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【优化方案】2012高中数学 第2章2.1数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5


2.1 数列的概念与简单表示法 .

学习目标 1.通过实例,了解数列的概念. 通过实例,了解数列的概念. 通过实例 2.理解数列的顺序性,感受数列是刻画自然 .理解数列的顺序性, 规律的数学模型,了解数列的几种分类. 规律的数学模型,了解数列的几种分类. 3.理解数列的通项公式、数列的递推公式和数 .理解数列的通项公式、 列与函数的关系. 列与函数的关系.



2.1 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

1 1 1 1 1.前5个正整数的倒数排成一列:1,2,3,4,5. 个正整数的倒数排成一列: , . 个正整数的倒数排成一列 _____________
2.函数的基本表示方法有________、_______和 .函数的基本表示方法有 解析法 、 列表法 和 图象法 _________. 3.集合的列举法的一般形式为{a,b,c,d,…}; .集合的列举法的一般形式为 , , , , ; 集合的元素具有_________、 互异性 、 无序性 . 集合的元素具有 确定性 、_______、_______.

知新盖能 1.数列及其有关概念 . (1)数列:按照一定_____排列着的一列数称为数 数列:按照一定 顺序 排列着的一列数称为数 数列 列. (2)项:数列中的__________叫做这个数列的项, 项 数列中的 每一个数 叫做这个数列的项 叫做这个数列的项, 项通常也叫做______,若是有穷数列, 第1项通常也叫做 首项 ,若是有穷数列,最后 项通常也叫做 一项也叫做________ 一项也叫做 末项. 末项.

思考感悟 1.两个数列相同应满足什么条件? .两个数列相同应满足什么条件? 提示:两个数列相同必须同时满足两个条件:① 提示:两个数列相同必须同时满足两个条件: 两个数列中各数相同; 各数的排列次序相同. 两个数列中各数相同;②各数的排列次序相同.

2.数列的表示 . 数列的一般形式可以写成a 数列的一般形式可以写成 1,a2,a3,…,an,…, , , 项数. 简记为_____,这里 是 项数. 简记为 {an} ,这里n是_____ 3.数列的分类 . (1)按项的个数分类 按项的个数分类 类别 ____数列 有穷 数列 无穷 数列 ____数列 含义 项数有限的数列 项数无限的数列

(2)按项的变化趋势分类 按项的变化趋势分类 类别 递增 数列 递减 数列 常数 列 摆动 数列 含义 从第2项起 每一项都____它的前一项 项起, 从第 项起,每一项都大于 它的前一项 的数列 项起, 从第2项起 每一项都____它的前一项 从第2项起,每一项都____它的前一项 小于 的数列 各项_____的数列 各项 相等 的数列 从第2项起,有些项 大于 它的前一项 它的前一项, 从第 项起,有些项_____它的前一项, 项起 有些项小于它的前一项的数列

4.数列的通项公式 数列的通项公式 的第n项与 序号 之间的关系可以用 如果数列{an}的第 项与______之间的关系可以用 如果数列 的第 项与 序号n 一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的 一个式子来表示, _________ 通项公式. 通项公式.

思考感悟 2.是否所有的数列都有通项公式? .是否所有的数列都有通项公式? 提示:不是. 提示:不是.数列的通项公式实际就是相应函数 的解析式,并不是所有的数列都有通项公式, 的解析式,并不是所有的数列都有通项公式,就 像并不是所有的函数都能用解析式表示一样. 像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.

5.数列的递推公式 . 如果已知数列{a 的第 的第1项 或前几项 或前几项), 如果已知数列 n}的第 项(或前几项 ,且从第二 或某一项)开始的任一项 项(或某一项 开始的任一项 n与它的前一项 an-1 或某一项 开始的任一项a 与它的前一项____ - (或前几项 或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以用一个公 或前几项 , ∈ 间的关系可以用一个公 式来表示, 式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的 递推公式. ____公式 公式.

课堂互动讲练

考点突破 用观察法求数列的通项公式 根据数列的前几项写出它的一个通项公式, 根据数列的前几项写出它的一个通项公式,关键 在于观察、分析数列的前几项的特征, 在于观察、分析数列的前几项的特征,找到数列 的构成规律.为了发现数列的构成规律, 的构成规律.为了发现数列的构成规律,可把序 标在相应的项上, 号1,2,3,…标在相应的项上,这样便于突出第 , 标在相应的项上 这样便于突出第n 与项数n的关系 即突出a 如何用n表示 的关系, 表示. 项an与项数 的关系,即突出 n如何用 表示.

