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上海高一下期末数学复习全总结


高一下期末复习资料
板块一 指对幂函数
【知识要求】 (1)指对幂运算:指数运算、对数运算、指对互换。 1.1 对数恒等式: log a 1 ? 0 1.2 对数公式: log
M ? log

log

a

a ?1

a

log

r />a

b

? b
log log
b

a

a

N ? log

a

MN

log

a

M ? log

a

N ?

a a

M N

log

a

b

n

? n log

a

b

log

a

m

b

n

?

n m

log

a

log

a

b ?

log log
1 log

c c

b a

log

a

b ?

log
a

a

b log

b

c log

c

a ?1

b

(2)指对幂函数图像:基本初等函数图像、图像变换。 (3)指对幂函数性质:奇偶、单调、对称、周期。 【经典例题】 【例 1】 【2010 湖北文 03】已知函数 f ? x ? ? ? (1)
? ? log
3 x

x, x ? 0

2 ,x ? 0

,则 f ? f ?
?

?

? 1 ?? ?? ? ? 9 ??


A .4 B .

1 4

C .? 4

D .?

1 4

(2) 【2010 湖北文 05】函数 y ?
log
?3 ? A . ? ,1 ? ?4 ? ?3 ? B . ? , ?? ? ?4 ?
0 .5

1

?4 x ? 3 ?

的定义域为



C . ?1, ??

?

?3 ? D . ? ,1 ? ? ?1, ?? ?4 ?

?

(3) 【2010 重庆文 04】函数 y ?
A . ?0 , ??

16 ? 4

x

的值域是


D . ?0 , 4 ?

?

B . ?0 , 4 ?

C . ?0 , 4 ?
1

o 【例 2】2010 北京文 06】 【 给定函数① y ? x 2 , y ? gl ②

1 2

? x ? 1? , y ③

? x ?1 , y ? 2 ④

x ?1



其中在区间 ? 0 ,1 ? 上单调递减的函数的序号是



A .①②

B .②③

C .③④

D .①④

【例 3】 【2010 全国Ⅰ文 10 理 08】设 a ? log
A .a ? b ? c
C .c ? a ? b

3

2 , b ? ln 2 , c ? 5

?

1 2

,则



B .b ? c ? a D .c ? b ? a

板块二 三角比
【知识要求】 (1)角的定义与表示 1.1 任意角的定义:平面内由一条射线绕着其端点从初始位置(始边)旋转到终止位置(终 边)所形成的图形。 (动态的定义) 1.2 分类:正角、负角、零角;象限角、轴线角。 1.3 表示:与角 ? 终边一致的角: ?? | ? ? 360
0

?k ? ?,k ? Z

?

1.4 弧度制 1.4.1 为什么引进弧度制?:以实现角度与实数的一一对应,为三角函数“正名” 。 1.4.2 弧度制与角度制(六十进制)的互换:采用比例式互换 ? ? 180 。
0

把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 rad 。 圆心角 ? ?
1rad ? 57 . 30
0

l r

; 扇形面积 S ?

1 2

lr ?

1 2

? r 。
2

? 57 18 ; 1 ? 0 . 01745 rad 。
0 ' 0

(2)三角比的定义 2.1 三角比的定义 ①用直角三角形边之比定义锐角三角比; ..
sin ? ? a c

, cos ? ?
c b

b c

, tan ? ?

a b c a

, cot ? ?

b a



正割: sec ? ?

,余割: csc ? ?

②用终边上点的坐标定义任意角的三角比; ... 在任意角 ? 的终边上任取一点 P 。设 P 点的坐标为 ? x , y ? ,则 OP ? r ?
sin ? ? y r ? x
2

x

2

? y

2



y ? y
2

cos , ? ?

x r

? x
2

x ? y
2

tan , ? ?

y x



由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负: 一全正、二正弦(余割) 、三两切、四余弦(正割) 。 ③用单位圆上的有向线段定义任意角的三角比。 ...
sin ? ? MP ? MP , cos ? ? OM ? OM , tan ? ? AT ? AT

2.2 特殊角的三角比 ? 0 0 (0 )
sin ?

?
6

( 30 )
1 2

0

?
4

( 45 )
2 2

0

?
3

( 60 )
3 2
1

0

?
2

( 90 )
1

0

0

cos ?

1

0

3 2

2 2

2

tan ?

0

3 3
cot ?

1

不存在
3

不存在
3

1

0
3 3

速记口诀如下: 0 30 45 60 90 度,正余弦及正切值。 数字 0 1 2 3 4 ,除以 4 求算术根;

计算结果都存在,对应五角正弦值。 数字 4 3 2 1 0,除以 4 求算术根; 计算结果都存在,对应五角余弦值。 数字 0 1 2 3 4 ,数字 4 3 2 1 0, 对应相除若有商,算术根乃正切值。 (3)同角三角恒等式
sin
2

? ? cos ? ? 1
2

tan ? ?

sin ? ? ? ? ,k ? Z ? ?? ? k? ? cos ? ? 2 ?

cot ? ?

cos ? sin ?

