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集合与集合的表示方法


学科教师辅导讲义(学生版)

授课日期及时段

2017 年 10 月 5 日

10:00---12:00

1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于” 关系;
教学目标

2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体 问题,感受集合语言的意义和作用。 1.重点:集合的基本概念与表示方法;

重点难点

2.难点: 运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法, 正确表示一些简 单的集合。
教学内容

目录 Contents
★ 上节课回顾: 作业检查+知识点复习

课堂流程
一、导入 二、知识梳理+经典例题 三、随堂检测 四、归纳总结 五、课后作业

1

上节课回顾: 一、作业检查情况 二、知识点回顾 完成 未完成

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课堂导入
我们在初中时最开始接触到的有理数的分类大家应该还很熟悉.下面我们来看一个当时我们 常见的很简单的题目: 将下列各数填入相应的图形中:
2 1 4 7 ?3, , ? 7, ? 4.2, 3.5, 6, ? 3 , 10, , ? . 3 3 3 4

正整数

负整数

正分数

负分数

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知识讲解
知识点一?集合的概念及分类
1.集合的定义 集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元 素。例如全中国人的集合,它的元素就是每一个中国人。我们通常用大写字母如 A,B,S,T,...表 示集合,而用小写字母如 a,b,x,y,...表示集合的元素.

2

2.集合的元素与集合的关系 (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作 a ? A . (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记作 a ? A . 3.集合的分类 集合可以根据它含有的元素的个数分为两类: 含有有限个元素的集合叫做有限集, 含有无限个元素的集合叫做无限集合.比如全部中国人构 成一个集合,这个集合就是有限集,全体自然数构成的集合就是无限集合. 4.一些常用的数集记法 (1)非负整数集(或自然数集),记作 N; (2)在自然数集内排除 0 的集合就是正整数集,记作 N*或 N+; (3)整数全体构成的集合称为整数集,记作 Z; (4)有理数全体构成的集合称为有理数集,记作 Q; (5)实数全体构成的集合叫做实数集,记作 R. (6)不含任何元素的集合叫做空集,记作 ? . 注意: ①空集和集合{0}是不同的, ? 是不含任何元素的集合,而{0}表示只含有一个元素“0”的集合. ② ? 和{ ? }也是不一样的, ? 是不含任何元素的集合,{ ? }表示只含有一个字母“ ? ”的集合,也 可以看作由 ? 作为元素构成的集合.

例 1 判断下列语句是否正确: (1)你们班里高个子男生构成一个集合. (2)面积为 15 的三角形构成一个集合. (3)方程 x 2 ? 1 的解构成一个集合 A,则 2 ? A .

例 2 判断下列关系是否正确:

( 1) 0? Z (3) ? 5 ? Q

(2) ? ? N (4) 5 ? R

3

练习 1 小于 15 的正偶数构成一个集合,那么这个集合中都有哪些元素?

练习 2 用符号 ? 和 ? 填空: (1)9____R (4)0____N+ (2)3.14____Q (5)1.5_____Z (3)π ____Q (6)-1____N

知识点二?集合中元素的特性
1.确定性: a ? A和a ? A ,二者必居其一. 集合中的元素必须是确定的.这就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也 就确定了. 例如, 给出集合{地球上的四大洋}, 它的元素是: 太平洋、 大西洋、 印度洋、 北冰洋. 其 他对象都不用于这个集合.如果说“由接近 2 的数组成的集合”,这里“接近 2 的数”是没有严 格标准、比较模糊的概念,它不能构成集合. 2.互异性:若 a ? A, b ? A, 则 a ? b . 集合中的元素是互异的.这就是说,集合中的元素是不能重复的,集合中相同的元素只能算
2 是一个.例如方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个重根,其解集只能记为{1},而不能记为{1,1}.

3.无序性:{a,b}和{b,a}表示同一个集合. 集合中的元素是不分顺序的.集合和点的坐标是不同的概念,在平面直角坐标系中,点(l, 0)和点(0,l)表示不同的两个点,而集合{1,0}和{0,1}表示同一个集合. 例 3 设集合 A={2,a2-a+2,1-a},若 4∈A,求 a 的值.

