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福建省福州一中2015届高三5月质量检测试卷数学(理) Word版含答案


福州一中 2014-2015 学年高三校质检试卷



S3 ? S 2 的值为 S5 ? S3
B. 3 C. ? 2 D. ? 3


共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s=


r />数



A. 2

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),第 II 卷第 21 题为选考题,其他题为必考题.本试卷

5.下列判断不正确的是 A.若 ? ~ B(4,0.25) ,则 E? ? 1
2 B.命题“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ?0”

锥体体积公式 V=

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

1 Sh 3

C.从匀速传递的产品生产线上,检查人员每隔 5 分钟从中抽出一件产品检查,这样的抽样是系统抽 样 D.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 这组数据的中位数与众数相等 6.函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 的函数为奇函数,则函数 f ? x ? 的图象 A.关于点 ? C.关于点 (

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

? ?

??

? ? 的最小正周期是 ? ,若其图象向右平移 6 个单位后得到 2?

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题
合题目要求的.

共 50 分)

?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

B.关于直线 x ? D.关于直线 x ?

?
12

对称

?
6

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

,0) 对称

?
6

对称

1.设全集 U ? R , M ? {x | x( x ? 3) ? 0} , N ? {x | x ? ?1} ,则图中阴 影部分表示的集合为 A. {x | ?3 ? x ? 0} C. {x | x ? ?3} 2.若 B. {x | x ? ?1} D. {x | ?1 ? x ? 0} (第 1 题图)

?x ? y ? 4 ? 0 ? 2 7.设点( a, b )是区域 ? x ? 0 内的任意一点,则函数 f ( x) ? ax ? 4bx ?1 在区间 [1, ??) 上是 ?y ? 0 ?
增函数的概率为 A.

a 1? i ? ( i 为虚数单位) ,则 a 的值为 1? i i
B. ? i C. ? 2 i D. 2i

1 4

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 2

A. i

8.如图,在棱长均为 2 的四棱锥 P ? ABCD 中,点 E 为 PC 的中点,则下列命题正确的是( ) A. BE ∥平面 PAD ,且直线 BE 到平面 PAD 的距离为 3 B. BE ∥平面 PAD ,且直线 BE 到平面 PAD 的距离为

3.设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y ? ?

1 x ,则该双曲线的离心率等于 2 5 D. 4

A. 5

B. 5

5 C. 2

2 6 3
第 8 题图

4.已知公差不为 0 的等差数列 {an } 满足 a1 , a3 , a4 成等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,

C. BE 与平面 PAD 不平行,且直线 BE 与平面 PAD 所成的角大于 30 D. BE 与平面 PAD 不平行,且直线 BE 与平面 PAD 所成的角小于 30
1

9.称 d (a, b) ?| a ? b | 为两个向量 a, b 间的“距离”.若向量 a, b 满足: ① | b |? 1 ; ②a ? b; ③对任意的 t ? R ,恒有 d (a, tb) ? d (a, b) .

①对于任意 x0 ? R ,总存在 f i ( x ) , f j ( x ) ({i , j } ? 1,2,3}) ,使得 fi (x0) f j (x0) ?0; ?{ ②对于任意 x0 ? R ,总存在 f i ( x ) , f j ( x ) ({i , j } ? 1,2,3}) ,使得 fi (x0) f j (x0) ?0; ?{ ③对于任意的函数 f i ( x ) , f j ( x ) ({i , j } ? 1,2,3}) ,总存在 x0 ? R ,使得 fi (x0) f j (x0) ?0; ?{

则以下结论一定成立的是 A. a ? b B. b ? (a ? b) C. a ? (a ? b) D. (a ? b) ? (a ? b)

④对于任意的函数 f i ( x ) , f j ( x ) ({i , j } ? 1,2,3}) ,总存在 x0 ? R ,使得 fi (x0) f j (x0) ?0. ?{ 其中正确结论的序号是 . (填上你认为正确的所有答案序号)

10.已知抛物线 M : y 2 = 4 x ,圆 N : ( x ? 1)2 ? y 2 ? r 2 (其中 r 为常数, r ? 0 ).过点 (1, 0) 的直 线 l 交圆 N 于 C 、 D 两点,交抛物线 M 于 A 、 B 两点,且满足 AC ? BD 的直线 l 有且只有三条的 必要条件是 A. r ? (0,1] B. r ? (1, 2] C. r ? ( , 4)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)

3 2

D. r ? [ , ??)

3 2

甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人 5 次测试的成绩(单位: 分)如下表: 第1次
甲 乙 58 65

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

第2次
55 82

第3次
76 87

第4次
92 85

第5次
88 95

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置.

