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2017学年数学必修三:3.2.1 古典概型2


3.2 古典概型 3.2.1 古典概型

1.理解基本事件的概念,能准确表示出基本事件,求出基本事件
个数.

2.理解古典概型的概念及特点.掌握古典概型的概率计算公式.
3.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发 生的概率.

1.基本事件 (1)定义:一次试验中,所有出现的基本结果中不能再分的最简

随机事件 称为该试验的基本事件. 单的_________
(2)特点: 互斥 的; ①任何两个基本事件是_____ ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型 将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典 概型.

有限个 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有_______.
相等 (2)每个基本事件出现的可能性_____. 3.古典概型的概率计算公式 事件A包含的基本事件 古典概型概率计算公式P(A)= m .m表示____________________
n

的个数 表示_______________. 基本事件的总数 _______,n

1.先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是(
1 A. 8 3 B. 8 5 C. 8 7 D. 8

)

【解析】选D.共有8个基本事件,只有三次全是反面不合要

求.故至少一次正面朝上的概率是 7 .
8

2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为

_________.
【解析】甲、乙、丙三人中选取两人,包含的基本事件为(甲、 乙),(甲、丙),(乙、丙)共三个,其中含有甲的基本事件数为2 个,所以P= 2 . 答案: 2
3 3

3.掷一枚骰子,骰子落地时向上的数是奇数的概率为_______.

【解析】骰子落地时有1,2,3,4,5,6共6种结果,向上的数为奇
数时有1,3,5共3种结果,所以其概率为 1 . 答案:
1 2 2

4.有长度分别为2,3,4,5的四条线段,则以其中三条线段 为边可以构成三角形的概率是______.

【解析】共有四种不同组合:(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),
(3,4,5), 其中(2,3,5)不能构成三角形,所以P(构成三角

形)= .
答案:3
4

3 4

一、基本事件

根据掷硬币试验,思考下列问题:
探究1:抛掷两枚质地均匀的硬币,有哪几种可能结果?连续抛

掷三枚质地均匀的硬币,有哪几种可能结果?
提示:抛掷两枚硬币的结果有:(正,正),(正,反),(反,正), (反,反)共4种可能结果.抛掷3枚硬币有:(正,正,正),(正,正, 反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反, 正),(反,反,反)共8种可能结果.

探究2:上述试验中的每一个结果都是随机事件,我们把这类事 件称为基本事件.在一次试验中,任何两个基本事件是什么关系? 提示:由于任何两种结果都不可能同时发生,所以它们的关系 是互斥关系.

【探究总结】 1.基本事件应满足的条件 (1)不同的基本事件在一次试验中不可能同时发生 . (2)所有基本事件的和应为必然事件. 2.试验和基本事件的关系 做一次试验只能产生一个基本事件 ,即一个基本事件是某一次 试验出现的结果;不能把几次试验的结果混为一个基本事件.

二、古典概型的判断 探究1:一个容器内有10个大小、形状完全相同的球,将球编号

为1~10.把球搅匀,蒙上眼睛,从中任取一球.思考下面的问题:
(1)从容器中任取一球可能出现的不同情况有多少种?

提示:因为共有10个球,所以任取一球可能的情况有10种.

(2)每个编号的球被取出的机会是否相等? 提示:相等,因为这些球的大小、形状完全相同,所以10个球 中,任意一个球被取出的机会相等,均为 (3)这样的随机试验是古典概型吗? 提示:是古典概型.试验的结果共有10个,为有限个;每个基本 事件出现的可能性均等,故是古典概型.
1 . 10

探究2:根据古典概型的概念思考下面的问题: (1)向一圆面内随机投一个点,若该点落在圆内任意一点都是等 可能的,是古典模型吗?为什么? 提示:不是.因为试验的所有可能结果是圆内所有点,试验的所 有可能结果数是无限的.

(2)射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个: 命中10环、命中9环、……命中1环和命中0环(即不命中),你认 为这是古典概率模型吗?为什么? 提示:不是.因为所有可能的结果不是等可能的.

【探究总结】

1.古典概型的特征
(1)有限性:所有可能出现的基本事件只有有限个 . (2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等的 . 2.古典概型的判断 一个试验是不是古典概型,关键在于这个试验是否具有古典概 型的两个特征——有限性和等可能性.并不是所有的试验都是 古典概型.只有两个特征都具备时,这个试验才可看作古典概型.

三、古典概型的概率公式 探究1:根据古典概型的概率计算公式P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数

,思考下面的问题.

(1)该公式适用的条件是什么? 提示:该公式适用于古典概型的概率计算. (2)利用古典概型的概率计算公式,计算随机事件的概率的关键 是什么? 提示:解决古典概型的关键是分清基本事件数n和事件A所包含 的基本事件个数.

探究2:根据古典概型的概念和概率公式回答下列问题:
(1)如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现

的可能性都相等,若事件A包含的基本事件数有m个,那么事件A
的概率为多少?
1 提示:出现的可能性都相等,每个结果出现的可能性均为 ,事 n 件A包含的基本事件数有m个,所以事件A发生的概率为m× 1 ? m . n n

(2)n次试验中,随机事件A发生m次,随机事件A发生的频率为 m ;
n

如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可 能性都相等,若事件A包含的基本事件数有m个,古典概型的概率 公式P(A)= m .二者有什么区别?
n

提示:如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出 现的可能性都相等,若事件A包含的基本事件数有m个,由于m,n 都是定值,所以事件A的概率P(A)= m 是个定值.而频率中的m,n
n

均随试验次数的变化而变化,但一般来说频率 的增加总是趋近于P(A).

m 随着试验次数 n

【探究总结】使用古典概型概率公式的注意点

(1)首先要判断该概率模型是不是古典概型 .
(2)要找出随机事件A所包含的基本事件的个数和试验中基本事 件的总数.