??

? k? , k ? Z

?

k? ? ? ,k ? Z ? tan ? cot ? ? 1 ? ? ? 2 ? ?

sin ? csc ? ? 1 ?? ? k ? , k ? Z

?
?
? ,k ? Z ? 2 ?

? ? ? ,k ? Z ? cos ? sec ? ? 1 ? ? ? k ? ? 2 ? ?
1 ? cot

1 ? tan

2

? ? sec ? ? ? ? k ? ?
2

? ?

2

? ? csc ? ?? ? k ? , k ? Z ?
2

【注】 a sin ? ? b cos ? 、 sin ? cos ? 、 sin ? 、 cos ? 、 其一,其余的必可求解! (4)诱导公式 口诀:奇变偶不变,符号看象限。将所需化简的角化成 (5)两角和差展开公式
sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ?? ? ?

sin ? cos ?



cos ? sin ?

以上表达式只需知

?
2

? k ? ? 的形式,然后用口诀。

??

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

tan ?? ? ?

??

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

(6)二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos 2? ? cos

2

? ? sin ? ? 2 cos
2

2

? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?
2

tan 2 ? ?

2 tan ? 1 ? tan
2

?

半角公式
sin tan
2

?
2

? ?

1 ? cos ? 2 sin ?

cos ? 1 ? cos ? sin ?

2

?
2

?

1 ? cos ? 2

?
2

1 ? cos ?

??

? k? , k ? Z

?

(7)辅助角公式(提携公式)
a sin ? ? b cos ? ? a
2

?b

2

sin ?? ? ? ?

sin ? ? a
2

b ?b
2

, cos ? ?
a
a
2

a
2

, tan ? ?
2

b a

?b

* a cos ? ? b sin ? ?
sin ? ? a
2

?b

2

cos ?? ? ? ?

b ?b
2

, cos ? ?
a
2

a ?b
2

, tan ? ?

b a

【经典例题】 【例 4】 (1)若 ? 是第二象限角,那么
A .第一象限角

?
2



?
2

? ? 都不是
C .第三象限角


D .第四象限角

B .第二象限角
0

(2)扇形的中心角为 120 ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为



【例 5】 1) 2010 山东明天中学】 ( 【 已知角 ? 的终边过点 P ?? 8 m , ? 6 sin 30 则 m 的值为
A .?

0

? , sc 且o

? ? ?

4 5




B .?

1 2

3 2

C .

1 2

D .

3 2

(2) 【2009 重庆文 06】下列关系式中正确的是
A . sin 11
C . sin 11
0


0

? cos 10

0

? sin 168
0

0

B . sin 168 D . sin 168

? sin 11

0

? cos 10
0

0

0

? sin 168

? cos 10

0

0

? cos 10

? sin 11

0

【例 6】 【2009 山东临沂】已知 sin ? ? cos ? ? ? (1) 。

1 5

,? ? ? ?
?

?

?
2

,

? ?

? ,则 tan ? 的值是 2 ?

(2) 【2009 安徽合肥】已知 sin x ? 2 cos x ,则 sin
A.

2

x ?1?



6 5

B .

9 5

C .

4 3
0

D .

5 3

【例 7】 【2010 全国Ⅰ02】记 cos ?? 80 (1)
A.

? ? k ,那么 tan 100
C .

0

?


k 1? k
2

1? k k

2

B .?

1? k k

2

k 1? k
2

D .?

(2) 【2009 安徽皖北】若 sin ?
3 5 3 5

??

3 ? ?? ? ?? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? 5 ? 6 ? ? 3 ?



A .?

B .

C .

4 5

D .?

4 5

【例 8】 (1)已知 ? ? ? ?

?
4

,则 ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ? ?
? ?
5 ,则 cos ? ? ? ? 6 ? 13



(2)已知 ? 为锐角,且 cos ? ? ?
? ??

?



【例 9】 (1)已知 sin ?

3 ? ? x ? ? ,则 sin 2 x ? 5 ? 4 ?



(2)已知 sin ? x ?
?

?

3? ? ? ? 1 ? ? cos ? x ? ? ? ? ,则 cos 4 x ? 4 ? 4 ? 4 ?



【例 10】 【2008 四川非延考理 05】若 0 ? ? ? 2 ? , sin ? ? (1) 围是
?? ? ? A .? , ? ? 3 2 ? ? ?

3 cos ? ,则 ? 的取值范


?? ? B .? ,? ? ? 3 ? ? ? 4? ? C .? , ? ? 3 3 ? ? ? 3? ? D .? , ? ? 3 2 ?

(2)若 3 sin ? x ? 。

? ? ? 2 ? ? x ? 0 ,则 sin x ? cos x ? ? ? cos ? x ? ? ? ,且 ? 12 ? 12 ? 3 2 ?
? ?

