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2015高考数学二轮复习 专题强化训练5 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题 文(含解析)


第2讲

椭圆、双曲线、抛物线的基本问题

(建议用时:60 分钟) 一、选择题 1.抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - =1 的渐近线的距离是 3 A. 1 2 B. 3 2
2 2

y2

(

).

C.1
2

D. 3
2

解析 抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0),双曲线 x - =1 的渐近线是 y=± 3x, 即 3x±y 3 =0,故所求距离为 答案 B 2.(2013?新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直 线交椭圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 A. C. + =1 45 36 + =1 27 18 ( ). | 3±0| ? 3? +?±1?
2

y2

2



3 .选 B. 2

x2 y2 a b

x

2

y

2

B. + =1 36 27 D. + =1 18 9

x

2

y

2

x2

y2

x2

y2

0+1 1 解析 直线 AB 的斜率 k= = , 3-1 2

x y ? ?a +b =1 设 A(x ,y ),B(x ,y ),所以? x y ? ?a +b =1,
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2

2 1 2

① ②

①-②得 ③

y1-y2 b2 x1+x2 b2 2 b2 1 =- 2? .又 x1+x2=2, y1+y2=-2, 所以 k=- 2? , 所以 2= , x1-x2 a y1+y2 a -2 a 2

又 a -b =c =9,④ 由③④得 a =18,b =9.故椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9 答案 D 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y =4x 的焦点重合,且双曲线的离心
-12 2

2

2

2

x2

y2

x2 y2 a b

2

率等于 5,则该双曲线的方程为

(

).

4 2 A.5x - y =1 5
2

B. - =1 5 4 5 2 2 D.5x - y =1 4
2

x2 y2

C. - =1 5 4

y2 x 2

解析 由于抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),即 c=1,又 e= = 5,可得 a=

c a

5 ,结合 5

4 5 2 2 2 2 2 2 条件有 a +b =c =1,可得 b = ,又焦点在 x 轴上,则所求的双曲线的方程为 5x - y 5 4 =1. 答案 D 4.(2014?湖州一模)已知抛物线 y =4px(p>0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有相同的焦 点 F,点 A 是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 ( A. 5+1 2 ).
2

x2 y2 a b

B. 2+1 2 D. 2+1 2
2 2

C. 3+1

解析 依题意,得 F(p,0),因为 AF⊥x 轴,设 A(p,y),y>0,y =4p ,所以 y=2p.所以
2 p2 4p2 c2 4c A(p,2p).又点 A 在双曲线上,所以 2- 2 =1.又因为 c=p,所以 2- 2 2=1,化简, a b a c -a

得 c -6a c +a =0,即? ? -6? ? +1=0.所以 e =3+2 2,e= 2+1. a a
4 2 2 4 2

?c?4 ? ?
y2

?c?2 ? ?

答案 B 5.已知双曲线 C 与椭圆 + =1 有共同的焦点 F1,F2,且离心率互为倒数.若双曲线右支 16 12 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 4,则 PF2 的中点 M 到坐标原点 O 的距离等于 A.3 C.2 B. 4 D. 1 ( ).

x2

2 解析 由椭圆的标准方程,可得椭圆的半焦距 c= 16-12=2,故椭圆的离心率 e1= = 4 1 1 ,则双曲线的离心率 e2= =2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点,所以双曲线的半焦距 2 e1

x y c 2 2 2 也为 c=2.设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则有 a= = =1,b2= c -a = a b e2 2

2

2

-2-

2 -1 = 3,所以双曲线的标准方程为 x - =1.因为点 P 在双曲线的右支上,则由双 3 曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF2|=4,所以|PF1|=6.因为坐标原点 O 为

2

2

2

y2

F1F2 的中点,M 为 PF2 的中点.
1 所以|MO|= |PF1|=3. 2 答案 A 6.(2014?重庆卷)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在 9 一点 P,使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为 4 ( A. 4 3 5 B. 3 D. 3 ).

x2 y2 a b

9 C. 4

解析 不妨设 P 为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,根据双曲线的定义,得 r1 -r2=2a, 3b+2a 3b-2a 9 3b+2a 3b-2a 9 又 r1+r2=3b,故 r1= ,r2= .又 r1?r2= ab,所以 ? = ab, 2 2 4 2 2 4

b 4 c 解得 = (负值舍去),故 e= = a 3 a
答案 B

a2+b2 = a2

?b?2+1= ?a? ? ?

?4?2+1=5,故选 B. ?3? 3 ? ?
2

1 2 x 2 7.(2013?山东卷)抛物线 C1:y= x (p>0)的焦点与双曲线 C2: -y =1 的右焦点的连线交 2p 3

C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=

(

).

A.

3 16

B.

