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历年数列高考题及答案


1. (福建卷)已知等差数列 A.15 B.30 C.31

{a n } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12的值是(
D.64



{a } 2. (湖南卷)已知数列 n 满足
B. ?

a1 ? 0, a n ?1 ?

an

? 3 3a n ? 1

(n ? N * )
,则

a 20 = (



A.0

3

3 C. 3 D. 2
)

3. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5=( ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ) (D) a1a8 ? a4a5 ) ( D )189

4. (全国卷 II) 如果数列 (A) a1 ? a8 ? a4 ? a5

? an ? 是等差数列,则(

(B) a1 ? a8 ? a4 ? a5

(C) a1 ? a8 ? a4 ? a5

5. (全国卷 II) 11 如果 a1, a2 ,?, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( (A) a1a8 ? a4a5 6. (山东卷) (A)667 (B) a1a8 ? a4a5 (C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4a5

?an ? 是首项 a1 =1,公差为 d =3 的等差数列,如果 an =2005,则序号 n 等于(
(B)668 (C)669 (D)670

)

7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正 方体上底面各边的中点。 已知最底层正方体的棱长为 2, 且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39, 则该塔形中正方体的个数至少是( (A) 4; (B) 5; ) (D) 7。 .

(C) 6;

8.(湖北卷) 设等比数列

{a n } 的公比为 q, n 项和为 Sn, Sn+1,Sn, 成等差数列, q 的值为 前 若 Sn+2 则

27 8 9. (全国卷 II) 在 3 和 2 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______
10. (上海)12、用 n 个不同的实数 对第 i 行

a1 , a2 ,?, an

可得到 n! 个不同的排列,每个排列为一行写成一个 n! 行的数阵。

ai1 , ai 2 ,?, ain

,记

bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai3 ? ?(?1) n nain , i ? 1,2,3,?, n!。例如:用 1,2,3 可得数阵
b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ?12 ? 3 ?12 ? ?24
,那么,在

如图,由于此数阵中每一列各数之和都是 12,所以, 用 1,2,3,4,5 形成的数阵中,

b1 ? b2 ? ? ? b120

=_______。

n ? 11. (天津卷)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 an?2 ? an ? 1? (?1) (n ? N ),



S100 =

___.

? 1 ? 2 an ? an ?1 ? ? 1 ?a ? 1 ? n 4 ? 12. 北京卷) ( 设数列{an}的首项 a1=a≠ 4 , 且
(I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)求 n??

n为 偶数 n为 奇数
bn ? a2 n ?1 ? 1 4, n==l, 3, 2, …·.

, 记

lim(b1 ? b2 ? b3 ??? bn )



13.(北京卷)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, (I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II)

an ?1 ?

1 Sn 3 ,n=1,2,3,……,求

a2 ? a4 ? a6 ??? a2n 的值.
a n }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列.

14. (福建卷)已知{ (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ 理由.

bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明

1 a 15. (福建卷)已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+ n 我们知道当 a 取不同的值时,得到不同的数列,如当 a=1
3 5 1 1 1,2, , , ?;当a ? ? 时, 得到有穷数列 : ? ,?1,0. 2 3 2 2 时,得到无穷数列:
(Ⅰ)求当 a 为何值时 a4=0;

1 (n ? N ? ) b ?1 (Ⅱ)设数列{bn}满足 b1=-1, bn+1= n ,求证 a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷

数列{an};

3 ? a n ? 2( n ? 4 ) (Ⅲ)若 2 ,求 a 的取值范围.
16. (湖北卷)设数列 (Ⅰ)求数列

{a n } 的前 n 项和为 Sn=2n2, {bn }为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a 2 ? a1 ) ? b1 .

{a n } 和 {bn }的通项公式;

(Ⅱ)设

cn ?

an bn ,求数列 {c n }的前 n 项和 Tn.
{log2 (a n ? 1)}n ? N * )
为等差数列,且

17. (湖南卷)已知数列 (Ⅰ)求数列

a1 ? 3, a3 ? 9.

