欲解此题,只要充分利用图形上点的坐标变化与图形的形状变化之间关系的 规律即可. 演练巩固 反馈提高 01.将三角形 ABC 各顶点的横坐标不变,而纵坐标分别加 4,连接三个点所得到 三角形是三角形 ABC( ) A.向左平移 4 个单位得到 B.向上平移 4 个单位得到 C.向右平移 4 个单位得到 D.向下平移 4 个单位得到 02. 将三角形 ABC 各顶点的纵坐标不变,横坐标分别减 5,连接三个点所得到三 角形是由三角形 ABC( ) A.向左平移 5 个单位得到 B.向右平移 5 个单位得到 C.向上平移 5 个单位得到 D.向下平移 5 个单位得到 03.(日照市)在平面直角坐标系中,把点 P(-2,1)向右 平移一个单位,则得 ’ 到的对应点 P 的坐标是( )

A. (-2,2) B. (-1,1) C. (-3,1) D. (-2,0) 04.如右图,将三角形向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长 度,则平移后三个顶点的坐标是( ) A. (2,2) , (3,4) , (1,7) B. (-2,2) , (4,3) , (1,7) C. (-2,2) , (-5,-3) , (0,-1)D. (-2,2) , (- 5,3) , (0,-1) 05.利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下⑴根据 具体问题确定适当的单位长度;⑵建立平面直角坐标系;⑶在平面直角坐标 系内画出各点.其中顺序正确的是( ) A.⑴,⑵,⑶ B.⑵,⑴,⑶ C.⑶,⑴,⑵ D.⑴,⑶,⑵ 06.如图,图是由图 1 经过变换得到的,下列说法中错误的是( )

A.将图 1 先向右平移 4 个单位,再向上平移 6 个单位得到图 2 B.将图 1 先向上平移 6 个单位,再向右平移 4 个单位得到图 2 C.将图 1 先向上平移 6 个单位后,再沿 y 轴翻折 180?可得到图 2 D.将图 1 先向右平移 4 个单位后,再沿 x 轴翻折 180?可得到图 2 07.在象棋中, “马走斜”是指“马”从“日”的一个顶点沿着对角线走向另一 个顶点,图中“马”现在的位置用(6,2)表示,要想“马”走现在“帅” 的位置(如图) ,至少需要 步,写出“马”所走的路线(只要写出一 种) .
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08.(泸州)如图是某市市区四个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为 1 个单位长度) ,请以某景点为原点,建立平面直角坐标系(保留坐标系的痕 迹) ,请用坐标表示下列景点的位置. ⑴动物园 ,⑵烈士陵园 . ‘ 09.(永州)如图所示,要把线段 AB 平移,使得点 A 到达点 A (4,2),点 B 到 ’ ‘ 达点 B ,那么点 B 的坐标是 . 10.华英学校七年级二班的三位同学:李丽,王明,张倩,他们从家到学校的路 线分别是: ⑴李丽出家门口向东走 50 米,再向南走 100 米,可到学校; ⑵王明出家门口向西 100 米,再向南走 150 米,可到学校; ⑶张倩出家门口向东走 100 米,再向北走 50 米,可到学校. 根据以上条件建立坐标系,画出李丽、王明、张倩家的位置及学校的位置.

培优升级 奥赛检测 01. 在平面直角坐标系内,已知点(2m,m-4)在第四象限内,且 m 为偶数,那 么 m 的值为 . 02. 已知点 P1(a-1,5)在第一、三象限角平分线上;点 P2(2,b-8)在二、 四象限角平分线上,则 2004 (-a+b) = . 03.矩形 ABCD 中,AB=5,BC=2,以矩形的对角线交点为坐标原点,平行于 边的直线为坐标轴,建立直角坐标系,则四个顶点的坐标为 . 04.在正方形 ABCD 中,A、B、C 三点坐标分别为(1,2) 、 (-2,1) 、 (-1,- 2) ,则顶点 D 的坐标为 . 05.无论 x 为何实数值,点 p(x+2,x-2)都不在第象限. 06.如果点 A(

b 2 ,1)在第一象限,则点 B(-a ,ab)在第( )象限. a

11. 在平面直角坐标系中,△ABC 的位置如图所示. ⑴计算△ABC 的面积; ⑵将△ABC 向右平移 5 个单位长度, 再向上平移 3 个单位长度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1, 并写出△A1B1C1 各顶点的坐标; ⑶写出所得△A1B1C1 和△ABC 的形状、 大小有什 么关系?

A.一 B.二 C.三 D.四 07.若点的坐标满足,则点 P 必在( ). A.原点上 B.x 轴上 C.y 轴上 D. x 或 y 轴上 2 2 08.已知 x、y 实数,且 P(x,y)的坐标满足 x +y =0,则点 p 必在( ) A . 原点上 B . x 轴正半轴上 C . y 轴正半轴 D. x 轴负半轴上 09. (遵义)如图所示,在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为 整数的点叫做整点.设坐标轴的单位长度为 1 厘米, 整点 P 从原点 O 出 发,速度为 1 厘米/秒,且整点 P 作向上或向右运动,运动的时间(秒) 与整点(个)的关系如下表“

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整点 P 从原点 O 出发的时间 (秒) 1 2 3 ?

可以得到整点 P 的坐标 (0,1)(1,0) (0,2)(1,1)(2,0) (0,3)(1,2)(2,1)(3,0) ?

可以得到整点 P 的个 数 2 3 4 ?

根据上表中的规律,回答下列问题: ⑴当整点 P 从点 O 出发 4 秒时,可以得到的整点 P 的个术士为 个; ⑵当整点 P 从点 O 出发 8 秒时, 在直角坐标系中描出可以得到的所有整点, 并顺 次连接这些整点; ⑶当整点 P 从点 O 出发 秒时,可以到达整点(16,4)的位置.

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第 18 讲 二元一次方程组及其解法 考点·方法·破译 1.了解二元一次方程和二元一次方程组的概念; 2.解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义; 3.熟练掌握二元一次方程组的解法. 经典·考题·赏析 - + 【例 1 】 已知下列方程 2xm 1 + 3yn 3 = 5 是二元一次方程,则 m + n . 【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件: ⑴这个方程中有且只有两个未知数; ⑵含未知数的次数是 1; ⑶对未知数而言,构成方程的代数式是整式. 【解】根据二元一次方程的概念可知:?

【例 2】 (十堰中考)二元一次方程组 ?

?3x ? 2 y ? 7 的解是 ( ?x ? 2 y ? 5
C. ?



A. ?

?x ? 3 ?y ? 2

B. ?

?x ? 1 ?y ? 2

?x ? 4 ?y ? 2

D. ?

?x ? 3 ?y ? 1

?m ? 1 ? 1 ,解得 m=2,n= -2,故 m ?n ? 3 ? 1

【解法辅导】二元一次方程组的解,就是它的两个方程的公共解,根据此概 念,此类题有两种解法:⑴若方程组较难解,则将每个解中的两未知数分别带入 方程组,若使方程组都成立,则为该方程组的解,若使其中任一方程不成立,则 不是该方程组的解;⑵若方程组较易解,则直接解方程组可得答案. 本例中,方程组较易解,故可直接用加减消元法求解,本题答案选 D. 【变式题组】 01. (杭州)若 x=1,y=2 是方程 ax-y=3 的解,则 a 的值是 ( ) A.5 B.-5 C.2 D.1 02 . (盐城)若二元一次方程的一个解为 ?

+n=0. 【变式题组】 01.请判断下列各方程中,哪些是二元一次方程,哪些不是,并说明理由. ⑴2x+5y=16 (2)2x+y+z=3 (3)

?x ? 2 ,则此方程可以是 ? y ? ?1

1 +y=21 (4)x2+2x+1=0 (5)2x+ x
,b= .

(只要求写一个) 03.(义乌)已知:∠A、∠B 互余,∠A 比∠B 大 30° ,设∠A、∠B 的度数分别 为 x° ,y° ,下列方程组中符合题意的是 ( ) A.

10xy=5 + - 02.若方程 2xa 1+3=y2b 5 是二元一次方程,则 a= 03.在下列四个方程组① ?

?1 ?4 x 2 ? 3 y ? 10 ?4 x ? y ? 12 ? ? 2y ? 0 ,② ? ,③ ? x , 7 xy ? 29 2 x ? 4 y ? 9 ? ? ? ?2 x ? 3 y ? 4

?x ? y ? 180 ? ?x ? y ? 30 ? x ? y ? 90 ? x ? y ? 30

B.

?x ? y ? 180 ? ?x ? y ? 30

C.

? x ? y ? 90 ? ? x ? y ? 30

D. ?

④?

?7 x ? 8 y ? 5 中,是二元一次方程组的有 ( ) ? x ? 45y ? 0
B.2 个 C.3 个 D.4 个

A.1 个

?3 ?x ? 2 ? ax ? by ? 5 4. (连云港)若 ? ,是二元一次方程组 ? 2 ,的解,则 a+2b 的 ?y ? 1 ? ?ax ? by ? 2
值为 .
30

?x ? y ? 7 ① 【例 3】解方程组 ? ?3x ? 5 y ? 17 ②
【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中,有一个未知数的系数为 1 或 -1 时,可选用带入法解此方程,此例中①变形得 y=7-x ③,将③带入②可消去 y,从而求解. 解:由①得,y=7-x ③ 将③带入②,得 3x+5(7-x)=17, 即 35-2x=17 x=9 故此方程组的解是 ? 【变式题组】 1.解方程组: (南京)⑴ ?

家,即可消去 y. 解:①× 5 得,y=7-x ③ ③+②,得 ,13x=26 ∴x=2 将 x=2 代入①得 y=-1 ∴此方程组的解是 ? 【变式题组】 01.(广州)以 ?

?x ? 2 . y ? ? 1 ?

?x ? 9 ? y ? ?2

?x ? 1 为解的二元一次方程组是 ( ) ? y ? ?1
B . ?

A . ?

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 1 ?x ? y ? 0 ? x ? y ? ?2 ?x ? 2 y ? 3 ?3x ? 8 y ? 13

?x ? y ? 0 ? x ? y ? ?1

C . ?

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 2

?2 x ? y ? 4 ?x ? 2 y ? 5

(海淀)⑵ ?

? x ? 4 y ? ?1 ?2 x ? y ? 16

D. ?

?2 x ? y ? 4 (花都)⑶ ? ?x ? 2 y ? 5
2.方程组 ? A.5 【例 4】解方程组 ?

?3x ? y ? 5 (朝阳)⑷ ? ?5 x ? 2 y ? 23
) D.-3

02.解下列方程组: (日照)⑴ ? (宿迁)⑵ ?

?x ? y ? 5 的解满足 x+y+a=0,则 a 的值为 ( ?2 x ? y ? 5
B.-5 C.3

?2 x ? 3 y ? ?5 ?3x ? 2 y ? 12


03. (临汾)已知方程组 ? A.4 04 . 已 知 ? 为 B.6

?ax ? by ? 4 ?x ? 2 的解为 ? ,则 2a-3b 的值为 ( ?ax ? by ? 2 ?y ? 1
C.-6 D.-4

?2 x ? y ? 3 ① ?3x ? 5 y ? 11②

【解法辅导】 用加减法解二元一次方程组时, 要注意选择适当的“元”来消去, 原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去,特别是如果两个方程中系数绝对 值的比为整数时,就选择该未知数为宜,若两系数符号相同,则相减,若系数符 号相反,则相加. 本题中,y 的系数绝对值之比为 5:1=5,因此可以将①× 5,然后再与②相

?2 x ? y ? 5 ?x ? 2 y ? 6
.

① ,那么 x-y 的值为 ②

,x+y 的值

31

?3x ? 2 y ? 2k ? 12 ① 【例 5】 已知二元一次方程组 ? 的解满足 x+y=6,求 k ?4 x ? 3 y ? 4k ? 2 ②
的值. 【解法辅导】此题有两种解法,一中是由已给的方程组消去 k 而得一个二元 一次方程,此方程与 x+y=6 联立,求得 x、y 的值,从而代入①或②可求得 k 的值;另一种是直接由方程组解出 x、y,其中 x、y 含有 k,即用含 k 的代数式分 别表示 x、y,再代入 x+y=6 得以 k 为未知数的一元一次方程,继而求 k 的值. 解:①× 2,得, 6x+4y=4k+24 ③ ③-②,得 2x+7y=22 ④ 由 x +y=6,得 2x+2y=12 ⑤,⑤-④,得 -5y=-10 ∴y=2 将 y=2 代入 x +y=6 得 x=4 将 ?

【解法辅导】观察发现:整个方程组中具有两类代数式,即(x+3y)和(x -y),如果我们将这两类代数式整体不拆开,而分别当作两个新的未知数,求解 则将会大大减少运算量,当分别求出 x+3y 和 x-y 的值后,再组成新的方程组 可求出 x、y 的值,此种方法称为换元法. 解:设 x+3y=a, x-y=b, 则原方程组可变形为

?4a ? 3b ? 16 ? ?3a ? 5b ? 12

③ ④ ④× 4, 得 12a-20b=48 ⑥-⑤,得 29b=0,

③× 3,得 12a+9b=12 ⑤ ∴b=0 将 b=0 代入 ③,得 a=4 ∴可得方程组 ? 【变式题组】 01.解下列方程组:

?x ? 4 带入①得 3× 4+2× 2=2k+12 ∴k=2. ?y ? 2

?x ? 3 y ? 4 ?x ? 1 故原方程组的解为 ? . ?x ? y ? 0 ?y ? 1

【变式题组】 01 .已知⑴ ? = 02.方程组 ? A.5

?m x ? 3ny ? 1 ?3x ? y ? 6 与⑵ ? 有相同的解,则 m = ?5x ? ny ? n ? 2 ?4 x ? 2 y ? 8
.

,n

?x ? y ? 5 的解满足方程 x+y-a=0, 那么 a 的值为 ( ?2 x ? y ? 5
B.-5 C.3 D.-3

?x ? y x ? y ? ?6 ? ⑴? 2 3 ? ?4( x ? y) ? 5( x ? y) ? 2
) 02 .( 淄 博 ) 若 方 程 组 ?

?4 ?x ? ? ⑵(湖北十堰) ? ?9 ? ? ?x

3 ? 10 y 7 ? ?5 y

03.已知方程组 ?

?3x ? 2 y ? k 的解 x 与 y 的和为 8,求 k 的值. ?2 x ? 3 y ? k ? 3

?2a ? 3b ? 13 的解是 ?3a ? 5b ? 30.9

?a ? 8.3 ,则方程组 ? ?b ? 1.2

?4( x ? 2) ? 3( y ? 1) ? 13 的解是 ( ) ? 3 ( x ? 2 ) ? 5 ( y ? 1 ) ? 30 . 9 ?
A. ?

【例 6】解方程组 ?

?4( x ? 3 y) ? 3( x ? y) ? 16 ① ?3( x ? 3 y) ? 5( x ? y) ? 12 ②

? x ? 6.3 ? y ? 2.2

B. ?

? x ? 8.3 ? y ? 1.2

C. ?

? x ? 10.3 ? y ? 2.2

D. ?

? x ? 10.3 ? y ? 0.2

32

03.解方程组:

2 ? 1 ? ?1 ① ? ? x ? 1 6x ? 3 ? 1 1 ? ? ?0 ② ? 2x ? 2 2 y ? 1 ?
【例 7】 (第二届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题)已知:方程组

02.甲、乙良人同解方程组 ?

? Ax ? By ? 2 ?x ? 1 ,甲正确解得 ? ,乙因抄错 C, ?Cx ? 3 y ? ?2 ? y ? ?1

解得 ?

?x ? 2 ,求 A、B、C 的值. y ? ? 6 ?

?ax ? by ? ?16 ?x ? 8 的解应为 ? ,小明解此题时把 c 抄错了,因此得到的 ? ?cx ? 20 y ? ?224 ? y ? ?10 ? x ? 12 解是 ? ,则 a2+b2+c2 的值为 y ? ? 13 ?
【解法辅导】 ? .

演练巩固 反馈提高 01.已知方程 2x-3y=5,则用含 x 的式子表示 y 是 x是 . 02.(邯郸)已知 ?

