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2009届广东五校高三第一次联考试卷(理科)


理 科 数 学单元测试(12)
第一部分 选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请把选择的答案涂在答题卡上。 1.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6}, 集合A ? {1,3,4,5}, 集合B ? {1,4}, 则A ? CU B 等于 A.{1,4}
A .必要不充分条件

A、

1 ? 2

B、

2 ? 2

C、

2 ? 4

D、

? 4

8. 在实数集上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 都 成立,则实数 a 的取值范围是(
( A) . ?? 1, ? 1

)
(C ) (? , )
1 3 2 2

( B ) . ?0,2 ?

( D) (? , )

3 1 2 2

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,其中(9)~(12)是必做题, (13)~(15)是选 做题,要求考生只从(13)(14)(15)题中任选 2 题作答,三题都作答的只 、 、 计算前两题的得分。每小题 5 分,满分 30 分.
?e x , x ? 0, 1 9、设 f ( x ) ? ? 则 f ( f ( )) ? 3 ?ln x, x ? 0,
A B P C

B.{2,6}

C.{3,5}
C .充要条件

D.{2,3,5,6}
D .不充分不必要条件

2.“ a ? 0 ”是“复数 a ? bi (a, b ? R) 是纯虚数”的
B .充分不必要条件

3、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(

) D、 y ? ? x 3 ( x ? R).



1 A、 y ? ( ) x ( x ? R); 2

1 B、 y ? ( x ? 0); x

C、y=x(x∈R) ;

10、如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,AD=7,现在向该 矩形内随机投一点 P,则使得∠APB 大于 900 的概率为_______。
D

4. 期末考试后,班长算出了全班 40 名同学的数学成绩的平均分为 M,如果把 M 当 成一个同学的分数,与原来的 40 个分数一起,算出这 41 个分数的平均值为 N,那 么 M:N 为( A、40:41 ) B、1:1 C、41:40 D、2:1 )

11、 已知函数 y ? f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? ? f ( x) , 且当 x ? [? ? , ? ] 时,f ( x) ? cos x , 2 2 2 则函数 y ? f ( x)(x ? R) 与函数 y ? lg x( x ? 0) 的图象的交点的个数为_______。
a ? 12. 已知函数 f (a) ? ? sin xdx, 则 f [ f ( )] =_______________ 0 2

5.在等差数列中,若是 a2 ? 4a7 ? a12 ? 96 ,则 2a3 ? a15 等于(
( A) .12
?


( B ) .96
?

(C ) 24


( D) .48
?

6.设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a =(2,1) b + a =(5,4) ,3 ,则 cos ? = (
A.

)

? x ? 2 cos? 13、(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ? ? y ? 2 ? 2 sin ?
( ? 为参数) ,则坐标原点到该圆的圆心的距离为_________。 14、(不等式选讲选做题) y= x ? x ? 1 的最小值是 。

4 5

B.

1 3

C.

10 10

D .

3 10 10

7. 如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形, 俯视图是一个圆, 那么几何体的侧面积为( )

15.(几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,

CD ? 4, BD ? 8 ,则圆 O 的半径等于



(2)求甲运动员射击环数 ? 的概率分布列及期望;若从甲、乙运动员中只能挑选一 名参加某大型比赛,你认为让谁参加比较合适? 18. (本小题满分 14 分)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 (第 15 小题) BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. (Ⅰ)求证: BC ? A1D ;
A1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过 程. 16. (本小题满分 13 分) 已知二次函数 y ? f ( x)(x ? R) 的图象过点(0,-3) ,且 f ( x) ? 0 的解集 (1,3) (1)求 f (x) 的解析式;

(Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1BD ; (Ⅲ)求三棱锥 A1 ? BCD 的体积.
A D O C

B

19. (本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? e x ? ax ?1 . (I)若 f ( x) 在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围; (II)若 f ( x) 在 (??, 0] 上单调递减,在 [0, ??) 上单调递增,求 a 的值; (III)设 g ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 2 在(II)的条件下,求证 g ( x) 的图象恒在 f ( x) 图象的下 方. 20.(本小题满分 14 分)设函数 y ? f (x) 定义域为 R,当 x<0 时, f ( x) ? 1 ,且对于 任意的 x,y∈R,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 成立,数列 {an } 满足 a1 ? f (0) ,且

? (2)求函数 y ? f (sin x), x ? [0, ] 的最值。 2
17. (本小题满分 13 分)甲、乙两射击运动员进行射击比赛,射击次数相同,已知 两运动员射击的环数 ? 稳定在 7,8,9,10 环,他们的这次成绩的频率分布直
击中频率 0.3 0.2 0.15 0.35 0.2 击中频率

方图如下:

f (an?1 ) ?
7 8 9 甲 10 射击环数 7 8 9 乙 10 射击环数

1 f ( ?2?an )



