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高考数学关键题型整理与分析:第5部分 数列与极限


第五部分 数列与极限 d 2 n ? cn ( d 为公差, n ? N ). 2 35、等差数列{ an }中,通项 an ? dn ? b ,前 n 项和 S n ? 证明某数列是等差(比)数列,通常利用等差(比)数列的定义加以证明,即证: a n?1 ? an 是常数 (n ? N ) ( an ?1 =常数, n ? N ) ,也可以证明连续三项成等差(比)数列.即对于任意 an 的自然数 n 有: an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ( an? 2 an?1 ). ? an?1 an [举例]数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ) . an ? 2 (1)求证:数列 { 1 } 是等差数列; (2)求 {an } 的通项公式. an 分析:注意是到证明数列 { a ?2 1 1 1 1 } 是等差数列,则要证明 是常数.而 , ? ? n an a n ?1 a n a n ?1 2a n 所以 1 a n ?1 ? 1 1 1 1 1 1 n ?1 ,所 ? .即数列 { } 是等差数列.又 ? 1 ,则 ? 1 ? (n ? 1) ? an a1 an 2 an 2 2 以 an ? 2 . n ?1 36、等差数列前 n 项和、次 n 项和、再后 n 项和(即连续相等项的和)仍成等差数列;等 比数列前 n 项和(和不为 0) 、次 n 项和、再后 n 项和仍成等比数列.类比还可以得出:等比 数列的前 n 项的积、次 n 项的积、再后 n 项的积仍成等比数列. [举例 1]已知数列 {an } 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, S 4 ? 8, S8 ? 20 ,则 S12 ? _; 分析:注意到 S 4 , S8 ? S 4 , S12 ? S8 是等差数列的连续 4 项的和,它们成等差数列.可以得到 S12 ? S8 ? 16 ,所以 S12 ? 36 . [举例 2]已知数列 {an } 是等比数列, Tn 是其前 n 项的积, T4 ? 5, T8 ? 20 ,则 T12 ? _. 分析:由 T4 , T8 T12 T 2 T 3 T 成等比,则 ( 8 ) ? T4 ? 12 ,所以 T12 ? ( 8 ) ? 64 . , T4 T8 T4 T8 T4 37、在等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;在等 本卷第 1 页(共 7 页) 比数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ) ,则 am ? an ? a p ? aq 等差(等比)数列 中简化运算的技巧多源于这条性质. [举例]数列 {an } 是等比数列, a4 ? a7 ? ?512 a3 ? a8 ? 124,且公比 q 为整数,则 a10 的 , 值为_______. 分析:由 a4 ? a7 ? a3 ? a8 得 ? ?a3 ? a8 ? 124 ?a3 ? 128 ?a3 ? ?4 或? ,又此数列的公比 ?? ?a8 ? 128 ?a3 ? a8 ? ?512 ?a8 ? ?4 为整数,所以 ? ?a3 ? ?4 公比 q ? ?2 ,则 a10 ? a8 q 2 ? 512. ?a8 ? 128 38、等差数列当首项 a1 ? 0 且公差 d ? 0 ,前 n 项和存在最大值.当首项 a1

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