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江苏省南京市2013届高三数学教师寒假培训暨二轮复习专题讲座5——三角函数复习建议(玄武高级中学 陈正蓉)


三角函数二轮复习建议
梅园 陈正蓉 在江苏高考考试说明中,三角函数部分涵盖了八个知识点,其中两角和(差)的正弦、 余弦和正切为 C 级点,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及几个三角恒等式为 A 级点,其余 均为 B 级点,高考中一般以基础题为主,难度基本为容易题或中档题,涉及到的问题主要有 三个方面——三角函数的图象与性质、三角变换和解三角形.二轮复习应紧紧抓住这三个方 面,对于典型问题应从解题策略上讲清讲透,使学生对典型问题的解题思路和方法做到心中 有数,让学生练到位,力争拿高分. 本单元二轮专题和课时建议: 专题 第一、二课时 第三、四课时 第五、六课时 三角函数的图象与性质 三角变换 解三角形 内容说明(核心) 周期、值域、单调性、奇偶性、图象变换 和差倍角公式、求值、证明 正、余弦定理

第一、二课时 三角函数的图象与性质 教学目标 1. 充分运用数形结合的思想,把三角函数的图象(正、余弦曲线或单位圆)和性质两者紧密 结合起来,既利用图象的直观性描述其性质,又能利用函数的性质细化其图象; 2. 能运用三角公式将所给函数解析式正确转化成 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,进而研究函数 的单调性,周期性,奇偶性,及函数在某给定区间上的值域问题; 3.掌握简单的函数图象变换问题. 专题回顾 π 1.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为 π,则 ω=_________,它的对称中心 6 是________________________,对称轴方程是_______________________,单调增区间为 π ___________________________,若 x∈[0,2],则函数 f(x)的值域为_____________. π 2.当函数 f(x)=sinx-cos(x+ )取得最大值时,x=_______________. 6 π 3.将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式 4
y

是____________________.
1

4.若函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如右图所示, 则 ω=_________,若 φ∈(-π,0),则 φ=___________.

y O y

π 3

2π 3

x

5. 已知函数 f(x)=cos(x+φ)- 3sin(x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则 φ 的值为_________. π π 6.已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+ )在( ,π)上单调递减,则 ω 的取值范围是__________. 4 2

典型例题 基本题型一: 研究函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的周期性, 单调性及该函数在某指定区间上的值域.
例 1.已知函数 f(x)=sin(2x+ )+sin(2x- )+2cos x-1,x∈R.

π 3

π 3

2

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; π π (2)求函数 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 4 4 说明:对函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的相关性质的考查是三角函数部分的重要内容之一,这类问 题经常以齐次式的形式出现,需要学生经过两角和与差的正余弦、降幂、辅助角等变形,进 而转化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式.教学中应加强对此类题型的训练,不轻易放弃任何一个 学生,这不仅是考高分的基础,更是提高均分的一个关键点.

基本题型二:通过对函数图象的研究函数的性质,或经过简单的函数图象变换,研究变换后 的函数的相关性质.
例 2.已知向量 m=(sinx,1),n=( 3Acosx, cos2x)(A>0) ,函数 f(x)=m· 的最大值为 6. n

A 2

(1)求 A; π 1 (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍, 12 2 5π 纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在[0, ]上的值域. 24 说明:以平面向量为载体,通过平面向量的共线或垂直,转化为与三角函数有关的问题.在 处理与三角有关的问题时,除需掌握例 1 中解决问题的基本方法外,还需注意与图象变换有 关的问题,正确处理图象的平移和伸缩变换与解析式之间的关系.第(2)题中也可将两种变 换交换一下变换的次序,进而使学生能真正把握住平移变换和伸缩变换.

