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福建省漳州市四地七校2012届高三第四次联考数学(文)试题


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.复数
2 1? i

等于(

) (B) 1 ? i (C) 2 ? 2i ) (D) 10 (D) 2 ? 2i

(A) 1 ? i

2.已知数列 { a n } 为等差数列,且 a 3 ? 7, a 7 ? 3, 则 a 1 0 等于( (A) 0 3.已知 sin ? ? (A) ?
1 5

(B) 1
5 5

(C) 9
4

,则 sin ? ? cos ? 的值为(
4


1 3 5

(B) ?

3

(C)

(D) )

5 5 ? ? ? ? ? 4.已知向量 a ? (1, 2 ) ,向量 b ? ( x , ? 2 ) ,且 a ? ( a ? b ) ,则实数 x 等于(

(A) 9

(B) 4

(C) 0

(D) ? 4

5.如图,函数 y ? f ( x ) 的图象在点 P (5, f (5)) 处的切线方程是
y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f ?(5) ? (

) (C) 2 (D) 0 )

(A)

1 2

(B) 1
2

6.若集合 A ? {1, m }, B ? { 2 , 4} ,则 " m ? 2 " 是 " A ? B ? {4} " 的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

7.已知直线 l , m , 平面 ? 、 ? , 且 l ? ? , m ? ? , 给出下列四个命题: ①若 ? // ? , 则 l ? m ; ②若 l ? m , 则 ? // ? ; ③若 ? ? ? , 则 l // m ; ④若 l // m , 则 ? ? ? ; 其中真命题是( ) (A)①② (B)①③ (C)①④ 8.某校举行演讲比赛,9 位评委给选手 A 打出的分数如茎叶图 所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均 分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的 x ) 无法看清,若统计员计算无误,则数字 x 应该是( ) (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

(D)②④

9.某器物的三视图如图所示,根据图中数据可知该器物的表面积为( ) (A) 4 ? (B) 5? (C) 8? (D) 9 ?

10.已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则

x

y

1 x

?

1 y

的最小值是(



(A) 2 3
x
2

(B) 4 3
y
2

(C) 2 ?

3

(D) 4 ? 2 3

11.以双曲线

?

? 1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是(



6
2 2

3

(A) x ? y ? 2 3 x ? 2 ? 0 (C) x ? y ? 2 3 x ? 2 ? 0
2 2

(B) ( x ? 3) ? y ? 9
2 2

(D) ( x ? 3 ) ? y ? 3
2 2
x

12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( ? x ) ? ? f ( x ), f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且 x ? ( ? 1, 0) 时 , f ( x ) ? 2 ?
f (lo g 2 2 0 ) ? (

1 5

,则

) (B)
4 5

(A) 1

(C) ? 1

(D) ?

4 5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.按如图所示的程序框图运行程序后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 H 的值是
x ? y ? 3 ? 0,
y x sin B sin C



14.若 x , y 满足 x ? y ? 1 ? 0 , 则
3 x ? y ? 5 ? 0,
?

的最大值是



15.在 ? A B C 中, A ? 120 , A B ? 5, B C ? 7, 则 为 。 16.给出下列四个命题:

的值

①命题 " ? x ? R , x ? 0 " 的否定是 " ? x ? R , x ? 0 " ;
2 2

②线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1 ,表明两个随机变量线性相关性越强; 1 ? 2 2 ③若 a , b ? [0,1], 则不等式 a ? b ? 成立的概率是 ;
4 16

④在 ? A B C 中,若 cos(2B+C)+2sinAsinB=0 则 ? A B C 一定是等腰三角形。 其中假命题的序号是 。(填上所有假命题的序号) ... 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 若函数 f ( x ) ? sin a x ?
2

3 sin a x co s a x ( a ? 0 ) 的图象与直线 y ? m 相切,相邻切点之

间的距离为

?
2



(Ⅰ)求 m 和 a 的值;

? ] (Ⅱ)若点 A ( x 0 , y 0 ) 是 y ? f ( x ) 图象的对称中心,且 x 0 ? [ 0 , ,求点 A 的坐标。
2

18.(本小题满分 12 分)某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组: 第 1 组[160,165),第 2 组[165,170),第 3 组[170,175),第 4 组[175,180),第 5 组[180,185)得到的频 率分布直方图如图所示。 (Ⅰ)求第 3、4、5 组的频率; (Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的 第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试, 求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求:第 4 组至少有一名学生 被甲考官面试的概率?