? f ( x ? 4), x ? 0 ? , 则f (2012) ? 11.若 f ( x) ? ? ? 4 cos tdt , x ? 0 ? ? ?x

开 始


k=1,S=0 否

(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算) ; (Ⅱ)若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中,90 分以上 的个数为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望 EX .

k≤5?

12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为 13.在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时



是 S=S+ 2
?k

17. (本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,设 AC 与 BD
0 相交于点 O ,若 ?DAB ? ?DBF ? 60 ,且 FA ? FC .

该物体位于 P 点,一分钟后,其位置在 Q 点,且 ?POQ ? 90 , 再过两分钟后,该物体位于 R 点,且 ?QOR ? 30 , 则 tan ?OPQ 的值为 .

k=k+1

E F

输出 S 结 束 (第 12 题图)

(Ⅰ)求证: FC ∥ ∥平面 EAD ; (Ⅱ)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值. D O (第 17 题图) A B

C

14.在 ( x ? 2) 于

2015

的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S ,则当 x ? 2 时, S 等 .

18. (本小题满分 13 分) 设 m ? R ,函数 f ( x) ? cos x(m sin x ? cos x) ? cos (
2

?

? x) ,且 f (? ) ? f (0) . 2 3

?

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递减区间; 15.已知 a 为 [0,1] 上的任意实数,函数 f1(x) ? x ? a , f 2 ( x) ? ? x ? 1 , f3(x) ??x ? x .
2

3

2

(Ⅱ)设锐角△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,

则以下结论:
2

a 2 ? c2 ? b2 c 且 2 ,求 f ( A) 的取值范围. ? 2 2 2a ? c a ?b ?c
19. (本小题满分 13 分) 已知 A(?2, 0) , B(2, 0) 为椭圆 C 的左、右顶点, F 为其右焦点, P 是椭圆 C 上异 于 A , B 的动点,且 ?APB 面积的最大值为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D ,当直线 AP 绕点 A 转动时,试判断以 BD 为直径的 圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明. 20. (本小题满分 14 分)

? ? 2 2 sin( ??

?
4

).

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 和曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 AB 的长.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知正数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 6 . (Ⅰ)求 a ? 2b ? c 的最大值 M ;
2 2 2

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若不等式 x ? 1 ? | x ? m |? M 恒成立,求实数 m 的取值范围.

x?3 , g ( x) ? x ? ln( x ? p) . x2 ? 1 1 1 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的图象在点 ( , f ( )) 处的切线方程; 3 3
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)判断函数 g ( x) 的零点个数,并说明理由; ( Ⅲ ) 已 知 数 列 {an } 满 足 : 0 ? an ? 3 , n ? N , 且 3(a1 ? a2 ?
*

.若不等式 ? a2 0 1 5 ) ? 2015

f (a 1 )? f ( a 2 )?

在 ? f (a ) x ? ( p, ??) 时恒成立,求实数 p 的最小值. 2 0 1 5 )? g ( x

21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做, 则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号 填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

? a 1? ?1 ? ? 的一个特征值 1 所对应的特征向量为 ? ? . ? b 1? ?0?
2 2

(Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵; (Ⅱ)求曲线 C : x ? 2 xy ? 2 y ? 1在矩阵 M 对应变换作用下得到的新的曲线方程.

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ( t 为参数) .在极坐标系(与直角坐标系 y ? 1 ? 2 t ?

xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的极坐标方程为
3

福州一中 2014-2015 学年高三校质检理科数学参考答案
一、选择题:

P( X ? 2) ?

1 1 ,???????10 分 ? 1 C C5 25
1 5

随机变量 X 的分布列是:

题号
答案

1
D

2
C

3
C

4
A

5
D

6
B

7
C

8
D

9
B

10
D

X
P

0 16 25

1 8 25

2 1 25

二、填空题: 11.