基本题型三:给出函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的某种性质(周期性、单调性或最值) ,求待定字 母系数的取值(或范围) . π 例 3.设 f(x)=4cos(ωx- )sinωx-cos(2ωx+π),其中 ω>0. 6 π (1)若 f(x)的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点间的距离为 ,求 ω 的值; 2 3π π (2)若 f(x)在区间[- , ]上为增函数,求 ω 的最大值. 2 2 说明:对函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的性质的研究,有时也会反过来研究,即先给出它的某种性 质,通过对这些性质的识别得出函数的解析式,如该题中 f(x)图象与 x 轴的交点中相邻两交点 间的距离就是该函数的半个周期,对于这类性质的刻画还可以通过两邻两对称轴间的距离, 过最高或最低点的曲线的切线两邻两切点间的距离等来体现.本题的第(2)问也可以改成:

π π 若,且 f(x)在( , )上的有最小值而没有最大值,求 ω 的值. 6 3

基本题型四:与三角函数有关的应用问题. 例 4.有一个圆心角为 120° ,半径为 R 的扇形铁片,要在其中截下一矩形铁片,有两种截法: 如图(a) ,矩形的一边在半径 OA 上:如图(b) ,矩形的一边平行于弦 AB.请问:哪一种截 法截下的矩形面积最大?并求这个矩形的最大面积.
B E D

O 图(a) P B Q

C

A

N

O 图(b)

M

A

说明:与三角函数有关的应用问题是热点之一,在 08 年和 10 年都曾涉及到,在列出函数解 析式后,根据解析式的特点,选择求最值的方法,有时可直接利用求三角函数的最值的方法, 有时可能需转化成其它的基本函数类型,还有时需要利用导数来解决问题.在讲解时,不妨 可以把江苏 08 年和 10 年的高考题拿出来一并处理.

课后检测 一、填空题 π 1.函数 y=2cos2(x- )-1 是最小正周期为________的________函数(奇偶性) . 4 π 2. 函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx, 0≤x< 时, 当 f(x)的最大值为_________, 最小值为_________. 2 3.函数 f(x)=(sinx-cosx)2 的单调递增区间为________________________. 4.设 φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的_________________条件. (填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件) π 5.已知函数 f (x)=sin(ωx+ )( x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 f(x)=cosωx 的 4 图象,只要将 y=f(x)的图象向________平移________个单位长度.

6.已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx( ω>0),y=f(x)的图像与直线 y=2 的两个相邻交点的距离 等于 π,则 f(x)的单调递增区间是____________________. 4π 7. 如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像关于点( , 0)中心对称, 那么|φ|的最小值为_____________. 3 π 2 8.已知函数 f (x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f( )=- ,则 f(0)=__________. 2 3 π 9.设函数 f(x)=2sin(2x+ ),则下列结论正确的是________. 3 π ①f(x)的图像关于直线 x= 对称; 3 π ②f(x)的图像关于点( ,0)对称; 4 π ③把 f(x)的图像向左平移 个单位,得到一个偶函数的图像; 12 π ④f(x)的最小正周期为 π,且在[0, ]上为增函数. 6 π π 2π π 2π 10.已知 f(x)=sin(ωx+ )(ω>0),f( )=f( ),且 f(x)在区间( , )有最大值,无最小值,则 3 3 3 3 3 ω=________. 二、解答题 11.已知向量 a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2 3cosωx),设函数 1 f(x)=a· b+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈( ,1). 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期; π 3π (2)若 y=f(x)的图象经过点( ,0),求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围. 4 5 12.设函数 f(x)=cos2ωx+ 3sinωxcosωx+a(其中 a∈R,ω>0)且 f(x)的图像在 y 轴右侧的 π 第一个高点的横坐标为 . 6 (1)求 ω 的值及函数 f(x)的单调增区间; π π (2)如果 f(x)在区间[- , ]上的最大值为 3,求 a 的值. 6 12 13.若函数 f(x)=sinωx(sinωx-cosωx)(ω>0)的图像与直线 y=m(m 为常数)相切,并且 π 切点的横坐标依次成等差数列,公差为 . 2 (1)求 m 的值; π (2)若点 A(x0,y0)是 y=f(x)图像的对称中心,且 x0∈[0, ],求点 A 的坐标. 2
14.设函数 f(x)=
y π 2 O 2 - o 3 y 7π 12 11π 12 x y

2 π cos(2x+ )+sin2x. 2 4

(1)求函数 f(x)的最小正周期; π π 1 (2)设函数 g(x)对任意 x∈R,有 g(x+ )=g(x),且当 x∈[0, ]时, g(x)= -f(x),求函数 2 2 2

g(x)在[-π,0]上的解析式.