(1) 求 f (0) 的值, (2) 证明函数 y ? f (x) 在 R 上是减函数;

(1) 求乙运动员击中 8 环的概率并求甲、 乙同时击中 9 环以上 (包括 9 环) 的概率。

(3) 求数列 {an } 的通项公式并证明; 21.(本小题满分 12 分) 已知在平面直角坐标系 xoy 中, 若在曲线 C1 的方程 F ( x, y) ? 0 中,以 (?x, ?y) (? 为正实数)代替 ( x, y ) 得到曲线 C 2 的方程 F (?x, ?y) ? 0 ,则称曲线 ,变换 ( x, y) ? (?x, ?y) 称为“伸缩变换” ? 称为伸缩比. , C1、C2 关于原点“伸缩” (Ⅰ)已知曲线 C1 的方程为
x2 y2 ? ? 1 ,伸缩比 ? ? 2 ,求 C1 关于原点“伸缩变换” 9 4

后所得曲线 C 2 的标准方程; (Ⅱ)射线 l 的方程 y ?
x2 y2 2 ? 1 经“伸缩变换”后得到 x( x ? 0) ,如果椭圆 C1: ? 16 4 2

椭圆 C 2 ,若射线 l 与椭圆 C1、C2 分别交于两点 A、 B ,且 AB ? 2 ,求椭圆 C 2 的 标准方程; (Ⅲ)对抛物线 C1:y 2 ? 2 p1 x ,作变换 ( x, y) ? (?1 x, ?1 y) ,得抛物线 C2:y 2 ? 2 p2 x ; 对 C 2 作变换 ( x, y) ? (?2 x, ?2 y) 得抛物线 C3:y 2 ? 2 p3 x ,如此进行下去,对抛物 线 Cn:y 2 ? 2 pn x 作变换 ( x, y) ? (?n x, ?n y) ,得抛物线 Cn?1:y 2 ? 2 pn?1 x , .若 ?
1 p1 ? 1, ? n ? ( ) n ,求数列 ? pn ? 的通项公式 pn . 2

∴甲、乙同时击中 9 环以上(包括 9 环)的概率:0.65×0.55=0.3575 (6 分) (2)ξ 的可能取值:7、8、9、10

2009 届广东五校高三第一次联考试卷

分布列: ξ P 7 0.2 8 0.15 9 0.3 10 0.35

理科数学参考答案
一、选择题: C A D B D
1 二、填空题: 9. ; 10、 3

D A C
5? 56

; 11、7; 12、-1 ;13、2; .14、1;15、5 期望 Eξ =7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8 (2 分) 18. 证明: (Ⅰ)∵ A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, ∴
2

三、解答题: 16. 解(1)由题意可设二次函数 f(x)=a(x-1)(x-3)(a<0) 当 x=0 时,y=-3,即有-3=a(-1)(-3) 解得 a=-1 f(x)= - (x-1)(x-3)= ? x ? 4 x ? 3
f (x) 的解析式为 ? x ? 4 x ? 3
2

(13 分)

AO ⊥平面 BCD ,又 BC ? 平面 BCD 1

∴ BC ? AO ??2 分 1

又 BC ? CO, A1O ? CO ? O, (6 分) ∴
BC ? 平面 ACD ,又 A1D ? 平面ACD ,∴ 1 1 ABCD 为矩形 ,∴

BC ? A1D ?4 分

(2)y=f(sinx)= ? sin x ? 4 sin x ? 3
2

= ? ?sin x ? 2? ? 1
2

(Ⅱ)∵ (8 分)

A1D ? A1B

? ?? ? x ? ?0, ? ? 2?

由(Ⅰ)知 A1 D ? BC, A1 B ? BC ? B ∴

A1D ? 平面 A1BC ,又 A1D ? 平面 A1BD
????????8 分

? sin x ? ?0,1?
当 sinx=0 时,y 有最小值-3 当 sinx=1 时,y 有最大值 0 (13 分)

∴ 平面 A1BC ? 平面 A1BD (Ⅲ)∵ A1D ? 平面 A1BC , ∴ ∵ A1D ? 6, CD ? 10 , ∴

A1D ? AC .????10 分 1
∴ AC ? 8 , ???12 分 1 ????14 分

17. (1)记“甲运动员击中 i 环”为事件 Ai ; “乙运动员击中 i 环”为事件 Bi ∴P(B8)=1- P(B7)- P(B9)- P(B10)=1-0.2-0.2-0.35=0.25 ∵P(A9)+P(A10)=1-0.15-0.2=0.65 P(B9)+P(B10)=0.2+0.35=0.55