练习 3 已知 x2∈{1,0,x},求实数 x 的值.
4

知识点三?集合的表示方法
1.列举法:将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法,比如 20 以内的质数构 成的集合,我们可以表示成{2,3,5,7,11,13,17,19}这种表示集合的方法就是列举法. 2.一般地,如果在集合 I 中,属于集合 A 的任意一个元素都具有性质 p(x),而不属于集合 A 的元 素都不具有性质 p(x),则性质 p(x)叫做集合 A 的一个特征性质,于是,集合 A 可以用它的特性质 P(x)描述为

{x ? I p( x)}
它表示集合 A 是由集合 I 中具有性质 p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法,叫做特征性 质描述法,简称描述法。 例 4 用列举法描述下列集合:

A ? {x ? Z ?1 ? x ? 5}



B ? {x x2 ?11x ? 30 ? 0}

.

练习 4 用描述法描述下列集合: (1)大于 1 小于 1000 的全体质数构成的集合;

(2)被 3 除余数为 1 的全体整数构成的集合。

练习 5 用适当方法描述以下集合: (1)小于 10 的正整数构成的集合;
5

(2)小于 1000 的奇数构成的集合;

我的疑惑

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练习巩固
1.下列选项中,不同于另外三个的是(
A.{x | x = 1} B.{x | x -1 = 0} C.{x = 1}


D.1

2.下面命题: ① {2,3,4,2} 是由四个元素组成的; ②集合 {0}表示仅一个数“零”组成的集合; ③集合 {1,2,4}与 {4,1,2}是同一集合; ④集合 {小于 1 的正有理数 } 是一个有限集。 其中正确的是(
A.③④ B.②③


C .①② D.②

}, 3. 集合A = {面积 1的矩形}, B = {面积 1的正三角形 则下列说法正确的是(
A.A,B 都是无限集 B.A,B 都是有限集 C.A 是有限集 B 是无限集 D.B 是有限集 A 是无限集
6



4.下列各式中错误的是( ). A. - 3∈{x ∈ R | x = 2k - 1, k ∈ Z } B .{x ∈ N | x < 5} = {0,1, 2, 3, 4} C. {(x , y ) | x + y = 1, xy = -2, x , y∈ R } = {(-1,2)} D.1? {x | x 2 ? 1}

5.用列举法表示集合 {(x , y ) | 2x + y - 5 = 0, x∈ N , y∈ N } ______________________________. 6.用描述法写出直角坐标系中,不在坐标轴上的点的坐标组成的集合: _________________________________________________________________.

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归纳总结

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家庭作业
1.有限集:含有的集合;无限集:含有的集合;特别地,我们把不含任何元素的集合叫做 ;记作 ___________ . 2.常用数集及其表示方法:N 表示; N *或N? 表示;Z 表示;有理数集用表示;实数集用表示. 3.集合的表示方法:________________________________________. 4.给出以下四个对象,其中能构成集合的个数( ①某中学的大胖子; )

②你所在班中身高超过 1.80 米的高个子; .

③2008 年北京奥运会中的比赛项目; ④ ?1,1,3,5? 5.已知集合 A= {x ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0} (1)若集合 A 中只有一个元素,求实数 a 的值;

(2)若集合 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围。

7

6.用列举法表示下列集合

? 6 ? A ? ?x ? N ?Z? 1? x ? ? (1)
? 6 ? B?? ?Z x?N? ?1 ? x ? (2)

7.设集合 M ? ?2,3, m 2 ? 2m ? 3? , N ? ? m ? 3 , 2? ,若 5 ? M ,且 5 ? N ,求实数 m 的值。

8.试分别用列举法和特征性质描述法表示下列集合 (1)方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的实数根组成的集合;

(2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。

9.用描述法表示下列集合:
, 1,2,3}; (1) {-1,0

(2)能被 2 整除的全体正整数的集合;
8

(3)被 2 除余数为 1 的全体整数的集合。

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