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5.3 平行线的性质、定理命题


世界著名的意大 利比萨斜塔,建于公 元1173年,为8层圆 柱形建筑,全部用白 色大理石砌成塔高 54.5米.

目前,它与地 面所成的较小 的角 为∠1=85?

3

2

1

5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质

复习回顾 平行线的判定方法是什么?
1、同位角相等 2、内错角相等 3、同旁内角互补

两直线平行

反过来,如果两条直线平行,同位角、 内错角、同旁内角各有什么关系呢?

交流合作,探索发现 猜一猜∠1和∠2相等吗?
a b
2 1

c

心动

不如行动

合作交流一
65°

c

1 2 65°

a

b

c

1

a

2

b

∠1=∠2

是不是任意一条直线去截平行线a、b 所得的同位角都相等呢?

性质发现
a
1 2

结论

平行线的性质1

b

两条平行线被第三条直线所截, c 同位角相等.

简写为: 两直线平行,同位角相等. 符号语言: ∵a∥b,

∴∠1=∠2.

合作交流二
如图:已知a//b,那么?2与?3相等吗? 为什么?
解∵a∥b(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行, a
3
2 1

同位角相等). b
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),

∴ ∠2=∠3(等量代换).

c

性质发现
a
1 3 2

结论

平行线的性质2

b

两条平行线被第三条直线所截, c 内错角相等.

简写为: 两直线平行,内错角相等. 符号语言: ∵a∥b,

∴∠2=∠3.

合作交流三
如图,已知a//b, 那么?2与?4有 什么关系呢? 为什么?

a b c

1 4 2

解: ∵a//b (已知), ∴? 1= ? 2(两直线平行, 同位角相等). ∵ ? 1+ ? 4=180° (邻补角定义), ∴? 2+ ? 4=180° (等量代换).

性质发现
a
1

结论

平行线的性质3

b

4 2

两条平行线被第三条直线所截, c 同旁内角互补.

简写为: 两直线平行,同旁内角互补. 符号语言: ∵a∥b,

∴? 2+ ? 4=180°.

师生互动,典例示范
例 如图,已知直线a∥b, ∠1 = 500, 求∠2的度数.
解:∵ a∥b(已知), ∴∠ 1= ∠ 2 (两直线平行,内错角相等). 又∵∠ 1 = 500 (已知), ∴∠ 2= 500 (等量代换).
2 1

c

3

a b

4

变式1:已知条件不变,求∠3,∠4的度数?

变式2:已知∠3 =∠4,∠1=47°,求∠2的度数?

解:∵ ∠3 =∠4( ∴a∥b (

) )

d

c
2 1

a
b )
4

3

又∵∠ 1 = 470 (
∴∠ 2= 470 (

)

如图在四边形ABCD中,已知AB∥CD, ∠B = 600. ①求∠C的度数; ②由已知条件能否求得∠A的度数?
解: ① ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠B + ∠C= 1800(两直线平行,同旁内角互补). 又∵ ∠B = 600 (已知), A 0 (等式的性质). ∴∠C = 120 ②根据题目的已知条件, 无法求出∠A的度数.

D

B

C

如图,在汶川大地震当中,一辆抗震救灾汽 车经过一条公路两次拐弯后,和原来的方向相 同,也就是拐弯前后的两条路互相平行.第一次 拐的角∠B等于142 0 ,第二次拐的角∠C是多少 度?为什么? C D 解: ∵AB∥CD (已知),
∴∠B=∠C (两直线平行, 内错角相等).


1420

A

B

又∵∠B=142° (已知),

∴∠B=∠C=142° (等量代换).

小明在纸上画了一个角∠A,准备用量角器测量 它的度数时,因不小心将纸片撕破,只剩下如图的一 部分,如果不能延长DC、FE的话,你能帮他设计出多 少种方法可以测出∠A的度数?
D G F

1 C

2
E

A

A

目前,它与 地面所成的 较小的角 为∠1=85? 3 2

1

思考:如果两条平行直线被第三直线 所截,那么同位角的平分线有什 么关系?请画出图形并说明理由; 内错角的平分线呢?同旁内角的 平分线呢?

小结
同位角相等 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补 性质 判定

线的关系

角的关系

区平 行 线 别 的 性 与质 和 平 联行 线 的 系判 定 方 法 的

5.3.2 命题、定理

对事情作了判断的语句是否正确?
下列语句在表述形式上,哪些是对事情作了判断?哪 些没有对事情作出判断?