3 8

2 3 C. 3

4 3 D. 3
2

1 2 x ? p? 2 2 解析 抛物线 C1:y= x 的标准方程为 x =2py,其焦点为 F?0, ?;双曲线 C2: -y 2 2p 3 ? ? =1 的右焦点 F′为(2,0),其渐近线方程为 y=± = 3 1 1 3 x.由 y′= x,所以 x= ,得 x 3 p p 3

3 4 3 ? 3 p? p,所以点 M 的坐标为? p, ?.由点 F,F′,M 三点共线可求 p= . 3 3 6? ?3

-3-

答案 D 二、填空题

x y 5 8.(2013?陕西卷)双曲线 - =1(m>0)的离心率为 ,则 m 等于________. 16 m 4
解析 由题意得 c= 16+m,所以 答案 9 9.(2014?辽宁卷)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点 9 4 的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________. 解析 椭圆 + =1 中,a=3.. 9 4 如图,设 MN 的中点为 D,则|DF1|+|DF2|=2a=6. 16+m 5 = ,解得 m=9. 4 4

2

2

x2 y2

x2 y2

∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. 答案 12 10.(2014?合肥二模)设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=________. 解析 抛物线的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,因为 PA⊥准线 l,设 P(m,n),则 A(- 2,n),因为 AF 的斜率为- 3,所以 =- 3,得 n=4 3,点 P 在抛物线上,所 -2-2 以 8m=(4 3) =48,m=6.因此 P(6,4 3),|PF|=|PA|=|6-(-2)|=8. 答案 8 11.(2013?福建卷)椭圆 T: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线
2 2

n

x2 y2 a b

y = 3(x + c)与椭圆 T 的一个交点 M 满足∠ MF1F2= 2∠ MF2F1,则该椭圆的离心率等于
________. 解析 直线 y= 3(x+c)过点 F1,且倾斜角为 60°,所以∠MF1F2=60°,从而∠MF2F1=

-4-

30°,所以 MF1⊥MF2,在 Rt△MF1F2 中,|MF1|=c,|MF2|= 3c,所以该椭圆的离心率 e = 2c 2c = = 3-1. 2a c+ 3c 3-1
2

答案

12. (2013?浙江卷)设 F 为抛物线 C: y =4x 的焦点, 过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,

B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于________.
解析 设直线 l 的方程为 y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0). 由?
? ?y=k?x+1?, ?y =4x, ?
2 2 2 2 2

得:k x +(2k -4)x+k =0, 4-2k 则 x1+x2= 2 ,
2

k

y1+y2=k(x1+x2+2)= , k
2-k 2 故 x0= 2 ,y0= .
2

4

k

k

由 ?x0-1? +?y0-0? =2, 得? 2k ?2 ?2?2 ?2-2 ? +? ? =4. ? k ? ?k?
2

2

2

所以 k=±1. 答案 ±1 三、解答题 13. 已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2, y2)(x1 <x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λ OB,求 λ 的值. 解 (1)直线 AB 的方程是 y=2 2?x- ?,与 y =2px 联立, ? 2?
2 2

?

p?

5p 2 2 从而有 4x -5px+p =0,所以 x1+x2= , 4 5p 由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p= +p=9, 4 所以 p=4,从而抛物线方程为 y =8x. (2)由于 p=4,4x -5px+p =0 可简化为 x -5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2,
2 2 2 2

-5-

即 A(1,-2 2),B(4,4 2); → 设 C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ (4,4 2)=(4λ +1,4 2λ -2 2), 又 y3=8x3, 即[2 2(2λ -1)] =8(4λ +1), 即(2λ -1) =4λ +1,解得 λ =0 或 λ =2. 14.设抛物线 C:y =4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点. (1)设 l 的斜率为 1,求|AB|的大小; → → (2)求证:OA?OB是一个定值. (1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点 F 为(1,0), 准线方程为 x=-1, ∴直线 l 的方程为 y=x-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由?
?y=x-1, ? ? ?y =4x
2 2 2 2 2 2

得 x -6x+1=0, ∴x1+x2=6, 由直线 l 过焦点,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8. (2)证明 设直线 l 的方程为 x=ky+1, 由?
?x=ky+1, ? ? ?y =4x
2 2

得 y -4ky-4=0. ∴y1+y2=4k,y1y2=-4, →

OA=(x1,y1),OB=(x2,y2).
→ → ∵OA?OB=x1x2+y1y2 =(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k +4k +1-4=-3. → → ∴OA?OB是一个定值.
2 2 2



15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0),且点

x2 y2 a b

P(0,1)在 C1 上.
(1)求椭圆 C1 的方程;

-6-

(2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y =4x 相切,求直线 l 的方程. 解 (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),

2

所以 c=1. 将点 P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1, 1 得 2=1,

x2 y2 a b

b

即 b=1. 所以 a =b +c =2. 所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 2 (2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m,
2 2 2

x2

2

x ? ? +y2=1, 由? 2 ? ?y=kx+m

2

消去 y 并整理得(1+2k )x +4kmx+2m -2=0.

2

2

2

因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以 Δ 1=16k m -4(1+2k )(2m -2)=0. 整理,得 2k -m +1=0,①
?y =4x, ? 由? ?y=kx+m ?
2 2 2 2 2 2 2

消 y,得

k2x2+(2km-4)x+m2=0.
∵直线 l 与抛物线 C2 相切, ∴Δ 2=(2km-4) -4k m =0, 整理,得 km=1,② 2 ? ?k= , 2 联立①、②,得? ? ?m= 2, ∴l 的方程为 y= 2 ? ?k=- , 2 或? ? ?m=- 2,
2 2 2

2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

-7-


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