板块三 三角函数
【知识要求】 (1)定义:一般地,形如 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的函数称为三角函数。 (2)图像

①由单位圆上的有向线段平移所得

②五点法

(3)图像变换 ①同名函数之间进行变换; ②所有变换必须针对 x 或 y ; ③左加右减, “上正下负” 。 (4)三角函数性质:奇偶、单调、周期、对称 【经典例题】 【例 11】 (1)作出函数 y ? 2 sin ? 2 x ?
? ?

? ?

? 的图像。 3 ?

(2) 【2010 江苏 10】 定义在区间 ? 0 ,
?

?

? ?

? 上的函数 y ? 6 cos x 的图像与 y ? 5 tan x 的图像的 2 ?

交点为 P ,过点 P 作 PP 1 ? x 轴于点 P1 ,直线 PP 1 与 y ? sin x 的图像交于点 P 2 ,则线段
P1 P2 的长为



【 例 12 】( 1 )【 2010 天 津 文 08 】 右 图 是 函 数
? ? 5? ? , y ? A sin ?? x ? ? ?? x ? R ? 在区间 ? ? 为了得 ? 上的图像, ? 6 6 ?

到这个函数的图像,只要将 y ? sin x ? x ? R ? 的图像上所有的点 。 (A)向左平移
?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
?
3

1 2

倍,纵坐标不变

(B) 向左平移 (C) 向左平移 (D) 向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1 2

?
6

倍,纵坐标不变

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

(2) 【2005 天津理 08】要得到 y ? 上所有的点的 A、横坐标缩短到原来的 B、横坐标缩短到原来的
1 2 1 2

2 co s x

的图像,只需将函数 y ?

? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 4 ? ?

的图像

。 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动
?
8

个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度

?
4

C、横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 D、横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动

?
4

?
8

【 例 13 】 1 ) 2010 重 庆 理 06 】 已 知 函 数 ( 【
y ? sin ? ? x ? ? ? ( ? ? 0 , ? ?

?
2

) 的部分图像如图所

示,则


?
6

A. ? ? 1 ? ? C. ? ? 2 ? ?

B. ? ? 1 ? ? ?

?
6

?
6

D. ? ? 2 ? ? ?

?
6

(2) 【2009 浙江理 08】已知 a 是实数,则函数 f ? x ? ? 1 ? a sin ax 的图像不可能是 ... 。

【例 14】1)2010 浙江理 11】 ( 【 函数 f ( x ) ? s in ( 2 x ?

?
4

)?2
2

2 s in x 的最小正周期是______。

2

(2) 【2010 北京理 15 改编】函数 f ? x ? ? 2 cos 2 x ? sin x ? 4 cos x 的最大值为______,最 小值为______。 (3) 【自编】函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x , x ? ? , ? 的值域为______。 ? 12 6 ?
?? 5? ?

【例 15】 【自编】已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 sin (1) (ⅰ)求函数的值域; (ⅱ)求函数的最小正周期; (ⅲ)求函数的单调性; (ⅳ)求函数的对称轴和对称中心;

2

x ,x ? R

(2) 【自编】下列命题
2 ①函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

? ?

? 的最小正周期是 ; 4 ? 2

?

②函数 f ? x ? ? 2 sin x cos x 在( ③函数 y ? tan ? 2 x ?
? ?

?
4



?
2

)上是递增的;

? ?

?? ? ? 的图像关于点 ? , 0 ? 中心对称; 6 ? ? 3 ?

④函数 y ? sin ? x ?
2

? ?

? ?

? ? 2? ? ? sin ? x ? ? 是奇函数。 4 ? 4 ? ?

其中正确命题的序号为



【例 16】 【2003 天津文 21】已知函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 是 R 上的 (1) 偶函数,其图像关于点 M (
3? 4 , 0 ) 对称,且在区间 [ 0 ,

?
2

] 上是单调函数。求 ? 和 ? 的值。

(2) 【2008 辽宁理 16】已知 f ( x ) ? s in ( ? x ?
(

?
3

)( ? ? 0 ), f (

?
6

)? f(

?
3

) ,且 f ( x ) 在区间

?
6

,

?
3

) 有最小值,无最大值,则 ? =__________。

板块四 反函数
【知识要求】 1.1 定义:若函数 y ? f ? x ? 的定义域为 A ,值域为 B ,对于 B 中每一个元素 y 0 在 A 中有唯 一确定的元素 x 0 与之对应,则函数 y ? f ? x ? 存在反函数,即为 y ? f 函数。 1.2 存在反函数的前提条件:一一映射。 1.3 求反函数的步骤:①求值域;②反解;③互换
?1

? x ? ,否则不存在反

1.4 互为反函数的两函数的性质: ①奇偶性:原函数奇函数,反函数奇函数;原函数偶函数,反函数一般情况下不存在,但若 为单点函数可存在反函数。 ②单调性:原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。 ③原函数与反函数关于直线 y ? x 对称。 1.5 反三角: ①反三角公式: arcsin ? ? x ? ? ? arcsin x , arccos ? ? x ? ? ? ? arccos x
arctan

?? x ? ?

