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山东省淄博市重点中学2011届高三上学期期中考试数学试题(理)


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淄博高三第一学期期中模块考试(理科数学) 淄博高三第一学期期中模块考试(理科数学) 高三第一学期期中模块考试

第 Ⅰ卷
注意事项:

60 分

1.答卷前,考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题纸和答题卡的相应位置处。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 3.非选择题答案必须写在答题纸相应位置处,不按要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡和答题纸一并收回 选择题(把答案涂到答题卡上, 一、选择题(把答案涂到答题卡上,每个小题 5 分,共 12 个小题 60 分) 1.已知命题 p : ?x ∈ R, sin x ≤ 1, 则 ?p 是( A
?x ∈ R, sin x ≥ 1

) D ?x ∈ R, sin x > 1 )

B ?x ∈ R, sin x ≥ 1 C ?x ∈ R, sin x > 1

2.设集合 A={1, 2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是( A.1 B.3 C.4 D.8 1 ) 3.函数 f ( x) = lg x ? 的零点所在的区间是( x A. (0,1 ] B. (1,10] C. (10,100]

D. (100,+∞)

4. 设函数 f ( x ) = g ( x ) + x 2 ,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲 线 y=f(x)在点 (1,f(1))处切线的斜率为 ( ) 1 1 A.4 B. ? C.2 D. ? 4 2 1 1 5.由直线 x=2,x=2,曲线 y=x 及 x 轴所围成图形的面积为( ) 15 17 1 A. B. C. ln2 D.2ln2 4 4 2 π? ? 6.已知函数 f ( x ) = sin ? x ? ? (x∈R),下面结论错误的是 ( ) 2? ? ? π? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π ; B.函数 f(x)在区间 ?0, ? 是增函数; ? 2? C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称; D.函数 f(x)是奇函数 7.已知 {an } 是等差数列, a1 + a2 = 4 , a7 + a8 = 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于 ( ) A.64 B.100 C.110 D.120

8 已知 | OA |= 1, | OB |= 2 , OA ? OB = 0, 点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=45°,设
OC = mOA + nOB (m, n ∈ R ), 则
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m 等于 ( n


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A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

9.已知{an}是递增数列,且对任意 n∈N*都有 an=n2+λn 恒成立,则实数 λ 的取 值范围是( ) 7 A.(- ,+∞) B.(0,+∞) C.[-2,+∞) D.(-3, 2 +∞) 5 10.已知向量 a = (1,2), b = (? 2,?4), c = 5 , 若 a + b ? c = , 则 a 与 c 的夹角为( ) 2 A.30°或 150° B.60°或 120° C.120° D.150°

( )

11.设 y = f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ≤ t ≤ 24 . 下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t 0 3 6 9 12 15 18 21 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y = f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin(ωt + ? ) 的 图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 A. y = 12 + 3 sin C. y = 12 + 3 sin ( )

π π
6

t , t ∈ [0,24] t , t ∈ [0,24]

B. y = 12 + 3 sin( t + π ), t ∈ [0,24] 6

π

D. y = 12 + 3 sin( t + ), t[0,24] 12 12 2 12. 符号[x]表示不超过 x 的最大整数,如 [2.5] = 3 ,[-1.1]=-2, 定义函数{x}=x-[x], 给出下列四个 1 命题:①函数{x}的定义域是 R, 值域为[0,1];②方程 {x} = 有无数解; ③函数{x} 2 是周期函数;④函数{x}是增函数.其中正确的命题序号有 ( ) A.②③ B.①④ C.③④ D.②④

π

π

第Ⅱ卷 90 分 填空题(把答案写到答题纸相应位置上, 二、填空题(把答案写到答题纸相应位置上,每个小题 4 分,共 4 个小题 16 分) 1 ? ? 2a n , ( 0 ≤ a n < 2 ) 6 13.数列 {a n } 满足 a n +1 = ? ,若 a1 = ,则 a2010 的值为 1 7 ?2a n ? 1, ( ≤ a n < 1 ) 2 ? ________. 14.设向量 a = (1,2), b = (2,3) ,若向量 λ a + b 与向量 c = (? 4,?7 ) 共线,则 λ = 15. 点 P 在曲线 y = x 3 ? x + .

2 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 α ,角 α 的取值 3
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范围是_______ 16. 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告 知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北 则 偏东 θ 角的方向沿直线前往 B 处救援, sinθ 的值等于__________

三、解答题(每个小题应该写出必要的解题步骤,只有结果没有步骤的不得分, 解答题(每个小题应该写出必要的解题步骤,只有结果没有步骤的不得分, 解答题 步骤要清晰规范。 步骤要清晰规范。共 6 个大题 74 分)
? ? x 2 + 2 x( x > 0) ? 17(12 分)已知奇函数 f ( x) = ?0 ( x = 0) ? 2 ? x + mx( x < 0)
y 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 1 2 3 4

(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y = f ( x) 的图 象; (2)若函数 f (x) 在区间[-1, a -2]上单调递增,试确定 a 的取 值范围.

18. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 3A 3A ? A A? ? ? m = ? cos , sin ?, n = ? cos , sin ? ,且满足 m + n = 3 . 2 2 ? 2 2? ? ? (1)求角 A 的大小; (2)若|→|+|→|= 3|→|,试判断△ABC 的形状. AC AB BC

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19





12









m ∈ R, 设P : x1和x 2 是方程x 2 ? ax ? 2 = 0的两个根, 不等式 | m ? 5 |≤| x1 ? x 2 |

对任意实数

a ∈ [1,2] 恒成立; 函数 f ( x) = 3 x 2 + 2mx + m + Q:
为真命题的实数 m 的取值范围.

4 有两个不同的零点. 求使 “P∧Q” 3

20. (12 分)已知函数 f ( x) = 3 sin(ωx + ? ) ? cos(ωx + ? ) (0 < ? < π , ω > 0) 为偶函数, 且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 f ( ) 的值; 8 (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移

π
2

.

π

个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸 6 长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

π

21 . 12 分 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {a n } 前 n 项 和 为 S n , 首 项 为 a1 , 且 (
1 ?n ∈ N ? , , a n , S n 成等差数列. 2

(1)求数列 {a n }的通项公式; (2)若 a n
2

b ?1? n = ? ? ,设 cn = n ,求数列 {c n }的前 n 项和 Tn . an ?2?

b

22(14 分)设函数 f ( x) = x 4 + ax 3 + 2 x 2 + b, ( x ∈ R ) ,其中 a, b ∈ R (1)当 a = ?
10 时,讨论函数 f(x)的单调性; 3

(2)若函数 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a ∈ [? 2,2] ,不等式 f ( x ) ≤ 1 在[-1,1]上恒成立,求 b 的取值范围.

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高三理科数学答案
一选择题 C C B A D 二 填空题 13 D B C D C A A

3 7

14 2

15

? π ? ? 3π ? ?0, 2 ? ∪ ? 4 , π ? ? ? ? ?

16

21 7

三解答题 17 解:(1)设 x<0,则-x>0, 2 2 所以 f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x, 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 2 2 于是 x<0 时,f(x)=x +2x=x +mx, 所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合 f(x)的图象知?
?a-2>-1, ? ?a-2≤1, ?

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 图略 18 解:(1)由|m+n|= 3,得 m +n +2m·n=3, 3A A 3A A 即 1+1+2(cos cos +sin sin )=3, 2 2 2 2 1 π ∴cosA= ,∵0<A<π,∴A= . 2 3 → → → (2)∵|AC|+|AB|= 3|BC|,∴b+c= 3a, ∴sinB+sinC= 3sinA, 2π 3 3 1 3 ∴sinB+sin( -B)= 3× ,即 sinB+ cosB= , 3 2 2 2 2 π 3 2π π π 5π ∴sin(B+ )= .∵0<B< ,∴ <B+ < , 6 2 3 6 6 6 π π 2π π π ∴B+ = 或 ,故 B= 或 . 6 3 3 6 2 π π π π 当 B= 时,C= ;当 B= 时,C= . 6 2 2 6 故△ABC 是直角三角形. 19 解:由题设 x1 + x 2 = a, x1 x 2 = ?2
2 2

∴| x1 ? x 2 |= ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = a 2 + 8
当 a ∈ [1,2]时, a 2 + 8 的最小值为 3. 要使 | m ? 5 |≤| x1 ? x 2 | 对任意实数 a∈[1,2]恒成立 只须|m-5|≤3,即 2≤m≤8
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(6 分)

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由已知,得 f ( x ) = 3 x + 2mx + m +
2

4 = 0 的判别式 3
(10 分)

4 ? = 4m 2 ? 12(m + ) = 4m 2 ? 12m ? 16 > 0, 得m < ?1或m > 4 3
综上,要使“P∧Q”为真命题,只需 P 真 Q 真, 即?

?2 ≤ m ≤ 8 ,解得实数 m 的取值范围是 ( 4,8] ?m < ?1或m > 4

(12 分)

20 解: (Ⅰ) f ( x ) =

? 3 ? 1 3 sin(ω x + ? ) ? cos(ω x + ? ) = 2 ? sin(ω x + ? ) ? cos(ω x + ? ) ? 2 ? 2 ?

π? ? = 2 sin ? ω x + ? ? ? . 6? ?
因为 f ( x ) 为偶函数,所以对 x ∈ R , f ( ? x ) = f ( x ) 恒成立, 因此 sin( ?ω x + ? ? ) = sin ? ω x + ? ?

π 6

? ?

π? ?. 6? ? ? π? 6? ? ? π? 6?

即 ? sin ωx cos ?? ? ? + cos ωx sin ?? ? ? = sin ωx cos ?? ? ? + cos ωx sin ?? ? ? ,

? ?