{a n } 的通项公式;

1 1 1 ? ? ?? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an (Ⅱ)证明
18. (江苏卷)设数列{an}的前项和为

S n ,已知 a1=1, a2=6, a3=11,且 (5n ? 8)Sn?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B ,

n ? 1,2,3,?, 其中 A,B 为常数.
(Ⅰ)求 A 与 B 的值; (Ⅱ)证明数列{an}为等差数列; (Ⅲ)证明不等式

5amn ? aman ? 1对任何正整数m、n都成立
1

.

19. (全国卷Ⅰ) (Ⅰ)求

a1 ? 10 10 ?a ? 2 ,前 n 项和为 S n ,且 2 S 30 ? (2 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 。 设正项等比数列 n 的首项

?a n ?的通项;
?nS n ?的前 n 项和 Tn 。 ?a n ?的公比为 q ,前 n 项和 Sn ? 0 (n ? 1,2,?)。

(Ⅱ)求

20. (全国卷Ⅰ) 设等比数列 (Ⅰ)求 的取值范围;

q

(Ⅱ)设

bn ? a n ? 2 ?

3 a n ?1 S ?b ? T T 2 ,记 n 的前 n 项和为 n ,试比较 n 与 n 的大小。

21. (全国卷 II) 已知

? an ? 是各项为不同的正数的等差数列, lga1 、 lg a2 、 lg a4 成等差数列.又

bn ?

1 a2n



n ? 1,2,3,?.

(Ⅰ) 证明

?bn ? 为等比数列;
7

(Ⅱ)

?b ? ?a ? 如果数列 n 前 3 项的和等于 24 ,求数列 n 的首项 a1 和公差 d .

数列(高考题)答案 1-7 A B C B B C C 9. (全国卷 II) 216 10. (上海)-1080 11. (天津卷)2600

8. (湖北卷)-2

1 1 1 1 1 12.(北京卷)解: (I)a2=a1+ 4 =a+ 4 ,a3= 2 a2= 2 a+ 8 ; 1 1 3 1 1 3 (II)∵ a4=a3+ 4 = 2 a+ 8 , 所以 a5= 2 a4= 4 a+ 16 , 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 b1=a1- 4 =a- 4 , b2=a3- 4 = 2 (a- 4 ), b3=a5- 4 = 4 (a- 4 ), 1 猜想:{bn}是公比为 2 的等比数列· 1 1 1 1 1 1 证明如下: 因为 bn+1=a2n+1- 4 = 2 a2n- 4 = 2 (a2n-1- 4 )= 2 bn, (n∈N*) 1 1 所以{bn}是首项为 a- 4 , 公比为 2 的等比数列·

lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? lim
n?? n??

b1 (1 ?

(III)

1 ) 2n ? b1 ? 2(a ? 1 ) 1 1 4 1? 1? 2 2 .
1 Sn 3 ,n=1,2,3,……,得

13.(北京卷)解: (I)由 a1=1,

an ?1 ?

a2 ?

1 1 1 1 1 4 1 1 16 S1 ? a1 ? a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 3 3 3, 3 3 9, 3 3 27 ,

4 1 4 n? 2 1 1 1 an ?1 ? an ( ) an ?1 ? an ? ( Sn ? Sn ?1 ) ? an 3 (n≥2) 3 3 (n≥2) 由 ,得 ,又 a2= 3 ,所以 an= 3 3 (n≥2),

? 1 ? an ? ? 1 4 n?2 ?3 ( 3) ? ∴ 数列{an}的通项公式为

n ?1 n≥ 2


( II ) 由 ( I ) 可 知

a2 , a4 ,?, a2 n

4 1 ( )2 是首项为 3 ,公比为 3 项数为 n 的等比数列,∴

4 1 ? ( )2 n 1 3 ? 3 [( 4 )2 n ? 1] ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 a2 ? a4 ? a6 ??? a2n = 3
14. (福建卷)解: (Ⅰ)由题设

2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1q 2 ? a1 ? a1q,

?a1 ? 0,?2q 2 ? q ?1 ? 0.

