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25.5.3直线与圆的位置关系


▲复习
切线的判定定理: 过半径的外端点 必具两个条件:_______, 垂直于这条半径 __________。 连半径,证垂直 常添的辅助线是_________, 作垂直,证半径 _________。 圆的切线垂直于过切点的半径 切线的性质定理:_________ 有切线,连半径,得垂直 常添辅助线:___________。

如图:经过⊙O上一点P,作直线与已知圆相切,如何 作?能够作几条?

· ·
O

过圆上一点 P 作已知圆的 切线只能作 一条

作法:

1.连接OP 2.过点P作直线L⊥OP

则直线L为所求直线

如图:经过⊙O外一点P,作直线与已知圆相切,如何 作?能够作几条? A

过圆外一点 作已知圆的 切线可以作 二条

·
O

·P

作法:1.连接OP 2.以OP为直径作圆,设次圆交⊙O于点A,B 3.连接PA,PB ,则直线PA,PB为所求直线

B

A

如图:过⊙O外一点P 有两条直线PA、PB与 ⊙O相切.

O

P

从圆外一点能够作圆的两 条切线,切线上这一点和 B 切点间的线段长,叫做这 点到圆的切线长. 切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,两切线 长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 可证得︰平分切点所成的两弧;垂直平分切点所成的弦.

例1

已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点. 直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C. (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形.

(3)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.

解: (1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB , △ACP≌△BCP. E (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中,由勾股定理,得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2
解得 x = 3 cm 所以,半径 OA 的长为 3 cm. O

A C D P

B

例2

已知,如图,四边形ABCD的边AB,BC, CD, DA 和⊙O 分别相切于E,F,G,H.求证:AB+CD=AD+BC

证明: 因为AB,BC, CD, DA 都与⊙O相切,E,F,G,H分别
是切点 ∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH H D G 即 AB+CD=AD+BC C F

·
O A E

注:四边形内切于圆时四 边形对边之和相等

B

1.已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切 点, ∠APB=600,若点C是 ⊙O 上异于点 A、B的任意一点, 交 AB 于 C.求∠ACB的大小.

课本p39第3题
A O·
B 如图(2) ∠ACB=1200

A



B

P

P ·C

如图(1) ∠ACB=600

2.已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B是 切点, OP交AB于点D,交⊙O 于点C,AD= 2 3 ,DC=2
求: ⊙O的半径及PA,PC的长

课本p40第9题
A
P C D B

O

3.已知,如图,AB,CD是⊙O的两条平行切线,A,C是切点, ⊙O 的另一条切线BD与AB,CD分别相交于B,D两点. 求证:BO⊥OD

课本p40第10题
A B

·
O

C

D

4.已知,如图,点P在⊙O外,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切 点.BC是直径,连接CA,求证:CA//OP 课本p40第11题
C

A

·
O

P B


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