,用含 y 的式子表示

?x ? 8 是方程组的解,则将它代入原方程可得关于 c 的方 y ? ? 10 ? ? x ? 12 是方程 ax+by=-16 的解,由此可得关于 a、b ? y ? ?13

?x ? 1 ?ax ? by ? 1 是方程组 ? 的解,则 a+b= ? y ? ?1 ?4 x ? by ? 2
, y= .

.

03.若(x-y)2+|5x-7y-2|=0, 则 x= 04. 已知 ?

程,由题意分析可知: ?

?x ? 2 ?ax ? by ? 7 是二元一次方程组 ? 的解, 则 a-b 的值为 ?y ? 1 ?4 x ? by ? 1
- -

. . 时,它

的又一个方程,由此三个方程可求得 a、b、c 的值. 解:34 【变式题组】 01 .方程组 ?

05.若 x3m n+y2n m=-3 是二元一次方程,则 m= ,n= 2 2 06.关于 x 的方程(m -4)x +(m+2)x+(m+1)y=m+5, 当 m= 是一元一次方程,当 m= 时,它是二元一次方程. 07. (苏州)方程组 ?

?ax ? 2 y ? 7 ?x ? 5 时,一学生把 a 看错后得到 ? ,而正确的解是 ?cx ? dy ? 4 ?y ? 1

?3x ? 7 y ? 9 的解是 ( ?4 x ? 7 y ? 5
? x ? ?2 ? B. ? 3 y? ? 7 ?



?x ? 3 ,则 a、c、d 的值是 ( ) ? ? y ? ?1
A.不能确定 B.a=3, c=1, d=1 =3, c=2, d= -2 C. c、d 不能确定 D. a

? x ? ?2 A. ? ?y ? 1

?x ? 2 ? C. ? 3 y?? ? 7 ?

?x ? 2 ? D. ? 3 y? ? 7 ?

33

?x ? 1 08. (杭州)已知 ? 是方程 2x-ay=3 的一个解,那么 a 的值是 ( ? y ? ?1
A.1 B.3 C.-3 D. -1

+7b 的值. ) 14. 已知方程组 ?

?3x ? 2 y ? k 的解 x 与 y 的和为 8,求 k 的值. ?2 x ? 3 y ? k ? 3 ?mx ? 2 y ? 10 有整数解, ?3x ? 2 y ? 0

09. (苏州)方程组 ?

?x ? y ? 1 的解是 ( ) ?2 x ? y ? 5 ? x ? ?2 B. ? ?y ? 3 ?x ? 2 C. ? ?y ? 1 ?x ? 2 D. ? ? y ? ?1

15. (希望杯试题)m 为正整数,已知二元一次方程组 ? 求 m2 的值. 培优升级 奥赛检测 01.当 k、b 为何值时,方程组 ? ⑴有唯一一组解 ⑵无解

? x ? ?1 A. ? ?y ? 2

10. (山东)若关于 x、y 的二元一次方程组 ? 3x+3y=6 的解,则 k 的值为 ( )

? x ? y ? 5k 的解也是二元一次方程 ? x ? y ? 9k
4 D.- 3

? y ? kx ? b ① ? y ? (3k ? 1) x ? 2 ②
⑶有无穷多组解 时,方程组 ?

3 A.- 4

3 B. 4

4 C. 3

02..当 k、m 的取值符合条件 一组解. 03.已知:m 是整数,方程组 ?

? y ? kx ? m 至少有 y ? ( 2 k ? 1 ) x ? 4 ?

?ax ? by ? 2 ?x ? 3 a ? 2b 11. (怀柔)已知方程组 ? 的解为 ? ,求 的值为多少? a ? 2b ?ax ? by ? 4 ?y ? 2
12.解方程组: ⑴(滨州) ?

?4 x ? 3 y ? 6 有整数解,求 m 的值. ?6 x ? my ? 26 5x 2 ? 2 y 2 ? z 2 的值等于 2 x 2 ? 3 y 2 ? 10z 2

?2 x ? 2 y ? 6 ? x ? 2 y ? ?2

⑵(青岛) ?

?3x ? 4 y ? 19 ?x ? y ? 4

04.若 4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0, (xyz≠0),则式子 ( )

? 2 6( ? y ) ? 7( x ? 3) ? 6 ? ? 3 ⑶? ?18( x ? 3) ? 5( 2 ? y ) ? 5 ? 3 ?
13.已知方程组 ?

A.-

1 2

B.-

19 2

C.-15

D.-13

?2 x ? 5 y ? ?6 ?ax ? by ? ?4 和方程组 ? 的解相同,求代数式 3a ?3x ? 5 y ? 16 ?bx ? ay ? ?8
34

05. (信利杯赛题)已知:三个数 a、b、c 满足 = 则

1 ab bc 1 ca = , = , a?b 3 a?c 4 c?a

算是通常意义的加乘运算,已知 1※2=5 且 2※3=8,则 4※5 的值为 ( A.20 B.18 C.16 D.14



1 , 5
) C.

abc 的值为 ( ab ? bc ? ca 1 1 A. B. 6 12

2 15

D.

1 20
11. (北京竞赛题) 若 a、 b 都是正整数, 且 143a+500b=2001,则 a+b= .

06. (广西赛题)已知:满足方程 2x-3y+4m=11 和 3x+2y+5m=21 的 x、y 满足 x+3y+7m=20,那么 m 的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2 07. (广西赛题)若|a+b+1|与(a-b+1) 互为相反数,则 a 与 b 的大小关系 是 ( ) A.a>b B.a=b C.a<b D.a≥b 08. (“华罗庚杯”竞赛题)解方程组

? x1 ? x2 ? x2 ? x3 ? x3 ? x4 ? ? ? x1997 ? x1998 ? x1998 ? x1999 ? 1 ? ? x1 ? x2 ? ? ? x1998 ? x1999 ? 1999
12.(华杯赛题)当 m=-5,-4,-3,-1,0,1,3,23,124,1000 时,从等式(2m+1)x +(2-3m)y+1-5m=0 可以得到 10 个关于 x 和 y 的二元一次方程, 问这 10 个方程有无公共解?若有,求出这些公共解.

? ? x ? y ? 12 09.(全国竞赛湖北赛区试题)方程组 ? 的解的组数为 ( ) x ? y ? 6 ? ?
A.1 B.2 C.3 D.4

13.下列的等式成立:x1x2=x2x3=x3x4= 求 x1 ,x2, …x100,x101 的值.



=x99· x100=x100· x101=x101· x1=1,

10.对任意实数 x、y 定义运算 x※y=ax+by,其中 a、b 为常数,符号右边的运
35

第 19 讲 实际问题与二元一次方程组 考点·方法·破译 1.逐步形成方程思想,进一步适应列方程(组)解决实际问题的新思路. 2.学会用画图,列表等途径分析应用题的方法. 3.熟练掌握各类应用题中的基本数量关系. 4.学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系,并依此列出方程组. 经典·考题·赏析 【例 1】甲、乙两地相距 160 千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向 而行,1 小时 20 分钟相遇,相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留 1 小时 后调转车头原速返回,在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机,这时,汽车、拖 拉机各自走了多少千米? 【解法指导】(1)画出直线型示意图理解题意 (2) 本题有两个未知数 ——汽车的行程和拖拉机的行 程.有两个相等关系: ①相向而行:汽车行驶 1

1 1 1 1 ?x ? 90, 90 ? (1 ? ) ? 165千米, 30 ? (1 +1 ) =85千米。 ? 3 2 3 2 ?y ? 30.
答:汽车走了】65 千米,拖拉机走了 85 千米. 【变式题组】 01.A、B 两地相距 20 千米,甲从 A 地向 B 地前进,同时乙从 B 地向 A 地前进, 2 小时后二人在途中相遇,相遇后,甲返回 A 地,乙仍向 A 地前进,甲回到 A 地时,乙离 A 地还有 2 千米,求甲、乙二人的平均速度.

1 小时的路程 3

02.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他开 车以每小时 50 千米的速度行驶,就会迟到 24 分钟;如 果以每小时 75 干米的速度行驶,那么可提前 24 分钟到 达乙地,求甲、乙两地间的距离.

+拖拉机行驶 1

1 的路程=160 千米;②同向而行:汽车行 3



1 1 小时的路程=拖拉机行驶(1+ )小时的路程. 2 2
(3)本题的基本数量关系有:路程=速度?时间. 解:设汽车的速度为每小时 x 千米,拖拉机的速度为每小时 y 千米,根据题 03.某铁路桥长 1000m,现有一列火车从桥上通过,测得该火车从开始上桥到完 全过桥共用了 1min, 整列火车完全在桥上的时间共 40s.求火车的速度和长度.







? 1 1 (x ? y ) ? 160 ? ? 3 ? ? 1 x ? (1 ? 1 )y ? 2 ?2

















36

【例 2】一项工程甲单独做需 12 天完成,乙单独做需 18 天完成,计划甲先 做若干天后离去,再由乙完成,实际上甲只做了计划时间的一半便因事离去,然 后由乙单独承担,而乙完成任务的时间恰好是计划时间的 2 倍,则原计划甲、乙 各做多少天? 【解法指导】⑴由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效 率,设总工作量为 1,则甲每天完成

1 1 ,乙每天完成 ; 12 18

02.为北京成功申办 2008 奥运会,顺义区准备对潮白河某水上工程进行改造, 若请甲工程队单独做此项工程需 3 个月完成,每月要耗资 12 万元;若请乙 工程队单独做此项工程需 6 个月完成,每月要耗资 5 万元. ⑴若甲、乙两工程队合做这项工程,需几个月完成?耗资多少万元? ⑵因种种原因, 有关领导要求最迟 4 个月完成此项工程, 请你设计一种方案, 既保证按时完成任务,又最大限度节省资金.(时间按整月计算)

(2)若总工作量没有具体给出,可以设总工作量为单位“1” ,然后由时间算 出工作效率,最后利用“工作量=工作效率 x 工作时间”列出方程.
x ? y ?1 解:设原计划甲做 x 天,乙做 y 天,则有 ? ?12 18
?1 1

? ? 1 ? 1 x ? 1 ? 2y ? 1 ? 18 ?12 2

,解方程组,

得?

?x ? 8,

?y ? 6.

答:原计划甲做 8 天,乙做 6 天.

【变式题组】 01.一批机器零件共 1100 个,如果甲先做 5 天后,乙加入合做,再做 8 天正好 完成;如果乙先做 5 天后,甲加入合做,再做 9 天也恰好完成,问两人每天 各做多少个零件?

【例 3】古代有这样一个寓言故事,驴子和骡子一同走,它们驮着不同袋数 的货物,每袋货物都是一样重的,驴子抱怨负担太重,骡子说:“你抱怨干吗?如 果你给我一袋,那我所负担的就是你的两倍;如果我给你一袋,我们才恰好驮的 一样多! ”那么驴子原来所驮货物的袋数是多少? 【解法指导】找出本题中的等量关系为:骡子的袋数+1=2?(驴子的袋数- 1),驴子的袋教+1=骡子的袋数-1 解:设骡子所驮货物有 x 袋, 驴子有 y 袋, 则依题意可得 ?

?x ? 1 ? 2 (y ? 1) ?x ? 1 ? y ? 1



解这个方程组,得 ?

?x ? 7 ?y ? 5

.答:驴子原来所驮货物有 7 袋.

37

则应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母? 【变式题组】 01.第一个容器有水 44 升,第二个容器有水 56 升.若将第二个容器的水倒满第一 个容器,那么第二个容器剩下的水是该容器的一半;若将第一个容器的水倒 满第二个容器, 那么第一个容器剩下的水是该容器的三分之一.求两个容器的 容量. 02.木工厂有 28 人,2 个工人一天可以加工 3 张桌子,3 个工人一天可以加工 10 把椅子,现在如何安排劳动力,使生产的一张桌子与 4 把椅子配套? 03.现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮做 8 个盒身或做 22 个盒底,一个盒身与 两个盒底配成一个完整的盒子, 问用多少张铁皮制盒身, 多少张铁皮制盒底, 可以正好制成一批完整的盒子?

02.(呼市)《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子,其中一部分在树上欢 歌,另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说: “若从你们

1 中飞上来一只,则树下的鸽子就是整个鸽群的 ;若从树上飞下去一只,则 3
树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗? 【例 4】某车间加工螺钉和螺母,当螺钉和螺母恰好配套(一个螺钉配一个螺 母)时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉 120 个或螺母 96 个, 该 车间共有工人 81 名.问应怎样分配人力,才能使每天生产出来的零件及时包装运 进库房? 【解法指导】 这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两 个相等关系:(1)生产螺钉的人数+生产螺母的人数=总人数(81 名); (2)每天生产的螺钉数=每天生产的螺母数. 解 : 设生产螺钉的工人有 x 名,生产螺母的工人有 y 名,根据题意,得

【例 5】一名学生问老师:“你今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时, 你才出生;你到我这么大时,我已经 37 岁了”.请问老师今年多少岁,学生今年 多少岁. 【解法指导】如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关健,也是难点, 本题中,老师的两句话分别蕴含着两个等量关系,其本质就是根据师生不同时段 的年龄差相等. 师生过去的年龄差=师生现在的年龄差=师生将来的年龄差,可列表帮助分 析: 过去 师 生 差 y 0 y-0 现在 x y x-y 将来 37 x 37-x

?x ? y ? 81 x ? 36 ,解方程组,得 ? . ? ? ?120x ? 96y ?y ? 45
答:有 36 名工人生产螺钉.有 45 名工人生产螺母,才能使每天生产出来的零 件及时包装运进库房. 【变式题组】 01.某车间有 28 名工人生产某种螺栓和螺母,每人每天能生产螺栓 12 个或螺母 18 个, 为了合理分配劳力, 使生产的螺栓和螺母配套 (一个螺栓套两个螺母),

x ? y ? 37 ? x① 【解】设现在老师 x 岁,学生 y 岁,依题可列方程组 ? ?
?37 ? x ? y ? 0②

解此方程组得 ?

?x ? 25 ?y ? 13

答:老师今年 25 岁,学生今年 12 岁.

38

【变式题组】 01.甲、乙两人聊天,甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你才 4 岁.” 乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你将 61 岁”.同学们,你能算出 这两人现在各是多少岁吗?试试看. 02.(济南)教师节来临之际,群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束 鲜花,每束由 4 支鲜花包装而成,其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水 仙花两种鲜花, 同一种鲜花每支的价格相同.请你根据第一、 二束鲜花提供的 信息,求出第三束鲜花的价格. 02.6 年前,A 的年龄是 B 的 3 倍,现在 A 的年龄是 B 的两倍,A 现在的年龄是 ( ) A.12 岁 B.18 岁 C.24 岁 D . 30 岁 03.甲对乙风趣地说:“我像你这样大岁数的那年,你才 2 岁,而你像我这样大岁 数的那年,我已经 38 岁了.甲、乙两人现在的岁数分别为___________. 【例 6】(威海)汶川大地震发生后,各地人民纷纷捐款捐物支援灾区.我市某 企业向灾区捐助价值 94 万元的 A,B 两种账篷共 600 顶.已知 A 种帐篷每顶 1700 元,B 种帐篷每顶 1300 元,则 A、B 两种帐篷各多少顶? 【解法指导】本题等量关系有两个:A 种帐篷数+B 种帐篷数=600,1700 ?A 种帐篷数+1300?B 种帐篷数=940000,若设 A、B 两种帐篷数分别为 x、y, 即可得方程组. 【解】设 A 种帐篷有 x 顶,B 种帐篷有 y 顶,依题意可列方程组

03. (云南)在“家电下乡”活动期间,凡购买指定家用电器的农村居民均可得 到该商品售价 13%的财政补贴.村民小李购买了一台 A 型洗衣机,小王购买 了一台 B 型洗衣机, 两人一共得到财政补贴 351 元, 又知 B 型洗衣机售价比 A 型洗衣机售价多 500 元.求: (1)A 型洗衣机和 B 型洗衣机的售价各是多少元? (2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元?