第三、四课时

三角变换

教学目标 1. 熟练掌握同角三角函数间的基本关系、正余弦的诱导公式、两角和与两角差的正余弦和正 切公式、二倍角的正余弦和正切公式. 2. 掌握三角变换的基本解题规律:寻找联系,尤其是角与角之间的联系,能够用已知角表示 未知角,缩小已知条件和所求结论之间的差异,并最终消除差异.要注意积累各种变换 方法与技巧,不断提高分析和解决问题的能力. 专题回顾 1. 已知 sinα= 5 ,则 sin4α-cos4α=_____________. 5

2.已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 tanα=______________. π π π 4 3.已知 x∈(- ,- ),cos(x+ )= ,则 sinx=_________________. 2 6 6 5 5 10 4.已知 sinα= ,sinβ= ,且 α,β 为锐角,则 α+β 的值为__________. 5 10 5.tan20° +tan40° 3tan20° + tan40° =__________________. π 3 π 6.设 α 为锐角,若 sin(α- )=- ,则 cos(2α- )的值为__________. 3 5 6 典型例题 基本题型一:已知一个角的三角函数值,求三角表达式的值. α 例 1.已知 tan =2, 求: 2 π (1)tan(α+ )的值; 4 6sinα+cosα (2) 的值. 3sinα-2cosα 说明:三角函数式的求值问题是一类重要的三角问题,不仅可以在小题中进行考查,也可以 在解答题中进行考查.解决这类问题的基本方法和策略就是研究已知和所求之间的差异,这 种差异可以角,可以函数名称,也可以函数表达形式,解决问题的目标就是消除这种差异, 一般情况上,首先考虑消除的是角的差异,其次是函数名称的差异,最后是表达形式上的差 异.此题是一种较为典型的三角求值问题,其中不仅有角的差异,也有函数名的差异,在消 除函数名的差异时,除可以利用同角间的三角函数间的关系,根据正切分别求出正余弦外, 也可以利用正余弦的齐次分式直接转化为切的分式.解题时,既要讲切化弦,也得讲一讲弦 化切的解题方法.如(2)中可改求一个关于角 α 的正余弦的二次齐次式的值.

基本题型二:与三角函数的图象与性质有关的综合问题. π 例 2.已知函数 f(x)=2cos(ωx+ ) (其中 ω>0,x∈ R )的最小正周期为 10π. 6

(1)求 ω 的值; π 5π 6 5π 16 (2)设 α,β∈[0, ],f(5α+ )=- , f(5β- )= ,求 cos(α+β)的值. 2 3 5 6 17 说明:三角求值问题中,研究已知角和所求角之间的关系,较常见的方法是用已知角去表示 所求角,从而将问题转化为两角和与差的三角函数的求值问题或二倍角的计算问题,但有时 用已知角表示所求角不太方便求解,也需学会将已知角用所求角去表示,从而将问题转化为 π π α 方程或方程组问题.如可在此补充:已知 0<α< ,0<β< ,且 3sinβ=sin(2α+β),4tan =1 2 2 2 -tan2 α ,求 α+β 的值.此题中,若能将条件 3sinβ=sin(2α+β)中的 β 表示成(α+β)-α,并 2

把 2α+β 表示成(α+β)+α,那么问题的解决将会易如反掌.

π 例 3.函数 f(x)=Asin(ωx- )+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间的距 6 π 离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式; π α (2)设 α∈(0, ),且 f( )=2,求 α 的值. 2 2 说明:三角求值问题中常遇到的另一类问题就是求一个角的大小,这时只需求出该角的某一 三角函数值即可,具体选择哪种三角函数值时应根据题目中的条件,尤其是角的范围来决定.
2ωx

例 4.函数 f(x)=6cos

2

+ 3sinωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最

高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 7 6 1 2 (2)若 f(x0+1)= ,且 x0∈(- , ),求 f(x0)的值. 5 3 3

课后检测 一、填空题 4 π 1.已知 x 为锐角,若 cosx= ,则 tan(x+ )=___________,tan2x=_____________. 5 4 1 2.若 tanθ+ =4,则 sin2θ=___________. tanθ 3 π 5 π π 3.cos(α+β)= ,sin(β- )= ,α,β∈(0, ),则 cos(α+ )的值为___________. 5 4 13 2 4 π 1 4.已知 x∈(- ,0),sinx+cosx=- ,则 sinx-cosx 的值为___________. 2 5

