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广东省广州市2014届高三调研测试数学理试题 Word版含答案


试卷类型:A 广州市 2014 届高三年级调研测试 数 学(理 科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 2014.1

注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、 错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:
1 锥体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. i 1.已知 i 为虚数单位, 则复数 的模等于 2?i A. 5 B. 3 C.

3 3

D.

5 5

2.设集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x 2 ? 1 ,则 A ? B 等于 A. ??1? B. ?1, 3? C. ??1,1,3? D. R

?

?

?

?

3.已知向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?2) , c ? (0, 2) ,若 a ? ? b ? c ? ,则实数 x 的值为 A.
4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ? 则 f ? 3 ? 的值为

4 3

?log (16 ? x), 4.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? 2 ? f ( x ? 1),

x ? 0, x ? 0,

A. ?4

B.2

C. log 2 13

D.4

5.函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ?

?
2

)的部分图象如图 1 所示,则函数
y 1 O

1

11? 12

?
6

x

y ? f ? x ? 对应的解析式为

?? ? A. y ? sin ? 2 x ? ? 6? ?
?? ? C. y ? cos ? 2 x ? ? 6? ?

?? ? B. y ? sin ? 2 x ? ? 6? ?
?? ? D. y ? cos ? 2 x ? ? 6? ?

6.执行如图 2 的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是 A.15
开始 输入 N

B.105

C.120

D.720
否 输出 p 结束

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?


k ? k ?2

图2

7.若点 A(1,0) 和点 B(4,0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
2 ? ? ? a ? 2ab ? 1, a ? b, 8. 对于实数 a 和 b, 定义运算“*”: 设 f ( x) ? ? 2 x ? 1? * ? x ? 1? , a *b ? ? 2 a ? b. ? ?b ? ab,

x2 , x3 , 且关于 x 的方程为 f ( x) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , 则 x1 ? x2 ? x3
的取值范围是

? 1 ? A. ? ? , 0 ? ? 32 ?

? 1 ? B. ? ? , 0 ? ? 16 ?

? 1 ? C. ? 0, ? ? 32 ?

? 1? D. ? 0, ? ? 16 ?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.在等比数列 {an } 中,若 a 2 ? a 3 ? 3a1 ,则 a4 ? .

? x ? 0, ? y ? 0, ? 10 . 若 x , y 满 足 约 束 条 件 ? 则 x? y 的最大 值为 x ? y ? ? 1, ? ? ?3 x ? 4 y ? 12,

_______.ks5u 11.如图 3,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数 y ? x 2 图象下方的点构成的区域.在 D 内随机取一点,则该点落在 E 中 的概率为 . 4 12.已知点 P 在曲线 y ? x (其中 e 为自然对数的底数)上, ? 为 e ?1 曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 tan? 的取值范围是 .
2

y

4

-2

O 图3

2 x

13.有 4 名优秀学生 A , B , C , D 全部被保送到甲,乙,丙 3 所学校,每所学校至少去

一名,则不同的保送方案共有

种.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4, AC 为⊙ O 的直径, OB ? AC ,弦 BN 交 AC 于点 M . 若 OC ? 3 , OM ? 1 ,则 MN 的长为 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 若点 P( x, y ) 在曲线 ?
C

B

M O N



A

图4

y ? x ? ?2 ? cos ? ( ? 为参数, ? ? R )上,则 的取值范围是 x ? y ? sin ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos (1)求 cos B 的值; (2)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

A?C 3 ? . 2 3

17. (本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM2.5 (单位:μg / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个 值越高,代表空气污染越严重. PM2.5 的浓度与空气质量类别的关系如下表所示:

PM2.5 日均浓度 0~35 35~75

75~115

115~150 150~250

>250

空气质量类别





轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染

从甲城市 2013 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的 PM2.5 日均浓度指数数据茎叶图如 图 5 所示.
3 204 6 4 为空气质量类别为优或良

(1)试估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数; 5 5 (2)在甲城市这 15 个监测数据中任取 个,设 的天数,求 的分布列及数学期望.
7 697 8 807 9 1809 图5

3

18. (本小题满分 14 分) 在如图 6 的几何体中,平面 CDEF 为正方形,平面 ABCD 为等腰梯形, AB ∥ CD ,
AB ? 2BC , ?ABC ? 60? , AC ? FB .
E F

(1)求证: AC ? 平面 FBC ; (2)求直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值.
D A

C B 图6

19. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}满足 a1 ?