16 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? .???????????????????13 分 25 25 25 5 17.(I)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD ∥ BC , DE ∥ BF . EX ? 0 ?
因为 AD ? 平面FBC , DE ? 平面FBC , 所以 AD ∥ 平面FBC , DE ∥ 平面FBC ???????????????????2 分 又 AD ? DE ? D , AD ? 平面EAD , DE ? 平面EAD ,

2 2

12.

31 32

13.

2 3 3

14.

24029

15. ①④

选择题 10 简解:依题意可设直线 l : x ? my ? 1 , ( 1 )代入 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4 my ? 4 ? 0 ,△
2 2 2 2 = 16(m ? 1) ,把(1)代入 ( x ? 1) ? y ? r 得 y ?
2

r , 1 ? m2

2

所以 平面FBC ∥ 平面EAD 又 FC ? 平面FBC , 所以 FC ∥ 平面EAD ????????????????????????????4 分 (II)连接 FO 、 FD ,因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60 ,
0

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) ,

| AC |?| BD | ,即 | y1 ? y3 |?| y2 ? y4 | ,
若 y1 ? y3 ? ?( y2 ? y4 ) ,则 y1 ? y2 ? y3 ? y4 , m ? 0 . 若 y1 ? y3 ? y2 ? y4 ,则 y1 ? y2 ? y3 ? y4 ,即 4 m ? 1 ?
2

2r m2 ? 1



所以 ?DBF 为等边三角形, 因为 O 为 BD 中点.所以 FO ? BD , 又因为 O 为 AC 中点,且 FA ? FC , 所以 AC ? FO 又 AC ? BD ? O ,所以 FO ? 平面ABCD ??????????????????6 分 由 OA, OB, OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 均成绩大
0 设 AB ? 2 ,因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60 ,

即 r ? 2(m ? 1) ,故当 r ? 2 时, l 有三条.从而本题应该选 D.
2

三、解答题: 16.解: (Ⅰ)茎叶图如右图所示,由图可知,乙的平 于甲的平均成绩,且乙的方差小于甲的方差,因此应选 更好. ?????? 5 分 甲 5 8 5 6 6
1 1 1 C4 C4 16 2C4 8 , , P( X ? 0) ? 1 1 ? P( X ? 1) ? 1 1 ? C5C5 25 C5C5 25

z E F



派乙参赛

则 BD ? 2 , OB ? 1 , OA ? OF ? 3 ,所以

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1, 2 . 8 2

5

O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), F (0,0, 3) ?8 分
所以 CF ? ( 3 ,0, 3 ), CB ? ( 3 ,1,0) 设平面 BFC 的一个法向量 x
4
? ?

7 8 9 2 5 7 5

D O A B y

C

? ? ? ? 3x ? 3z ? 0 ?n? CF ? 0 为 n ? ( x, y, z ) ,则有 ?? ? ,所以 ? , 3 x ? y ? 0 ? ? ? n? CB ? 0
?

令 x ? 1 ,则 n ? (1,? 3 ,?1) ?????????????????????????10 分 因为 BD ? 平面AFC ,所以平面 AFC 的一个法向量为 OB ? (0,1,0) . 因为二面角 A ? FC ? B 为锐二面角,设二面角的平面角为 ? ,
? ? ? ?
?

?

1 ? ? 2a ? b ? 2 3, ? 2 由题意知 ? a ? 2, 解得 b ? 3 , c ? 1 . ? 2 ? a ? b2 ? c2 .
x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????????4 分 4 3

故椭圆 C 的方程为

则 cos? ? cos ? n , OB ? ?

n? OB
?

?

?

? 3 5

?

n ? OB

15 . 5

(Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.???????????????????5 分 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .

所以二面角 A ? FC ? B 的余弦值为

15 ???????????????????13 分 5

m 2 18.解: (I) f ( x) ? cos x(m sin x ? cos x) ? cos ( ? x) ? sin 2 x ? cos 2 x ????2 分 2 2
由 f (?

?

?
3

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
A O

y P

D E F B x

) ? f (0) 得: ?

3m 1 ? ? ?1 ,∴ m ? 2 3 ?????????????4 分 4 2

∴ f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ?????????????????5 分 6 ? ? 3 ? 5 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? 得: k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z 2 6 2 3 6 ? 5 ∴ f ( x) 的单调递减区间为: [k? ? , k? ? ? ] , k ? Z ????????????7 分 3 6

?