π? 6?

? ?

π? 6?

整理得 sin ω x cos ? ? ?

? ?

π? ? = 0. 6? ? ? π? ? = 0. 6?

因为 ω > 0 ,且 x ∈ R ,所以 cos ? ? ?

又因为 0 < ? < π ,故 ? ?

π π π? ? = .所以 f ( x ) = 2sin ? ω x + ? = 2 cos ω x . 6 2 2? ?

由题意得



π = 2i ,所以 ω = 2 .故 f ( x) = 2 cos 2 x . ω 2

因此 f ?

π ?π? ? = 2 cos = 2 . 4 ?8? π 个单位后,得到 6 π? ? f ? x ? ? 的图象,再将所得图象横坐标伸 6? ?

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移

长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f ?

?x π? ? ? 的图象. ?4 6?

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所以 g ( x) = f ? 当 2kπ ≤

? ? x π ?? ? x π? ?x π? ? ? = 2 cos ? 2 ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? . ?4 6? ?2 3? ? ? 4 6 ??

x π , ? ≤ 2 kπ + π ( k ∈ Z ) 2 3 2π 8π 即 4kπ + ≤ x ≤ 4kπ + ( k ∈ Z )时, g ( x) 单调递减, 3 3
因此 g ( x ) 的单调递减区间为 ? 4kπ + 21 解(1)由题意知 2an=Sn+

? ?

2π 8π ? . ,kπ + ? ( k ∈ Z ) 4 3 3?

1 ,an>0 2 1 1 ∴a1= 当 n=1 时,2a1=a1+ 2 2 1 1 当 n≥2 时, Sn =2an- ,Sn-1=2an-1- 2 2
两式相减得 an=2an-2an-1 整理得:

an =2 ………………………………………………………4 分 an?1
1 为首项,2 为公比的等比数列. 2

∴数列{an}是以 an=a1·2 (2)an = 2
2

n-1

=

1 n-1 n-2 ×2 =2 ………………………………………………5 分 2
∴bn=4-2n …………………6 分

? bn

=2

2n-4

C n=

ba 4 ? 2n 16 ? 8n = = aa 2 n ? 2 2n

24 ? 8n 16 ? 8n 8 0 ?8 + 2 + 3 + … n ?1 + ① 2 2 2 2 2n 24 ? 8n 16 ? 8n 1 8 0 Tn= 2 + 3 + …+ + n +1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ……………………9 分 ①—②得 Tn=4-8 ( 2 + 3 + … + n ) ? 2 2 2 2 2 n+1 1 1 (1 ? n?1 2 2 ? 16 ? 8n =4-4 (1 ? 1 ) ? 16 ? 8n =4-8· 2 1 2 n+1 2 n?1 2 n+1 1? 2 4n = n ……………11 分 2 8n ∴ T n= n …………………………………………………………12 分 2
T n=

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22 解 (1)f′(x)=4x +3ax +4x=x(4x +3ax+4). (x)=x(4x -10x+4)=2x(2x-1)(x-2).? 令 f′(x)=0,解得 x1=0, x2= x (-∞,0) 0
2

3

2

2

当a = ?

10 时, f′ 3

1 ,x3=2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 1 2 (2,+∞) ? 1? ?1 ? 2 ? 0, ? ? ,? 2 ? 2? ?2 ?
0 增函数 极 大 值 减函数 0 极小值 + 增函数

f ′ (x) f(x)

减函数

0 极 小 值

+

所以 f(x)在(0,

1 1 ),(2,+∞)内是增函数,在(-∞,0),( ,2)内是减函数.? 2 2
2

(2)f′(x)=x(4x2+3ax+4),显然 x=0 不是方程 4x +3ax+4=0 的根. 2 2 为使 f(x)仅在 x=0 处有极值,必须有 4x +3ax+4≥0 恒成立, 即有Δ=9a -64≤0. 解此不等式, 得?

8 8 8 8 ≤ a ≤ 这时,f(0)=b 是唯一极值. 因此满足条件的 a 的取值范围是 [? , ] . 3 3 3 3
2 2

3)由条件 a∈[-2,2]可知Δ=9a -64<0,从而 4x +3ax+4>0 恒成立. 当 x<0 时,f′(x)<0;当 x>0 时,f′(x)>0.因此函数 f(x)在[-1,1]上的最大值是 f(1) 与 f(-1)两者中的较大者. 为 使 对 任 意 的 a ∈ [-2,2], 不 等 式 f(x) ≤ 1 在 [-1,1] 上 恒 成 立 , 当 且 仅 当

? f (1) ≤ 1 ?b ≤ ?2 ? a , 即? , 在a ∈ [? 2,2]上恒成立. 所以 b≤-4, ? ? f (?1) ≤ 1 ?b ≤ ?2 + a
因此满足条件的 b 的取值范围是(-∞,-4].

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