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5.3 平行线的性质(2)-


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5.3

平行线的性质(2)
(第 8 课时)

三维目标 一、知识与技能 1.平行线的判定和性质的综合应用; 2.掌握两条平行线的距离的概念. 二、过程与方法 1.经历平行线的判定和性质的综合应用,丰富对现实空间及图形的认识,? 培养识图 能力; 2.经历探究平行线间的距离过程,培养用数学的意识. 三、情感态度与价值观 通过用平行线的判定和性质解决问题,提高学生学习数学的积极性,并在活动中获得 成功的体验. 教学重点 1.掌握平行线性质在实际问题中的应用; 2.理解平行线间的距离的概念. 教学难点 1.平行线性质在实际问题中的应用; 2.平行线间的距离概念. 教具准备 多媒体课件、三角尺、直尺等. 教学过程 一、创设问题情境,导入新课 活动 1 问题: (1)如图,有一座山,想在山中开凿一条隧道直通甲、乙两地,在甲地一侧的隧道 方向为北偏东 41.5°,如果甲、乙两地同时开工,那么乙地隧道按怎样的角度施工,才能 使隧道在山里准确开通.

(2)练习: 如图,直线 a∥b,∠1=54°,那么∠2、∠3、∠4 各是多少度?

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设计意图: 本活动的两个问题都是平行线性质的应用,问题(1)是通过两直线平行,? 内错角相 等的知识来解决;问题(2)的解决,需要用“对顶角相等” “两直线平行,? 同旁内角互 补” “两直线平行,同位角相等”提高学生解决实际问题的能力. 师生行为: 先由学生独立思考,然后在小组内讨论、交流;教师注意引导学生将实际问题转化为 数学问题. 本次活动教师应关注: (1)学生对平行线性质的运用能力; (2)把实际问题转化为数学问题的能力; (3)小组交流、合作的意识; (4)学生在学习过程中体现的情感态度与价值观. 生:问题(1)的解答如下: 解:因为两直线平行,内错角相等,所以乙地可以按南偏西 41.5°方向施工,或按北 偏西 138.5°方向施工. 生:问题(2) 解:因为∠1=∠2(对顶角相等) , 又∠1=54°,所以∠2=54°. 又因为 a∥b, 所以∠4=∠2=54°(两直线平行,内错角相等) . ∠3=180°-∠2=180°-54°=126°(两直线平行,同旁内角互补) . 二、讲授新课 活动 2 问题: (1)如图,是一块梯形铁片的残余部分,量∠A=100°,∠B=115°,梯形的另外两 个角分别是多少度?

(2)如图,AB∥CD,a=45°,∠D=∠C,依次求∠D,∠C,∠B 的度数.

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(3)如图,已知 AB∥CD,∠B=40°,∠BED=100°,求∠D 的度数.

设计意图: 本活动进一步从实际问题出发掌握平行线性质的应用.? 通过活动使学生意识到学数 学的真正用途在于应用,提高学生学数学的兴趣和信心.为学生创设一个充分展现和调动 积极性的机会. 师生行为: 学生独立完成后在小组内交流;教师对学生的解答过程给予评价. 本活动中教师需重点关注: (1)学生会用平行线的性质计算出所求角的度数; (2)学生能否从数学的角度去将实际问题转化成数学问题; (3)学生能否在活动中体验到成功. 生:问题(1) 解:如图,因为梯形上、下两底互相平行,所以∠A 与∠D 互补,∠B 与∠C 互补. 于是 ∠D=180°-∠A=180°-100°=80°, ∠C=180°-∠B=180°-115°=65°. 所以梯形的另外两个角分别是 80°、65°. 生:问题(2) 解:如图,因为 AB∥CD,所以∠D=a=∠45°, 又∠D=∠C,所以∠C=45°. 又因为 AB∥CD,所以∠B+∠C=180°. 所以∠B=180°-45°=135°. 生:问题(3) 解:如图,过 E 作 EF∥AB(一般画虚线) , 因为 AB∥CD(已知) , 所以 EF∥CD(平行于同一直线的两直线平行) . 所以∠1=∠B,∠2=∠D(两直线平行,内错角相等) .
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因为∠1+∠2=∠BED=100°(已知) , 所以∠B+∠D=100°(等量代换) . 所以∠D=100°-∠B=100°-40°=60°. 说明:本题中已有 AB∥CD 的条件,但 BE、DE 并不是它的截线,不是“三线八角” 的基本图形,因此添加辅助线构成“三线八角” . 三、两条平行线间的距离 活动 3 探究: 用三角尺和直尺画平行线,做成一张 5×5 个格子的方格纸.观察做出的方格纸的一 部分(如图) ,线段 B1C1,B2C2,?,B5C5 都与两条平行的横线 A1B5 和 A2C5 垂直吗?? 它们的长度相等吗?

设计意图: 通过动手操作在方格纸上探究两条平行线间的距离的概念,了解其合理性. 通过此活动,为学生提供动手操作的机会. 师生行为: 学生亲自动手操作,理解平行线间的距离的概念. 教师在这次活动中需重点关注: (1)通过测量发现 B1C1,B2C2,?,B5C5 都与平行的横线 A1B5、B2C5 垂直; (2)通过测量发现 B1C1,B2C2,?,B5C5 长度相等; (3)注意学生动手操作的技能. 生:可以发现线段 B1C1,B2C2,?,B5C5 同时垂直于两条平行的直线 A1B5 和 A2C5, ? 并且它们的长度相等. 师:像这样,同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段长度,叫做这 两条平行线的距离. 活动 4 思考: 如图,如果 AB∥CD,在 CD 上任取一点 E,向 AB 作垂线段 EF,这时,EF 是否也 垂直于直线 CD 呢?我们这样作出的垂线段 EF 的长度 d 是平行线 AB、CD 的距离吗?

