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1.2.1充分条件与必要条件


高中选修《数学2-1》(新人教A版)

1.2.1充分条件与 必要条件

一、复习引入
1、命题:可以判断真假的陈述句,可写成:若p则q。

2、四种命题及相互关系: 原命题 若 p则 q
互 否 互逆

逆命题 若 q则 p
互 否

互为

/>
逆否

否命题 若 p则 q

互逆

逆否命题 若 q则 p

注:两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性。

一、复习引入

3、例 :判断下列命题的真假。 (1)若x>a2+b2,则x>2ab 。 真命题 (2)若ab=0,则a=0。 假命题

二、新课
1、如果命题“若p则q”为真,则记作p q(或q p)。

2、如果命题“若p则q”为假,则记作p

q。

练习1 用符号



填空。

(1) x2=y2 x=y; (2)内错角相等 (3)整数a能被6整除 (4)ac=bc a=b

两直线平行; a的个位数字为偶数;

一般地, “若 p , 则 q ”为真命题 , 是指由 p 通过推理可以得出 q .

并且说 p 是 q 的充分条件,说 q 是 p 的必要条件.

这时,我们就说,由 p 可推出 q ,记作 p ? q .

注 : 这里 充分 、必要 的意义 和日常 生活 中的 “充分”、 “必要”的意义是相近的. ⑴ p 是 q 的充分条件── 有 p 就可推出 q ; ⑵ q 是 p 的必要条件── 没有 q 就推不出 p .

如何正确理解p是q的充分条件与必要条件

1、充分条件的特征是:当p成立时,必有q成 立,但当p不成立时,未必有q不成立。因此 要使q成立,只需要条件p即可,故称p是q成 立的充分条件。

p?q

2、必要条件的特征是:当q不成立时,必有p不 成立,但当q成立时,未必有p 成立。因此要使 p成立,必须具备条件q,故称q是p成立的必要 条件。
3、只要有p是q的充分条件就必有q是p的必要条件,但 不是p为q的必要条件。

简化定义:

如果已知p

q,则说p是q的充分

条件, q是p的必要条件。 例1,下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题 中的p是q的充分条件? (1)若x=1,则x2 –4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3)若x 为无理数,则x2 为无理数

p?q

解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题, 所以命题(1)(2)中的p是q的充分条件

例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的 q是p的必要条件? (1) 若x=y,则x2=y2。

p?q

(2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等。 (3) 若a>b,则ac>bc。

解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题, 所以命题(1)(2)中的q是p的必要条件。

思考: “若 p , 则 q ” 的逆命题成立, p 是 q 的什么条件?

p 是 q 的必要条件.

就是说: 由 p ? q 可知 p 是 q 的必要条件, q 是 p 的充分条件.

通俗地说,就是“ p 被 q 推出”判断为 “ p 是 q 必要条件”.

思考: “若 p , 则 q ” 的原命题与逆命题均是真命题, p 是 q 的什么条件? q 是 p 的什么条件? p ? q 且 p ? q
如果“若 p , 则 q ”是真命题 ,且它的逆命题也 是真命题即 p ? q 且 p ? q , 我们就说, p 是 q 的充分必要条件 ,简称充要条件 .记为 p ? q .

显然 , 如果 p 是 q 的充要条件 , 那么 q 也是 p 的 充要条件 .概括地说 ,如果 p ? q ,那么 p 与 q 互为充要 条件.

注:1.“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 与 q 等价” 、 “ p 当且仅当 q ”等.

2. 充要条件是非常好的一种条件 ,因为可以相互等 价转化.

例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?
(1)p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;

(2)P: x>0,y>0, (3)P: a>b,

q: xy>0;

p ? q

.

q: a+c>b+c.

解:在(1)(3)中,p ? q, 所以(1)(3)中的p是q 的充要条件。在(2)中,q ? p,所以(2)中p的 不是q的充要条件。

归纳

定义1:如果已知p 定义2:如果已知q 定义3:如果既有p 就记作
p

q,则说p是q的充分条件。 p,则说p是q的必要条件。 q,又有q p,

q, 则说p是q的充要条件。

2、从集合角度理解:

口诀:对于具体的数集,以条件集合 为基础,小充分,大必要
①p ②q ③p q,相当于P Q ,即 p,相当于Q P ,即 P Q 或 P、Q Q P 或 P、Q P、Q 有它就行 缺它不行 同一事物

q,相当于P=Q ,即

p是q的各种条件的可能情况
1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件
判别步骤:

① 认清条件和结论。 ② 考察p
判别技巧:

q和 q

p的真假。

① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。

③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

从逻辑推理关系看充分条件、必要条件: 1) A B且 B A,则A是B的
充分非必要条件 必要非充分条件 既不充分也不必要条件 充分且必要条件

2)若A B且B A,则A是B的 3)若A B 且B A,则A是B的 4)A B且B A,则A是B的

从集合与集合的关系看充分条件、必要条件 1)若A?B且B?A,则甲是乙的 2)若A ? B且B ? A,则甲是乙的
1) B A 2) A

充分非必要条件 必要非充分条件
B

3)若A ? B且B ? A,则甲是乙的 既不充分也不必要条件
4)若A=B ,则甲是乙的
A B

充分且必要条件
A =B

3 )

4 )

小结

充分必要条件的判断方法: 定义法、集合法、等价法(逆否命题)

例4.在下列电路图中,闭合开关A是灯泡B亮的什么条件: 如图(1)所示,开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要 条件; 如图(2)所示,开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分 条件; 如图(3)所示,开关A闭合是灯泡B亮的 充要 条件; 如图(4)所示,开关A闭合是灯泡B亮的 条件;
既不充分也不必要

练习、判断下列命题的真假: (1)x=2是x2 –4x+4=0的必要条件; (2)圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件; (3)sin ?=sin ? 是 ? = ? 的充分条件; (4)ab = 0是a = 0的充分条件。
答:命题(1)为真命题:

命题(2)为真命题; 命题(3)为假命题; 命题(4)为真命题。

例5、请用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”填空: 必要不充分 (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的______条件 . 充要 (2)“同位角相等”是“两直线平行”的___条 件. 充分不必要 (3)“x=3”是“x2=9”的______条件. 既不充分也不必要 (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四 边形”的__________条件.

小结:
1、 定义1:如果已知p 定义2:如果已知q 定义3:如果既有p q,则说p是q的充分条件。 p,则说p是q的必要条件。 q,又有q p,就记作 p q,

则说p是q的充要条件。

2、充分条件、必要条件的四种形式: 1) A B且 B A,则A是B的
充分非必要条件

2)若A B且B A,则A是B的 3)若A B 且B A,则A是B的 4)A B且B A,则A是B的

必要非充分条件 既不充分也不必要条件 充分且必要条件

四、作业

课本P12习题1.2-A组2T、3T 课本P13习题1.2-B组1T


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