3an 3 , an?1 ? , n ? N* . 2an ? 1 5

?1 ? (1)求证:数列 ? ? 1 ? 为等比数列; ? an ?

(2) 是否存在互不相等的正整数 m ,s ,t , 使 m ,s ,t 成等差数列, 且 am ? 1 ,as ? 1 ,
at ? 1 成等比数列?如果存在, 求出所有符合条件的 m ,s ,t ; 如果不存在, 请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 1 设函数 f ? x ? ? x3 ? ax ? a ? 0 ? , g ? x ? ? bx 2 ? 2b ? 1 . 3 (1)若曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处有相同的切线,求实数 a , b 的 值; (2)当 b ?

1? a 时,若函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,求实数 2

a 的取值范围;
(3)当 a ? 1 , b ? 0 时,求函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最小值. 21. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 如图 7,已知椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,双曲线 a b

l1

y

P A

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线为 l1 , l 2 .过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l , a2 b2
使 l ? l1 ,又 l 与 l 2 交于点 P ,设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下 依次为 A , B . (1)若 l1 与 l 2 的夹角为 60°,且双曲线的焦距为 4,
4

O l2 l B

F

x

求椭圆 C 的方程; (2)求

| FA | 的最大值. | AP |

图7

广州市 2014 届高三年级调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准 说明:1.参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答 案不同,可根据比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解 答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数 不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题 号 答 案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 A 6 B 7 C 8

A 二、 填空题: 本大题主要 考查基本知识和基本运 算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是 选做题,考生只能选做一题. 题 号 答 案 9 3 1 0 4 11
1 3

12

1 3 36 1

14

15
? 3 3? , ?? ? ? 3 3 ?

?? 1,0?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? .????????????1 分 所
c A?C ? 2



? ?B
2

?????????????????????????2 分 o

? sin

B 3 ? .????????????????????3 分 2 3
B ????????????????????????5 分 2
5

所以 cos B ? 1 ? 2sin 2

1 ? .???????????????????????7 分 3 1 (2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? , 3

由余弦定理 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,???????????????????9 分 得 c 2 ? 2c ? 1 ? 0 .???????????????????????????11 分 解得 c ? 1 .?????????????????????????????12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由茎叶图可知,甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类别为优 或良的天数 为 5 天 . ???????????????????????????????????? ?1 分 所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10 天.????2 分 (2) 的取值为 0,1,2,????????????????????3 分
0 2 C5 C10 3 ? ,?????????????????????5 分 因为 P ? X ? 0 ? ? 2 C15 7 1 C1 10 5 C10 ? ,??????????????????????7 分 2 C15 21 2 0 C5 C10 2 ? .?????????????????????9 分 2 C15 21

P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ?

所以

的分布列为: 1
????????10 分

所以数学期望 18. (本小题满分 14 分) (1)证明 1:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60? ,

.?????????12 分

在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC .??????????????2 分 所以 AC 2 ? BC 2 ? AB2 . 所以 AC ? BC .??????????????????????????3 分
6

因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .????????????????????????4 分 证明 2:因为 ?ABC ? 60? ,设 ?BAC ? ? ? 0? ? ? ? 120? ? ,则 ?ACB ? 120? ? ? . 在△ ABC 中,由正弦定理,得
BC AB .??????????1 分 ? sin ? sin ?120? ? ? ?

因为 AB ? 2BC ,所以 sin ?120? ? ? ? ? 2sin ? . 整理得 tan ? ?

3 ,所以 ? ? 30? .???????????????????2 分 3

所以 AC ? BC .??????????????????????????3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .???????????????????????4 分 (2)解法 1:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .???????????????6 分 取 AB 的中点 M ,连结 MD , ME , 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?DAM ? 60? , 所以 MD ? MA ? AD .所以△ MAD 是等边三角形,且 ME ? BF .?????7 分 取 AD 的中点 N ,连结 MN , NE ,则 MN ? AD .???8 分 因为 MN ? 平面 ABCD , ED ? FC ,所以 ED ? MN . 因为 AD ? ED ? D ,所以 MN ? 平面 ADE . ?????9 分 所以 ?MEN 为直线 BF 与平面 ADE 所成角. ?????10 分 A 因为 NE ? 平面 ADE ,所以 MN ? NE .???????11 分 因为 MN ?
D N M C B E F

3 AD , ME ? MD 2 ? DE 2 ? 2 AD ,???????????12 分 2
MN 6 ? .???????????????13 分 ME 4

在 Rt △ MNE 中, sin ?MEN ?

