高一数学必修二期末测试题及答案

高一数学必修二期末测试题
（总分 100 分 时间 100 分钟）

班级：______________姓名：______________
一、选择题（8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）

图１

(A)

（B）

(C)

(D) ）(A)１条（B）２

2．过点 ?? 2,4? 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ 条 (C)３条 (D)４条

3．如图 2，已知 E、F 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC， ）

CC1 的中点，设 ? 为二面角 D1 ? AE ? D 的平面角，则 sin ? ＝（

(A)

2 5 （B ） 3 3

(C)

2 2 2 (D) 3 3

图２ 4．点 P ( x, y ) 是直线 l ： x ? y ? 3 ? 0 上的动点，点 A(2,1) ，则 AP 的长的最小

值是(

)(A) 2

（B） 2 2

(C) 3 2
2

(D) 4 2
2

5 ．一束光线从点 A(?1,1) 出发，经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 上的最短 路径长度是（ ） （A）4 （B）5 （C） 3 2 ? 1 （D） 2 6

6．下列命题中错误 的是( ．． 平行于平面 ? 平面 ?

)A．如果平面 ? ⊥平面 ? ，那么平面 ? 内一定存在直线

B．如果平面 ? 不垂直于平面 ? ，那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于

C．如果平面 ? ⊥平面 ? ，平面 ? ⊥平面 ? ， ? ? ? ? l ，那么 l ⊥平面 ?

D．如果平面 ? ⊥平面 ? ，那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 7．设直线过点 (0, a), 其斜率为 1，且与圆 x ? y ? 2 相切，则 a 的值为（
2 2

）

第 1 页 共 6 页（数学必修二试题）

（A） ?4

（B） ?2 （C） ?2 2 （D） ? 2

8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点 A(0,2) 与点 B(4,0)重合．若此时 点 C (7,3) 与点 D(m, n) 重合，则 m ? n 的值为（ ）(A)

31 5

(B)

32 5

(C)

33 34 (D) 5 5

二、填空题 9．在空间直角坐标系中，已知 P(2,2,5) 、 Q(5,4, z ) 两

点 之 间 的 距 离 为 7 ， 则 z =_______ ． 10 ． 如 图 ， 在 透 明 塑 料 制 成 的 长 方 体

ABCD ? A1 B1C1 D1 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器
倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形 EFGH 的面积不改变； ③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行； ④当 E ? AA 1 时， AE ? BF 是定值． 其中正确说法是 11．四面体的一条棱长为 x ，其它各棱长均为 1，若把四面体的体积 V 表示成关于 x 的 函数 V ( x) ，则函数 V ( x) 的单调递减区间为 12．已知两圆 x ? y ? 10 和 ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 20 相交于 A， B 两点，则公共弦 AB
2 2 2 2

所在直线的直线方程是 倾斜角是

13．在平面直角坐标系中，直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的

． 14．正六棱锥 P ? ABCDEF 中，G 为侧棱 PB 的中点，则三棱 ．

锥 DGAC 与三棱锥 PGAC 的体积之比 VD ?GAC : VP ?GAC ＝

三、解答题 15．(本题 10 分)已知直线 l 经过点 P(?2,5) ，且斜率为 ?

3 . （Ⅰ）求直线 l 4

的方程； （Ⅱ）求与直线 l 切于点（2，2） ，圆心在直线 x ? y ? 11 ? 0 上的圆的方程. 16．(本题 10 分)如图所示，在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中， ?ABC ? 90? ， BC ? CC1 ，

M 、 N 分别为 BB1 、 A1C1 的中点.
（Ⅰ）求证： CB1 ? 平面ABC1 ；

第 2 页 共 6 页（数学必修二试题）

（Ⅱ）求证： MN // 平面ABC1 . 17．(本题 12 分) 已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 . (1)此方程表示圆，求 m 的取值范围； (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点，且 OM ? ON ( O 为坐标 原点)，求 m 的值； (3)在(2)的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程． 18． （本题 12 分） 已知四棱锥 P-ABCD， 底面 ABCD 是 ?A ? 60? 、 边长为 a 的菱形， 又 PD ? 底面ABCD， 且 PD=CD，点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点． （1）证明：DN//平面 PMB； （2）证明：平面 PMB ? 平面 PAD； （3）求点 A 到平面 PMB 的距离．

P

N

D

数学必修二期末测试题及答案
一、选择题（8 小题，每小题 4 分，共 32 分） １C， 2Ｃ， 3B ， 4C ， 5A ， 6D， 7B， 8D.

M A B

C

二、填空题（6 小题，每小题 4 分，共 24 分） ? 6 ? , 3? 9． z ? ?1或11； 10． ①③④； 11． ? ? ； ? 2 ?
12． x ? 3 y ? 0 ； 13． 150° ； 14． 2：1．

三、解答题(4 大题，共 44 分)
15．(本题 10 分)已知直线 l 经过点 P(?2,5) ，且斜率为 ?