?x ? 400 ?x ? y ? 600 ① 解这个方程组可得 ? 答: A 种帐篷 ? ?y ? 200 ?1700x ? 1300y ? 940000 ②
400 顶,B 种帐篷 200 顶. 【变式题组】 01.(桂林)某蔬菜公司收购到某种蔬菜 104 吨,准备加工后上市销售.该公司加工 该种蔬莱的能力是:每天可以精加工 4 吨或粗加工 8 吨.现计划用 16 天正好完 成加工任务,则该公司应安排几天精加工,几天粗加工?

39

【例 7】已知有三块牧场,场上的草长得一样快,它们的面积分别为 3

1 公 3

顷、10 公顷和 24 公顷.第一块牧场可供 12 头牛吃 4 个星期,第二块牧场可供 21 头牛吃 9 个星期.试问第三块牧场可供多少头牛吃 18 个星期? 【解法指导】此题涉及的草量有三种,一是牧场原有生长的草量,二是每周 新长出的草量,三是每头牛每周吃掉的草量,分析相等关系时要注意草量“供” 与“销”之间的关系: 第一块牧场:原有草量+4 周长出的草量=12 头牛 4 周吃掉的草量; 第二块牧场:原有草量+9 周长出的草量=21 头牛 9 周吃掉的草量; 第三块牧场:原有草量+18 周长出的草量=?头牛 18 周吃掉的草量. 解:设牧场每公顷原有草 x 吨,每公项每周新长草 y 吨,每头牛每周吃草 a 吨,依题意,得 ?
?10 10 x ? y ? 4 ? 4 ? 12a 3 ?3 ?10x ? 10y ? 9 ? 9 ? 21a ?

02.山脚下有一池塘,山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不 停地向池塘内流淌,现池塘中有一定深度的水,若用一台 A 型抽水机则 1 小 时后正好能把池塘中的水抽完;若用两台 A 型抽水机则要 20 分钟正好把池塘 中的水抽完;若用三台 A 型抽水机同时抽,则需要多长时闻恰好把池塘中的 水抽完?

x ? 10.8a 解这个关于 x、y 的二元一次方程组,得 ? ? ?y ? 0.9a 设 第 三 块 牧 场 18 周 的 总 草 量 可 供 z 头 牛 吃 18 个 星 期 ,
则: z ?

24x ? 24y ? 18 24 ? (10.8a ? 0.9a ? 18) ? ? 36(头) 18a 18a

答:第三牧场可供 36 头牛吃 18 个星期. 【变式题组】 01. 某江堤边一洼地发生了管涌, 江水不断地涌出, 假定每分钟涌出的水量相等, 如果用两台抽水机抽水,40 分钟可抽完;如果用 4 台抽水机抽水,16 分钟 可抽完.若想尽快处理好险情,将水在 10 分钟内抽完,那么至少需要抽水机 多少台?

演练巩固 反馈提高 一、填空: 01.将一摞笔记本分给若于名同学,每个同学 6 本,则剩下 9 本;每个同学 8 本, 又差了 3 本,则这一摞笔记本共___________本. 02.一个两位数的十位数字与个位数字的和是 7,如果这个两位数加上 45,则恰 好组成这个个位数字与十位数字对调后的两位数,则这个两位数是 __________. 03.现有食盐水两种,一种含盐 12%,另一种含盐 20%,分别取这两种盐水 akg 和 bkg,将其配成 16%的盐水 100kg,则 a=_______,b=__________. 04.在 2006—2007 西班牙足球甲级联赛中,凭借最后几轮的优异成绩,皇家马 德里队最终夺得了冠军,已知联赛积分规则是:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,皇家马德里队在最后 12 场比赛中共得到 31 分,且平、 负场次相同,那么皇家马德里队最后 12 场比赛中共胜了________场. 05.(重庆)含有同种果蔬但浓度不同的 A,B 两种饮料,A 种饮料重 40 千克,B 种饮料重 60 千克.现从这两种饮料中各倒出一部分, 且倒出部分的重量相同, 再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合,如果混合后的两 种 饮料 所含 的果 蔬浓 度相 同, 那么 从每 种饮 料中 倒出 的相 同的 重量 是 _________千克.

40

1 06..已知乙组人数是甲组人数的一半,若将乙组人数的 调入甲组,则甲组比乙 3
组人数多 15 人,则甲、乙两组的人数分别为_______、________. 07.小明家去年节余 5000 元,估计今年节余 9500 元,并且今年收人比去年提高 15%, 支出比去年降低 10%, 则小明家去年的收人为_____元, 支出为_______ 元. 二、选择题: 08.某次数学知识竞赛共出了 25 道试题,评分标准如下:答对 1 题加 4 分;答错 1 题扣 1 分;不答记 0 分.已知李明不答的题比答错的题多 2 道,他的总分为 74 分,则他答对了() A.18 题 B.19 题 C.20 题 D.21 题 09.甲、乙两地相距 120km,一艘轮船往返两地,顺流时用 5h,逆流时用 6h, 这艘轮船在静水中航行的速度和水流速度分别为( ) A.22km/h,2km/h B.20km/h,4km/h C.18km/h,6km/h D.26km/h, 2km/h 10.看图,列方程组: 上图是“龟兔赛跑”的片断,假设乌龟和兔子在跑动时,均保持匀速,乌龟 的速度为 v1 米/小时,兔子的速度为 v2 米/小时,则下面的方程组正确的是( )

11.用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身 10 个或制盒底 40 个,一个盒身与两 个盒底配成一个罐头盒,现有 120 张白铁皮,设用 x 张制盒身,y 张制盒底, 则可得方程组() A. ?

?x ? y ? 120, ?40x ? 16y .

B. ?

?x ? y ? 120, ?10x ? 80y .

C



?x ? y ? 120, ? ?40y ? 2 ? 10x .

D.以上都不对 12.甲乙两人练习跑步,如果乙先跑 10 米,甲跑 5 秒就可追上乙;如果乙先跑 2 秒,甲跑 4 秒就可追上乙.设甲的速度为 x 米/秒,乙的速度为 y 米/秒,则可 列出的方程组为( ) A. ?

?5y ? 10 ? 5x , ?4y ? 6x .

B. ?

?5x ? 5y ? 10, ?4x ? 6y .

C



?5x ? 10 ? 5y , ? ?4x ? 6y .

D. ?

?5y ? 5x ? 10, ?4y ? 6x .

? 200 10 ?v ? v A. ? 2 1 ?5v ? 1000 ? 2
? 200 10 ?v ? v B. ? 1 2 ?5v ? 1000 ? 1 ? 200 10 ?v ? v C. ? 2 1 ?5v ? 1000 ? 1

三、解答题 13.(贺州)福林制衣厂现有 24 名制作服装的工人,每天都制作某种品牌的衬衫和 裤子,每人每天可制作这种衬衫 3 件或裤子 5 条. (1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等, 则应各安排多少人 制作衬衫和裤子?

(2)已知制作一件衬衫可获得利润 30 元,制作一条裤子可获得利润 16 元,若 该厂要求每天获得利润 2100 元,则需要安排多少名工人制作衬衫?

? 200 10 ?v ? v D. ? 1 2 ?5v ? 1000 ? 2
41

14.(晋江)2010 年春季我国西南大旱,导致大量农田减产,下图是一对农民父子 的对话内容,请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别 是多少千克?

培优升级 奥赛检测 01.(第十七届江苏省竟赛题)美国篮球巨星乔丹在一场比赛中 24 投 14 中,拿下 28 分,其中三分球三投全中,那么乔丹两分球投中 ______ 球,罚球投中 _______球. 02.甲、乙分别自 A,B 两地同时相向步行,2 小时后在途中相遇,相遇后,甲、 乙步行速度都提高了 1 千米/时,当甲到达 B 地后立刻按原路向 A 地返回, 当乙到达 A 地后也立刻按原路向 B 地返回.甲、乙两人在第一次相遇后 3 小 时 36 分钟又再次相遇,则 A,B 两地的距离是_____千米. 03.(武汉市选拔赛试题)某人家的电话号码是八位数,将前四位数组成的数与后 四位数组成的数相加得 14405,将前三位数组成的数与后五位数组成的数相 加得 16970,求此人家的电话号码.

15.(长沙)“5?l2”汉川大地震后,灾区急需大量帐篷,某服装厂原有 4 条成衣 生产线和 5 条童装生产线,工厂决定转产,计划用 3 天时间赶制 1000 顶帐 篷支援灾区.若启用 1 条成衣生产线和 2 条童装生产线可以生产帐篷 105 顶; 若启用 2 条成衣生产线和 3 条童装生产线,一天可以生产帐篷 178 顶. (1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶?

04. (第 17 届 “希望杯” 邀请赛试题)放成一排的 2005 个盒子中共有 4010 个小球, 其中最左端的盒子中放了 a 个小球,最右端的盒子放了 b 个小球,如果任意 相邻的 12 个盒子中的小球共有 24 个,则( ). A, a=b=2 B. a=b=1 C. a=1,b=2B.a=2,b=1 05.(广西竞赛题)某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游,如果每辆车 坐 22 人,就会余下 1 人;如果开走一辆空车,那么所有师生刚好平均分乘余 下的汽车.问:原先去租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量 不多于 32 人)

⑵工厂满负荷全面转产,是否可以如期完成任务?如果你是厂长,你会怎样 体现你的社会责任感?

42

06.(河南省竞赛题)司机小李驾车在公路上匀速行驶,他看到里程碑上的数是两 位数,1 小时后,看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位 数,再过 1 小时后,第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数 字之间添上一个零的三位数,这三块里程碑上的数各是多少?

?mx ? ny ? z ? 7 ? 10.已知 x=2,y=-1,z=-3,是三元一次”程组 ?2nx ? 3y ? 2mx ? 5 的 ?x ? y ? z ? k ?
解,求 m2-7n=3k 的值.

07.(第 17 届江苏省竞赛题)某城市有一段马路需要整修,这段马路的长不超过 3500 米,今有甲、乙、丙三个施工队,分别施工人行道、非机动车道和机动 车道.他们于某天零时同时开工,每天 24 小时连续施工.若干天后的零时,甲 完成任务;几天后的 18 时,乙完成任务;自乙队完成的当天零时起,再过几天 后的 8 时, 丙完成任务, 已知三个施工队每天完成的施工任务分别为 300 米、 240 米、180 米,问这段路面有多长? 08.(首届江苏省“数学文化节”能力素质挑战题)如图,长方形 ABCD 中放置 9 个形状、大小都相同的小长方形(尺寸如图),求图中阴影部分的面积.

11.(“希望杯”邀请赛)购买铅笔 7 支,作业本 3 本,圆珠笔 1 支,共需 3 元, 而购买铅笔 10 支,作业本 4 本,圆珠笔 1 支共需 4 元,则购买铅笔 11 支, 作业本 5 本,圆珠笔 2 支共需多少元钱?

12.四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点,且三角形 ABC、BCD、CDA、DAB 的 A. 面积为 5、9、10、6,求三角形 OAB、OBC、OCD、ODA 的面积 B x u y Oz D

09.(第 9 届“华杯赛”决赛试题)某次数学竞赛前 60 名获奖.原定一等奖 5 人, 二等奖 15 人,三等奖 40 人;现调为一等奖 10 人,二等奖 20 人,三等奖 30 人,调整后一等奖平均分数降低 3 分,二等奖平均分数降低 2 分,三等奖平 均分数降低 1 分.如果原来二等奖比三等奖平均分数多了 7 分, 求调整后一等 奖比二等奖平均分数多几分?

C 13.(重庆竞赛)某校七年级的新生男女同学的比例为 8:7,一年后收转学生 40 名,男女同学的比例变为 17:15.到九年级时,原校学生有转学来的,统计知 净增 10 名,此时男女同学的比例为 7:6.问:该校在七年级时招收的新生中, 各招了男女同学多少名?(注:该校七年级新生人数不超过 1000 人)

43

第 20 讲 三元一次方程组和一元一次不等式组 考点·方法·破译 1.了解三元一次方程组和它的解的概念; 2.会解三元一次方程组并会用它解决较简单的应用题; 3.了解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集; 4.会解一元一次不等式和一元一次不等式组,并会进行一些简单的 应用. 经典·考题·赏析

? 2 x ? y ? 7① ? 【例1】解方程组 ?5 x ? 3 y ? 2 z ? 2② ?3 x ? 4 y ? 4 z ? 16③ ?
【解法指导】观察发现,本方程组共有两个三元一次方程,一个二元一次方 程. 解三元一次方程组的基本思想是消元, 将其转化为二元一次方程组来求解. 因 此,根据本题特点有两种主要思路:一是代入法,将①分别代入②、③消去 y, 从而得到一个以 x、z 为未知数的二元一次方程组;二是由②③用加减法消去 z 得一个以 x、y 为未知数的方程,再与①联系,得一个二元一次方程组. 方法⑵ ②?2 得 10x+6y+4z=4 ④ ④+③得 13x+2y=20 ⑤ 解方程组 ?

解:方法⑴ 由①得:y=2x-7 ④ 将④代入②,得 5x+3(2x-7)-3z=2 即 11x+3z=23 ⑤ 将④代入③,得 3x-4(2x-7)-4z=16 即-5x-4z=-12 ⑥

?2 x ? y ? 7 ?x ? 2 得? ?13x ? 2 y ? 20 ? y ? ?3

将?

?x ? 2 ?11x ? 3z ? 23 ? 解二元一次 ? 得? 1 z? ?5 x ? 4 z ? 12 ? ? 2
将 x=2 代入①得 y=-3

?x ? 2 1 代入②得 z ? 2 ? y ? ?3

? ?x ? 2 ? ∴原方程组的解为 ? y ? ?3 ? 1 ?z ? ? 2

? ?x ? 2 ? ∴原方程组的解为 ? y ? ?3 ? 1 ?z ? ? 2

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【变式题组】 1.解下列议程组:

?x ? y ? 1 ? ⑴ ? x ? y ? z ? 26 ? 2 x ? z ? y ? 18 ? ?x : y ? 5 : 3 ? ?x : z ? 7 : 2 ? x ? 2 y ? 3z ? 4 ?

?2 x ? y ? 7 ? ⑵ ?3 y ? 2 z ? ? 8 ?3 x ? 4 z ? 4 ?



?x ? y ? 8 ? 1994 2.解方程组 ? y ? z ? 6 ,并且 mx+2y-z =10,求 m 的值. ?x ? z ? 4 ?

你能算出科比投中的三分球、二分球和罚球分别是多少个吗? 【解法指导】列方程组解决实际问题时,关键是找出题中的等量 关系(注意找全所有的等量关系) ,然后适当设出未知数,列出各个 方程组成方程组. 本题中,等量关系有 3 个: ⑴科比全场共得 81 分;⑵科比 46 投 28 中,即他的三分球和二 分球总共中了 28 次;⑶罚球和三分球所得的分数比其他投篮得分仅 仅少了 3 分,即三分球和罚球的分数之和比二分球得分少 3 分. 利用这三点就很容易建立方程组求解. 解:设科比投中 x 个二分球,y 个三分球,z 个罚球. 依题意得:

? 2 x ? 3 y ? z ? 81 ? x ? 21 ? ? 解得 L ? y ? 7 ? x ? y ? 28 ?3 y ? z ? 2 x ? 3 ? z ? 18 ? ?
【变式题组】 1.某车间每天可以生产甲种零件 600 个或乙种零件 300 个或丙种零 件 500 个,这三种零件各一个可以配成一套,现要在 63 天的生 产中,使生产的三种零件全部配套,这个车间应该对这三种零件 的生产各用几天才能使生产出来的零件配套?