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 .?????????14 分 4

解法 2:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC ,
7

所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .????????????6 分 所以 CA , CB , CF 两两互相垂直, 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz .?????????7 分 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?ABC ? 60? 所以 CB ? CD ? CF . 不妨设 BC ? 1 ,则 B ? 0,1, 0 ? , F ? 0, 0,1? , A
? 3 1 ? ? 3 1 ? D? , ? , 0 E , ? ? ? 2 ? 2 , ? 2 ,1 ? ?, 2 ? ? ? ? ?
E z F

?

3, 0, 0 ,
x A

?

D

C B y

??? ? ??? ? ? 3 1 ? ???? 所以 BF ? ? 0, ?1,1? , DA ? ? ? 2 , 2 ,0? ? , DE ? ? 0, 0,1? .???????9 分 ? ?
??? ? ? 3 y ? x ? ? 0, ?n ? DA ? 0, ? 设平面 ADE 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? 即? 2 2 n ? DE ? 0. ? ? z ? 0. ? ?
取 x ? 1 ,得 n ? 1, ? 3, 0 是平面 ADE 的一个法向量.??????????11 分 设直线 BF 与平面 ADE 所成的角为 ? , 则
??? ? ??? ? ? 0, ?1,1?? 1, ? 3, 0 BF ? n 6 .???????????13 分 sin ? ? cos? BF , n? ? ??? ? ? ? 4 2 ?2 BF ?n

?

?

?

?

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 .??????????14 分 4

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 an?1 ?

3an 1 1 2 ? ? .????????????????1 分 ,所以 an ?1 3an 3 2an ? 1

所以

? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? .?????????????????3 分 an ?1 3 ? an ?

因为 a1 ?

1 2 3 ,则 ? 1 ? .???????????????????4 分 a1 3 5

8

?1 ? 2 1 所以数列 ? ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列.???????????5 分 3 3 ? an ? 1 2 ?1? (2)由(1)知, ? 1 ? ? ? ? an 3 ?3?
n ?1

3 2 .???????????7 分 ? n ,所以 an ? n 3 3 ?2


n

假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件, 则

? ? m ? t ? 2 s, ????????????????????????9 分 ? 2 a ? 1 ? a ? 1 a ? 1 . ? ? ? ?? ? ? s m t ?
由 an ?

3n 2 与 ? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? , n 3 ?2
2

? 3s ? ? 3m ? ? 3t ? ? 1? ? ? m ? 1? ? t ? 1? .????????????????10 分 得? s ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?

即 3m?t ? 2 ? 3m ? 2 ? 3t ? 32s ? 4 ? 3s .???????????????????11 分 因为 m ? t ? 2s ,所以 3m ? 3t ? 2 ? 3s .?????????????????12 分 因为 3m ? 3t ? 2 3m ?t ? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立, 这与 m , s , t 互不相等矛盾.????????????????????13 分 所以不存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件.???????????14 分 20. (本小题满分 14 分) 1 解: (1)因为 f ? x ? ? x3 ? ax , g ? x ? ? bx 2 ? 2b ? 1 , 3 所以 f ? ? x ? ? x 2 ? a , g ? ? x ? ? 2bx .??????????????????1 分 因为曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处有相同切线, 所以 f ?1? ? g ?1? ,且 f ??1? ? g ??1? 。
1 ? a ? b ? 2b ? 1 ,且 1 ? a ? 2b , ?????????????????2 分 3 1 1 解得 a ? , b ? .?????????????????????3 分 3 3 1 1? a 2 (2)当 a ? 1 ? 2b 时, h ? x ? ? x3 ? x ? ax ? a ? a ? 0 ? , 3 2



所以 h? ? x ? ? x 2 ? ?1 ? a ? x ? a ? ? x ? 1?? x ? a ? .???????????????4 分 令 h? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x 2 ? a ? 0 .

9

当 x 变化时, h ?? x ?, h? x ? 的变化情况如下表:

x
h ?? x ?

?? ?,?1?
?


?1

?? 1, a ?
?

a
0 极小值

?a,?? ?
?


0 极大值

h? x ?