? arctan x , arc cot ? ? x ? ? ? ? arc cot x

arcsin x ? arccos x ? arctan x ? arc cot x ?

?
2

sin ? arcsin x ? ? cos ? arccos x ? ? tan ? arctan x ? ? cot ? arc cot x ? ? x
? ?

当 x ? ??
? ?

?
2

,

? ?

时, 2? ?

arcsin

?sin x ? ?

x

当 x ? ?0 , ? ? 时, arccos ? cos x ? ? x

当x ? ??

?
2

,

? ?

? 时, arctan 2 ?

? tan x ? ?

x

当 x ? ? 0 , ? ? 时, arc cot ? cot x ? ? x

②反三角函数的图像和性质 名称 定 y=arcsinx 反正弦 函数 (y=sinx, x?[的反函数)
? ?



定义域

值 域
?

图 像 y x
O 1

2

,

]

[-1,1]

[-

? ?

,

] -1

2

2

2

2

5
?

?
2

反余弦 函数

y=arccosx (y=cosx, x?[0,?]的反 函数)

?
[-1,1] [0,?]

y
?
2

x
-1 O 1

5 y=arctanx 反正切 函数 (y=tanx, x?(的反函数) 【经典例题】 【例 17】 (1)函数 y ? x ? 2 x ? x ? 0 ? 的反函数为
2
?

y x

? ?

,

)

2

2

(-?,+?)

(-

? ?

2

,

)

2

2

O
?

5?
2



(2) 【1992 全国理】函数 y ?

e ? e
x

?x

的反函数为



2
A .奇函数,且在 ? 0 , ?? ? 单调递减 B .偶函数,且在 ? 0 , ?? ? 单调递 D .偶函数,且在 ? 0 , ?? ? 单调递增

C .奇函数,且在 ? 0 , ?? ? 单调递增

x (3) 【2004 全国理 15】已知函数 y ? f ? x ? 是奇函数。当 x ? 0 时, f ? x ? ? 3 ? 1 ,设 f ? x ?

的反函数是 y ? g ? x ? ,则 g ? ? 8 ? ?



sin 【例 18】 1) 2008 上海第三女子中学高一下期末试题 13】 ( 【 已知: x ? ?

1 3

,x ? ? ? ,
?

?

3? ? , 2 ? ?

则 x 等于
? 1? A . arcsin ? ? ? ? 3?


B . ? ? arcsin

1 3

C . ? ? arcsin

1 3

D . 2 ? ? arcsin

1 3

(2) 【2008 上海南模中学高一下期末试题 05】若 x ? ? ?
?

?

?
3

,

2? ? ,则 arcsin 3 ? ?

?cos x ? 的取值

范围是



板块五 解三角
【知识要求】 (1)解三角工具 1.1 解三角问题: a 、 b 、 c 、 A 、 B 、 C 、 l 、 S ,已知部分量,求解其它量的问题 1.2 解三角工具 ① A ? B ? C ? ? ,a ? b ? c ? l ②S ?
1 2 ah ? 1 2 2 ab sin C ? 1 2 a ?b?c b sin B c sin C a ?b?c sin A ? sin B ? sin C rl ? p ? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ?

r 为内切圆半径, p ?

③正弦定理:

a sin A a

?

?

? 2 R , R 为外接圆半径

变形: 1) a : b : c ? sin A : sin B : sin C 2)
? b ? 2c sin B ? 2 sin C ? ? 2R sin A

适用情况:1)两角一边;2)两边一对角 ④余弦定理: cos A ?
b
2

? c

2

? a

2

, cos B ?

a

2

?c ?b
2

2

, cos C ?

a

2

?b

2

?c

2

2 bc

2 ac

2 ab

变形: a ? b ? c ? 2 bc cos A , b ? a ? c ? 2 ac cos B , c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2 2 2 2 2 2 2

适用情况:1)三边;2)两边一夹角 ⑤三角形内的诱导公式
sin ? A ? B ? ? sin C , cos ? A ? B ? ? ? cos C , tan ? A ? B ? ? ? tan C
sin A? B 2 ? cos C 2

, cos

A? B 2

? sin

C 2

, tan

A? B 2

? cot

C 2

, cot

A? B 2

? tan

C 2

⑥三角形内的不等关系: 1)大边对大角,大角对大边; 2)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; 3) 0 ? A ? ? , 0 ? A ? B ? ? ; 4)锐角三角形 ? 任一角的余弦值大于 0 ;钝角三角形 ? 最大角的余弦值小于 0 ;
A ? A ? A ?