1 1 VA1 ? BCD ? VD ? A1BC ? ? ( ? 6 ? 8) ? 6 ? 48 3 2

19.解:(I) f ( x) ? e x ? ax ?1 ,得 f ' ( x) ? e x ? a .
f ( x) 在 R 上单调递增,? f ' ( x) ? e x ? a ? 0 恒成立,即 a ? e x , x ? R 恒成立

则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )

? f ( x1 )[ f ( x2 ? x1 ) ? 1]
又 x1 ? x 2 ,∴ x2 ? x1 ? 0,0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,故函数 y ? f (x) 在 R 上是减函数 (3)由 (10 分)

又 a ? e x 时, e x ? (0, ??) ,得 a ? 0 . (II) f ' ( x) ? e x ? a ,

(4 分)

而 f ( x) 在 (??, 0] 上单调递减,得 e x ? a ? 0 在 x ? (??, 0] 上恒成立,有 a ? e x max , 又当 x? (??, 0] 时, ex ? (0,1] ,得 a ? 1 ①

f (an?1 ) ?

1 f ( ?2?an )



f (an?1 ) ? f (?2 ? an ) ? 1

于是

f (an?1 ? 2 ? an ) ? f (0)

又 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,得 e x ? a ? 0 在 x ? [0, ??) 上恒成立,有 a ? ex min , 又当 x ? [0, ??) 时, ex ?[1, ??) ,得 a ? 1 由①,②知 a ? 1 . ② (10 分)

又函数 y ? f (x) 在 R 上是减函数, 所以 an?1 ? 2 ? an

? 0 ,即 an?1 ? an ? 2
(14 分)

故数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以 an ? 2n ? 1

(III)由(II)可知 f (0) 是 f ( x) 的最小值,有 f ( x) ? f (0) , 而 f (0) ? e0 ? 0 ?1 ? 0 , g ( x) ? ?( x ?1)2 ?1 ? ?1 故 f ( x) ? g ( x) ,即 g ( x) 的图象恒在 f ( x) 图象的下方。 (14 分) 21.解(Ⅰ) 由条件得
x2 ( 2 x) 2 ( 2 y ) 2 ? y 2 ? 1 ; 分) (2 ? ? 1 ,得 C 2 : 9 9 4 4

(Ⅱ) ? C2、C1关于原点“伸缩变换” ,对 C1 作变换 ( x, y) ? (?x, ?y)(? ? 0) , 20、解: (1)令 x=-1,y=0 得 f (?1) ? f (?1) ? f (0) , 当 x<0 时, f ( x) ? 1 ,所以 f (0) ? 1 (3 分) 得到 C 2

?2 x 2
16

?

?2 y 2
4

(3 ? 1 , 分)

(2)当 x>0 时,-x<0,有 f (?x) ? 1 , f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 1 , ∴ 0 ? f ( x) ? 1, 故对于 x∈R, f ( x) ? 0 设 x1 ? x 2

? 2 x ( x ? 0) ?y ? 4 3 2 6 ? 2 , ) ; 分) 解方程组 ? 2 得点 A 的坐标为 ( (4 2 3 3 ?x ? y ?1 ? 16 4 ?

? 2 x ( x ? 0) ?y ? 4 3 2 6 ? 2 解方程组 ? 得点 B 的坐标为 ( (5 , ) ; 分) 2 2 2 2 3? 3? ? x ? y ? ? 16 ? 4 ? 1 ?

AB ? (

2 2 ? ?1 4 3 4 3 2 2 6 2 6 2 = 2, ? ) ?( ? ) = ? 3? 3 3? 3
2 , 3

化简后得 3?2 ? 8? ? 4 ? 0 ,解得 ?1 ? 2,? 2 ? 因此椭圆 C 2 的方程为

x2 y2 x2 ? ? 1 . 分) (7 (漏写一个方程扣 1 分) ? y 2 ? 1或 36 9 4

(Ⅲ)对 C n : y 2 ? 2 pn x 作变换 ( x, y) ? (?n x, ?n y) 得 抛物线 Cn?1 : (?n y) 2 ? 2 pn ?n x, y 2 ? 得 又? y 2 ? 2 pn?1 x,? pn?1 ?

2 pn

?n

x,

?n

pn

,即

p n?1 1 (9 ? ? 2 n , 分) pn ?n

p p p 2 p3 p 4 ?? ? n-1 ? n = 2 ? 2 2 ? 23 ? ?? 2 n?1 , ? ? p n?2 p n ?1 p1 p 2 p3

1 pn n ( n ?1) , (11 分) ? 21?2?3???( n?1) ? 2 2 p1

或 pn?1 ? 2 pn , pn ? 2
n

n?1

pn?1 ? ? ? 2

( n?1)?( n?2)???2?1

p1 ?

1 n ( n?1) 22

p1

p1 ? 1 ,? p n ? 2 2

1

n ( n ?1)

. (12 分)


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