例1 写出以下各数列的一个通项公式,使其前几 写出以下各数列的一个通项公式,

项分别是下列各数: 项分别是下列各数: 1 9 25 (1) ,2, ,8, ,…; , , 2 2 2 (2)1,- ,-7,9,…; ,-3,5,- , ,- ,- (3)a,b,a,b,a,b,…; , , , , , , (4)9,99,999,9999,…. ,

【思路点拨】

分析各项与对应序号间的关系

归纳、 → 归纳、猜想 → 得关系式 → 验证是否合适

数列的项, 有的是分数, 有的是整数, 【解】 (1)数列的项, 数列的项 有的是分数, 有的是整数, 1 4 9 16 25 可将各项都统一成分数再观察: 可将各项都统一成分数再观察:,,, , , , … 2 2 2 2 2 n2 所以, 所以,它的一个通项公式为 an= . 2 (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,…,是连续的 数列各项的绝对值为 , 正奇数; 考虑(-1)n+1 具有转换符号的作用, 具有转换符号的作用, 正奇数; 考虑 - 所以 - 数列的一个通项公式为 an=(-1)
n+1


(2n-1). - .

(3)这是个摆动数列,可寻找其摆动平衡位置与摆 这是个摆动数列, 这是个摆动数列 a+b + a-b - 动振幅.平衡位置: 振幅: 动振幅.平衡位置: ,振幅: ,用(-1)n - 2 2 或(-1) -
n+1

a+b + - n+1a-b 去调节, . 去调节,则 an= +(-1) - 2 2

(4)各项加 1 后,变为 10,100,1000,10000,…,此 各项加 , 数列的通项公式为 10 ,可得原数列的通项公式 为 an=10n-1.
n

观察规律)、 【名师点评】 此类问题主要靠观察 观察规律 、 名师点评】 此类问题主要靠观察(观察规律 比较(比较已知数列 、归纳、转化(转化为特殊 比较 比较已知数列)、归纳、转化 转化为特殊 比较已知数列 数列)、联想(联想常见的数列 等方法来解决. 联想常见的数列)等方法来解决 数列 、联想 联想常见的数列 等方法来解决.

数列通项公式的应用 (1)数列的通项公式给出了第 项an与它的位置序 数列的通项公式给出了第n项 数列的通项公式给出了第 之间的关系, 号n之间的关系,只要用序号代替公式中的 , 之间的关系 只要用序号代替公式中的n, 就可以求出数列的相应项. 就可以求出数列的相应项. (2)判断某数值是否为该数列的项,需假定它是 判断某数值是否为该数列的项, 判断某数值是否为该数列的项 数列中的项去列方程. 数列中的项去列方程.若方程解为正整数则是数 列的一项;若方程无解或解不是正整数, 列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是 该数列的一项. 该数列的一项.

例2

已知数列{a 的通项公式为 的通项公式为a 已知数列 n}的通项公式为 n=3n2-28n.

(1)写出数列的第 项和第 项; 写出数列的第4项和第 写出数列的第 项和第6项 (2)问-49是否是该数列的一项?如果是,应是哪 问 是否是该数列的一项? 是否是该数列的一项 如果是, 一项?68是否是该数列的一项呢? 是否是该数列的一项呢? 一项? 是否是该数列的一项呢

【思路点拨】 思路点拨】

令n=4,n=6求a4,a6 → = , = 求

分别令a =-49和 列方程 分别令 n=- 和68列方程 → 解方程求n 解方程求 → 作出判断

=-64, 【解】 (1)a4=3×16-28×4=- , × - × =- a6=3×36-28×6=- × - × =-60. =- 7 (2)设 3n -28n=- , =-49, 舍去). 设 =- 解得 n=7 或 n= (舍去 . = = 舍去 3 ∴n=7,即-49 是该数列的第 7 项. = , 34 2 =-2. 设 3n -28n=68,解得 n= 或 n=- = , = =- 3 34 * ,-2? ∵ ?N ,- ?N*, 3 不是该数列的项. ∴68 不是该数列的项.
2

互动探究

若本例中的条件不变, 试写出该数 若本例中的条件不变,(1)试写出该数

列的第3项和第 项;(2)问20是不是该数列的一项? 列的第 项和第8项 问 是不是该数列的一项? 项和第 是不是该数列的一项 若是,应是哪一项? 若是,应是哪一项?

解:(1)∵an=3n2-28n, ∵ , =-57, ∴a3=3×32-28×3=- , × × =- a8=3×82-28×8=- =-32. × × =- 2 (2)设 3n -28n=20, 设 = , 2 舍去). 解得 n=10 或 n=- (舍去 . = =- 舍去 3 ∵n∈N*,∴20 是该数列的第 10 项. ∈

数列的函数性质 数列是一种特殊的函数, 数列是一种特殊的函数,函数问题的解决方法同 样适用于数列问题,不过要注意n∈N*,否则易 样适用于数列问题,不过要注意 ∈ 出现错误. 出现错误.

n2 例3 已知数列 n}的通项公式为 an= 2 已知数列{a 的通项公式为 . n +1 求证:此数列为递增数列. 求证:此数列为递增数列.
【思路点拨】 思路点拨】 结论. 结论. 可通过证a + 可通过证 n+1-an>0来证明 来证明

(n+1)2 + ) n2 证明】 【证明】 an+1-an= - 2 2 (n+1) +1 n +1 + ) (n+1)2(n2+1)-n2[(n+1)2+1] + ) ) ( + ) = [(n+1)2+1](n2+1) ( + ) ( ) 2n+1 + = , 2 2 [(n+1) +1](n +1) ( + ) ( ) 由 n∈N*,得 an+1-an>0,即 an+1>an. ∈ , 数列{a 是递增数列 是递增数列. ∴数列 n}是递增数列.