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设计意图: 通过此活动,让学生加深对平行线间的距离的概念的理解. 师生行为: 学生独立思考,组内交流;教师引导学生对此问题的理解. 教师在这次活动中,应重点关注: (1)学生利用概念解释数学问题的能力; (2)学生数学语言的表达能力; (3)学生思维的灵活性; (4)学生在解决问题的过程中所体现的情感态度与价值观. 生:根据“两直线平行,同旁内角互补” ,可以发现 EF⊥CD.? 根据平行线间的距离 的定义,由于 EF 是夹在两条平行直线之间,并且和它们垂直的线段,所以垂线段 EF 的长 度 d 就是平行线 AB、CD 的距离. 师: 再找一个在 CD 上不同于 E 点的一个点 M, MN⊥AB, 作 垂足为 N, 可知 MN=EF. 不 妨多找几个这样的点,你能得出什么结论? 生:平行线间的距离处处相等. 生:你还能得出什么结论? 生:垂直于两条平行线中的一条直线,必垂直于另一条直线. 四、课时小结 1.谈谈本节课你有哪些收获; 2.掌握平行线的判定与性质及其应用. 3.理解两平行线间的距离. 板书设计 5.3 平行线的性质(二) 1.利用平行线的性质解决生活中的问题

活动与探究 如图,一个宽度相等的纸条,如图折叠一下,那么∠1 等于多少度?

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[过程]从折叠的过程不难发现折叠过来的部分和原来的部分是完全重合的, 所以∠1=∠2,根据平行线的性质,可知∠1+∠2=120°. [结果]∠1=60°. 备课资料 平行线创新题例说 在学习了平行线的判定和性质后,还要会解决一些有关的创新题,举例证明如下: 一、条件开放题 即要得到某一结论,但还缺少条件,要求补充完整,往往所补充的条件不唯一的题. 【例1】 如图,已知:AB⊥BE 于 B,CD⊥DF 于 D,要使 AB∥CD,还需补充什么 条件?请你填上所需条件.

解析:要使 AB∥CD,只要使∠1=∠2,因 AB⊥BE 于 B,从而∠1=90°, 故只需∠2=? 90°;考虑到 CD⊥DF 于 D,故∠3=90°, 从而∠2=∠3 即可;又由∠2=∠3 可知 BE∥DF. 故可在∠2=∠3,或 BE∥DF 中任选一个条件即可. 二、结论开放题 即满足条件的结论未给出,且结论不唯一. 【例2】 如图,已知 DE,BF 分别平分∠ADC 和∠ABC,∠ABF=∠AED,∠ADC= ∠ABC,? 由此可得到图中哪些线段平行?并说明理由.

解析:DE∥BF,CD∥AB,AD∥BC. 由∠AED=∠ABF 易得 DE∥BF, 由已知可证∠AED=∠ABF=

1 1 ∠ABC= ∠ADC=∠EDC,故 CD∥AB; 2 2

由 CD∥AB 易得∠C+∠ABC=180°,又因为∠ABC=∠ADC, 所以∠C+∠ADC=180°,故 AD∥BC. 三、条件、结论双开放题 即条件和结论都不唯一的题. 【例 3】已知:如图,BC 交 DE 于 O,给出下面三个论断:①∠B=∠E;②AB∥DE; ? ③BC∥EF.请以其中的两个论断为条件,填入“已知”栏中,以另一个论断为结论,填 入“求证”栏中,使之成为一个真命题,并证明之. 已知:如图,BC 交 DE 于 O,__________.
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求证:_______. 证明:_______.

分析:由于三个论断可组成①②→③、①③→②、? ②③→①三种情形的真命题,选 择其中任一个即可. 如:①②→③. 已知:如图 3,BC 交 DE 于 O,∠B=∠E,AB∥DE. 求证:BC∥EF. 证明:因为 AB∥DE,所以∠B=∠COD, 又∠B=∠E,所以∠E=∠COD.所以 BC∥EF. 其余两种情形由同学们完成. 四、探索题 即根据题意探索结论或条件的题. 【例3】 如图,已知∠1=∠2,BD 平分∠ABC,可得到哪两条直线平行?如果要得到 另外两条直线平行,则应将上述两个条件之一作如何改变?

分析:由 BD 平分∠ABC 知∠1=∠DBC,又∠1=∠2,可知∠2=∠DBC,从而可知平 行的两条线段了.若要另外的两直线平行,仍可仿上述条件作适当改动即可. 解:由已知条件可得 AD∥BC.理由:因为 BD 平分∠ABC,所以∠1=∠DBC.又因 为∠1=∠2,故∠2=∠DBC.从而 AD∥BC. 若要 AB∥DC,则只需∠1=∠BDC 即可.而∠1=∠2,故应有∠2=∠BDC.? 这时可 将“BD 平分∠ABC”改为“DB 平分∠ADC”即可.

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