19.(本小题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。 (Ⅰ)写出四棱锥 P ? ABCD 中四对线面垂直关系(不要求证明) (Ⅱ)在四棱锥 P ? ABCD 中,若 E 为 PA 的中点,求证: BE // 平面 PCD (Ⅲ)求四棱锥 V P ? ABCD 值。

20.(本小题满分 12 分) 在公差不为零的等差数列 { a n } 和等比数列 { b n } 中,已知 a 1 ? b1 ? 1 ,a 2 ? b 2 , a 8 ? b 3 ; (Ⅰ) { a n } 的公差 d 和 { b n } 的公比 q ; (Ⅱ)设
1 cn ? 1 5 ( a n ? 4 ) ,求数列 { c n c n ? 1 } 的前 n 项和 S n

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

x ? 2x ? a
2

x

, x ? ?1, ? ? )

(Ⅰ) 当 a ?

1 2

时,求函数 f ( x ) 的最小值,
x ( ) 恒成立,试求实数 a 的取值范围. ? 0

(Ⅱ)若对任意 x ? ?1 , ? ? ) ,f

22.(本题满分 14 分) 已知 F1、F2 是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一
2 2

点,点 B 也在椭圆上,且满足 OA ? OB ? 0 ( O 是坐标原点) AF 2 ? F1 F 2 ? 0 ,若椭圆的离心率等于 , (Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)若三角形 ABF2 的面积等于 4 2 ,求椭圆的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,椭圆上是否存在点 M,使得三角形 MAB 的面积等于 8 3 .

.

2012 年漳州市三地七校 5 月份第四次联考试题 高三数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1—5 B A B A C 6—10 A C D C D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.5; 14.2; 15.
3 5

11—12 D C



16.①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。

由题设知,函数 f ( x ) 的周期为 所以 m ? ?
1 2

?
2

,? a ? 2

或m ?

3 2

,a ? 2

…………………………………………………………8 分

18.解:(Ⅰ)由题设可知,第 3 组的频率为 0 .0 6 ? 5 ? 0 .3, 第 5 组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 。

第 4 组的频率为 0 .0 4 ? 5 ? 0 .2,

……………………………………………………3 分

(Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B 2 ,第 5 组的 1 位同学为 C 1 ,则从六位同学中抽 两位同学有: ( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B 2 ), ( A1 , C 1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ),
( A2 , B 2 ), ( A2 , C 1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B 2 ), ( A3 , C 1 ), ( B1 , B 2 ), ( B1 , C 1 ), ( B 2 , C 1 )

共 15 种可能。

………………………………………………10 分

其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B 2 至少有一位同学入选的有: ( A1 , B1 ), ( A1 , B 2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B 2 ),
( A3 , B1 ), ( B1 , B 2 ), ( A3 , B 2 ), ( B1 , C 1 ), ( B 2 , C 1 ) 共 9 种可能,

………………………11 分 ………………………12 分

所以第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率为

9 15

?

3 5

19. 解 :( Ⅰ ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D 中 , PA ? 平面 A B C D , AD ? 平面 P A B ,
AB ? 平面 P A D , BC ? 平面 PAB ………………….…………….……4 分 (只要对一个得一分)

(Ⅱ)取 PD 的中点 F,连接 EF,CF ? E,F 分别是 PA,PD 的中点
? EF//AD,EF=

P

1 2

AD ? 2 ? BC …………….………….……6 分

A B

D C

在直角梯形 ABCD 中, BC // AD ? 四边形 BEFC 是平行四边形,即 BE // CF

又? CF ? 平面 PCD , BE ? 平面 PCD ………………………….…….…………….…………..………8 分
? BE // 平面 PCD …………..9 分

(Ⅲ) S ABCD ?