设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ?

16k ? 12 . 3 ? 4k 2
2

所以 x0 ?

12k 6 ? 8k 2 , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

???????????8 分

因为点 F 坐标为 (1, 0) , 当k ? ?

2ac cos B c cos B c a 2 ? c2 ? b2 c (II)∵ 2 ,由余弦定理得: , ? ? ? 2 2 2a ? c 2ab cos C b cos C 2a ? c a ?b ?c
???????????????????????????????????8 分 即 2a cos B ? c cos B ? b cos C ,由正弦定理得: 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ,

1 3 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) . 2 2

2 2 直线 PF ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2) ? ( y 1) ? 1 与直线 PF 相切.

???????????????????????????????????9 分 当k ? ?

1 ? 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A , cos B ? ,∴ B ? ??????????11 分 2 3 ? ? ? ? 5? ∵△ ABC 锐角三角形,∴ ? A ? , ? 2 A ? ? ??????????12 分 6 2 6 6 6
∴ f ( A) ? 2sin(2 A ?

1 y0 4k ? 时,则直线 PF 的斜率 k PF ? . 2 x0 ? 1 1 ? 4k 2 4k ( x ? 1) .???????????????10 分 1 ? 4k 2

所以直线 PF 的方程为 y ?

?

6

) 的取值范围为 (1, 2] . ????????????????13 分

x2 y 2 19.解: (Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , F (c, 0) . a b
5

点 E 到直线 PF 的距离 d ?

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 (1 ? 4k 2 ) 2

2k ? 8k 3 1 ? 4k 2 ? ? 2 | k |. 1 ? 4k 2 |1 ? 4k 2 |

知 g ( x ) 在 ( p, p ? 1) 有且只有一个零点, g ( x ) 在 ( p ? 1, ??) 有且只有一个零点, 所以 p ? ?1 时, g ( x ) 的零点个数为 2. 综上所述, 当 p ? ?1 时, g ( x ) 的零点个数为 2; p ? ?1 时, g ( x ) 的零点个数为 1; p ? ?1 时, g ( x ) 的零点个数为 0. ?????????????????????????9 分 (Ⅲ)

1 又因为 | BD |? 4 | k | ,所以 d ? | BD | . 2 故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.???13 分

3( a1 ? a2 ?

? a2015 ) ? 2015, 当 a1 ? a2 ?

(1 ? x2 ) ? 2 x( x ? 3) ? x 2 ? 6 x ? 1 ? 20. 解:(Ⅰ) f '( x) ? ,???????????1 分 (1 ? x2 )2 (1 ? x2 )2
1 ? ? 2 ?1 1 9 1 ? f '( ) ? 9 ? ? ,又 f ( ) ? 3 , 1 3 10 3 (1 ? )2 9
所以函数 f ( x ) 在 x ?

1 1 ? a2015 ? 时,有 f ( ) ? 3 . 3 3

所以 f ( a1 ) ? f ( a2 ) ?

1 ? f ( a2015 ) ? 2015 ? f ( ) ? 6045 .?????????10 分 3

接下来证明: f ( a1 ) ? f ( a2 ) ? 由(I)知,函数 f ( x) ?

? f ( a2015 ) ? 6045 .

1 9 33 3? x x? . 在 x ? 的切线方程为 y ? ? 2 3 10 10 1? x

1 9 1 的切线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? ) , 3 10 3

即y??

9 33 x ? .??????????????????????????4 分 10 10

3? x 9 33 1 ?? x? ? ( x ? 3)( x ? ) 2 ? 0 成立. 2 1? x 10 10 3 9 33 3 ? (11 ? 3an ) ??????12 分 所以,当 0 ? an ? 3, n ? N ? 时,有 f (an ) ? ? an ? 10 10 10
而当 0 ? x ? 3 时, f ( x) ? 所以, f ( a1 ) ? f ( a2 ) ?

(Ⅱ)

1 x ? p ?1 g '( x) ? 1 ? ? ( x ? p) x? p x? p

? f ( a2015 ) ?