5.已知 α 为第二象限角,sinα+cosα=

3 ,则 cos2α= ___________. 3

π π 3 7 6.若 θ∈[ , ],sin2θ= ,则 sinθ=___________. 4 2 8 π 3 sinαcosα 7.已知 tan(α- )= ,则 =___________. 6 3 3cos2α-2sin2α π 4 7π 8.已知 cos(α- )+sinα= 3,则 sin(α+ )的值是___________. 6 5 6 π 1 3π 9.若 sin(α+ )= ,则 cos( -2α)的值为___________. 8 4 4 10.△ABC 中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则角 C 的大小为___________. 二、解答题 11.已知向量 a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tanθ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值. 12.已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b |= (1)求 cos(α-β)的值; π π 12 (2)若 0<α< ,- <β<0,且 sinβ=- ,求 cosα 的值. 2 2 13 π 13.已知函数 f(x)=Asin(2x+φ),A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π 在 x= 时取得最大值 4. 12 (1)求函数 f(x)的解析式; π α π 12 (2)若 α∈(0, ),且 f( - )= ,求 sinα 的值. 2 2 4 5 14.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. ①sin213° +cos217° -sin13° cos17° ; ②sin215° +cos215° -sin15° cos15° ; ③sin218° +cos212° -sin18° cos12° ; ④sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° cos48° )° ; ⑤sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° cos55° )° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数. (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 2 5 . 5

第五、六课时

解斜三角形

教学目标: 1. 掌握正弦定理,余弦定理的运用; 2.掌握解三角形的一般思路与方法——化边或化角. 专题回顾 1.在△ABC 中,若(a-c)(a+c)=b(b+c),则角 A 的度数是_____________. 1 2.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cosB=- ,则 b=__________. 4 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 a2+b2=2c2,则 cosC 的最小值为 ________. 4.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 AC 的取值范围为______________. 5. 在△ABC 中, A, C 所对边长分别为 a, c, a2-c2=2b, sinAcosC=3cosAsinC, 角 B, b, 若 且 则 b=__________. 6. 在△ABC 中, 内角 A, C 所对的边分别是 a, c, B, b, 已知 8b=5c, C=2B, cosC=________. 则

典型例题 基本题型一:利用正、余弦定理求解三角形.
2 例 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cosA= ,sinB= 5cosC. 3

(1)求 tanC 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

π 例 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,A= ,(1+ 3)c=2b. 6 (1)求 C; → → (2)若CB · CA =1+ 3,求 a,b,c. 说明:根据已知条件解三角形的基本方法主要有两个:一是化边;二是化角.化边后,一般 就是将问题转化为代数的计算问题,而且这种转化后的变形相对较为单一,故教学中常 被作为首选方法,但由于这种转化后的变形往往需要一定的运算基础和运算能力,包括 分解因式的能力,所以在一定程度上制约了学生解题的成功率,尤其是数学基础相对较 弱的学生.化角后,运算虽相对较少,但却需要一定的三角变换能力.进行此类问题的 解题教学时,应将两种方法都讲解到位,让学生在比较中去感受两种解法的差异,进而 寻找到适合自己的解法.以此题为例,由于第(1)题求的是角 C,故只需求出角 C 的某 一三角函数值即可,结合此题的条件,若选择化角,则应将(1+ 3)c=2b 转化为(1+ π π 3)sinC=2sinB,再根据 A+B+C=π,以及 A= ,即可得到(1+ 3)sinC=2sin(C+ ), 6 6 从而得到一个关于角 C 的三角方程,展开化简后可求得 tanC=1,再根据 C∈(0,π),即

π π 可求得 C= . 若选择化边, 即通过余弦定理先求出 cosC, 再求角 C, 那么就应利用 A= , 4 6 得 a2=b2+c2-2bccosA,即 a2=b2+c2- 3bc,再结合(1+ 3)c=2b,可得到 a= 2 c, 2

a2+b2-c2 2 代入 cosC= 中求得 cosC= . 讲解完此题之后, 不妨再把江苏 12 年高考第 15 2ab 2 →→ 题让学生去想一想, 做一做, 边与角两条路都去走一走, 试一试. 在△ABC 中, 已知 AB · AC 5 →→ =3 BA · . BC (1)求证:tanB=3tanA; (2)若 cosC= ,求 A 的值. 5

基本题型二:在三角形中研究取值范围的问题. 例 3.已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c,且 A,B,C 成等差数列. 3 → → (1)若 AB · BC =- ,b= 3,求 a+c 的值; 2 (2)求 2sinA-sinC 的取值范围.