变式训练1 变式训练 +4.

若数列{a 的通项公式为 的通项公式为a 若数列 n}的通项公式为 n=n2-5n

试问n为何值时, 有最小值?并求出最小值. 试问 为何值时,an有最小值?并求出最小值. 为何值时
52 9 解:∵an=n -5n+4=(n- ) - , + = - 2 4 5 可知对称轴方程为 n= =2.5. = 2 有最小值, 又因 n∈N*,故 n=2 或 3 时,an 有最小值,其最 ∈ =
2

=-2. 小值为 22-5×2+4=- × + =-

递推公式的应用 递推公式与通项公式一样,是关于项数 的恒等式 的恒等式, 递推公式与通项公式一样,是关于项数n的恒等式, 用符合要求的正整数去替换递推公式中的n, 用符合要求的正整数去替换递推公式中的 ,便可 求出数列中的各项. 求出数列中的各项.但并不是所有数列都有递推 公式,有的数列的递推公式也未必唯一. 公式,有的数列的递推公式也未必唯一.

例4 已知数列 n}满足条件:a1=0,an+1=an+ 已知数列{a 满足条件 满足条件: , +

(2n-1),写出它的前 项,并归纳出数列的一个 - ,写出它的前5项 通项公式. 通项公式. 思路点拨】 【思路点拨】 题中的两个数列都是用递推公式 给出的,已知a 可递推出a 给出的,已知 1可递推出 2,…,依此类推,可求 ,依此类推, 出它的任意一项. 出它的任意一项. 【解】 ∵a1=0,an+1=an+(2n-1), , + - , ∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1, × - = + = , a3=a2+(2×2-1)=1+3=4, × - = + = , a4=a3+(2×3-1)=4+5=9, × - = + = , a5=a4+(2×4-1)=9+7=16. × - = + = 故该数列的一个通项公式是a - 故该数列的一个通项公式是 n=(n-1)2.

【名师点评】 根据递推公式写出数列的前几项, 名师点评】 根据递推公式写出数列的前几项, 要弄清楚公式中各部分的关系, 要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即 可.另外,解答这类问题时还需注意:若知道的 另外,解答这类问题时还需注意: 是首项, 是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示 后面的项的形式;若知道的是末项, 后面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给 公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.

变式训练 2

1+an + 设数列{a , 设数列 n},a1=0,an+1= , , 3-an -

写出数列的前 4 项,并归纳出该数列的一个通项 公式. 公式. 1+a1 1 + 解:a1=0,a2= , = , 3-a1 3 - 1 + 1+a2 1+3 1 + a 3= = = , 1 2 3-a2 - 3- - 3 1 1+ + 1+a3 + 2 3 a 4= = = . 1 5 3-a3 - 3- - 2

1 2 可写成 直接观察可以发现 a3= 可写成 a3= , 2 4 n-1 - (n≥2). 这样可知 an= ≥ . n+1 + 1-1 - 当 n=1 时, = =0=a1, = 1+1 + n-1 - . 所以 an= + n+1

方法感悟 1.数列与函数的联系 . 数列是特殊的函数,从函数观点看, 数列是特殊的函数,从函数观点看,数列可以看 成是以正整数集N*(或它的有限子集 或它的有限子集{1,2,…,n}) 成是以正整数集 或它的有限子集 , , 为定义域的函数a 为定义域的函数 n=f(n),当自变量按照从小到 , 大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值, 大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值,其 图象为一组离散的点. 图象为一组离散的点.

2.数列的通项公式和递推公式 . 通项公式、 通项公式、递推公式是反映数列内在规律的重要 公式, 公式,但并不是所有的数列都有通项公式或递推 公式.如果一个数列仅仅给出前面有限的几项, 公式.如果一个数列仅仅给出前面有限的几项, 那么得到的通项公式或递推公式并不是唯一的, 那么得到的通项公式或递推公式并不是唯一的, 只要符合这几项的公式都可以. 只要符合这几项的公式都可以.

通项公式与递推公式对比表如下: 通项公式与递推公式对比表如下: 不同点 给出n的值 的值, 通项公 给出 的值,可求 出数列中的第n项 式 出数列中的第 项an 可确定一个数列, 可确定一个数列, 由首项(或前几项 或前几项) 由首项 或前几项 求出数列中的任意 一项 的值,通过一次 或 递推公 的值,通过一次(或 多次)运算 运算, 多次 运算,逐步地 式 求出第n项 求出第 项an 相同点


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