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第五章 第3讲 算术平均数与几何平均数


第3讲

算术平均数与几何平均数

考纲要求

考纲研读 理解基本不等式的概念,熟悉基本不

1.了解基本不等式的证明过 等式的证明方法和过程.牢记基本不 程. 等式成立的条件和等号成立的条件, 2.会用基本不等式解决简 能将解析式变形成用基本不等式求 单的最大(小)值问题. 最值的形式.

a+b 1.基本不等式 ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件是 a,b∈R+. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.

a+b 叫做算术平均数, a b 叫做几何平均数,基本不等式式 (3) 2
可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.几个常用的重要不等式

(1)a∈R,a2≥0,|a|≥0 当且仅当 a=0 时取“=”. (2)a,b∈R,则 a2+b2_______. ≥2ab 1 ≥2 (3)a∈R+,则 a+a______. a2+b2 ?a+b?2 ? (4) 2 ≥? ? 2 ? ? ?
3.最值定理 设 x,y>0,由 x+y≥2 xy 则和 x+y 有最小值 2 P (1)如积 xy=P(定值),________________________. (2)如和 即:积定和最小,和定积最大.
?S?2 则积 xy 有最大值?2? x+y=S(定值),____________________. ? ?

1 1.设函数 f(x)=2x+x-1(x>0),则 f(x)( B )

A.有最大值 C.是增函数
2.已知 x=a+b,y=

B.有最小值 D.是减函数
?na mb??ma nb? ? + ?? + m ?(a,b,m,n n ?? n ?m ?

为正

数),则 x,y 的大小关系是( D ) A.x>y B.x<y D.x≤y

C.x≥y

x2+x+4 5 3.若 x>0,则 的最小值为____. x
x2+x+4 4 解析:x>0? =x+x +1≥2 x 4 当且仅当 x= x即 x=2 时取等号.
2 2 2 4.若 x>0,则 x+— 的最小值为______. x 1 16 5.已知 x,y∈R+,且 x+4y=1,则 x· 的最大值为____. y

4 x·+1=5. x

考点1

利用基本不等式求最值(或取值范围)

t2-4t+1 的最小 例1:①(2010 年重庆)已知t>0,则函数 y= t
值为______.
t2-4t+1 1 解析:y= =t+ t -4≥-2(∵t>0),当且仅当 t=1 t 时,ymin=-2.

答案:-2

x ②(2010 年山东)若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a x +3x+1
的取值范围是____________.

1 1 1 x 解析:∵x>0,∴x+x≥2. 2 ? 1 ≤5. x +3x+1 x+x+3 1 1 x 即 2 的最大值为5.故 a≥5. x +3x+1
答案:a≥ 1 5

利用基本不等式求“和”的最小值时需注意验证:

①要求各项均为正数;②要求“积”为定值;③检验是否具备等
号成立的条件.

【互动探究】

1 4 1.(2011 年重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=a+b的最 小值是( C ) 7 A.2 B.4 9 C.2 D.5

b 4a? 9 1 4 ?1 4??a+b? 1 ? ? ? 解析:y=a+b=?a+b?? ?=2×?1+4+a+ b ?=2. ? ?? 2 ? ? ?

考点2 利用基本不等式求参数的取值范围 例2:①(2011 年浙江)设 x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是__________.

解析:∵4x2+y2+xy=1,∴(2x+y)2-3xy=1. 3 3?2x+y?2 ? 2 即(2x+y) -2· y=1.∴(2x+y) -2? 2x· ? 2 ? ≤1. ? ?
2

8 2 10 2 10 解得:(2x+y)2≤5.即- 5 ≤2x+y≤ 5 .

2 10 答案: 5

②(2010 年重庆)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的 最小值是( )

A.3

B.4

9 C.2

11 D. 2

?x+2y? ?2 解析:x+2y=8-x· (2y)≥8-? ? 2 ? , ? ?

整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0. 即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0. 又 x+2y>0,∴x+2y≥4.
答案:B

本题主要考查了均值不等式在求最值时的运用.整 体思想是分析这类题目的突破口,即2x+y 与 x+2y 分别是统一的 整体,如何构造出只含2x+y(2x· 亦可)与 x+2y(x·y 亦可)形式的 y 2

不等式是解本题的关键.

