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2.5等比数列前n项的和


等比数列的前n项和

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周转不 灵……

第一天出1元入1万;第 二天出2元入2万;第三天 出 4元入3万元;……哇,发 这猴子会不会又在耍我? …… 了……
猴哥,能不能帮帮 我……

No problem!第一 天给你1万,每天给 你投资比前一天多1 万元, 连

续一个月 (30天),但有一个条 件:

第一天返还1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天 的2倍.

八戒吸纳的资金

返还给悟空的钱数

22 33 T30 ?1 ? 2 ? 3 ? ?30 S 30 ? 1,? 2 2,? 22 ,? 22 , ?? , 229 ?? ? 465 (万元)

等比数列的前30项和
每天投资1万元, 连续一个月(30天) 第一天返还1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天 的2倍.

八戒吸纳的资金

返还给悟空的钱数

22 33 T30 ? 1 ? 2 ? 3 ? ?30 S 30 ? 1,? 2 2,? 2 2 ,? 22 ,? ? ?? , 229 ? 465 (万元) =?

等比数列的前30项和
连续一个月(30天) 第一天返还1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天 的2倍.

等比数列的前n项和
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? an?1 ? an


=?
n?1

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q
2

n ?2

? a1q

=?

错位相减法
等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和
2 n?1 a q S n ? a1? 1 ?a1q ??? a1q n?2 ? a1q

qSn ?

n?1 n a1 q ?a1q 2 ??? a1q n?2 a q a q ? 1 ? 1

?(1 ? q)Sn ? a1 ? a1q 1n

n

a1 (1 ? q ) Sn ? (q ? 1) 1? q
当q ? 1时: Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? na1

错位相减法
等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和

?

? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ? na (q =1) ? 1

点击 判断是非

5(1 ? 1 ) 5 ? 5 ? 5 ??? 5 ? ?0 1 ?1
n

1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ??? (?2)

n个

n?1

?

1 ? (1 ? 2 2 ) 1 ? (?2)
n n+1

n n

n (? 2)

1 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
2 3

n

1 ? (1 ? 2 ) ? 1? 2

例1 已知 {an } 是等比数列,请完成下表:
题号 (1) (2) (3) a1 3 8
3

q 2
1 2
?2

n 6
7

an

Sn

96
1 8
? 96

189
127 8
? 63

6

a1、q、n、an、Sn中 知三求二

1 1 1 例2 求等比数列 2 , 4 , 8 ,? 的第5项到第10项的和.

【解法1】 此等比数列的第5项到第10项构成 1 一个 首项是 a5 ? 5 公比为 q ? 1
2

2

项数 n ? 6 的等比数列
1 1 (1 ? 6 ) 5 1 1 2 2 S? ? 4 ? 10 1 2 2 1? 2

63 ? 1024

【解法2】 a5 ? ?? a9 ? a10

? S10 ? S4
1 1 1 1 (1 ? 10 ) (1 ? 4 ) 2 ?2 2 ?2 1 1 1? 1? 2 2

1 1 63 ? 4 ? 10 ? 1024 2 2

乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式

小结

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? a n q q ? 1 ? ? 1?q ? Sn ? ? 1 ? q Sn ? ? 或 ?na ?na q ?1 ? 1 ? ? 1

q ?1 q ?1

数 学 源 于 生 活

知三求二

数 学 用 于 生 活

作业
1、书面作业:
必做题:P61 A 4 选做题:P61 A组 3 画一个边长为2cm的正方形, 再将这个 正方形各边的中点相连得到第2个正方 形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和

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