?
2

? cos A ? 0 ? a ? cos A ? 0 ? a ? cos A ? 0 ? a

2

? b ? b ? b

2

?c ;
2

?
2

2

2

?c ;
2

?
2

2

2

?c ;
2

5) A ? B ? C ? a ? b . ? c ? sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C ; 6)在 ? ABC 中,给定 A 、 B 的正弦或余弦值,则 C 有解的充要条件为 cos A ? cos B ? 0 。 (2)解三角思想 2.1 a 、 b 、 c 、 A 、 B 、 C 、 l 、 S , 8 个量其中知三,必可求其余量(三角除外) ; 2.2 边 ? 角,角 ? 边 【经典例题】 【例 19】 【2010 山东文 15 理 15】在 ? ABC 中,角 A 、 B 、 C 对应的边分别为 a 、 b 、 (1)
c ,若 a ?
2 , b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为



(2) 【2009 湖南文 14】在锐角 ? ABC 中, BC ? 1 , B ? 2 A ,则 , AC 的取值范围为 。

AC cos A

的值等于

( 3)在 ? ABC 中 ,下 列结论:① 若 a

2

? b

2

? c ,则此 三角形 为钝角 三角形; ②若
2

sin C ? 2 cos A sin B ,则 此三角形为等 腰三角形 ;③若 A ? B ,则 s in A ? s in B ; ④ cos A ? cos B ? 0 ,其中正确的个数为


D .4 个

A .1 个

B .2 个

C .3 个

【例 20】 【2008 浙江文 14 理 13】在 ? ABC 中,角 A 、 B 、 C 对应的边分别为 a 、 b 、 (1)
c ,若

?

3 b ? c cos A ? a cos C ,则 cos A ?

?



(2) 【2010 江苏 13】在锐角 ? ABC 中,角 A 、 B 、 C 对应的边分别为 a 、 b 、 c ,若
b a ? a b ? 6 cos C ,则 tan C tan A ? tan C tan B

的值是



【例 21】 【2010 陕西理 17】如图, A , B 是海面上位于东西方 向相距 5 ?3 ?
3 海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45 ,
0

?

0

B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南
0 偏西 60 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营

救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长 时间?

板块六 方程
【知识要求】 (1) “8”字环思想 【经典例题】 【例 22】 【2009 闸北高一下期末考试】已知函数 f ( x ) ? (1)求方程 f ( x ) ? 0 的所有解; (2)若方程 f ( x ) ? a 在 x ? [ 0 ,
?
3 ] 范围内有两个不同的解,求实数 a 的取值范围。 sin 2 x ? co s 2 x ? 1 2 co s x



x 【例 23】 1) 2010 浙江文 09】 ( 【 已知 x 0 是函数 f ? x ? ? 2 ?

1 1? x

的一个零点。 x 1 ? ?1, x 0 ? , 若

x 2 ? ? x 0 , ?? ? ,则
A . f ? x1 ? ? 0 , f ? x 2 ? ? 0


B . f ? x1 ? ? 0 , f ? x 2 ? ? 0 D . f ? x1 ? ? 0 , f ? x 2 ? ? 0

C . f ? x1 ? ? 0 , f ? x 2 ? ? 0

(2) 【2010 上海文 17】若 x 0 是方程 lg x ? x ? 2 的解,则 x 0 属于区间
A . ? 0 ,1 ? B . ?1,1 . 25 ? D . ?1 . 75 , 2 ?



C . ?1 . 25 ,1 . 75 ?

板块七 数列通论
【知识要求】 1.1 定义 1)定义:按照一定次序排列起来的一列数。 【注】数列是一个定义域为正整数集 N ? (或它的有限子集 ?1, 2 , 3 , ? , n ? )的特殊函数。 2)通项公式:数列的第 n 项 a n 与 n 之间的关系。即 a n ? f ? n ? , n ? N 。
*

3)前 n 项和: S n ?

?
i ?1

n

a i 。前 n 项和也可写成关于 n 的函数,即 S n ? f ? n ? , n ? N 。
*

4)递推公式:已知数列的第 1 项(或前几项) ,且从第二项(或某一项)开始的任一项 a n 与 它的前一项 a n ? 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,此公式即为递推公式。 【注】通项公式、前 n 项和以及递推公式(包括第 1 项或前几项)都是给出数列的方式。 1.2 表示 1)列举;2)解析(通项、前 n 项和、递推三种形式) ;3)图像(孤立的点(离散的点); ) 1.3 分类 1)有穷数列、无穷数列; 2)递增数列、递减数列、摆动数列、常数列; 3)有界数列、无界数列。 1.4 等差数列 1) 定 义 : 从 第 2 项 起 , 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 都 等 于 同 一 个 常 数 的 数 列 。 即
a n ? a n ?1 ? d n ? N , n ? 2 。
*

?

?

【注】证明等差数列的两种方法: ① a n ? a n ?1 ? d ?n ? N , n ? 2 ? ;② a n ? 1 ? a n ? a n ? a n ? 1 ?n ? N , n ? 2 ? 。
*
*

2) 通项公式: a n ? a 1 ? ? n ? 1 ?d , n ? N (累加)
*

3) 前 n 项和: S n ?

n ?a 1 ? a n 2

?