类型一

求基本事件及基本事件数

1.为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、 航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,则基本事件有 . 2.将一个骰子先后抛掷2次,观察向上的点数. (1)共有多少种不同的结果?

(2)两数之和是3的倍数的结果有多少种?

【解题指南】1.按一定的顺序进行列举. 2.(1)列表,找出所有可能的情况. (2)判断,在表格中找出符合要求的结果. 【自主解答】1.基本事件有{数学,计算机},{数学,航空模型}, {计算机,航空模型},共3个.

答案:{数学,计算机},{数学,航空模型},{计算机,航空模型} 2.(1)掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标上记号1,2以 便区分,由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果 配对,我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子 的一个结果,其中第一个数表示1号骰子的结果,第二个数表示2 号骰子的结果,同时掷两个骰子的结果共有36种.

1 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

(2)记“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A,则事件A的结
果有12种.

【延伸探究】题2中用a,b分别表示先后各抛一次所出现的点数, 若点P(a,b)落在直线x+y=m(m为常数)上,且使此事件的概率最

大,则m的值为

.

【解析】由表知,a+b的和可以取到2,3,…,12;和为7的有6个基

本事件组成,包含的基本事件数最多.
答案:7

【规律总结】 1.列基本事件的三种方法 (1)列举法:一一列出所有基本事件的结果,一般适用于较简单 的问题; (2)列表法:一般适用于较简单的试验方法; (3)树状图法:一般适用于较复杂问题中基本事件个数的探求.

2.列举基本事件的注意点 列举时,要注意分清“有序”还是“无序”,按一定次序进行列 举,防止重复和遗漏.采用列表、树状图等直观手段是防止重复 与遗漏的有效方法.

类型二

古典概型的判断 .

1.下列概率模型中,是古典概型的为

(1)从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率. (2)从1,2,3,…,10中任取一个整数,求取到1的概率.

(3)向一个正方形ABCD内任意投一点P,求点P刚好与点A重合的
概率.

2.袋中有形状、大小相同的4个白球,2个黑球,3个红球,每球都 有一个区别于其他球的编号,从中摸一个球.

(1)如果把每个球的编号看作一个基本事件,建立概率模型,问
该模型是否为古典概型?

(2)若以球的颜色为基本事件,以这些基本事件建立概率模型,
该模型是否为古典概型?

【解题指南】1.从有限性和等可能两个角度考虑. 2.根据古典概型的定义进行判断. 【自主解答】1.(1)基本事件有无限个.(2)基本事件有10个,等 可能发生.(3)基本事件有无限个. 答案:(2)

2.(1)由于共有9个球,且每个球的编号各不相同,所以做一次试 验共有9种不同的结果;又由于所有球的大小、形状一样,因此 每个球被摸到的可能性相等.故属于古典概型.

(2)由于9个球共三种颜色,因此共有三个基本事件,又由于所有
球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能性相等,而白球

4个,故一次摸球摸到白球的可能性为
9 9 3

4 ,同理摸到黑球的可能 9

性为 2 ,摸到红球的可能性为 3 ? 1 . 显然三个基本事件出现的

可能性不等,故不是古典概型.

【规律总结】古典概型的判断方法 判断一个事件是否为古典概型,关键是看它是否具备古典概型 的两个特征:(1)一次试验中,所有可能出现的结果只有有限 个.(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的.

【变式训练】
判断下列试验是不是古典概型.

(1)从直径规格为100mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽取一
个,测量其直径. (2)向上抛掷一枚质地不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率. 【解析】(1)不是.基本事件不是有限个.(2)不是.质地不均匀, 反面朝上与正面朝上的可能性不同.

类型三

古典概型的概率计算

1.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种 属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”,从五种不同属 性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率是 . 2.一盒中有6个球,其中4个白球,2个红球,从盒中任取2个球,求 取出的2个球都是白球的概率.

【解题指南】1.对满足条件的事件逐一列举,再求概率.

2.先列举所有的基本事件,再列出事件A所包含的基本事件,从
而求出P(A).

【自主解答】1.基本事件有10种:金木、金火、金水、金土、
木火、木土、木水、水火、水土、火土.相克的有5种,所以不

相克的也有5种.故不相克的概率是
答案:1
2

1 . 2

2.记“取出的2个球都是白球”为事件A.设4个白球的编号为
1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.

“从盒中的6个小球中任取2个球”所包含的基本事件有:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个. 事件A所包含的基本事件有: (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个. 所以取出的2个球都是白球的概率为P(A)= 6 ? 2 .
15 5

【延伸探究】题2条件不变,求取出的2个球中1个白球,1个红球 的概率. 【解析】设4个白球的编号为1,2,3,4;2个红球的编号为5,6. 从盒中的6个小球中任取2个所包含的基本事件有: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.

记“取出的2球中1个白球,1个红球”为事件B,则事件B所包含 的基本事件有: (1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8个, 所以取出的2球中1个白球,1个红球的概率为P(B)= 8 .
15

【规律总结】利用公式求解古典概型概率问题的步骤 (1)判断是否为古典概型. (2)计算基本事件的总个数n和事件A包含的基本事件个数m. (3)求出事件A的概率P(A)=
事件A所包含的基本事件的个数 m ? . 基本事件的总数 n

【变式训练】 (2014·江西高考)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率 等于(
A. 1 18

)
B. 1 9 C. 1 6 D. 1 12

【解题指南】根据古典概型概率公式及列举法列式计算.

【解析】选B.掷两颗骰子包含的所有结果为36种,点数之和为
5所包含的结果为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,故所求概

率为 1 .
9


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