基本题型三:和正、余弦定理有关的应用问题. 例 4.如图,某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号.我海军舰艇在 A 处获悉后,测出该渔 船在方位角为 30° ,距离为 10 海里的 C 处,并测得该渔船正沿方位角为 90° 的方向,以 30 海里/时的速度向小岛 P 靠拢.我海军舰艇立即以 30 3海里/时的速度前去营救. 北 求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间. (注:方位角是从指北方向 顺时针转到目标方向线的角) C 北
30?

P

课后检测

A

一、填空题 1.在△ABC 中,a=7,b=10,c=6,则最大角的余弦值为____________. 2.若三角形的三个内角之比为 1:2:3,则所对边长之比是____________. 3.已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a=c= 6+ 2,且 A=75° , 则 b=________. 3 5 4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 cosA= ,cosB= ,b=3,则 5 13 c=_____. 5.已知△ABC 得三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.

6.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 cos(A-C)+cosB=1,a=2c,则角 C =_____. 3 7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,cos(A-C)+cosB= ,b2=ac,则 2 角 B=________. π 4 8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,B= ,cosA= ,b= 3,则 S△ABC 3 5 =________. 9. 已知 a, c 为△ ABC 的三个内角 A, C 的对边, b, B, 向量 m=( 3, -1), n=(cosA, sinA). 若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B 的度数为 .

10.下列命题中是真命题的有_______________. (填写真命题的序号) π π ①若 f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,θ∈( , ),则 f(sinθ) 4 2 >f(cosθ); π ②若锐角 α,β 满足 cosα>sinβ,则 α+β< ; 2 ③在△ABC 中, “A>B”是“sinA>sinB”成立的充要条件; x π x π ④要得到函数 y=cos( - )的图象, 只需将 y=sin 的图象向左平移 个单位. 2 4 2 4 二、解答题 φ 11.设函数 f(x)=2sinxcos2 +cosxsinφ-sinx(0<φ<π)在 x=π 处取最小值. 2 (1)求 φ 的值; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= 2,f(A)= C. 12.在△ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,已知 3acosA=ccosB+bcosC. (1)求 cosA 的值; (2)若 a=1,cosB+cosC= 2 3 ,求边 c 的值. 3 3 ,求角 2

cosA-2cosC 2c-a 13.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cosB b c (1) 求 的值; a 1 (2)若 cosB= ,求 tanC 的值. 3 π π π 14.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 A= ,bsin( +C)-csin( + 4 4 4 B)=a. π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

参考答案: 第一、二课时 专题回顾: kπ π kπ π π π 1 1.2;( - ,0),k∈Z;x= + ,k∈Z;[kπ- ,kπ+ ],k∈Z;[- ,1]. 2 12 2 6 3 6 2 2π 3 π 2π 2.2kπ+ ,k∈Z. 3.y=cos2x+1. 4. ;- . 5. . 3 2 2 3 典型例题: π 3π 例 1. (1)由题意可得 f(x)= 2sin(2x+ ),所以 f(x)的最小正周期为 π;单调增区间为[kπ- , 4 8 π π π kπ+ ],k∈Z; (2)函数 f(x)在区间[- , ]上的最大值为 2,最小值为-1. 8 4 4 π π 例 2.由题意可得 f(x)=Asin(2x+ ). (1)A=6; (2)由题意可得 g(x)=6sin(4x+ ),所以 g(x) 6 3 5π 在[0, ]上的值域为[-3,6]. 24 3π π 例 3. (1)由题意可得 f(x)= 3sin2ωx+1,所以 ω=1; (2)因为 f(x)在区间[- , ]上为增 2 2 π π 1 1 函数,且 ω>0,所以- ≤-3ωπ<ωπ≤ .解得 0<ω≤ .所以 ω 的最大值为 . 2 2 6 6 1 5 6.[ , ]. 2 4