1、对顶角相等;
2、画一个角等于已知角; 3、两直线平行,同位角相等; 4、a、b两条直线平行吗? 5、温柔的李明明;

6、玫瑰花是动物;
7、若a2=4,求a的值; 8、若a2=b2,则a=b。

是 否 是 否 否 是 否 是

√ √

× ×

1.定义:判断一件事情的语句叫做命题。

注意: (1)、只要对一件事情作出了判断, 不管正确与否,都是命题。
如:相等的角是对顶角。 (2)、如果一个句子没有对某一件事 情作出任何判断,那么它就不是命 题。 如:画线段AB=CD。

例1:判断下列五个语句中,哪个是 命题, 哪个不是命题?并说明理由:

1)对顶角相等吗?
2)作一条线段AB=2cm; 3)我爱初一(1)班; 4)两条直线平行,同位角相等; 5)相等的两个角,一定是对顶角;

2.命题的组成:命题是由题设(或条 件)和结论两部分组成。题设是已知 事项,结论是由已知事项推出的事项。 两直线平行, 同位角相等。

题设(条件)

结论

命题一般都写成“如果…,那么…”的形式。 “如果”后接的部分是题设, “那么”后接的部分是结论。
如命题:熊猫没有翅膀。改写为: 如果这个动物是熊猫,那么它就没有翅膀。

注意:添加“如果”、“那么”后,命题的意义不能 改变,改写的句子要完整,语句要通顺,使命题的题 设和结论更明朗,易于分辨,改写过程中,要适当增 加词语,切不可生搬硬套。

例2:把下列命题写成“如果??那么??”的形 式。并指出它的题设和结论。 1、对顶角相等; 2、内错角相等; 3、两直线被第三直线所截,同位角相等; 4、同平行于一直线的两直线平行; 5、 直角三角形的两个锐角互余; 6、等角的补角相等; 7、正数与负数的和为0。

有些命题如果题设成立,那么结论一定 成立;而有些命题题设成立时,结论不 一定成立。
如命题:“如果一个数能被4整除,那么它也能被 2整除”就是一个正确的命题。 如命题:“如果两个角互补,那么它们是邻补角” 就是一个错误的命题。

4.正确的命题叫真命题,错误的命题 叫假命题。
确定一个命题真假的方法: 利用已有的知识,通
过观察、验证、推理、 举反例等方法。

例3:将下列的命题写成“如果….., 那么.….. ”的形式,并判断它的真假。
1)等角的余角相等; 2)内错角相等,两直线平行; 3)有理数一定是自然数; 4)两条直线平行,同位角相等;

5)相等的两个角,一定是对顶角;

5、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作 为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理。 6、有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是 正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做 定理。

公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。

练习1:下列语句是不是命题?是用 “√”,不是用“× 表示。
2)两条直线相交,有且只有一个交点( √ ) 3)不相等的两个角不是对顶角( √ ) 4)一个平角的度数是180度( √ ) 5)相等的两个角是对顶角( √ ) 6)取线段AB的中点C;( × ) 7)画两条相等的线段( × )

1)长度相等的两条线段是相等的线段吗?(×)

2:判断下列命题的真假。真的用“√”, 假的用“× 表示。
1)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直( ) √ 2)一个角的补角大于这个角( × ) 3)相等的两个角是对顶角( × ) 4)两点可以确定一条直线( √ ) 5)若A=B,则2A = 2B( √ ) 6)锐角和钝角互为补角( × ) 7)两点之间线段最短( √ ) 8)同角的余角相等(√ ) 9)同旁内角互补( × )

3.下列句子哪些是命题?是命题的,指出 是真命题还是假命题?
1、猪有四只脚; 是 2、内错角相等; 是 3、画一条直线; 否 4、四边形是正方形; 是 5、你的作业做完了吗? 否 6、同位角相等,两直线平行; 是 7、对顶角相等; 是 8、同垂直于一直线的两直线平行;是 9、过点P画线段MN的垂线; 否 10、x>2 否

真命题 假命题
假命题 真命题 真命题 假命题

公理举例: 1、直线公理:经过两点有且只有一条直线。 2、线段公理:两点的所有连线中,线段最短。 3、平行公理:经过直线外一点,有且只有一 条直线与已知直线平行。

4、平行线判定公理: 同位角相等,两直线平行。
5、平行线性质公理: 两直线平行,同位角相等。

定理举例: 1、补角的性质:

同角或等角的补角相等。

2、余角的性质:

同角或等角的余角相等。

3、对顶角的性质:对顶角相等。

4、垂线的性质:

①过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直; ②垂线段最短。

5、平行公理的推论: 如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直 线也互相平行。

定理举例: 6、平行线的判定定理: 内错角相等,两直线平行。 同旁内角互补,两直线平行。 7、平行线的性质定理: 两直线平行,内错角相等。 两直线平行,同旁内角互补。

课堂小结
1、命题:判断一件事情的语句叫命题。 (1)正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题。 (2)命题的结构:命题由题设和结论两部分构成,常 可写成“如果?,那么?”的形式。 2、公理:人们长期以来在实践中总结出来的,并作为判断其他 命题真假的根据的命题,叫做公理。 3、定理:经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推 理的依据。 4、判断一个命题是真命题,可以从公理或定理出发,用逻辑推 理的方法证明(公理和定理都是真命题); 判断一个命题是假命题,只要举出一个例子,说明该命题不 成立就可以了,这种方法称为举反例。


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