1 ? q ? 1或 ? . 2
(Ⅱ)若

q ? 1, 则S n ? 2n ?

n(n ? 1) n 2 ? 3n ?1 ? . 2 2
(n ? 1)(n ? 2) ? 0. S ? bn . 2 故 n



n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ?

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n q ? ? , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4 若
n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ? (n ? 1)(n ? 10) , 4



故对于

n ? N ? ,当2 ? n ? 9时, S n ? bn ;当n ? 10时, Sn ? bn ;当n ? 11 , Sn ? bn . 时
? a1 ? a, an?1 ? 1 ? 1 , an

15. (福建卷) (I)解法一:

? a2 ? 1 ? a4 ? 1 ?

1 1 a ?1 1 2a ? 1 ? 1? ? , a3 ? 1 ? ? a1 a a a2 a ?1

1 3a ? 2 2 ? .故当 a ? ? 时a 4 ? 0. a 3 2a ? 1 3 1 ? 0,? a3 ? ?1. a3

解法二 :? a 4 ? 0,?1 ? ? a3 ? 1 ?

1 1 1 2 2 ,? a 2 ? . ? a 2 ? 1 ? ,? a ? ? .故当 a ? ? 时a 4 ? 0. a2 2 a 3 3 b 1 ,? bn ? ? 1. bn ? 1 bn ?1

( II )解法一 :? b1 ? ?1, bn ?1 ?

a取数列 {bn }中的任一个数不妨设 a ? bn . ? a ? bn ,? a 2 ? 1 ? ? a3 ? 1 ? ?? ? an ? 1 ? ? a n ?1 ? 0. 1 a n ?1 ? 1? 1 ? b1 ? ?1. b2 1 1 ? 1? ? bn ?1 . a1 bn

1 1 ? 1? ? bn ? 2 . a2 bn ?1

故 a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an}

16. (湖北卷) 解: :当 (1)

n ? 1时, a1 ? S1 ? 2;

当n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为

an ? 4n ? 2,即 an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. {
q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ?
1

设{bn}的通项公式为

1 . 4
2 4 n ?1 .



bn ? b1 q n ?1 ? 2 ?

4

n ?1

,即{bn }的通项公式为bn ?

? cn ?
(II)

an 4n ? 2 ? ? (2n ? 1)4 n?1 , 2 bn 4 n?1

?Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 43 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1) 4 n ? [(6n ? 5) 4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9
17. (湖南卷) (I)解:设等差数列 由 所以

{log2 (an ? 1)}的公差为 d.

a1 ? 3, a3 ? 9得2(log2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即 d=1.

log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1)? ? n, 即 a n ? 2 n ? 1.

1 1 1 ? n?1 ? n n a ? an a ? 2 2 , (II)证明因为 n?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? n a ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an 2 2 2 2 所以 2
1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2

18. (江苏卷) 解:(Ⅰ)由 a1 ? 1, a2 ? 6 , a3 ? 11,得 S1 ? 1 , S2 ? 2 , S3 ? 18 .

? A ? B ? ?28, ? 把 n ? 1, 2 分别代入 (5n ? 8)Sn?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B ,得 ?2 A ? B ? ?48
解得, A ? ?20 , B ? ? 8 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 5n(Sn?1 ? Sn ) ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 ,即 5nan?1 ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 , 又 5(n ?1)an?2 ? 8Sn?2 ? 2Sn?1 ? ?20(n ?1) ? 8 . ② ②-①得, 5(n ?1)an?2 ? 5nan?1 ? 8an?2 ? 2an?1 ? ?20 ,即 (5n ? 3)an?2 ? (5n ? 2)an?1 ? ?20. 又 (5n ? 2)an?3 ? (5n ? 7)an?2 ? ?20 . ④-③得, (5n ? 2)(an?3 ? 2an?2 ? an?1 ) ? 0 , ∴ an?3 ? 2an?2 ? an?1 ? 0 , ∴ an?3 ? an?2 ? an?2 ? an?1 ? ?? a3 ? a2 ? 5 ,又 a2 ? a1 ? 5 , 因此,数列 ④ ③ ①

? an ? 是首项为 1,公差为 5 的等差数列.