? na 1 ?

n ?n ? 1? 2

d , n ? N (倒序相加)
*

4) a 1 、 a n 、 n 、 d 、 S n 中知三求二。 1.5 等比数列 1)定义:从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即
an a n ?1 ? q

?q ? 0 , n ? N
an a n ?1

*

,n ? 2

? ?
a n ?1 an
*

【注】证明等比数列的两种方法: ①
? q

?q ? 0 , n ? N
n ?1

*

, n ? 2 ;②

?

an a n ?1

?n ? N

*

,n ? 2 。

?

2)通项公式: a n ? a 1 q

, n ? N (累乘)

3)前 n 项和: S n

,q ? 1 ? na 1 a ? anq ? n ? ? a1 1 ? q ,当 q ? 1 时,也可写成 S n ? 1 (错位相减) ,q ? 1 1? q ? 1? q ?

?

?

4) a 1 、 a n 、 n 、 q 、 S n 中知三求二。 1.6 用函数观点来分析等差、等比 1)等差: a n ? dn ? ? a 1 ? d ? (一次型函数) ,
Sn ? d 2 n
2

? ? a 1 ? d ?n (没有常数项的二次型函数)
a1 q

2)等比: a n ?

q (指数型函数) ,

n

Sn

,q ? 1 ? na 1 ? n a1q ? ? a1 (分段函数,分别为一次型和指数型函数) ? ,q ? 1 ?1 ? q 1 ? q ?

1.7 等差数列性质 1) a n ? a m ? ? n ? m ?d 【拓展】 d ?
an ? am n? m

2)等差中项: 2 a n ? a n ?1 ? a n ? 1 【拓展】①当 i ? j ? p ? q 时,有 a i ? a j ? a p ? a q ;

【注】等差数列 ?a n ? ,若 a i ? a j ? a p ? a q ,则 i ? j ? p ? q 不一定成立。 ② S 2 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ?a n 3)衍生等差数列: ① ?? a n ? C ? 为等差数列,公差 ? d ; ② ?? a n ? ? b n ? 为等差数列,公差 ? d 1 ? ? d 2 ; ③ ?a km ? p ? (其中 m 为间距, a p 为起始项, k ? N )为等差数列,即等距项为等差数列, 公差 md ; ④ S m , S 2 m ? S m , S 3 m ? S 2 m , S 4 m ? S 3 m ,?为等差数列,公差 m d ;
2

【注】

an bn

?

S 2 n ?1 S 2 n ?1
'

⑤?

d ?Sn ? ? 为等差数列,公差 ; 2 ? n ?

⑥其它: 1) 项数为奇数 2 n ? 1 的等差数列 ?a n ? ,有: S 奇 ? S 偶 ? a n ,
S奇 S偶 ? n n ?1 an a n ?1



项数为偶数 2 n 的等差数列 ?a n ? ,有: S 奇 ? S 偶 ? ? nd ,

S奇 S偶

?



2) 等差数列 ?a n ? 中,若 a n ? n , a m ? m ? m ? n ? ,则 a m ? n ? m ? n ; 等差数列 ?a n ? 中,若 a n ? m , a m ? n ? m ? n ? ,则 a m ? n ? 0 ; 等差数列 ?a n ? 中,若 S n ? m , S m ? n ? m ? n ? ,则 S m ? n ? ? ? m ? n ? ; 等差数列 ?a n ? 中,若 a m ? a n ? m ? n ? ,则 a m ? a n ? m ? n , a m ? n ? m ? n ; 等差数列 ?a n ? 中,若 S m ? S n ? m ? n ? ,则 S m ? S n ? ? mnd , S m ? n ? 0 。 1.8 等比数列性质 1) a n ? a m q
n?m

【拓展】 q

n?m

?

an am

2)等比中项: a n ? a n ? 1 a n ? 1 【拓展】①当 i ? j ? p ? q 时,有 a i a j ? a p a q ; 【注】等比数列 ?a n ? ,若 a i a j ? a p a q ,则 i ? j ? p ? q 不一定成立。

2

② ? a i ? ?a n ?
i ?1

2 n ?1

2 n ?1

3)衍生等比数列: ①对任意非零实数 ? , ?? a n ? 为等比数列,公比为 q ; ② ?? a n b n ? 为等比数列,公比为 q 1 q 2 ; ? ?
? ? an ? q1 ; ? 为等比数列,公比为 bn ? q2
m

③ S m , S 2 m ? S m , S 3 m ? S 2 m , S 4 m ? S 3 m ,?依然成等比数列,公比为 q 。
* 【注】若 a n ? ? ? 1 ? , n ? N ,则 S 2 , S 4 ? S 2 , S 6 ? S 4 ,?就不成等比数列。

n

【经典例题】
* 【例 24】 【2008 北京理 06】已知数列 ?a n ? 对任意 p 、 q ? N 满足 a p ? q ? a p ? a q ,且 (1)

a 2 ? ? 6 ,那么 a 10 等于
A . ? 165 B . ? 33


C . ? 30

D . ? 21

(2)数列 ?a n ? 满足: a n ? 1 。

1 ? 2 a n ,0 ? a n ? ? 2 ,若 a ? 6 ,则数列的第 2010 项为 ? ? 1 1 7 ? 2 a n ? 1, ? a n ? 1 2 ?