3 [11? 2015 ? 3( a1 ? a2 ? 10

? a2015 )] ? 6045,

当 x ? ( p, p ? 1) 时, g '( x) ? 0, 所以 g ( x ) 在 ( p, p ? 1) 单调递减; 当 x ? ( p ? 1, ??) 时, g '( x) ? 0, 所以 g ( x ) 在 ( p, p ? 1) 单调递增; 所以 x ? p ? 1 时, gmin ( x) ? g ( p ? 1) ? p ? 1 .?????????????????5 分 ①当 p ? 1 ? 0 ,即 p ? ?1 时, g ( x ) 的零点个数为 0; ②当 p ? 1 ? 0 ,即 p ? ?1 时, g ( x ) 的零点个数为 1; ③当 p ? 1 ? 0 即 p ? ?1 时,此时 g ( p ? 1) ? 0 , g (0) ? ? ln(? p) ? 0 ,

所以,当 a1 ? a2 ?

1 ? a2015 ? 时, f ( a1 ) ? f ( a2 ) ? 3

? f ( a2015 ) 的最大值为 6045 .

再由(II)知, gmin ( x) ? p ?1, ? 6045 ? p ? 1, 得 p ? 6044. 所以 p 的最小值为 6044 .???????????????????????14 分

21.解: (1) (Ⅰ)依题意, ?

? a 1??1 ? ?1 ? ? a ? ?1 ? ?? ? ? 1? ? ? , ? ? ? ? ? ,所以 a ? 1 , b ? 0 .?2 分 ? b 1?? 0 ? ? 0? ?b ? ? 0?

所以 M ? ?

? 1 1? ?1 ?1? ?1 ? .因为 det M ? 1 ,所以 M ? ? ? .????????????4 分 ? 0 1? ?0 1 ?
2 2

g ( p ? e p ) ? p ? e p ? ln e p ? e p ? 0 (或 x ? p, g ( x) ? ?? )
因为 g ( x ) 在定义域上连续,由零点存在定理及 g ( x ) 的单调性,
6

(Ⅱ)曲线 C : x ? 2 xy ? 2 y ? 1上任意一点 ( x, y ) 在矩阵 M 对应变换作用下

得到 ( x' , y ' ) ,则 ?

? x ' ? ?1 1?? x ? ? x' ? x ? y ? x ? x' ? y ' ? ? ? ,得 ,即 , ? ' ? ' ? y' ? ? ? 0 1?? y ? y ? y y ? y ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

代入方程 x2 ? 2 xy ? 2 y 2 ? 1得 ( x' )2 ? ( y' )2 ? 1 . 因此,曲线 C 在矩阵 M 对应变换作用下得到的新的曲线方程为 x 2 ? y 2 ? 1.????7 分 (2) (Ⅰ)由 ?

?x ? t ,得直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 1 ? 0 .??????2 分 ? y ? 1 ? 2t

由 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ,得 ? ? 2 2(sin ? cos

?

? cos ? sin ) ? 2sin ? ? 2 cos ? , 4 4

?

? 2 ? 2? sin ? ? 2? cos? ,得曲线 C 的直角坐标方程为: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 .??4 分
(Ⅱ)圆心 (1,1) 到直线 l 的距离 d ?

| 2 ?1 ?1 ? 1| 22 ? 12

?

2 5 ,圆的半径 R ? 2 , 5

| AB |? 2 R 2 ? d 2 ? 2 2 ?

4 2 30 .????????????????????7 分 ? 5 5

(3) (Ⅰ )由柯西不等式, (a2 ? b2 ? c2 )(12 ? 22 ? 12 ) ? (a ? 2b ? c)2 , 即有 (a ? 2b ? c) ? 36 ,??????????????????????????2 分
2

又 a 、 b 、 c 是正数,

? a ? 2b ? c ? 6 即 a ? 2b ? c 的最大值为 6, a b c 当且仅当 ? ? ,即当 a ? c ? 1, b ? 2 时取得最大值.???????????4 分 1 2 1 (Ⅱ )因为 x ?1 ? | x ? m |?| x ?1? ( x ? m) |?| m ?1| ,
由题意及(Ⅰ )得, m ?1 ? 6 ,得 m ? 7 或 m ? ?5 . 综上,实数 m 的取值范围为 m ? 7 或 m ? ?5 .?????????????????7 分

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