? (Ⅲ)由(Ⅱ)知, an ? 5n ? 4, (n ?N ) .考虑

5amn ? 5(5mn ? 4) ? 25mn ? 20 .
( am an ? 1)2 ? am an ? 2 am an ? 1 ? am an ? am ? an ? 1 ? 25mn ? 15(m ? n) ? 9





5amn ? ( am an ? 1)2 厖15(m ? n) ? 29 5amn ? ( am an ? 1) 2

15 ? 2 ? 29 ? 1 ? 0





,∴

5amn ? am an ? 1



因此,

5amn ? am an ? 1



19. (全国卷Ⅰ) 解: (Ⅰ)由 即

210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0



210 ( S 30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 ,

210 (a 21 ? a 22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 , 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ? ? a20 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 .

可得

因为

an ? 0 ,所以 2 q
10

10

? 1, 解得

q?

1 1 a n ? a1 q n ?1 ? n , n ? 1,2, ?. 2 ,因而 2

(Ⅱ)因为

{a n } 是首项

a1 ?

1 1 q? 2 、公比 2 的等比数列,故

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2
1 2 n Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ), {nSn } 的前 n 项和 2 2 2 则数列

Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ). 2 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n?1 2 2 2 2 2 2

前两式相减,得

1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n ? ? 1 4 2 n ?1 1? 2



Tn ?

n(n ? 1) 1 n ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2

20. (全国卷Ⅰ) 解: (Ⅰ)因为 当

{a n } 是等比数列, Sn ? 0,可得 1 ? S1 ? 0, q ? 0. a

q ? 1时, S n ? na1 ? 0;
a1 (1? qn ) 1 ? qn ? 0,即 ? 0,(n ? 1,2,?) 1? q 1? q

当q ? 1时, Sn ?

?1 ? q ? 0, , (n ? 1,2,?) ? n ?1 ? q ? 0 上式等价于不等式组:



?1 ? q ? 0, , ( n ? 1,2, ?) ? 1? qn ? 0 或?



解①式得 q>1;解②,由于 n 可为奇数、可为偶数,得-1<q<1. 综上,q 的取值范围是 (?1,0) ? (0,??).

3 3 3 bn ? aa ? 2 ? an ?1 bn ? an (q 2 ? q),Tn ? (q 2 ? q)S n . 2 2 2 (Ⅱ)由 得

3 1 Tn ? S n ? S n (q 2 ? q ? 1) ? Sn (q ? )(q ? 2). 2 2 于是
又∵

S n >0 且-1< q <0 或 q >0
1 2 或 q ? 2 时 Tn ? Sn ? 0 即 Tn ? Sn



?1 ? q ? ?

1 ?q?2 T ? Sn ? 0 即 Tn ? Sn 2 当 且 q ≠0 时, n ? q?? 1 2 或 q =2 时, Tn ? Sn ? 0 即 Tn ? Sn



21. (全国卷 II) (I)证明:∵ lga1 、 lg a2 、 lg a4 成等差数列 ∴2 lg a2 = lga1 + lg a4 ,即 又设等差数列 这样

a2 2 ? a1a4

?an ? 的公差为 d ,则( a1 - d ) 2 = a1 ( a1 -3 d )
,从而 d ( d -

d 2 ? a1d

a1

)=0

∵ d ≠0 ∴d =

a1

≠0



a2n ? a1 ? (2n ? 1)d ? 2n dbn ?

1 1 1 ? ? n a2n d 2



?bn ?

1 1 b 是首项为 1 = 2d ,公比为 2 的等比数列。

(II)解。∵ ∴ d =3 ∴

b1 ? b2 ? b3 ?

1 1 1 7 (1 ? ? ) ? 2d 2 4 24

a1 d = =3


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