所以函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?a,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1, a ? .?? 5 分 故 h ? x ? 在区间 ?? 2,?1? 内单调递增,在区间 ?? 1,0 ? 内单调递减.??????6 分
?h ? ?2 ? ? 0, ? 从而函数 h ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,当且仅当 ?h ? ?1? ? 0, ?????7 分 ? ?h ? 0 ? ? 0.
? 8 ?? 3 ? 2 ?1 ? a ? ? 2a ? a ? 0, ? 1 ? 1 1? a ? a ? a ? 0, 即 ?? ? 解得 0 ? a ? . 2 3 ? 3 ??a ? 0. ? ?
? 1? 所以实数 a 的取值范围是 ? 0, ? .??????????????????8 分 ? 3?
1 (3)当 a ? 1 , b ? 0 时, h ? x ? ? x 3 ? x ? 1 . 3

所以函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?1,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1,1? .
5 5 由于 h ? ?2 ? ? ? , h ?1? ? ? ,所以 h ? ?2 ? ? h ?1? .??????????9 分 3 3 ①当 t ? 3 ? 1 ,即 t ? ?2 时,??????????????????10 分 1 3 ? ?h ? x ?? ? min ? h ? t ? ? 3 t ? t ? 1 .????????????????11 分 ②当 ?2 ? t ? 1 时, 5 ? ?h ? x ?? ? min ? h ?1? ? ? 3 .?????????????????????12 分

③当 t ? 1 时, h ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上单调递增,
1 3 ? ?h ? x ?? ? min ? h ? t ? ? 3 t ? t ? 1 .?????????????????????13 分

综上可知,函数 h ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最小值为

10

? ?h ? x ?? ? min

?1 3 t ? t ? 1, ? ?3 ?? ?? 5 , ? ? 3

t ? ? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ? , t ? ? ?2,1? .

????????????14 分

21. (本小题满分 14 分)

x2 y2 解: (1)因为双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 , a b
所以双曲线的渐近线方程为 y ? ? 因为两渐近线的夹角为 60? 且 所以
b x .?????????????????1 分 a

b ? 1 ,所以 ?POF ? 30? . a

3 b ? tan 30? ? .????????????????????????2 分 3 a
l1 y P A O l2 l B F x

所以 a ? 3b . 因为 c ? 2 ,所以 a 2 ? b 2 ? 2 2 , 所以 a ? 3 , b ? 1. 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????????????4 分 3
a ( x ? c) ,其中 c ? a 2 ? b 2 .????5 分 b

(2)因为 l ? l1 ,所以直线 l 与的方程为 y ? 因为直线 l 2 的方程为 y ?
b x, a

? a 2 ab ? 联立直线 l 与 l 2 的方程解得点 P ? , ? .????????????????6 分 ? c c ?



??? ? ??? ? | FA | ? ? ,则 FA ? ? AP .?????????????????7 分 | AP |

因为点 F ? c, 0 ? ,设点 A ? x0 , y0 ? ,
? a2 ? ab 则有 ? x0 ? c, y0 ? ? ? ? ? x0 , ? y0 ? . c ? c ?

? ab c2 ? ?a2 解得 x0 ? , y0 ? .????????????????8 分 c ?1 ? ? ? c ?1 ? ? ?

11

因为点 A ? x0 , y0 ? 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1上, a 2 b2
2

?c 所以

? ? ab ? ? 1 ? 2 2 . 2 2 2 2 a c ?1 ? ? ? b c ?1 ? ? ?
2
2 2

? ?a2 ?

2

即 ? c 2 ? ? a 2 ? ? ? 2 a 4 ? ?1 ? ? ? a 2 c 2 . 等式两边同除以 a 4 得 (e2 ? ? )2 ? ? 2 ? e2 (1 ? ? )2 , e ? (0,1). ????????10 分 所以 ? 2 ?
e2 ? e4 2 ? ? ? ? ? 2 ? e2 ? ? ? 3 ???????????????11 分 2 2?e 2 ? e2 ? ? 2 ?2 ? e ?? 2 ? e
2 2

? ?2

? 3 ? 3? 2 2 ?

?

2 ? 1 .??????12 分

?

2

所以当 2 ? e2 ? 故

2 ,即 e ? 2 ? 2 时, ? 取得最大值 2 ? 1 .?????13 分 2 ? e2

| FA | 的最大值为 2 ? 1 .?????????????????14 分 | AP |

12


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