π 例 4.图(a) :连接 OD,设∠DOC=θ(0<θ< ),则 OC=Rcosθ,CD=Rsinθ.所以 S 矩形 OCDE 2 1 π 1 =OC·CD=Rcosθ·Rsinθ= R2sin2θ.所以当 θ= 时,S 矩形 OCDE 取最大值为 R2. 2 4 2 π 图(b) :过点 O 作 AB 的垂线,交 QM、PN 分别与点 E,F,设∠POF=θ(0<θ< ),则 PF 3 =Rsinθ,EF=OF-OE=Rcosθ- Rsinθ Rsinθ =Rcosθ- .所以 S 矩形 MNPQ=2PF·EF= tan60° 3

Rsinθ R2 π π 3R2 2Rsinθ(Rcosθ- )= [2sin(2θ+ )-1].所以当 θ= 时,S 矩形 MNPQ 取最大值为 . 6 6 3 3 3 1 3R2 3R2 因为 R2< ,所以用图(b)那种截法截出的矩形面积最大,最大面积为 . 2 3 3 课后检测: π 3π π 1.π;奇. 2.2;1. 3.[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 4.充分不必要. 5.左; . 4 4 8 π π 6.[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 3 6 π 7. . 6 2 1 13 8. . 9.③. 10. 或 . 3 3 3

5 π 6π π 11. (1)由题意可得 f(x)=2sin( x- )+λ,所以 T= ; (2)将点( ,0)代入 f(x)的解析式中可 3 6 5 4 3π 得 λ=- 2,所以函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. 5 3-1 π π 12. (1)ω=1,函数 f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z; (2) . 3 6 2 1± 2 3π 1 7π 1 13. (1)m= ; (2)点 A 的坐标为( , )或( , ). 2 16 2 16 2

?-2sin2x,-2<x≤0, 14. (1)T=π; (2)g(x)=?1 π ?2sin2x,-π≤x≤-2.
1 第三、四课时 专题回顾: 3 3+4 3 π 24 1.- .2.-1.3.- . 4. . 5. 3. 6. . 5 10 4 25 典型例题: 1 7 例 1. (1)- ; (2) . 7 6 1 13 例 2. (1)ω= ; (2)- . 5 85 π π 例 3. (1)f(x)=2sin(2x- )+1; (2) . 6 3 π 8 3 例 4. (1)ω= ,f(x)的值域为[-2 3,2 3]; (2)f(x0)= . 4 5 课后检测: 24 1 56 7 5 3 3 1.7; . 2. . 3. . 4.- . 5.- . 6. . 7.- . 7 2 65 5 3 4 3 4 7 π 8.- . 9.- .10. . 5 8 6 3 3+4 1 3π π 3 63 π 11. (1) ; (2) 或 . 12. (1) ; (2) . 13. (1)f(x)=4sin(2x+ );(2) . 4 4 2 5 65 3 10 3 3 14. (1) ; (2)sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= ,证明略. 4 4

π

第五、六课时 专题回顾: 2π 1 7 1. . 2.4. 3. . 4.( 2, 3). 5.4. 6. . 3 2 25 典型例题:

例 1. (1) 5; (2)

5 . 2

π 例 2. (1) ; (2)a= 2,b=1+ 3,c=2. 4

例 3. (1)2 3; (2)(-

3 , 3). 2

例 4.设我海军舰艇经过 t 小时在 B 处与渔船相遇,则△ABC 中,AC=10, AB=30 3t,BC=30t,∠ACB=120° . 根据余弦定理有 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ACB. 1 1 即 2700t2=100+900t2+300t.解得 t= 或 t=- (舍去) .AB=10 3,BC=10,∠CAB=30° . 3 6 所以舰艇沿方位角为 60° 的方向航行,20 分钟可与渔船相遇.
课后检测:

5 1.- . 28 9.30° .

14 2 2.1: 3:2. 3.2. 4. . 5.- . 5 4 10.②③.

36+9 3 π π 6. . 7. . 8. . 6 3 50

π 11. (1) ; (2)15° 105° 或 . 2 1 14. (1)略; (2) . 2

1 3 12. (1) ; (2) . 13. (1)2; (2)4 2. 3 2


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