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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.2 圆的一般方程练习 北师大版必修2


2.2

圆的一般方程
A组

1.若圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为(

)

A.(1,-1) C.(-1,2)

B. D.
2

解析:将圆的方程化为+(y+1) =, 即可得到圆心坐标为. 答案

:D 2.将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 解析:能将圆平分的直线必过圆心,将圆方程 x +y -2x-4y+1=0 化成标准方程为(x-1) +(y-2) =4,知 圆心坐标为(1,2),代入四个选项中,只有 C 符合.故选 C. 答案:C 3. 导学号 62180124 若关于 x,y 的方程 x +mxy+y +2x-y+n=0 表示的曲线是圆,则 m+n 的取值范围是 ( A. B. C. )
2 2 2 2 2 2 2 2

)

1

D. 解析:依题意应有 所以于是 m+n<. 答案:A 4.经过点(-1,1)和(1,3),且圆心在 x 轴上的圆的方程是( A.x +y -4y-6=0 B.x +y -4x-4y-6=0 C.x +y -4x-6=0 D.x +y -4x+4y+6=0 解析:设圆的方程是 x +y +Dx+Ey+F=0, 依题意有 解得 故所求圆的方程是 x +y -4x-6=0. 答案:C 5.方程 x(x +y -4)=0 与 x +(x +y -4) =0 表示的曲线( A.都表示一条直线和一个圆 B.前者是两个点,后者是一条直线和一个圆 C.都表示两个点 D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点 解析:x(x +y -4)=0? x=0 或 x +y -4=0,x +(x +y -4) =0? x=0 且 y=±2.故选 D. 答案:D 6.圆 x +y -2x-2y+1=0 的圆心到直线 x-y-2=0 的距离为
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

)

.

2

解析:已知圆的圆心坐标为(1,1),由点到直线的距离公式得圆心到直线 x-y-2=0 的距离 d=. 答案: 7.动圆 x +y -2x-k +2k-2=0 的半径的取值范围是
2 2 2 2 2

.

解析:由已知得半径 r=,由于(k-1) ≥0,(k-1) +2≥2,所以 r≥,即 r 的取值范围是[,+∞). 答案:[,+∞) 8.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程 是

.

解析:由于圆心在第一象限且与 x 轴相切,故设圆心为(a,1), 又由圆与直线 4x-3y=0 相切,得=1, 解得 a=2 或-(舍去). 故圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =1. 答案:(x-2) +(y-1) =1 9. 导学号 62180125 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,0),B(2,1),且圆心 C 在 y 轴上,求此圆的一般方 程. 解:AB 的中点为,且中垂线的斜率 k=-1,
2 2 2 2

∴AB 的中垂线的方程为 y-=-,
令 x=0,得 y=2,即圆心为(0,2).

∴圆 C 的半径 r=|CA|=. ∴圆的方程:x2+(y-2)2=5,即 x2+y2-4x-1=0.
10.已知点 P 在圆 C:x +y -4x+3=0 上运动,求线段 OP 的中点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0), 点 O 的坐标为(0,0),由中点坐标公式,得 x=,y=, 于是 x0=2x,y0=2y.① 3
2 2

∵点 P 在圆(x-2)2+y2=1 上, ∴点 P 的坐标满足方程(x-2)2+y2=1,
即(x0-2) +=1.② 把①代入②,得(2x-2) +(2y) =1. 整理,得(x-1) +y =.
2 2 2 2 2

∴点 M 的轨迹方程是(x-1)2+y2=.
B组 1.方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的圆与 x 轴相切于原点,则( A.D=0,E=0,F≠0 B.D=0,E≠0,F=0 C.D≠0,E=0,F=0 D.D=0,E≠0,F≠0 解析:圆心在 y 轴上,所以 D=0,又圆与 x 轴相切于原点,所以 F=0,E≠0. 答案:B 2.已知圆的方程为 x +y +kx+2y+k =0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为( A.(1,1) 解析:∵r=, B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1)
2 2 2 2 2

)

)

∴当 S 最大时,k=0,此时圆心坐标为(0,-1).
答案:D 3.若圆 x +y -2kx-4=0 关于直线 2x-y+3=0 对称,则 k 等于( A. B.C.3 D.-3
2 2

)

解析:圆心为(k,0),在直线 2x-y+3=0 上,

4

所以 2k-0+3=0,所以 k=-,故选 B. 答案:B 4. 导学号 62180126 设点 A,B 是直线 3x+4y+2=0 与圆 x +y +4y=0 的两个交点,则线段 AB 的垂直平分 线的方程是( A.4x-3y-2=0 C.3x+4y+6=0 答案:B 5.已知圆 x +y -4x+2y+c=0 与 y 轴交于 A,B 两点,其圆心为 P,若∠APB=90°,则实数 c 的值是( A.-3
2 2 2 2 2 2

) B.4x-3y-6=0 D.3x+4y+8=0

)

B.3

C.2

D.8
2 2

解析:圆 x +y -4x+2y+c=0 化成标准方程,得(x-2) +(y+1) =5-c, 所以圆的圆心为 P(2,-1),半径 r=. 因为圆与 y 轴交于 A,B 两点,满足∠APB=90°, 所以 r=2,解得 c=-3. 答案:A 6.若曲线 x +y +a x+(1-a )y-4=0 关于直线 y-x=0 的对称曲线仍是其本身,则实数 a=
2 2 2 2 2 2 2 2

.

解析:若曲线 x +y +a x+(1-a )y-4=0 关于直线 y-x=0 的对称曲线仍是其本身,则它是圆心在此直线 上的圆,而圆心坐标是, 则-=-,解得 a=±. 答案:± 7. 导学号 62180127 圆 x +y -4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差 是
2 2 2 2

.
2 2 2

解析:x +y -4x-4y-10=0 可化为(x-2) +(y-2) =(3) ,圆心到直线 x+y-14=0 的距离 d==5>r=3,

∴圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为 2r=6.

5

答案:6 8.一圆经过 A(4,2)和 B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2,求该圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,令 y=0,得 x +Dx+F=0,所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1+x2=2 2 2

D.
同理,圆在 y 轴上的截距之和为 y1+y2=-E, 由题设-D-E=2,① 又点 A,B 在圆上,所以 16+4+4D+2E+F=0,② 1+9-D+3E+F=0,③ 由①②③联立,解得 D=-2,E=0,F=-12. 即所求圆的方程为 x +y -2x-12=0. 9.已知一曲线上的点与定点 O(0,0)的距离和定点 A(3,0)的距离的比是,求此曲线的方程,并说明此 曲线表示的图形. 解:设点 M(x,y)是曲线上的任意一点,则点 M 属于集合. 由两点间的距离公式,得. 化简得 x +y +2x-3=0,① 这就是所求的曲线方程. 把方程①的左边配方,得(x+1) +y =4. 所以曲线是以 C(-1,0)为圆心,2 为半径的圆.
2 2 2 2 2 2

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