【例 2】北京时间 2006 年 1 月 23 日,科比率领湖人队在洛杉矶 迎接多伦多猛龙队的挑战.在比赛中,科比全场 46 投 28 中,罚篮命 中率高达 90%,疯狂砍下职业生涯最高分 81 分,其中依靠罚球和三分 球所得分数比其他投篮得分仅仅少了 3 分,最终湖人队以 122︰104 获胜.科比的 81 分超越了近 20 年来乔丹 69 分的得分记录,也成为 继张伯伦 1962 年 3 月 2 日对阵纽约尼克斯砍下的 NBA 单场最高得分 记录 100 分之后,联盟历史上排名第二的单场个人最高分.在篮球比 赛中,三分球每投中一个加 3 分,除此之外其他的投篮每投中一个加 2 分.若是对方犯规,罚球每中一个,加 1 分,且在计算命中率时, 罚球是单独计算的, 不计入总的出手次数, 那么通过上面的这则新闻,

45

2.2003 年全国足球甲 A 联赛的前 12 轮(场)比赛后,前三各比赛 成绩如下表. 胜 (场) 大连实 德队 上海申 花队 北京现 代队 问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分? 【例 3】下列各命题,是真命题的有( ) 2 2 ①若 a>b,则 a-b>0 ②若 a>b,则 ac >bc ③ 若 ac >bc,则 a>b 2 2 ④若 ac >bc ,则 a>b ⑤若 a>b,则 3a>3b ⑥若 a> b,则-3a+1>-3b+1 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解法指导】不等式的三条性质,是解决有关不等式的命题的重 要依据,深入透彻理解不等式的三条性质的真实内涵,是判断上述各 命题的关键.第①题是直接运用不等式的性质 1,完全正确.第②题 2 2 2 2 2 是将不等式 a>b 的两边同乘以 c ,但 c ≥0,当 c =0 时,ac =bc , 故本题不对.第③题是将 ac>bc 的两边同除 c 得到 a>b,虽然条件 知 c≠0,但 c 可正可负,当 c<0 时,a>b 就不成立,故本题不对.第 2 2 2 ④题由条件 ac >bc 知 c ≠0,因而 c2>0,故本题正确.第⑤题中, 设 a>b 两边同乘以 3,满足性质 2,故正确.第⑥题中由 a>b 得- 3a<-3b.因而-3a+1<-3b+1,因此不对,本小题运用了性质 3 5 7 0 2 6 5 1 3 2 8 平 (场) 2 负 (场) 2 6 2 积 分 2

和性质 1. 解:C 【变式题组】 1.下列各命题,正确的有( ①若 a-b>0,则 a>b ③若 > ,则 a>b ⑤若 a>b,则

) ②若 a<b,则 ac<bc ④若 a<b,则

a c

b c

a b < 2 2 c c
2

a b > 2 m ?1 m ?1
2

⑥若 a>b,则 a >ab

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 2 2. ⑴关于 x 的不等式(m +1)x>m +1 解集是________________; ⑵若关于 x 的不等式(m+1)x<m+1 的解集是 x<1,则 m 满 足的条件是_________ 3.若关于 x 的不等式(2a-b)x>3a+b 的解集是 x< 的不等式 2ax≥3b 的解集是多少?

7 ,则关于 x 3

46

?15 ? 9 x ? 10 ? 4 x① ? 【例 4】 解不等式组 ? 1 并把解集在数轴上表示 3 x ? 1 ≤ 7 ? x ② ? ?2 2
出来. 【解法指导】不等式的解集就是不等式组中每个不等式的公共解 集.这就要求首先会解每个不等式然后会综合不等式组的解集.一般 地,对于 a<b,有下列四种情形. ⑴?

?3x ? 1 ? ?4 ⑴? ?2 x≤x ? 2

?5 x ? 12≤2(4 x ? 3) ? ⑵ ? 3x ? 1 ?1 ? ? 2
2x ?1 x-1 ? 1< , 3 2

2.已知整数 x 满足不等式 3x-4≤6x-2 和不等式
2 并且满足 3(x+a)-5a+2=0,试求 5a ?

1 的值. 2a

?x ? a ? x ? b 即同大取大 ?x ? b
3 . 已 知 |1 - x| = x - 1 , 则 不 等 式 组 ? ________________

⑵?

?x ? a ? x ? a 即同小取小 ?x ? b

?5 x ? 4 ? 2 x ? 1 的解集为 ?3x ? 1 ? 2

?x ? a ⑶? ? a ? x ? b 即大小小大中间找 ?x ? b
⑷?

?x ? a ? 无解 即大大小小无法找 ?x ? b

解:由不等式①可得 x>1, 由不等式②得 x≤4 综合可得此不等式组的解集是 1<x≤4 - - 0 2 1】 【变式题组 1 2 3 4 5 6 7

1.解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.

47

? x ? 3( x ? 2) ? 2① ? 【例 5】若关于 x 的不等式组 ? a ? 2 x 有解,则 a 的 ? x ② ? ? 4
取值范围是多少?

故 a 的取值范围是 a>4 【变式题组】 1.选择题: ⑴若关于 x 的不等式组 ? ) A.a<3

?x ? 2 ? 【解法指导】分别解每个不等式,可得 ? a ,若原不等式组 x? ? ? 2
a 有解,由“大小小大中间找”的法则,可知︰在数轴上看,2 与 之 2 a 间必有“空隙” ,且 2 在 的左边,将它们表示在数轴上如下图: 2
a 2
⑴ 显然只有图⑶才符合要求,所以 2< 解:由⑴可知:x>2 由⑵可知:x< 2 2 a

? x ? 2a ? 1≤0 有解, 则 a 的取值范围是( ? x ? 3a ? 4≥0
C.a>3 D.a≥3

B.a≤3

⑵若关于 x 的不等式组 ? 是( ) A.a<1 ⑶若不等式组 ?

? x ? 3( x ? 2) ? 4 无解,则 a 的取值范围 ?3x ? a ? 2 x
C.a=1 D.a≥1

B.a≤1

2 ⑶

2


a 2 )

? x ? a≥0 有解,则 a 的取值范围是( ?1 ? 2 x>x ? 2
C.a≤1 D.a<1

a ,即 a<4. 2

A.a>-1 B.a≥-1 2.试确定 a 的取值范围,使不等式组:

a 2

∵原不等式有解 ∴2<

x ?1 ? x? >1① ? ? 4 ? ?1.5a ? 1 (a ? 1)> 1 (a ? x) ? 0.5(2 x ? 1)② ? ? 2 2
只有一个整数解.

a 2

即 a>4

48

3.不等式组 ?

? x ? a ? ?1 的解集中,任一个 x 的值均不在 3≤x≤7 的 ?x ? a ? 2

范围内,求 a 的取值范围。

输入正整数 x 【例 6】如图所示,要使输出值 y 大于 100,则输入的最小 正整数 x 是______________. 【解法指导】由计算机编入程序的问题,主要是由题目中 奇数 偶数 设置的不同程序,对输入的不同数值上,其计算路径也不同. , 此类题的关键,是读懂题目所给的程序(框图) .本题中,对 ?4 于输入的正整数 x,分奇数和偶数分别进行计算.若 x 为奇数, ?5 ? 则乘以 5,得出输出值 y 为 5x,即 y=5x.若输入的 x 为偶数, 则 y=4x+13. +13 解:当 x 是奇数时,由程序运算得 5x>100,解得 x>20, 输出 y 所以输入的最小正整数 x 是 21;当 x 是偶数时,由程序运算得 4x+13>100,解得 x>21.75,所以输入的是最小正整数 x 是 22.综上可知,输入的最小正整数 x 是 21. 【变式题组】 1.如下图,当输入 x=2 时,输出的 y=_________________ 2.根据如图所示的程序计算,若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值为 ______________

49

【例 7】解不等式:|x+3|-|2x-1|<2 【解法指导】解含有绝对值的不等式,就是要设法脱去绝对值符 号,主要有两种方法:一是采用较为常用的“零点分段法”分类去掉 绝对值符号. (所谓“零点” ,就是指使得每个绝对值符号内的代数式 的值为 0 的未知数的值) ,再在相应的范围内解一元一次不等式,本 题中“零点”即是 x=-3 和 x= >

解此不等式得 x>2,又 x≥

1 ,所以原不等式的解为 x>2 2

1 1 ,从而分 x<-3,-3≤x≤ ,x 2 2

1 这三个范围分别脱去绝对值符号而求解.此法可以简单地说成 2

“ 找 零 点 、 两 边 分 ”. 二 是 根 据 绝 对 值 定 义 可 得 :

x ? a ? ?a ? x ? a , x ≥a ? x≥a或x≤? a 这样,可以快速脱
去绝对值符号,避免复杂的讨论,如解不等式|3x+1|<2,可快速得 -x<3x+1<2 即-3<3x<1,所以-1<x< 解:解法⑴:零点为 x=-3,x= 化为-(x+3)+(2x-1)<2. 解不等式得 x<6,又 x<-3. 所以原不等式的解为 x<-3

综上所述,原不等式的解为 x<0 或 x>2. 解法⑵:由原不等式得: |2x-1|>|x+3|-2. 所以 2x-1>|x+3|-2.① 或 2x-1<|x+3|-2.② 由①得|x+3|<2x+1→-(2x+1)<x+3<2x+1,解得 x>2. 由②得|x+3|<3-2x→-(3-2x)<x+3<3-2x.解得 x<0. 综上所述,原不等式的解为 x>2 或 x<0. 【变式题组】 1.解不等式(组) : ⑴|x-2|≤2x-10 ⑵|2x+1|>x-3

1 ,避免了讨论. 3
2.若方程 ? 围是(

1 ,①当 x<-3 时,原不等式 2

?3x ? y ? k ? 1 的解为 x,y,且 2<k<4,则 x-y 的取值范 ?x ? 3y ? 3


1 ②当-3≤x< 时,原不等式化为(x+3)+(2x-1)<2 2 1 解此不等式得 x<0,又-3≤x< ,所以原不等式的解为-3≤ 2
x<0 ③当 x≥

A.0<x-y<

1 B.0<x-y<1 2

C.-3<x-y<-1

1 ,原不等式化为(x+3)-(2x-1)<2 2

D.-1<x-y<1 演练巩固·反馈提高 01.在三元一次方程 x-2y+3z=5 中,若 x=1,y=-1,则 Z= ________________. 2 02. 若|x-3z|+(y-1) +|2x+3|=0, 则 x=________, y=________, z=_________.

50

03.已知 x︰y︰z=3︰4︰5,且 x+y++z=36,则 x=________,y =________,z=_________.

A.5a≤5b

B.5a<3b

C.a> b

5 3

D.b>

?2 x ? 5 ? 1 04.不等式组 ? 的整数解是_________________. ?3x ? 8≤10
6 05 . mx - 2 < 3x + 4 的 解 集 是 x > ,则 m 的取值范围是 m?3
________________.

5 a 3
11.不等式组 ?

? x ? 1≤3 的解集为( ?2 x ? 6

)

?2 ? x≤3 ? 06.不等式组 ? x 的解集是_________________________. <1 ? ?2

A.x>3 B.x≤4 C.3<x<4 D.3<x≤4 12.三角形三边长为 a、b、c,且 a>b,则下列结论正确的有( ) ①a-c>b-c;②

a b a b?c b?c a ? ? ? ;③ ;④ a ?b a ?b b?a b?a c c
C.①②④ D.①②③④

?x ? 2 ? a 07. 若不等式组 ? 的解集是-1<x<2, 则 a=____, b=____. ?x ? 2 ? b
08.若不等式组 ?

A.① B.①②③ 13.解方程组:

? x ? 3a ? 2 的解集是 x<3a+2,则 a 的取值范围是 ?x ? a ? 4 ?3x ? 2 y ? 4a ? 3 的解满足 x+y>0,则 a 的取值范 2 x ? 3 y ? a ? 7 ?

? x ? y ? 10 ? ⑴ ?x ? z ? 6 ? y ? z ? 14 ?

?x ? y ? z ? 0 ? ⑵ ?2 x ? y ? z ? 7 ?x ? 3y ? z ? 8 ?

_________________. 09.已知方程组 ?

围是___________. 10.如果方程 )

2x ? a 4x ? b ? 的解不是正数,则 a 与 b 的关系是( 3 5

51

14.解不等式(组) ,并将解集在数轴上表示出来.

? x ?1 ≥0 ?1 ? ⑴? 3 ? ?3 ? 4( x ? 1) ? 1

? ?3 x ? 5 ? 4 ? ⑵ ? ?2 x ? 6≥10 ?1 ? ( x ? 3) ? 2≥ ? 1 ?2

02.一共有( A.10000

) 个整数 x 适合不等式|x-2000|+|x|≤9999. B.20000 C.9999 D.80000

03.设 a,b 是正整数,且满足 56≤a+b≤59,0.9<
2

a 2 ≤0.91,则 b b

-a 等于( ) A.171 B.177 C.180 D.182 04 .当 a > 3 时,不等式 ax + 2 < 3y + b 的解集是 x < 0 ,则 b = _____________. 05 . 已 知 |3x - 4y| = 42 , |x - 1| ≤ 5 , |y + 2| ≤ 4 , 则 x + y = _____________. 06.将 2004 写成若干个质数的乘积,如果 a,b,c 是这些质数中的三 个,且 a<b<c,那么关于 x、y 的方程组 ? 是 x=_________,y=______________. 07 . 如 果 不 等 式 组 ?

15.解答题:

? 2x ? 5 ? x ? 5① ? ? 3 ⑴关于 x 的不等式组 ? 只有 5 个整数解, 求a的 ? x ? 3 ? x ? a② ? ? 2
取值范围.

?bx ? ay ? 1 的解 ?ax ? cy ? ?165

?x ?1 ? 0 无解,则 a 的取值范围是 ?x ? a ? 0

⑵m 取什么整数时, 方程组 ?

?mx ? y ? 5① ?2 x ? 3my ? 7②

的解满足 x>0 且 y

<0? 培优升级·奥赛检测 01.若-1<a<b<0,则下列式子中正确的是( A.-a<-b B.

) D.a >b
2 2

1 1 ? a b

C.|a|<|b|

______________. 08.甲、乙、丙三人进行智力抢答活动.规定:第一个问题由乙提出, 由甲、丙抢答,以后在抢答过程中若甲答对 1 题,就可提 6 个问 题,乙答对 1 题就可提 5 个问题,丙答对 1 题就可提 4 个问题, 供另两人抢答,抢答结束后,总共有 16 个问题没有任何人答对, 则甲、乙、丙答对的题数分别是________________________. 三、解答题: 09.解不等式|3x+2|-|x-6|>1

52

10.已知:

2x ?1 5 x ? 3x ? 1≥x ? ,求|x-1|-|x+3|的最大值和最 3 2

小值.

13.已知:实数 a,b 满足 1≤a+b≤4,0≤a-b≤1,且 a-2b 有最大 值,求:8a+2003b 的值. 11.已知 a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7 是彼此互不相等的正整数,它们 的和等于 159,求其中最小的 a1 的最大值.

12.求满足下列条件的最小正整数 n,对于这个数 n,有唯一的正整 数 k,满足

8 n 7 ? ? . 15 n ? k 13

53

第 21 讲 一元一次不等式(组)的应用 考点·方法·破译 1.进一步巩固一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及它 们的解集的意义,并会简单运用? 2.会列不等式或不等式组解决一些典型的实际问题? 经典·考题·赏析 【例 1】当 x 取何有理数时,代数式

⑴大于 0? 03.若代数式

⑵等于 0?

⑶不大于-3?

x ?1 x ?1 x ?1 ? 的值不小于 的值,求正整数 x 的值? 3 2 6 x? y 元 2

【例 2】 (乐山)某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了 30 斤,价格 为每斤 x 元; 下午他又买了 20 斤, 价格为每斤 y 元?他以每斤

1 x?2 ? 的值不大于 1? 2 3

【解法指导】从题目中找出不等关系来,并依此列出不等式,解 此不等式即可求出本题所求“不大于” ,即是小于或等于,类似的还 有“不超过” 、 “不多于” 、 “顶多为” ,另外, “不少于” 、 “不低于” 、 “至 少为”等,即为“大于或等于”?