【互动探究】

2.(2010 年浙江)若正实数 x,y 满足2x+y+6=xy,则 xy 的 18 最小值是_____.
解析:运用基本不等式 xy=2x+y+6≥2 2xy+6,令 xy=t2, 可得 t2-2 值为 18. 2t-6≥0,注意到 t>0,解得 t≥3 2,故 xy 的最小

考点3

利用基本不等式处理实际问题

例3:如图 5-3-1,某公园要在一块绿地的中央修建两个相

同的矩形的池塘,每个面积为 10 000 米2,池塘前方要留 4 米宽的
走道,其余各方为 2 米宽的走道,问每个池塘的长、宽各为多少 米时占地总面积最少?

图 5-3-1

解题思路:根据题意建立函数模型,利用基本不等式求最值. 解析:设池塘的长为 x 米时占地总面积为S,
10 000 故池塘的宽为 y= x 米.
?20 000 ? S=(6+x)? x +6?(x>0). ? ?

120 000 ∴S= x +6x+20 036≥ =2

120 000 6x+20 036 x ·

720 000+20 036=1 200 2=20 036.
2时等号成立.

120 000 当且仅当 x =6x 时, x2=20 000, 即 x=100

当 x=100 Smin=1 200

10 000 2米时,y= =50 100 2 2+20 036.

2米.

答:每个池塘的长为 100 最小.

2米、宽为 50

2米时占地总面积

p 形如函数 y=x+ x (p>0)的形式求最值时可考虑 用基本不等式,但要注意条件的限制,可借助函数图象解题,必 要时借助于导数.

【互动探究】
3.一份印刷品,其排版面积为 432 cm2(矩形),要求左右留有 24 4 cm 的空白,上下留有 3 cm 的空白,则矩形的长为_____ cm,宽 18 为____ cm 时,用纸最省.

432 解析:设矩形的长为 x cm,则宽为 x cm, 则总面积 y
?432 ? 432×8 ? ?=432+48+6x+ 为:y=(x+8)· x +6 x ? ?

? 72×8? ?≥480+6×2 =480+6?x+ x ? ?

72×8 x· x =768,

72×8 432 当且仅当 x= x 即 x=24 时取等号,此时宽为 24 =18 cm.

易错、易混、易漏 9.多次使用基本不等式忽略了考虑等号能否同时成立
例题:已知正数 a,b 满足
? 1? ? 1? a+b=1,则?a+a?+?b+b?的最小 ? ? ? ?

值是______________.
? a+b a+b 1? ? 1? 1 1 正解:?a+a?+?b+b?=a+b+ a+b=1+ a + b =1+1 ? ? ? ?

b a +a+b+1≥3+2

ba a·=5. b

? 1? ? 1? 【失误与防范】错解:?a+a?+?b+b? ? ? ? ?

≥2

1 a·+2 a

1 b·=4,所以最小值是 4. b 1 a·=2,其中当且仅当 a=1 时等号成立; a

1 ∵a+a≥2 1 b+b≥2

1 b·=2,其中当且仅当 b=1 时等号成立. b

这与 a+b=1 矛盾,∴最小值不能为 4.

1.利用均值不等式 a+b≥2 ab以及变式 ab≤

?a+b? ? ?2 等求函 ? 2 ? ? ?

数的最值时,要注意到合理拆分项或配凑因式,而拆与凑的过程
中,一要考虑定理使用的条件(两数都为正);二要考虑必须使和或 积为定值;三要考虑等号成立的条件(当且仅当 a=b 时取“=” 号),即“一正、二定、三相等”

2.当用均值不等式求函数最值失效时,要转化为研究函数的 单调性,利用单调性求最值. 3.多次重复使用均值不等式求解时,应考虑再相加相乘时字 母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致.若不一

致,则不等式中的等号不能成立.
a+b 4.当 a>0,b>0 时,1 1≤ ab≤ 2 ≤ a+b 2 a2+b2 2 ,当且仅

a=b 时等号成立.

1.在利用基本不等式求最值(值域)时,过多地关注形式上的 满足,极容易忽视符号和等号成立条件的满足,这是造成解题失 误的关键所在. 2.当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否都能保证

等号成立,并且要注意取等号条件的一致性,否则就会出错.


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