【例 25】 (1)已知 a n ?

n n
2

? 156

?n ? N ? ,则在数列 ?a ? 中最大项为
*

n



(2)已知数列 ?a n ? 中, a n ? n ? ? n ?n ? N
2

*

? ,且 ?a ? 是递增数列,则实数 ? 的取值范
n

围为



【例 26】 (1)已知等比数列 ?a n ? 中, a 3 ?

3 2

,S3 ? 4

1 2

,则 a 1 ?



(2)已知 ? 9 , a 1 , ? 1 成等差数列, ? 9 , b 1 , b 2 , b 3 , ? 1 成等比数列,则 a 1 b 2 ? 。

* (3)已知数列 ?a n ? 的通项为 a n ? 11 ? 2 n , n ? N ,数列 ?b n ? 的每一项都有 b n ? a n ,

则数列 ?b n ? 的前 n 项和 S n ?



4 7 10 3 n ?10 ? n ? N ? ,则 f ? n ? 等于 (4) 【2006 北京理 07】设 f ? n ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2


A.

2 7

(8

n

? 1)

B .

2 7

(8

n ?1

? 1)

C .

2 7

?8

n?3

?1

?

D .

2 7

?8

n?4

?1

?

【例 27】 【2009 全国Ⅰ文 14 理 14】设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 9 ? 72 , (1) 则 a2 ? a4 ? a9 ? 。
S6 S3 S9 S6

(2) 【2009 辽宁理 06】设等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 。
A .2 B .

? 3 ,则

?

7 3

C .

8 3

D .3

(3)等差数列 ?a n ? 、 ?b n ? 的前 n 项和分别为 S n 、 T n ,且 。

Sn Tn

?

3n ? 1 2n ? 3

,则

a8 b8

?

(4) 【2010 广东四校联考】等比数列 ?a n ? 的公比为 q ,其前 n 项的积为 T n ,并且满足条件
a 1 ? 1 , a 99 a 100 ? 1 ? 0 ,
a 99 ? 1 a 100 ? 1 ? 0 ,给出下列结论:

①0 ? q ? 1 ; ② a 99 a 101 ? 1 ? 0 ; ③ T 100 的值是 T n 中最大的; ④使 T n ? 1 成立的最大自然数 n 等于 198 。 其中正确的结论是 。

板块八 通项、前 n 项和、递推公式之间的推导
【知识要求】 数列中的核心问题:

1.1 a n ? S n 通法: S n ?

?
i ?1

n

ai

(1)公式求和: ①
AP : S n ?
n ?a 1 ? a n 2

?

? na 1 ?

n ?n ? 1? 2

d



GP : S n

na 1 , q ? 1 ? ? n ? ? a1 1 ? q ,q ? 1 ? 1? q ?

?

?



1? 2 ? 3?? ? n ?
1 ? 2
2 2 2

n ?n ? 1? 2
n ? n ? 1 ?? 2 n ? 1 ? 6

?3 ?? ? n

2

?

1 ? 2 ?3 ?? ? n
3 3 3

3

? n ?n ? 1? ? ? ? ? 2 ? ?

2

(2)裂项相消 ①分式:
1 n ?n ? p ? ? 1 ?1 1 ? ? ? ? ? ? p?n n? p?
? 1 1 ? ? ? ? ? C ? B ? An ? B An ? C ? 1

1

? An

? B ?? An ? C ?

1 n ? n ? 1 ?? n ? 2 ? 1 n ? n? p

?

? 1 ? 1 1 ? ? ? 2 ? n ? n ? 1 ? ? n ? 1 ?? n ? 2 ? ? 1 p

②根式:

?

?

n? p ?

n

?

③对数: lg

n? p n

? lg ? n ? p ? ? lg n
a

④指数: aq

n

?

1? q

?q

n

?q

n ?1

?
1 ? ? 1 ?1 1 ? ? ? n ? n ! ? n ? 1 ?! ?

⑤其它: n ? n ! ? ? n ? 1 ?!? n !
r ?1

? n ? 1 ?!

C n ?1 ? C n ? C n ?1
r r

(3)错位相减 错位相减用于差比数列( ? An ? B ?q )求和;
n

(4)倒序相加 主要用在类似于 f ? x ? ?
5 5
x

?