的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,其原因是( ) A.x<y B.x>y C.x≤y D.x≥y 【解法指导】若要比较两个有理数 a 和 b 的大小,有一种方法就 是判断 a-b 的值的正负:若 a-b=0,则 a=b;若 a-b<0,则 a< b,反之亦然?用这种方法比较两数大小,称之为作差比较法?本题实质

1 x?2 ? ≤1 解:依题意得 2 3
去分母,得 3-2(x-2)≤6 去括号,得 3-2x+4≤6 合并同类项,得 -2x≤6-3-4 即 -2x≤-1

x? y 的大小的问题,所谓“赔了钱” ,就 2 x? y x? y ?0变 是进价 30 x ? 20 y ? 50 ? ,也就是 30 x ? 20 y ? 50 ? 2 2
就是比较 30x+20y 与 50 ? 形可得 x>y,故选 B? 【变式题组】 01.如果

1 系数化为 1,得 x ≥ 2 1 1 x?2 ∴ 当 x 取值不小于 时, ? 的值不大于 1? 2 2 3
【变式题组】 01.如果 ?

x2 ? 2x ?1 2 比 ? 大,则 x 的取值范围是( 3 3



A.x>1 B.x<1 C.x≤1 D.x≠1
3 2 3 02.试比较两个代数式 x ? x ? 2 x 与 x ? 1 的大小?

2(1 ? x) 的值是非正数,则 x 的取值范围是( 3


2 2 03.若代数式 3x ? 2 x ? 1 比 3x ? x ? 1 大,求 x 的取值范围?

A.x≤-1 B.x≥-1 C.x≥1 D.x≤1 02.当 x 取何值时,代数式 2x-5 的值:

54

【例 3】某校餐厅计划购买 12 张餐桌和一批餐椅,从甲、乙两商 场了解到统一餐桌每张均为 200 元,餐椅报价每把均为 50 元?甲商场 称:每购买一张餐桌赠餐椅;乙商场称:所有的餐桌、餐椅均按报价 的八五折销售,那么什么情况下到甲商场购买更优惠?什么情况下到 乙商场购买更优惠? 【解法指导】 餐椅的购买数量是个变量, 到哪个商场购买更优惠, 取决于餐椅的数量多少?把餐椅数量设为 x 把, 到甲、 乙两商场购买所 需费用分别设为 y 甲、y 乙,它们分别用含 x 的式子表示,再比较 y 甲、 y 乙的大小即可,在求 y 甲是,应注意 x 减去 12 后,在乘以 50,即 y 甲 =200?12+50(x-12);同理 y 乙=(200?12+50x)?85%? 解:设学校计划购买 x 把餐椅,到甲、乙两商场购买所需费用分 别为 y 甲元、y 乙元? 根据题意, 得: y 甲=200?12+50(x-12), 即 y 甲=1800+50x, y 乙=(200?12+50x)?85%,即 y乙 ? 2040 ? ①当 y 甲<y 乙时, 1800 ? 50 x ? 2040 ?

85 x? 2

85 x, 2

解这个不等式,得 x<32? 即当购买的餐椅少于 32 把时,到甲商场购买更优惠? ②当 y 甲>y 乙时, 1800 ? 50 x ? 2040 ?

【变式题组】 01.某电信公司对电话缴费采取两种方式,一种是每月缴纳月租费 15 元,每通话 1 分钟 0.20 元;另一种是不交月租费,但每通话 1 分 钟收话费 0.30 元?请问,用那种缴费方式比较合适? 02.某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估 计为 10~25 人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都 是每人 200 元?经协商, 甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优 惠;乙旅行社表示可以免去一位游客的旅游费用,其余游客八折 优惠,该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少? 03. (潍坊)某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品 需要装入某一规格的纸箱?供应这种纸箱有两种方案可供选择: 方案一:从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为 4 元; 方案二:由蔬菜加工厂朱琳机器自己加工制作这种纸箱,机器租 赁费按生产纸箱数收取,工厂需要一次性投入机器安装等费用 16000 元,每加工一个纸箱还需要成本费 2.4 元? ⑴若需要这种规格的纸箱 x 个,请用含 x 的代数式表示购买纸箱 的费用 y1(元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用 y2(元) ; ⑵假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?并说明理由?

85 x, 2

解这个不等式,得 x>32? 即当购买的餐椅多于 32 把时,到乙商场购买更优惠? ③当 y 甲=y 乙时, 1800 ? 50 x ? 2040 ?

85 x, 2

解这个不等式,得 x=32? 即当购买的餐椅等于 32 把时,到两家商场购买均可?

55

【例 4】 (潍坊)为了美化校园环境,建设绿色校园,某学校准备 对校园中 30 亩空地进行绿化?绿化采用种植草皮与种植树木两种方 式,要求种植草皮与种植树木的面积都不少于 10 亩,并且种植草皮 3 面积不少于种植树木面积的 ,则种植草皮的最小面积是多少? 2 【解法指导】应用题中,要充分挖掘题目中所蕴含的不等关系, 一个也不能遗漏,否则就会出错? 注意到题中表示不等关系的关键词语“不少于” ,这是列不等式 的依据?显然,本题中有三个不等式关系: ①种植草皮与种植树木的面积都不少于 10 亩;②种植草皮面积 3 不少于种植树木面积的 ,根据这三个不等关系可以求出种植草皮的 2 面积的范围? 解:设种植草皮的面积为 x 亩,则种植树木的面积为(30-x)亩,

⑸目前村料 1000 吨,2007 年还需用料 1400 吨,到 2007 年底可 补充原料 2000 吨? 试根据以上数据确定 2008 年可能生产的产量,并根据产量确定 工人人数? 02.某公司在下一年度计划生产出一种新型环保冰箱,下面是公司各 部门提出的数据信息; 人事部:明年生产工人不多于 80 人,每人每年工作时间 2400h 计算; 营销部:预测明年年销量至少为 10000 台; 技术部:生产 1 台电冰箱平均用 12 个工时,每台机器需要安装 5 个某种主要部件; 供应部:今年年终库存主要部件 1000 件,明年能采购到这种主 要部件 80000 件? 根据上述信息,下一年度生产新型冰箱数量应该在什么范围内?

? ? x ≥ 10 ? 则有 ?30 ? x ≥ 10 ,解得 18≤x≤20?故 x 的最小值为 18? ? 3 ? x ≥ (30 ? x) ? 2
答:种植草皮的最小面积为 18 亩? 【变式题组】 01. 2007 年某厂制定某种产品的年度生产计划, 现有如下数据供参考: ⑴生产此产品的现有工人为 400 人; ⑵每名工人的年工时约计 2200 小时; ⑶预测 2008 年的销售量在 10 万箱到 17 万箱之间; ⑷每箱需用工 4 小时,需用料 10 千克;

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【例 5】 (襄樊) “六一”儿童节前夕,某消防官兵了解到汶川地 震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃,就特意购买了一些送给这 个小学的小朋友作为节日礼物?如果每班分 10 套,那么余 5 套;如果 前面的班级每个班分 13 套,那么最后一个班虽然分得有福娃,但不 足 4 套?问:该小学有多少个班级?奥运福娃共有多少套? 【解法指导】抓住题中的关键词“虽然分有福娃,但不足 4 套” 来建立不等式组,这是本题的关键所在? 解:设该小学有 x 个班,则奥运福娃共有(10x+5)套, 根据题意,得 ?

?10 x ? 5 ? 13( x ? 1) ? 4 ① ?10 x ? 5 ? 13( x ? 1) ②

解①得x>

14 ,解②得 x<6? 3

品需要甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克;生产一件 B 产品,需要甲 种原料 4 千克,乙种原料 10 千克,则工厂安排 A、B 两种产品的生产 件数,有哪几种方案?请你设计出来? 【解法指导】此为典型的材料供应类设计方案的应用题,题中的 不等关系不很明显,但经过认真分析,结合生活实际仍可挖掘出题中 所蕴含的不等关系, 即生产所使用的甲种原料总量不得超过 360 千克, 乙原料总量不得超过 290 千克,据此可以列出两个一元一次不等式, 从而组成一元一次不等式组? 此类题的不等关系不十分显眼,发掘不等关系是解决此类题之关 键所在? 解:设安排生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品(50-x)件?根据 题意,得

因为 x 只能取正整数,所以 x=5,此时 10x+5=55? 答:该小学有 5 个班级,奥运福娃共有 55 套? 【变式题组】 01.幼儿园有玩具若干份,分给小朋友,如果每个小朋友分 3 件,难 么还剩 59 件;如果每个小朋友分 5 件,那么最后一个小朋友还 少几件,这个幼儿园有多少玩具?有多少个小朋友? 02.某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准 备送给他们?若每名学生送 3 本, 则还余 8 本; 若前面每名学生送 5 本, 则最后一名学生得到的课外读物不足 3 本?设该校买了 m 本 课外读物,有 x 名学生获奖,请你解答下列问题? ⑴用含 x 的代数式表示 m; ⑵求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数? 【例 6】某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千克,现 计划用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件,已知生产一件 A 产

?9 x ? 4(50 ? x) ≤ 360 ,解这个不等式组,得 30≤x≤32? ? ?3x ? 10(50 ? x) ≤ 290
因为 x 需要取整数,所以 x 可以取 30、31、32,对应 50-x 应取 20、19、18? 故可设计三种方案:A 种产品 30 件,B 种产品 20 件;A 种产品 31 件,B 种产品 19 件;A 种产品 32 件,B 种产品 18 件? 01. (泰州)近期以来,大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升,网民戏称 “蒜你狠” 、 “豆你玩”?以绿豆为例,5 月上旬某市绿豆的市场价 已达 16 元/千克?市政府决定采取价格临时干预措施, 调进绿豆以 平抑市场价格?经市场调研预测, 该市每调进 100 吨绿豆, 市场价 格就下降 1 元/千克?为了既能平抑绿豆的市场价格,又要保护豆 农的生产积极性,绿豆的市场价格控制在 8 元/千克到 10 元/千克 之间(含 8 元/千克和 10 元/千克)?问调进绿豆的吨数应在什么 范围内为宜?

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02. (深圳)迎接亚运,美化深圳,园林部门决定利用现有的 3490 盆 甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A、B 两种园艺找些共 50 个摆 放在迎宾大道两侧?已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆,乙 种花卉 40 盆,搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆,乙种花卉 90 盆? ⑴某校九年级⑴班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案 的设计,问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来; ⑵若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元, 搭配一个 B 种造型的成 本是 960 元, 试说明⑴中哪种发案成本最低?最低成本是多少 元? 03. (桂林)某校初三年级春游,现有 36 座和 42 座两种客车供选择 租用,若只租用 36 座客车若干辆,则正好坐满;若只租用 42 座 客车,则能少租一辆,且有一辆车没有坐满,但超过 30 人;已 知 36 座客车每辆租金 400 元,42 座客车每辆租金 440 元? ⑴该校初三年级共有多少人参加春游? ⑵请你帮该校设计一种最省钱 的租车方案? ... 【例 7 】 (第 17 届江苏省竞赛题)如果关于 x 的不等式组

∵此解集中仅含有整数 1,2,3? ∴0 ?

m n ≤ 1 ,即 0 ? m ≤ 7 ,且 3 ? ≤ 4 即 18 ? n ≤ 24 7 6

故 m=1,2,3,4,5,6,7,n=19,20,21,22,23,24 故符合此不等式组的整数对(m,n)共有 6?7=42 对,即本题选 B? 【变式题组】

?3x ? a ? 0 ? 01. (江苏赛题)已知:关于 x 的不等式组 ? 的整数杰有且 b x? ? ? 2
仅有 4 个:-1,0,1,2,那么适合这个不等式组的所有可能的 整数对(a,b)共有多少个? 演练巩固 反馈提高 01.用不等式表示: ⑴x 与 2 的和小于 5________________; ⑵a 与 b 的差是非负数_________________? 02.若 x<y,则 x-y______y-2;5-x_______5-y;a2x_______a2y; x y - _____- ; 3 5 x(a +1)______ y(a +1)? 03 . 不 等 式 组 ? __________?
2 2

?7 x ? m ≥ 0 的整数解仅为 1,2,3,那么适合这个不等式组的整数 ? ?6 x ? n ? 0
对(m,n)共有( )对 A.49 B.42 C.36 D.13 【解法指导】本题属于“由不等式的解集中包含的整数解来确定 字母系数的值”这类题,此类题首先根据不等式组的解集包含哪些整 数来确定每个边界点的范围,据此求出符合条件的字母系数的值? 解:由此不等式组得到其解集是

?x ? 5 ≤1 ?2 x ? 3 ? 0

的 解 集 是 ___________ , 其 整 数 解 是

m n ≤x? ? 7 6
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04. 关于 x 的不等式组 ?

?x ? a ? 0 的整数解共有 6 个, 则 a 的取值范 ?3 ? 2 x ? 0

围是 ? 05 .已知:三角形的两边为 3 和 4 ,则第三边 a 的取值范围是 _________________? 06 .若不等式 (a - 5)x > 1 的解集是 x > __________________? 07.如果不等式组 ? ( 1 ,则 a 的取值范围是 a-5

300 元之后,超出部分按原价 8 折优惠;在乙超市累计购买商品 超过 200 元后,超出部分按原价 8.5 折优惠,设顾客预计累计购 物 x 元(x>300)? ⑴请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所需费用; ⑵试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由?

? x ? 7 ? 3x ? 7 的解集是 x>7,则 n 的取值范围是 x ? n ?
12.七⑵班共有 50 名学生,老师安排每人制作一件 A 型或 B 型的陶 艺品, 学校现有甲种制作材料 36kg, 乙种制作材料 29kg, 制作 A、 B 两种型号的陶艺品用料情况如下表: 需甲种材料 1 件 A 型陶艺 品 1 件 B 型陶艺 品 0.9kg 0.4kg 需乙种材料 0.3kg 1kg

) A.n≥7 B.n≤ C.n=7 D.n<7 08.若 abcd>0,a+b+c+d>0,则 a、b、c、d 中负数的个数至少 有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2(1 ? x) 09.如果 ? 是非正数,则 x 的取值范围是( 3
A.x≤1 B.x≥1 C.x≥1 10.已知:关于 x 的不等式组 ? ( D.x≤1



?5 ? 2 x ≥ 1 ?x ? a ? 0

无解,则 a 的取值范围是

⑴设制作 B 型陶艺品 x 件,求 x 的取值范围; ⑵请你根据学校现有的材料分别写出七⑵班制作 A 型和 B 型陶艺 品的件数?

) A.a>3 B.a≥3 C.0<a<3 D.a≤3 11. (河南)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸 引顾客,各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超过

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13. (济南)某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动,行李共有 100 件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共 8 辆,经了解, 甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李,乙种汽车每辆最多能 载 30 人和 20 件行李? ⑴设租用甲种汽车 x 辆, 请你帮助学校设计所有可能的租车方案; ⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为 2000 元、1800 元, 那么请你帮助选择哪一种租车方案更节省费用?

15. (中山)某学校组织 340 名师生进行长途考察活动,带有行李 170 件,计划租用甲、乙两种型号的汽车 10 辆?经了解,甲车每辆最 多能载 40 人和 16 件行李,乙车每辆最多能载 30 人和 20 件行李 ? ⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案; ⑵如果甲车的租金为每辆 2000 元,乙车的租金为每辆 1800 元, 问哪种可行方案使租车费用最省?

14. (威海)响应“家电下乡”的惠农政策,某商场决定从厂家购进 甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱 80 台,其中甲种电冰箱的台 数是乙种电冰箱台数的 2 倍,购买三种电冰箱的总金额不超过 132000 元?已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为 1200 元 /台、1600 元/台、2000 元/台? ⑴至少购进乙种电冰箱多少台? ⑵若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数,则有哪些 购买方案?

