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高一数学期末复习必修4知识点总结2013.6


高一数学期末复习必修 4 知识点总结
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角.

8、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,
1 1 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距 离是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正 切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
y P T v O M A x

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? sin

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ; ? 2 ?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
? 5? sin ? ?
? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?
n

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,
*

再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象 限对应的标号即为

? 终边所落在的区域. n

?

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.
l 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? . r

? 6 ? sin ? ?

?

7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360? , 1? ?

? 180 ? ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?
1

?

?

口诀: “奇变偶不变,符号看象限”

14 、 函 数 y ? sin x 的 图 象 上 所 有 点 向 左 ( 右 ) 平 移 ? 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数

定 义 域 值 域
R R

y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)
到原来的
1

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

?

倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) 得 到 函 数 y ? sin ?? x ? ? ? 的 图 象 ; 再 将 函 数 ,

, y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) 得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 得到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移
1

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

?

倍(纵坐标不变) ,

最 值

时 ,

ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.

既无最大值也无最小值

? 个单位长 ?

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数
2? 2?

?

度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵 坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
1 ? ①振幅: ? ;②周期: ? ? ;③频率: f ? ? ;④相位:? x ? ? ;⑤初相:? . ? ? 2? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大 值为 ymax ,则 ? ?
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? 2 2 2
y ? cos x

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?
单 调

在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上 是 增 函 数 ;

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数

? k ??? 上是增函数;在
? 3? ? ? ?2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?

y ? sin x

y ? tan x



?2k? ,2k? ? ? ?
? k ??? 上是减函数.
对 称 中

? ?? ? 在 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数.

图 象 对 称 性
2

? k ??? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对 称 轴

心 对







? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

x ? k? ?

?
2

?k ? ??

对称轴 x ? k? ? k ???

无对称轴

(其中cosφ=

a a2 ? b2

, sin ? ?

b a2 ? b2

)

16、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; (或ta3、应用? (1)求3sinx+4cosx的周期及最值? 解:3sinx+4cosx ? 5? sin x ?

?3 ?5

4 ? cos x ? 5 ?

? 5(sin x cos? ? cos x sin ? ) ? 5 sin(x ? ? )
(其中cosφ ?

tan ? ? tan ? ⑸ tan ?? ? ? ? ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ?
⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

3 4 , sin ? ? ) 5 5

∴ 3sinx+4cosx的周期 T ? 2? 最大值为5,最小值为-5

17、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
1 ? cos 2? ) . 2



cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 2



sin 2 ? ?

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

18、 ? sin ? ? ? cos ? ? 结论:asinx+bcosx ?

? . ?

a2 ? b2 (

a a2 ? b2

sin x ?

b a2 ? b2

cos x)

? a 2 ? b 2 (cos? sin x ? sin ? cos x) ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )

3


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