1 2

?2 ? 4 ? ? 2

? 6 , V P ? ABCD ?

1 3

S ABCD ? h ?

1 3

?6?2 ? 4

即:四棱锥 V P ? ABCD 值为 4………………………….……….……………….12 分

(Ⅱ)由(1)得: a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 5 ? 5 n ? 4 , ∴
1 2
1 cn ? 1 5 ( a n ? 4 ) =n

∴ cn ?
1

1 n

, c n c n ?1 ?
1 n n ?1

1 n ( n ? 1)

?

1 n

?

1 n ?1

……………9 分

∴ Sn ? 1 ?

?

1 2

?

1 3 1 2

? ... ?

1 n

?

n ?1

? 1?

n ?1

?

……………………………………12 分
1 2x
2

21.(Ⅰ)解:当 a ?

时 , f (x) ? x ?

1 2x

?2

? x ? 1时 , f ? ( x ) ? 1 ?

?0

……4 分

? f ( x ) 在 区 间 ?1, ? ? ) 上 为 增 函 数 , ? f ( x ) 在 区 间 ?1, ? ? ) 上 的 最 小 值 为 f (1) ?
7 2

……6 分

解法二:在区间 ?1, ? ? ) 上 , f ( x ) ?
?

?

x ? 2x ? a
2

? 0 恒成立

x
2

? x ? 2 x ? a ? 0恒 成 立
2
2 2

设 y ? x ? 2 x ? a , x ? ?1, ? ? ) ,
? 当 x ? 1时 , y m in ? 3 ? a
? a ? ?3

……8 分

? y ? x ? 2 x ? a ? ( x ? 1) ? a ? 1 递增,

当且仅当 y m in ? 3 ? a ? 0时 , 函 数 f ( x ) ? 0 恒 成 立 ,

……12 分

∴A( c , y ),代入椭圆方程得 y ?

1 2

a

∴A(

2 2

a,

1 2

a) ,故直线 AB 的斜率 k ?

2 2

因此直线 AB 的方程为 y ?

2 2

x ……………4 分

(Ⅱ)连结 AF1、BF1、AF2、BF2,由椭圆的对称性可知
S ? ABF 2 ? S ? ABF 1 ? S ? AF 1 F 2 ,所以
2 2
2 2

1 2

2c

1 2

a ? 4 2 ……………6 分
2 2

又由 c ?

a 解得 a ? 1 6, b ? 1 6 ? 8 ? 8
2 2

故椭圆方程为

x

?

y

? 1 ……………8 分

16

8

(Ⅲ)由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2 ( 2 2 ) ? 2 ? 4 3 ……………9 分 假设在椭圆上存在点 M 使得三角形 MAB 的面积等于 8 3 设点 M 到直线 AB 的距离为 d ,则应有 ∴ d ? 4 ……………10 分 与 AB 平行且距离为 4 的直线为 2 x ? 2 y ? 4 6 ? 0
? 2x ? 2y ? 4 6 ? 0 ? 2 2 x ? 2 y ? 16 ?
1 2 4 3d ? 8 3

消去 x 得

y

2

? 2 3y ? 8 ? 0

? ? 0

……………13 分

此方程无解故椭圆上不存在点 M 使得三角形 MAB 的面积等于 8 3 ……………14 分 另解:设点 P(4 co s ? , 2 2 sin ? )为椭圆上任意一点
2 2

则 P 到直线 y ?

x 的距离为

| 2 2 co s ? ? 2 2 sin ? | 6 2

?

4 3

6 | co s(? ?

?
4

) |?

4 3

6 ? 4 ……………13 分

故椭圆上不存在点 M 使得三角形 MAB 的面积等于 8 3 ……………14 分


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