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培优升级 奥赛检测

?9 x ? a ≥ 0 01.如果不等式组 ? 的整数解仅为 1,2,3,那么适合这三 ?8 x ? b ? 0
个不等式组的整数 a、b 的有序数对(a,b)共有( )对? A.17 B.64 C.72 D.81 02. (全国数学竞赛题)设 a、b、c 的平均数为 M,a 与 b 的平均数为 N,N 与 C 的平均数为 P,若 a>b>c,则 M 与 P 的大小关系是 ( ) A.M=P B.M>P C.M<P D.不确定的 03. (第 18 届江苏省竞赛题)a1、a2、?、a2004 都是正数,如果 M= (a1 + a2 + ? + a2003)(a2 + a2 + ? + a2004) , N = (a1 + a2 + ? + a2004)( a2+a2+?+a2003),那么 M、N 的大小关系是( ) A.M>N B.M=N C.MN D.不确定的

________________? 07. (浙江省复赛题)正六边形轨道 ABCDEF 的周长为 7.2 米,甲、 乙两只机器鼠分别冲 A、C 两点同时出发,均按 A→B→C→D→ E→F→A→?方向沿轨道奔跑,甲的速度为 9.2 厘米/秒,乙的速 度为 8 厘米/秒,那么出发后经过_______秒钟时,甲、乙两只机 器鼠第一次出现在同一条边上? 08. ( “CHSIO 杯”河南省竞赛题)为了保护环境,某企业决定购买 10 台污水处理设备?现有 A、B 两种型号的设备,其中每台的价 格、 月处理污水及年消耗费如下表?经计算, 该企业购买设备的资 金不高于 105 万元,请你设计,该企业购买方案有_______种? A型 价格(万元/台) 处理污水量 (吨/月) 年消耗费 (万元/台) 12 240 1 B型 10 200 1

a?2 a a ?1 04. ( “希望杯”邀请赛试题)设 m ? ,n ? ,p? , a?3 a ?1 a?2
若 a<-3,则( ) A.m<n<p B. n<p<m C. p<n<m D.p<m

<n 05. ( “希望杯”邀请赛试题)已知:a、b、c、d 都是整数,且 a<2b, b<3c,c<4d,d<50,那么 a 的最大值是( ) A.1157 B.1167 C.1191 D.1199 06 . ( “ CHSIO 杯 ” 河 南 省 竞 赛 题 ) 已 知 关 于 x 的 不 等 式 组

09. (北京市竞赛题)大、中、小三个正整数,大数与中数之和等于 2003 ,中数减小数之差等于 1000 ,那么这三个正整数的和为 _____________? 10. (四川省竞赛题)已知不等式 ax+3≥0 的正整数解为 1,2,3, 则 a 的取值范围是______?

?x?4 x ? ?1 ? 的解集为 x<2,那么 a 的取值范围是 2 ? 3 ? ?x ? a ? 0

11. (黄冈市选拔赛试题)小慧上宝塔观光,他发现:若上了 7 阶楼 梯时,剩下的楼阶梯数是已上的阶数的 3 倍多,若再多上 15 阶 楼梯时,已上阶数是剩下的楼梯阶数的 3 倍多,那么,此宝塔的 楼梯一共有多少阶?

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12.若正整数 x<y<z,k 为整数,且 的值?

1 1 1 ? ? ? k ,试求 x、y、z x y z

13. (华杯决赛题) 已知: a1+2a3≥3a2, a2+2a4≥3a3, a3+2a5≥3a4, ?, a8+ 2a10≥3a9,a9+2a1≥3a10, a10+2a2≥3a1,且有 a1+ a2+a3 +?+a10=100,求 a1,a2,a3,?,a9,a10 的值?

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第 22 讲 一元一次不等式(组)与方程(组)的结合 考点·方法·破译 1.进一步熟悉二元一次方程组的解法,以及一元二次不等式组 的解法. 2.综合运用一元一次不等式组和二元一次方程组解决一些典型 的实际问题. 经典·考题·赏析 【例 1】求方程 3x+27=17 的正整数解. 【解法指导】一般地,一个二元一次方程有无数个解,但它的特 殊解是有限个,如一个二元一次方程的正整数解,非负整数解都是有 限个. 求不定方程的正(非负)整数解时,往往借助不等式,整数的奇 偶性等相关知识来帮助求解. 解:将方程变形为 2y=17-3x ∵y>0 ∴ 即y?

17 ? 3x 17 ? 3 ? 1 ? ?7 2 2 17 ? 3 x 17 ? 3 ? 3 ? ?4 当 x=3 时, y ? 2 2 17 ? 3x 17 ? 3 ? 5 ? ?1 当 x=5 时, y ? 2 2
当 x=1 时, y ?
?x=1 ?x=3 ?x=5 ? ? 故原方程的正整数解为? 或 或 ?y=7 ?y=4 ?y=1

【变式题组】 01.求下列各方程的正整数解: ⑴2x+y=10

(2) 3x+4y=21

17 ? 3 x 2
02.有 10 个苹果,要分给两个女孩和一个男孩,要求苹果不得切开, 且两个女孩所得的苹果数相等,每个孩子都有苹果吃,问有哪几 种分法?

17 ? 3x >0 2 17 2 ∴x< 即 x< 5 3 3 17 ? 3x 又∵y 为正整数(即 为整数) 2
∴17-3x 为偶数 ∴x 必为奇数 ∴x=1,3,5

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【例 2】足球联赛得分规定如下:胜 1 场得 3 分,平 1 场得 1 分, 负 1 场得 0 分?某队在足球联赛的 4 场比赛中得 6 分, 这个队胜了几场, 平了几场,负了几场? 【解法指导】本题中,所有的等量关系只有两个,而未知量有三 个?因而所列方程的个数少于未知数的个数, 即为不定方程组, 但每个 未知数量的数目必为非负整数?因此, 此题的实质就是滶不定方程的非 负整数解的问题. 此方程组有两个方和,三个未知数,解法仍然是消元,即消去某 一个未知数后,变为二元一次方程,再仿照例 1 的解法施行. 解:设该队胜了 x 场,平了 y 场 ,负了 z 场,依题意可得:
?x+y=4 ? ?3x+y=6

钢笔需要花 60 元;经过协商,每种钢笔单价下降 1 元,结果只 花了 48 元,那么可能购买甲种笔( ) . A.11 支 B.9 支 C.7 支 D.5 支 02.一旅游团 50 人到一旅舍住宿,旅舍的客户有三人间、二人间、 单人间三种?其中三人间的客房每人每晚 20 元,二人间的客房每 人每晚 30 元,单人间的客房每人每晚 50 元. (1)若旅游团共住满了 20 间客房,问三种客房各住了几间?怎样 住消费最低?

① ②

(2)若该旅游团中,夫妻住二人间,单身住三人间,小孩随父母住 在一起,现已知有小孩 4 人(每对夫妻最多只带 1 个小孩) , 单身 30 人, 其中男性 17 人, 有两名单身心脏病患者要求住单 人间,问这一行人共需多少间客房?

②-①得:2x-z=2 ③ 变形得: z=2x-2 ∵0≤z≤2 ∴0≤2x-2≤2 即 1≤x≤2 又 x 为正整数 ∴x=1,2 相应地,y=3,0 z=0,2 答:这个队胜了 1 场,平了 3 场,或胜了 2,负了 2 场. 【变式题组】 01. (佳木斯)为了奖励进步较大的学生,某班决定购买甲、乙、丙 三种钢笔作为奖品,其单价分别为 4 元、5 元、6 元,购买这些

?x-y=a+3 【例 3】已知:关于 x、y 的方程组? 若 x>y,求 a 的取 ?2x+y=5a

值范围. 【解法指导】解本题的指导思想就是构建以 a 为未知数的不等式 ?解之即得 a 的取值范围,构建不等式的依据就是 x>y,而解方程组 即可用 a 的代数式分别表示 x 和 y,进而可得不等式.
?x-y=a+3 解:解方程组? ?2x+y=5a ?x=2a+1 得 ? ?y=a-2

∵x>y ∴2a+1>a-2 故 a 的取值范围是 a>-3. 【变式题组】

解得 a>-3

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01.已知:关于 x 的方程 3x-(2a-3) =5x+(3a+6)的解是负数,则 a 的取值范围是_____.
?x+y=3a+9 02.已知:关于 x、y 的方程组?x-y=5a+1 的解为非负数. ?

【解法指导】解此不等式组得 a+2<x<

b ,而依题意,该不 2

(1)求 a 的取值范围; (2)化简|4a+5|-|a-4|.

等式的解集又是-1<x<1,而解集是唯一的,因此两解集的边界点 分别“吻合” ,从而得两等式即得方程组,解之可得 a、b 之值. ?x-a>2a b 解:解不等式组? 得 a+2<x< ?-2x>0 2 又∵此不等式组的解集是-1<x<1 a+2=-1 ? ? ?a=-3a ∴ ?b 解设? =1a ?b=2a

? ?2

03. 当 m 为何值时, 关于 x 的方程 1?

x 6m ? 1 5m ? 1 ? ? x? 的解大于 6 3 2

∴(a+b)2009=(-1)2009=-1 【变式题组】
?2a+x>a 01 .若 ? ?2-3x>a

的解集为- 1 < x < 2 ,则 a = ___________ , b =

_____________.
?x-a≥b b 02. 已知: 关于 x 的不等式组? 的解集为 3≤x<5, 则 的 2 x - a < 2 b +1 ? a

值为(
?2x+y=5m+6 4.已知方程组?x-2y=-17 的解 x、y 都是正数,且 x 的值小于 y ?

) B. ?

的值,求 m 的取值范围.

1 1 C.-4 D. ? 2 4 x?4 x ? ? > ?1 03.若关于 x 的不等式组? 3 的解集为 x<2,则 a 的 2 ? x + a > 0 b ?
A.-2 取值范围是___________.

?x-a>2 【例 4】 (凉州)若不等式? 的解集是-1<x<1, ?b-2x>0

求(a+b)

2009

的值.

?x+2>a+b 04.已知:不等式组? 的解庥为-1<x<2,求(a+b)2008 ?x-1<a-b

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的值. 【例 5】 (永春)商场正在销售“福娃”玩具和徽章两种奥运 商品,已知购买 1 盒“福娃”玩具和 2 盒徽章共需 145 元;购买 2 盒 “福娃”玩具和 3 盒徽章共需 280 元? (1)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格各是多少元? (2)某公司准备购买这两种奥运商品共 20 盒送给幼儿园(要求每 种商品都要购买) ,且购买金额不能超过 450 元,请你帮该公司设计 购买方案? 【解法指导】本题属材料选择类的方程与不等式结合的实际应用 题,但方程组与不等式组是分开的?分析可知:第(1)问只需依照题目 主干所提供的两个等量关系即可列出二元一次方程组?第(2)问由题目 所给不等关系“购买金额不能超过 450 元”及第(1)问所求出的数据列 出不等式,从而求解? 解: (1)设一盒 “福娃” 玩具和一盒徽章的价格分别为 x 元和 y 元.
?x+2y=14 依题意,得? ?2x+3y=280 ?x=125 解得? ?y=10

答:一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别是 125 元和 10 元. (2)设购买“福娃”玩具 m 盒,则购买徽章(20-m)盒. 由题意,得 125m+10(20-m)≤450,解得 m≤2.17.所以 m 可以取 1,2. 答:该公司有两种购买方案. 方案一:购买“福娃”玩具 1 盒,徽章 19 盒; 方案二:购买“福娃”玩具 2 盒,徽章 18 盆. 【变式题组】 01.(益阳)开学初,小芳和小亮去学校商店购买学习用品 ,小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔和 3 本笔记本;小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本.

(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格; (2)校运会后,班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长,购买上 述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品,奖给校运会中表现 突出的同学, 要求笔记本数不少于钢笔数, 共有多少种购买方 案?请你一一写出. 02. (眉山)渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共 6000 尾,甲种鱼苗每尾 0.5 元,乙种鱼苗每尾 0.8 元.相关资料表明:甲、乙两种鱼苗的 成活率分别为 90%和 95%. ⑴若购买这批鱼苗共用了 2600 元,求甲、乙两种鱼苗各购买了 多少尾? ⑵若购买这批鱼苗的钱不超过 4200 元,应如何选购鱼苗? ⑶若要使这批鱼苗的成活率不低于 93%, 且购买鱼苗的总费用最 低,应如何选购鱼苗? 03. (盐城)整顿药品市场,降低药品价格是国家的惠民政策之一.根 据国家的《药品政府定价办法》 ,某省有关部门规定:市场流通 药品的零售价格不得超过进价的 15%根据相关信息解决下列问 题: ⑴降价前,甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为 6.6 元.经过若 干中间环节,甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的 5 倍少 2.2 元,乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的 6 倍,两种药 品每盒的零售价格之和为 33.8 元.那么降价前甲、乙两种药 品每盒的零售价格分别是多少元? ⑵降价后,某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒 8 元和 5 元的价格销售给医院,医院根据实 际情况决定:对甲 种药品每盒加价 15%对、乙种药品每盒加价 10%后零售给患 者. 实际进药时, 这两种药品均以每 10 盒为 1 箱进行包装. 近 期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共 100 箱, 其中乙

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种药品不少于 40 箱, 销售这批药品的总利润不低于 900 元. 请 问购进时有哪几种搭配方案? 【例 6】认真阅读下面三个人的对话. 小朋友:阿姨,我买一盒饼干和一袋牛奶(递上 10 元钱入) . 售货员:本来你用 10 元钱买一盒饼干是多余的,但再买一袋牛 奶就不够了.不过今天是儿童节,我给你买的饼干打九折,两样东西 请拿好,还有找你的 8 角钱. 旁边者:一盒饼干的标价可是整数哦! 根据对话内容,试求出饼干和牛奶的标价各是多少? 【解法指导】本题的条件蕴藏在对话中,应学会从对话中获取信 息,“用 10 元钱买一盒饼干是多余的”, 说明一盒饼干的售价小于 10 元,此不等关系之一;“但再买一袋牛奶就不够了 ”,说明一盒饼干 和一袋牛奶的价格之和大于 10 元,此不等关系之二.对话中还包含 有一个等量关系,就是用 10 元钱买上述两样东西剩余 0.8 元钱,即 是说一袋牛奶与一盒饼干的价格之和等于 10 元减去 0.8 元, 由一个方 程和两个不等式结合最终可求出答案. 解: 设饼干的标价为每盒 x 元, 牛奶的标价为每袋^元.根据题意, 得 ① ? ?x+y>10 ?0.9x+y=10-0.8 ② ?x<10 ③ ? 由②,得 y=9.2-9x 将其代入①,得 x+9.2-9x>10,解得:x >8.所以综合③可知 8<x<10. 又因为 x 为整数,所以 x=9,y=9.2-9x=1.1 即饼干的标价为每盒 9 元,牛奶的标价为每袋 1. 1 元. 【变式题组】

01.某次足球联赛 A 组共 6 队,比赛规定采取小组循环赛的形式,取 前 3 名进人决赛,记分方法为胜 1 场得 2 分,负 1 场扣 1 分,平 1 场不得分,问该小组共需比赛几场?某队得了 7 分,则它是几 胜几负?能否进人决赛?

02.(杭州)宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加,去年达到 550 名,其中有面向全省招收的“宏志班” 学生,也有一般普通班 学生. 由于场地、 师资等条件限制, 今年招生最多比去年增加 100 人,其中普通班学生可多招 20%,“宏志班”学生可多招 10%问 今年最少可招收“宏志班”学生多少名?

03.把一些书分给几个学生,如果每人分 3 本,那么余 8 本,如果前 面的每个学生分 5 本,那么最后一个同学分不到 3 本,这些书有 多少本?学生有多少人?

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【例 7】(北京市竞赛题)已知:a、b、c 是三个非负数,并且满足 3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,设 m=3a+b-7 c,设 x 为 m 的最大值, y 为 m 的最小值.求 xy 的值. 【解法指导】要求某一代数式的最大(或最小)值,往往依题意构 建一个不等式组:若 s≤m≤t,则 m 的最小值为 s,最大值为 t. 本题思路亦类此,首先利用前两个等式,将 c 看作已知量,解关 于 a、b 的二元一次方程组,得到用含 c 的式子表示 a、b 的形式,代 入第三个等式,得到用含 c 的式子表示 m 的形式,同时依据 a、b、c 均为非负数,得到 c 的范围,代入 m 与 c 的关系式,得 m 的范围, 因而 x、y 可求. 解:由条件得:
?3a+2b=5-c 解得: ? ?2a+b=1+3 c ?a=7c-3 ? ?b=7-11 c

=2,若 S=3 x+ y-z,则 S 的取值范围是 . 演练巩固 反馈提高 一、填空题 01.方程 3x+y= 10 的解有 个,其正整数解有 个. 02.若关于 x 的不等式(a-1)<a+5 和 2x<4 的解集相同,则 a 的值 为 . 03 .已知:关于 x 的不等式 2x - a ≥- 3 的解集如图所示,则 a = .