(与指数相关函数,其中 f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 定值)以及组
5

合数问题上; (5)分组求和 通项由多成分构成,可单独求和再相加。 【注】在选用方法时,可按公式、错位相减、倒序相加、裂项的次序选择。 1.2 S n ? a n 通法: a n ? ?
? S1, n ? 1

? S n ? S n ?1 , n ? 2

1.3 递推关系式 ? a n 、 S n (1)递推关系式的形式 递推关系式的三种形式:①只含 a n ;②只含 S n ;③同时含有 a n 和 S n 将第三种情况向第一种或第二种转化 转化的工具:采用 a n ? ?
? S1, n ? 1

? S n ? S n ?1 , n ? 2

,可以消 a n ,也可消 S n 。但无论采用哪种都需要

分类讨论。 方法的选择取决于以下两点:①谁比较好消;②问题求什么。前者作为主导因素。 (2) 递推 ? a n 、 S n ①累加法 遇到 a n ? a n ?1 ? f ? n ? ; a n ? a n ?1 ? f ? n ? ; a n ? f ? n ? ? a n ?1 ? g ? n ? 用累加法。 ②累乘法

遇到

an a n ?1

? f ?n ? (

an a n ?1

?

f ?n ? g ?n ?

) a n ? f ? n ?a n ?1 ; f ? n ?a n ? g ? n ?a n ? 1 用累乘法。 ;

③构造熟悉数列 ▲公式法 1) a n ? ba n ?1 ? f ? n ? 当 b ? 1 时,用累加;当 b ? 1 时,采用待定系数法或两边同除以 b 求解。
n

当 b ? 1 时,用待定系数法或两边同除以 b 。
?

2)非线性问题 ⅰ) a n ? ca n ? 1 问题,可考虑两边取对数。 ⅱ) a n ?
pa
n ?1

?

ra n ? 1 ? s

或 Aa n a n ? 1 ? Ba

n

? Ca

n ?1

? 0 ,可考虑取倒数或两边同除以 a n a n ? 1 。

3)多项递推问题 ⅰ) a n ? 1 ? pa n ? qa n ? 1 问题,可考虑采用特征方程,但在高考中试题往往有所提示。 ⅱ)无穷多项递推,可多些一项或少写一项,然后作差或作商。 ④数学归纳法 【经典例题】 【例 28】 【2010 山东理 18】已知等差数列 ?a n ? 满足: a 3 ? 7 , a 5 ? a 7 ? 26 。 ?a n ? 的前 n 项和为 S n 。 (Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)令 b n ?
1 an ? 1
2

?n ? N ? ,求数列 ?b ? 的前 n 项和 T
*
n

n



【例 29】 【2010 全国新课标理 17】设数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? 3 ? 2 (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)令 b n ? na n ,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 S n 。

2 n ?1



【例 30】 (1)已知数列的前 n 项和 S n ? n ? 2 ,则此数列的通项公式为
2

。 (2)已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 , n ? N 。求 a n 。
n
*

【例 31】已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,其中 a 1 ? 3 , S n S n ? 1 ? 2 a n ?n ? 2 , n ? N
an 。

*

? ,求

【例 32】已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , na n ? ? n ? 1 ?a n ? 1 ,求 a n 。

【例 33】 (1)已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 1 , n ? N 。求数列的通项 a n 。
*

(2)已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 2 a n ? n ? 3 , n ? N 。求数列的通项 a n 。
*

(3)已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 2 a n ? 3 (4)已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 2

n ?1

, n ? N 。求数列的通项 a n 。
* *

n ?1

, n ? N 。求数列的通项 a n 。

【例 44】 (1)已知数列 ?a n ? 中 a 1 ? 10 , a n ? 1 ? 10 a n , n ? N 。求数列的通项 a n 。
2
*

(2)已知数列 ?a n ? 中 a 1 ? 1 , a n ? 1 ?

2an 2 ? an

, n ? N 。求数列的通项 a n 。
*

【例 45】 (1)已知数列 a 1 ? 1 , a 2 ? 5 ,且 a n ? 1 ? 4 a n ? 4 a n ? 1 ( n ? 2 ) ,求通项公式 a n 。

(2)数列 ?a n ? 满足

1 2

a1 ?

1 2
2

a2 ? ? ?

1 2
n

a n ? 5 ? 2 n ? n ? N ? ? ,求数列的通项公式 a n



前 n 项和 S n 。

【例 46】 【2006 全国Ⅱ理 22】设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且方程 x ? a n x ? a n ? 0 有一
2

根为 S n ? 1 , n ? 1, 2 , 3 , ? (Ⅰ)求 a 1 , a 2 ; (Ⅱ)求 ?a n ? 的通项公式。

【例 47】 【2010 安徽理 20】设数列 a 1 , a 2 ,?, a n ,?中的每一项都不为 0 。 证 明 : ?a n ? 为 等 差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 : 对 任 何 n ? N
1 a1a 2 ? 1 a2a3 ?? ? 1 a n a n ?1 ? n a 1 a n ?1
*

, 都 有




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