3 . 4

（Ⅰ）求直线 l 的方程； （Ⅱ）求与直线 l 切于点（2，2） ，圆心在直线 x ? y ? 11 ? 0 上的圆的方程. 解析： （Ⅰ）由直线方程的点斜式，得 y ? 5 ? ? 整理，得所求直线方程为 3x ? 4 y ? 14 ? 0.
第 3 页 共 6 页（数学必修二试题）

3 ( x ? 2), 4
……………4 分

（Ⅱ）过点（2，2）与 l 垂直的直线方程为 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ，
? x ? y ? 11 ? 0, 由? 得圆心为（5，6） ， ?4 x ? 3 y ? 2 ? 0.

……………5 分 ……………7 分

∴半径 R ? (5 ? 2)2 ? (6 ? 2)2 ? 5 ， 故所求圆的方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? 6)2 ? 25 ．

……………9 分 ………10 分

16．(本题 10 分) 如图所示，在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中，?ABC ? 90? ，BC ? CC1 ，

M 、 N 分别为 BB1 、 A1C1 的中点.
（Ⅰ）求证： CB1 ? 平面ABC1 ； （Ⅱ）求证： MN // 平面ABC1 .

解析： （Ⅰ）在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中， 侧面 BB1C1C ⊥底面 ABC ，且侧面 BB1C1C ∩底面 ABC = BC ， ∵∠ ABC =90° ，即 AB ? BC ， ∴ AB ? 平面 BB1C1C ∵ CB1 ? 平面 BB1C1C ，∴ CB1 ? AB . ……2 分

∵ BC ? CC1 ， CC1 ? BC ，∴ BCC1 B1 是正方形， ∴ CB1 ? BC1 ，∴ CB1 ? 平面ABC1 . …………… 4 分 （Ⅱ）取 AC1 的中点 F ，连 BF 、 NF . ………………5 分 在△ AA1C1 中， N 、 F 是中点， ∴ NF // AA 1 , NF ?

1 1 AA1 ，又∵ BM // AA AA1 ，∴ 1 , BM ? 2 2
第 4 页 共 6 页（数学必修二试题）

NF // BM , NF ? BM ，………6 分 故四边形 BMNF 是平行四边形，∴ MN // BF ，…………8 分
而 BF

? 面 ABC 1 ， MN ? 平面 ABC 1 ，∴ MN // 面 ABC 1 ……10 分

17．(本题 12 分)已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 . (1)此方程表示圆，求 m 的取值范围； (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点，且 OM ? ON ( O 为坐标 原点)，求 m 的值； (3)在(2)的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ，可化为 (x－1)2＋(y－2)2＝5－m， ∵此方程表示圆， ∴5－m＞0，即 m＜5. 2 2 ? ?x ＋y －2x－4y＋m＝0， ? (2) ?x＋2y－4＝0， ? 消去 x 得(4－2y)2＋y2－2× (4－2y)－4y＋m＝0， 2 化简得 5y －16y＋m＋8＝0. 16 y1＋y2＝ ， 5 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 m＋8 y1y2＝ . ② 5

? ? ?

①

由 OM⊥ON 得 y1y2＋x1x2＝0， 即 y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0， ∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0. 将①②两式代入上式得 m＋8 16 8 16－8× ＋5× ＝0，解之得 m＝ . 5 5 5 8 2 (3)由 m＝ ，代入 5y －16y＋m＋8＝0， 5 12 4 化简整理得 25y2－80y＋48＝0，解得 y1＝ ，y2＝ . 5 5 4 12 12 4 4 12 － ， ?， N ? ， ?， ∴x1＝4－2y1＝－ ，x2＝4－2y2＝ . ∴M ? ? 5 5? ? 5 5? 5 5 4 8 ? ∴ MN 的中点 C 的坐标为? ?5，5?. ?12＋4?2＋?4－12?2＝8 5， 又|MN|＝ ? 5 5? ?5 5 ? 5 4 5 ∴所求圆的半径为 . 5 4?2 ? 8?2 16 ∴所求圆的方程为? ?x－5? ＋?y－5? ＝ 5 . 18． （本题 12 分）已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是 ?A ? 60 、边长为 a 的菱形，
?

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P

N

又 PD ? 底面ABCD，且 PD=CD，点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点． （1）证明：DN//平面 PMB； （2）证明：平面 PMB ? 平面 PAD； （3）求点 A 到平面 PMB 的距离． 解析： （1）证明：取 PB 中点 Q，连结 MQ、NQ，因为 M、N 分别是棱 AD、PC 中点，所以 QN//BC//MD，且 QN=MD，于是 DN//MQ．

? ? MQ ? 平面PMB? ? DN // 平面PMB . DN ? 平面PMB ? ? DN // MQ
…………………4 分

（2）

PD ? 平面ABCD ? ? ? PD ? MB MB ? 平面ABCD?
?

又因为底面 ABCD 是 ?A ? 60 ,边长为 a 的菱形，且 M 为 AD 中点， 所以 MB ? AD .又 所以 MB ? 平面PAD .

MB ? 平面PAD ? ? ? 平面PMB ? 平面PAD. ………………8 分 MB ? 平面PMB?
（3）因为 M 是 AD 中点，所以点 A 与 D 到平面 PMB 等距离. 过点 D 作 DH ? PM 于 H，由（2）平面 PMB ? 平面 PAD，所以 DH ? 平面PMB ． 故 DH 是点 D 到平面 PMB 的距离.

a ?a 5 5 2 a .………12 分 DH ? ? a. 所以点 A 到平面 PMB 的距离为 5 5 5 a 2

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