?2x-y=m 04.已知方程组? ,若未知数 x、y 满足尤 x+y>0,则 m 的取 ?2y-x=1

值范围是



?3x+2y=2k 05.若方程组? 的解满足无 x<1 且 y>0,则整数 k 的个数 ?2y-x=3

是 06.若

. .

则 m=3a+7-7c=3(7c-3)+ (7-11 c) -7 c =3 c-2 由 a≥0,b≥0,c≥0 得

∣x-1∣ =-1 则 x 的取值范围是 x-1

? ?7c-3≥0 ?7-11c≥0 ?c≥0 ?
1 3 7 5 5 解得, ≤c≤ 从而 x=- ,y=- 故 xy= . 7 11 7 77 11 【变式题组】 01.若 a、b 满足 3a+5∣b∣=7,S=2a2-3∣b∣,则 S 的取值范 围是 . 02.已知:x、y、z 是三个非负有理数,且满足 3 x+2 y+z=5,x+y-z

二、选择题
?x-y≥b b 07.已知:关于尤的不等式组? 的解为 3≤x<5,则 的值 a 2 x - a < 2 b +1 ?

为( ) A.-2

B.-2

C.2

D.1

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08.若∣x+1∣=-1-x,∣3x+4∣=3x+4.则 x 取值范围是( 4 A.- ≤x≤-1 3 4 <x<―1 3 B.x≥-1 4 C.― ≤x≤―1 3

) D.―

09.已知:m、n 是整数,3 m +2=5n+3,且 3 m +2>30,5n+3<40, 则 mn 的值是〈 〕 A.70 B.72 C.77 D.84 10.某次测验共 20 道选择题,答对一题记 5 分,答错一题记―2 分, 不答记 0 分, 某同学得 48 分, 那么他答对的题目最多是 ( ) 道. A.9 B.10 C.11 D.12 三、解答题 11.学校举办奥运知识竞赛,设一、二、三等奖共 12 名,奖品发放 方案如下表: 一等奖 1 盒福娃和 1 枚徽章 二等奖 1 盒福娃 三等奖 1 枚徽章

12. (宿迁) 某花农培育甲种花木 2 株, 乙种花木 3 株, 共需成本 1700 元;培育甲种花木 3 株,乙种花木 1 株,共需成本 1500 元. ⑴求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元; ⑵据市场调研,1 株甲种花木的售价为 760 元,1 株乙种花木的 售价为 540 元.该花农决定在成本不超过 30000 元的前提下培育甲乙 两种花木,若培育乙种花木的株数是甲种花木的 3 倍还多 10 株,那 么要使总利润不少于 21600 元,花农有哪几种具体的培育方案?

13.—项维修工程,若由甲工程队单独做,则 40 天可以完成,需费 用 24 万元;若由乙工程队单独做,则 60 天可以完成,需费用 21 万元?现打算由甲、 乙两工程队共同完成, 要使该项目的总费用不 超过 22 万元,则乙工程队至少要施工多少天?

用于购买奖品的总费用不少于 1000 元但不超过 1100 元,小明在 购买“福娃”和徽章前,了解到图所示的信息:

⑴求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元? ⑵若本次活动设一等奖 2 名,则二等奖和三等奖应各设多少名?

14.足球联赛得分办法是胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分?在一次足球赛中,南方足球队参加了 14 场比赛,至少负了 1 场,共积分 19 分.试推算南方足球队胜、平、负各多少场.

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15. (温州)某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板,做成如图 乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒.

培优升级

奥赛检测

?4x+y=k+1 01.若方程组? 的解满足条件 0<x+y<1,则 k 的取值范围是 ?x+4y=3

( ) A.-4<k<1 <-4 ⑴现有正方形纸板 162 张,长方形纸板 340 张.若要做两种纸盒 共 100 个,设做竖式纸盒 x 个.①根据题意,完成以下表格: 盒纸板 正方形纸板(张) 长方形纸板(张) 4x 竖式纸盒(个) x 横式纸盒(个) 2(100-x )

B.-4<k<0

C . 0< k< 9

D. k

?3x+2y=a 02. (浙江省竞赛题)要使方程组? 的解是一对异号的数,则 a ?2x+3y=2

的取值范围是( 4 A. <k<3 3

) B.a< 4 3 C.a>3 4 D.a< 或 a>3 3 .

03.已知 a+b+c=0,a>b>c,则

c 的取值范围是 a

②按两种纸盒的生产个数来分,有哪几种生产方案? (2)若有正方形纸板 162 张, 长方形纸板 a 张, 做成上述两种纸盒, 纸板恰好用完.已知 290<a<306.则求 a 的值.(写出一个 即可)

04.(新加坡竞赛题)正整数 m、n 满足 8m+9n=mn+6,则 m 的最大 值是 . 05. (“希望杯”邀请赛初一试题) (中国古代问题)唐太宗传令点兵, 若一千零一卒为一营,则剩余一人;若一千零二卒为一营,则剩 余四人,此次点兵至少有 人. 06. (第 15 届“希望杯”邀请赛试题)若正整数 x、y 满足 2004x=15y, 则 x+y 的最小值为 . 07. (北京市竞赛题)有 8 个连续的正整数,其和可以表示成 7 个连 续的正整数的和,但不能表示为 3 个连续的正整数的和,那么这 8 个连续的正整数中最大数的最小值是 . 三、解答题

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?x-y=a+3 08.已知:关于 x 的方程组? 的解满足 x>y>0,化简∣a∣+ ?2x+y=5a

∣3-a∣.

11. (河南省竞赛题)一个盒子里装有不多于 200 粒棋子,如果每次 2 粒、3 粒、4 粒或 6 粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每 次 11 粒地取出,那正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?

09. a、 b、 c、 d 是正整数, 且 a+b=20, a+c=24, a+d=22, 设 a+b+c+d 的最大值为 M,最小值为 N,求 M-N 的值. 12.(“希望杯”初二竞赛题)一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小 相同的木球,红球上标有数字 1,黄球上标有数字 2,蓝球上标 有数字 3,小明从布袋中摸出 10 个球,它们上面所标数字和等于 21,则小明摸出的球中,红球的个数最多不超过多少个?

10.在车站开始检票时,有 a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进 站,检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固 定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票 口,则需 30 分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若 开放两个检票口,则只需 10 分钟便可将排队等候检票的旅客全 部检票完毕;如果要在 5 分钟内将排队等候检票的旅客全部检票 完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检 票口?

13. (第 20 届香港中学数学竞赛题)已知:n、k 皆为自然数,且 1< k<n,若 1+2+3+?+n-k ,及 n+k=a,求 a 的值. n -1

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第 23 讲 数据的收集与整理 考点?方法?破译 1.了解收集数据的方法、会设计简单的调查问卷,收集数据, 能根据问题查找相关资料,获得数据信息? 2.通过抽样调查,体会用样本估计总体的思想? 经典?考题?赏析 【例 1】下列调查中哪些适用全面调查方式,哪些适用抽样调查 方式? (1)为了解某班所有同学的视力情况; (2)为了解本校七年级 400 名学生在家承担家务老动的情况; (3)为了解一箱(100 只装)灯炮的寿命; (4)某校为了解全校每个学生的心里健康状况,请一位心里专家 对全校学生进行问卷调查; 【解法指导】考察全体对象的调查叫全面调查,光从调查对象中 抽取部分对象调查,然后根据调查的数据推断全体对象的情况,这种 调查方式叫抽样调查? 使用全面调查:一是考查对象的数目不多;二是考查对象特殊? 使用抽样调查:一是考查对象的数目很多;二是工作量大;三是 收集数据有困难;四是破坏性大. 解:⑴全面调查 (2)抽样调查 (3)抽样调查 (4)全 面调查 【变式题组】 01.下列调查中,适宜采用全面调查方式的是( ) A.调查一批新型节能灯炮的使用寿命 B.调查长江流域的水污染情况

C.调查北京市初中学生的视力情况 D.为保证“神七”的成功发射,对其对零部件进和检查? 02.下列调查中调查方式正确的是( ) A.为了调查不同品牌牛奶中三聚氰胺的含量状况,对品牌选择 抽样调查? B.为了选择身体条件优秀的适龄青年入伍,对报名人员选择抽 样调查? C.为了检测汽车的安全系数所进行的碰撞实验,选择全面调查? D. “神舟”七号发射前对“长征二号 F 火箭”的检查,属于全面 调查? 03.下列抽样调查中所选的样本合适吗? ⑴张老师为了解全班 50 名学生对英语单词的掌握情况, 抽查了 5 名进行检查? ⑵为了解全校26个班的课外活动情况,从七年级抽查了两个班 进行分析? ⑶为调查全市中学生的上网情况,在全市的 300 所中学随意抽查 50 所学校的学生的上网情况? ⑷为了解我国中学多媒体的普及情况,在北京市作了抽样调查?

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【例2】某次考试有2000名学生参加,为了了解2000名 学生的数学成绩,从中抽取了700名学生的数学成绩进行调查统计 分析,在这个问题中有下述4种说法:① 700名学生是总体的一 个样本?②2000名考生是总体?③700名考生数学平均成绩可估 计总体数学平均成绩?④每个考生的数学成绩是个体, 其中正确的说法 ( ) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4 种 【解法指导】总体:要考查的对象的全体是总体称为总体? 个体:组成总体的每一个考查对象称为个体? 样本:被抽取的那些个体组成一个样本? 样本容量:样本中个体的数目称为样本容量? 总体,样本的考查对象是相同的,所不同的是范围的大小,在本 题中,总体、样本都是指考生的数学成绩,而不是考生?选 B.③ ④ 【变式题组】 01.为了了解某市七年级 200 名学生的身高,从中抽取 500 名学生进 行测量,对这个问题,下列说法正确的是( )? A.2000 名学生是总体? B.每个学生是个 体? C. 抽取的500名学生是所抽的一个样本 D. 每个学生的身 高是个体 【例3】某冰箱厂 2008 年前三个季度的冰箱产量如下:一季度 570 台,二季度 640 台,三季度 720 台?为了清楚的比较每个季度,请 你画出相应的统计图? 【解法指导】根据统计图的特征可知,从条形统计图中可以清楚

的看出每个项目的具体数目?所以本题制作条形统计图比较合适? 解:制作的条形统计图如图 制作条形图的一般步骤是: 900 ⑴根据情况,画两条互相垂直的射线; 600 570 ⑵在水平射线上,适当分配条形的宽度、位 置及问题; 300 ⑶在与水平射线垂直的射线上,根据数据大 小的具体情况确定单位长度; 一 ⑷按照数据的大小,画出长度不同的直条并 注明数量. 【变式题组】 01. (益阳)汶川大地震发生后,某中学八年级⑴班共 40 名同学开展 了“我为灾区献爱心”活动?活动结束后,生活委员小林将捐款情 况进行了统计,并绘制成如图所示的统计图,求这 40 名同学捐款 的平均数. 人数 16 12 9 3 0

640

720





季度

20 30 50 100 金额(元)

73

【例 4】 看到猪肉价格持续上涨,小兰和她的同学对当地去年上 半年猪肉价格作了统计 :一到六月份每千克的猪肉价格 (单位 :元 ) 分 别是:23,25,28,30,27,29.为了反映该地区一到六月份猪肉价格的变 化情况,请你画出相应的统计图. 【解法指导】根据统计图的特征可知 ,折线统计图能够清楚地表 解(1)计算支出总数:120+144+432+216+288=1200(元). 其他 示出数量的变化情况.故应画折线统计图. (2)计算各项支出占总支出的百分比:购物:120÷1200?100 购物 24% 解:所画的折线统计图如图所示. ﹪= 10 ﹪ ; 医疗 :144 ÷ 1200 ? 100 ﹪= 12 ﹪ ; 伙食 :432 ÷ 1200 ? 医疗 10% 制作折线统计图的步骤是: 100﹪= 36﹪ ;教育 :216÷ 1200? 100﹪= 18﹪ ;其它 :288÷ 1200 12% 教育 根据 统计图的资料 整理数 ?100﹪=24﹪. 18% 伙食 据; (3) 计算相应扇形所对的角度 :购物 :360°? 36% 35 价 格 ( 元 / 千 (2) 画横轴、纵轴,横轴纵 10 ﹪ = 36 ° , 医 疗 : 360 ° ? 12 ﹪ = 43.2 ° , 伙 30 克) 30 29 轴都要有单位,按纸面的大小来 食: :360°?36﹪=129.6° 28 27 25 25 确定 用一定单位长 度表示 20 一 教育: :360°?18﹪=64.8°,其它: 360°?24﹪= 15 定的数量; 86.4° 10 5 (3)根据数量的多少,在纵 (4)制作扇形统计图(如图所示). 0 轴、横轴的恰当位置描出各 制作扇形统计图的步骤; 二 三 四 五 六 点,然后把各点用线段顺次连接 (1)先算出各部分数量占总数量的百分比; 起来. (2) 再算出各部分数量的扇形的圆心角度 100 元 5 元 数. 8% 12% 月份 10 元 (3) 取适当的半径画圆,在圆内画出各个扇形. 50 元 20% 【变式题组】 (4)在各扇形中标出数量名称和所占的百分数. 16% 1. (荆门)某住宅小区六月份的 1 至 6 日每天的用水量变化情况如图 【变式题组】
40 元 44%

所示,那么这 6 天的平均用水量是( ) A.30 吨 B.31 吨 C.32 吨 D.33 吨 【例 5】 小明家 10 月份的支出情况如下:购物支出 120 元,医疗支 出 144 元,伙食支出 432 元,教育支出 216 元,其它支出 288 元.为清楚 的看出每项支出所占的比例,请你画出相应的统计图. 【解法指导】根据统计图的特征可知 ,从扇形统计图中能清楚的 看到各部分在总体中所占的百分比,故本题应画扇形统计图.

74

01.(长沙)在一次捐款活动中,某班 50 名同学分别拿出自己的零花钱, 有捐 5 元、10 元、20 元的,还有捐 50 元和 100 元的.右图的统计 图反映了不同提款数的人数比例 , 那么该班同学平均每人提款 ________元. 02.某校七年级 D 班同学在“你我同心,抗击非典”的募捐活动中,自愿 捐款情况如下表: 每人提款数(元) 相应人数 2 5
株数

【变式题组】 01.某水果公司以 2 元/千克的单价新进了 10000 千克柑橘,为了合理 定出销售价格,水果公司需将运输损坏的水果成本算到没有损坏 的水果售价中,销售人员从柑橘中随机抽取若干柑橘统计损坏情 况,结果如下表; 柑橘质量(千克) 损坏的质量(千克) 50 5.50 200 19.94 株数 20 15 10 5 0 10 12 14 15 黄瓜根数/株 0 500 51.54

5 10

10 20

20 15

02 .如果公司希望全部售完这批柑橘能够获得 5000 元利润,那么在出售柑橘时,每千克大 约定价____元.

根据上表所给的条件,回答下列问题: 该班共有______名学生. 该班共捐款_____元; 根据上表信息制成条形统计图和户型统计图. 【例 6】 在“创优”活动中,我市某校开展收集废旧电池活动 , 该校七年级 (1) 班为了估计四月份收集废旧电池的个数 , 随机抽取了 该月某 7 天收集废旧电池的个数,数据如下(单位: 个):48,51,53,47,49,50,52.求这 7 天该班收集废旧电池个数的平均 数,并估计四月份(30 天)该班收集废旧电池的个数. 【解法指导】先求出样本平均数 ,再利用样本平均数去估计总体 平均数. 解 : 这 7 天 收 集 废 旧 电 池 个 数 的 平 均 数 48 ? 51 ? 47 ? 53 ? 49 ? 50 ? 52 ? 50(个) 7 为: 所以估计四月份该班收集废旧电池的个数为 50?30=1500(个). 即这 7 天收集废旧电池平均数为 50 个,四月份该班收集废旧电池 约 1500 个.

03.( 天津 ) 为了解某新品种黄瓜的生长情况 ,抽查了部分黄瓜株上长 出的黄瓜根数 , 得到如图的条形图 , 观察图 , 可知共抽查了 _____ 株黄瓜,并可估计出这个新品种黄瓜平均每株结_______根黄瓜. 【例 7】 (北京)在每年年初召开的市人代会上,北京市财政局都要 报告上一年度市财政预算情况.以下是根据 2004~2008 年报告中的有 关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分. 年份 004 教育实际投入与预算 的差值 8 .7 2 005 6 .7 2 006 5 4.6 2 007 1 .3 2 008
757

2

解:(1)2004~2008 年北京市财政教育实际投入与预算的差值统 计表(单位:亿元) 8 ? 6.7 ? 5.7 ? 14.6 ? 7.3 42.3 ? ? 8.46(亿元) 5 5 (2) , 所 以 2004~2008 年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数是 8.46 亿元 (3)141.7+8.46=150.16(亿元). 估计 2009 年北京市财政教育实际投入可能达到 150.16 亿元.

2004 年~2008 年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表 (单位:亿元) 年份 04 教育实际 投入与预算的 差值 20 05 6. 7 7 20 06 5. .6 20 07 14 3 20 08 7. 20

【变式题组】 01.( 南京 ) 如图是甲 , 乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计 图,根据统计图,下面对全年食品支出费用判断正确的是( ) A.甲户比乙户多 B.乙户比甲户多 C.甲.乙两户一样多 D.无法确定哪户多 衣着 25% 教育 23% 衣着 23% 教育 19%

请根据以上信息解答下列问题: 请在表中的空格内填入 2004 年市财政教育实际投入与预算的差 值; 求 2004~2008 年北京市财政教育实际投入与预算的平均数; 已知 2009 年北京市财政教育预算是 141.7 亿元,在此基础上,如 果 2009 年北京市财政教育实际投入按照(2)中求出的平均数增长,估 计它的金额可能达到多少亿元? 【解法指导】 观察统计图可知 2004 年差值为 52.2-44.2=8.

食品 31% 其它 21%

食品 34% 其它 24%

02. (青岛)某市为调查学生的视力变化情况,从全市九年级学生中抽取 了部分学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,并将所得数 据处理后,制成折线统计图和扇形统计图,如图所示.

76

组别(万人) 7.5~14.5 14.5~21.5 21.5~28.5 28.5~35.5

组中值(万人) 11

频数 5

频率 0 .25 6 .30 0 0 .30 3 800 500 300 0

被抽取学生视力在 4.9

人数 以下的人数变化情况 动物分类

练习巩固. 反馈提高 被抽取学生 2008 年的 01.全世界受到威胁的动物种类数,如下表: 哺 乳 鸟类 爬 行 B 类 类 A 30% 约 约 约 40% 1100 1100 C 300
视力分布情况

两 栖 鱼类 B:4.9~5.1 类 约 约 D:5.2 以上 100 700
C:5.1 ~5.2

A:4.9 以下

无无脊椎动 物类 约 1900

受到威胁的 种类

25 32

D10% 20% 对于这一组数据一般不用的统计图是 ( ) 含最小值不 时间 (年扇形统计图 ) A. B 条形统计图 C.拆线统计图 2006 2007 2008 含最大值) D.都不可以 (1) 02.1994 年以后我国历次人口普查情况如下表:

( 每组数据只

解答下列问题: 该市共抽取了多少名九年级学生?b 若该市共有 8 万名九年级学生 , 请你估计该市九年级视力不良 (4.9 以下)的学生大约有多少人? 根据统计图提供的信息,谈谈自己的感想(不超过 30 字).

年份 人口/亿

1953 5.49

1964 6.95

1982 10.08

1990 11.34

2000 12.95



03.(杭州)统计 2010 年上海世博会前 20 天日参观人数,得到如下频数 分布直方图(部未完成): 上海世博会前 20 天日参观人数的频数分布直方图 ⒈请补全频数分布表和频数分布直方图; ⒉求出日参观人数不低于 22 万的天数和所占的百分比; ⒊利用以上信息,试估计上海线世博会(会期 184 天)的参观总人 数.

对于这一组数据一般不用的统计图是( ) 03.下列抽查必须用抽样调查方式来收集数据的个数为( ) ①检查一大批灯泡使用寿命的长短 ;②调查某一城市居民家庭收 入状况;③了解全班学生的身高情况;④检查某种药品的疗效. A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个 04.( 济南 ) 如图所示, 表示某校一位初三学生平时一天的作息时间安 排,临近中考他又调整了自己的作息时间,准备再放弃 1 个小时的 睡觉时间,原运动时间的

1 1 和其它活动时间的 ,全部用于在家 2 2

学习,那么现在用于在家学习的时间是( ) A.3.5 小时 B.4.5 小时 C.5.5 小时 D.6 小时 05.(武汉)近几年来,国民经济和社会发展取得了新的成就,农村经济 快速发展,农民收入不断提高.如图统计的是某地区 2004~2008

万人)
77

农村居民人均年纯收入.根据图中信息,下列判断:①与上一年相 比,2006 年的人均年纯收入增加的数量高于 2005 年人均年纯收 入增加的数量;②与上一年相比,2007 年人均年纯收入的增长率 3578 ? 3255 ? 100% 3255 为 ;③若按 2008 年人均年纯收入的增长率

4140 ? 3578 ? ? 4140 ? ?1 ? ? 3578 ? ? 元. 计算,2009 年人均年纯收入将达到
其中正确的是( ) A.只有①② D.只有①②③
小时 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500

B. 只有②③

C. 只有①③

绩的平均数是_____环. 07.( 重庆 ) 在暑期社会实践活动中 , 小明所在小组同学与一家玩具生 产厂家联系,给该厂组装玩具,该厂同意他们组装 240 套玩具.这 些玩具分为工 A、B、C 三种型号,它们的数量比例以及每人每小 时组装各种型号玩具的数量如图.若每人组装同一型号玩具的速 度都相同,根据以上信息完成下列填空: (1) 从上述统计图可知,A 型玩具有______套,B 型玩具有_____ 套,; (2)若每人组装 A 型玩具 16 套与组装 C 型玩具 12 套所花的时间 相同,那么ɑ的值为____,每人每小时组装 C 型玩具______套.

人均年收入/元

成 10 (环)

绩 A型55% B型 次 5 (7题图1) C型25%

8 2a - 2

9 4140 3587 8 3255 7 6 2936 2622 0 1 2 3 4 (第6题图) 年

a
A B C 项目

(7题图2)

08.(浙江)衢州市的总面积是 8837 平方千米,总人口是 247 万人(截至 份 2004 2005 2006 2007 2008 2006 年),该市有 6 个县(市、区),统计各县(市、区)的行政区 在 睡 在 运 看 其 内容 学 觉 家 动 电 它 (第5题图) 域面积及平均每万人拥有面积如图所示? 校 学 视 活 ⑴行政区域面积最大的是哪个县(是、市、区) ,这个县(市、 习 动 (第4题图) 区)约有多少面积?(精确到 1 平方米) ⑵衢州市的人均拥有面积是多少 (精确到 1 平方米) , 6 个县 (市、 06.(绍兴)如图是小敏五次射击的折线图,根据图中信息,则此五次成 区)中有几个县(市,区)的有均拥有面积超过衢州市人均拥有

78

面各积? (3)江山市约有多少人(精确到 1 万人)?

况进行了统计, 绘制如图所示的统计图?根据图中信息解答下列问 题:

销售量(个)

衢州市各县(市、区)行政区域面积统计图
龙 游 县 柯城区6.89% 面积/平方千米

12.88% 开化县25.17%

1400 1200 1000 800 600 400 200 0

1200
C品牌

400
品牌 A品牌 B品牌 C品牌

50%

常山县12.44% 江山市22.84%

衢江区19.78%

(2)

(1)

哪一种品牌粽子的销售量最大? 补全图中的条形图; 写出 A 品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数; 根据上述统计信息,明年端午节期间该商场对 A、B、C 三种品 牌的粽子如何进货?请你提一条合理化的建议? 10.(苏州)2007 年 5 月 30 日.‘ ‘六一”国 际儿童节来临之际,某初级 中学开展了向山区“希望小学”损赠图书活动国.全校 1200 名学 生每人捐赠一定数量图书.已知各年级人数比例分布扇形统计图 如图(1)所示.学校为了了解各年级捐赠情况,从各年级随机抽查 了部分学生,进行了捐赠情况的统计调查,绘制成如图(2)的频数 分布直方图.

09.(深圳)某商场对今年端午节这天销售 A、B\C 三种品牌粽子的情

79

所提的问题应是利用表中所提供数据能不解的.) 培优升级 奥赛检测 6 七年级 八 年 级 01.观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民的年人均收入 5 35% 30% 每年比上年增长率的统计图,下列说法正确的是( ) 4.5 A,2003 年农村居民人均收入低于 2002 年 年级 九 年 级 B.农村居民年人均收入每年比上年增长率低于 9%的有 2 年. 35% 0 七 八 九 D.农村居民年人均收入每年比上年的增长率有大有小, 年 年 年 (1) (2) C.农村居民年人均收入最多的是 2004 年 级 级 级 但农村居民年人均收入在持续增加. 根据以上信息解答下列问题: 02.一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定 从图(2)中,我们可以看出人均捐赠图书最多的是______年级; 的的关系.图(1)表示某年 12 个月中每月的平均 估计九年级共捐赠图书多少册? 气温;图(2)表示某家庭在这年 12 个月中每月的 全校大约共捐赠图书多少册? 用电量.根据图中信息得到下列判断 :(1)气温最 11.(济南)新华社 4 月 3 日发布了一则由国家安全生产监督管理局统 高 时 , 用 电 量 最 多 ;(2) 气 温 最 低 时 , 用 电 量 最 计的信息:2003 年 1 月至 2 月全国共发生事故 17 万多起,各类事 少;(3)当气温大于某一值时 ,用电量随气温升高 故发生具体统计如下: 而增加 ( 或降低而减少 );(4) 当气温小天某一值 时 , 用电量随气温降低而增加 ( 或升高而减少 ). 事故类型 事故数 死亡人数 死亡人数占各类事故总 其中正确的判断共有( ). 量 (单位:人) 死亡人数的百分比 A.4 个 B.0 个 C.2 个 D.1 火灾事故(不含森林、草原火灾) 54773 610
人均捐赠(册)

铁路伤亡事故 工矿企业伤亡事故 道路交通事故 合计

1962 1417 115815 173967

1409 1639 17290 20948
30 25 20 15 10 5 0 气温

(图 1)

请你计算出各类事故死亡人数的百分比 , 并填入上表 ( 精确到 0.01); 为了更清楚地表示出问题①中的百分比 , 请你画出扇形统计 图; 请根据你所学的统计知识提出问题 ( 不需作解答也不要解释 , 但

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

140 用电量 (图 2) 120 100 80 60 40 20 月 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

80

03.菱湖是全国著名的淡水鱼产地,某养鱼专业户为了估计他承包的 鱼塘有多少条鱼(假设这个塘里养的是同一种鱼) ,先捕上10 0条做标记,然后放回鱼塘里,过了一段时间,待带标记的鱼完 全和鱼塘里的鱼混合后,再捕上100条,发现其中带标记的鱼 有10条,鱼塘里大约有鱼( )? A1600 条 B . 1000 条 C . 800条 D.600条 04. (浙江)某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如 图,那么这6天的平均用水量是( )? A . 30 吨 B.31吨 C.32吨 D.33吨 05.(聊城)如图所示,是某企业6月份各项支出金额占该月总支出金 额的比例情况统计图,该月总支出金额为40万元,7月份由于 原料提价需增加1万元支出?如果在总支出金额不变的情况下, 压 缩管理支出,那么7月份绘制的统计图中,管理支出所占区域的 扇形圆心角度数为( )? A.25° B.27° C.30° D.36°

06.(第九届“华北赛”试题)下表是 2004 年1月5日世界部分城市 的气温: 东 莫 法 纽 旧 曼 悉 北 卡 开 伦 巴 柏 罗 汉 圣 温 京 斯 兰 约 金 谷 尼 京 拉 罗 敦 黎 林 马 城 地 哥 科 克 山 奇 尼 华 福 5 6 5 4 5 2 3 1 5 2 1 1 9 2 7 9 3 1 1 2 8

表中单位是摄氏度,这些城市中平均气温是 _________度,气温 最低的城市是___________. 07.新华高科技股份限公司董事会决定今年用13亿资金投资发展项 目, 现有6个顶目可供选择?每个项目或者被全部投资, 或者不被 投资,各项目所需投资金额和预计平均收益如下表: 项目 投资(亿 元) 收益(亿 元) 0.55 0.4 .6 0 .4 0 .9 0 1 A 5 B 2 C 6 D 4 E 6 F 8

如果要所有投资的项目的收益总额不得低于 1.6 亿元,那么应当 选择投资的项目是____时,投资的收益额最大? 08.如图中的折线,ABC 为甲地向乙地打长途电话所需付的电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系的图像,从图中可知, 通话 2 分钟需付电话费______元,通话 4 分钟需付电话费______ 元? 09.(第十五届希望杯初一)某地上半年降雨量如图所示,那么在该 地 25 平方米范围内,上半年平均每日降雨________立方米?

81

24 y(元) 4.4 A 2.4 1 2 3 4 5 6 (第8题图) B t(分钟) 1 2 3 4 5 (第9题图) 6 C mm 12 10 5 18 15

11. 快乐公司决定按图给出的比例, 从甲、 乙、 丙三个工厂共购买 200 件同种产品 A, 已知这三个工厂生产的产品 A 的优品率如表所示:



10.(南平)为了帮助贫困失学儿童,某团市委发起“爱心储蓄”活动, 鼓励学生将自己压岁钱和零花钱存入银行,定期一年,到期后可 取回本金,而把利息捐给贫困儿童,其中共有学生 1200 人,如 图甲所示,是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图,乙图 是该校学生人均存款情况的条形统计图?

⑴求快乐公司从丙厂购买多少件产品 A? ⑵求快乐公司所购买的 200 件产品 A 的优品率; ⑶你认为快乐公司能否能过调整从三个工厂所购买的 200 件产品 A,使其优品率上升 3%,若能,请问应从甲厂购买多少件产品 A?请 说明理由? 12. (江西)某班为了从甲、乙两同学中选出班长,进行了一次演讲 答辩与民主测评?A、B、C、D、E 五位老师作为评委,对“演讲 答辩”情况进行评价,全班 50 位同学参与了民主测评,结果如下 表所示:

⑴九年级学生人均存款多少元? ⑵该校学生人均存款多少元? ⑶已知银行一年期定期存款的年利率是 2.25%(“爱心储蓄”免收 利息税) ,且每 351 元能提供给一位失学儿童一学年的基本费用,那 么该校一学年能帮助多少贫困失学儿童?

规则:演讲答辩得分按 “去掉一个最高分和一个最低分再算平均 分”的方法确定;民主测评得分=“好”票数 ? 2 分+“较好”票数 ? 1 分 +“一般”票 ? 0 分; 综 合 得 分 = 演 讲 答 辩 得 分 ?(1 ? a) ? 民 主 测 评 得 分

82

?a(0.5 ? a ? 0.8)
⑴当 a ? 0.6 时,甲的综合得分是多少? ⑵ a 在什么范围内时,甲的综合得分高? a 在什么范围内时,乙 的综合得分高? 13. (辽宁)初中生的视力状况受到全社会的广泛关注,某市有关部 门对全市 3 万名初中生的视力状况进行了一次抽样调查,图中是 利用所得数据绘制的分布直方图(长方形的高表示该组人数) , 根据图中所提供的信息回答下列问题:

⑴本次调查共抽测了多少名学生? ⑵在这个问题中样本指什么? ⑶如果视力在 4.9 ? 5.1(含 4.9,5.1)均属正常,那么全市有多 少初中生的视力正常? 14. (“祖冲之杯”初中数学竞赛题)某校学生参加数学竞赛的有 120 名男生、80 名女生,参加英语竞赛的有 120 名女生、80 名男生? 已知该校总共有 260 名学生参加竞赛,其中 75 名男生两科竞赛 都参加了,那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是 多少人?

83


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