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湖南省岳阳县一中2015届高三第三次月考文科数学试卷


湖南省岳阳县一中 2015 届高三第三次月考文科数学试卷
文 数
时间:120 分钟 分值:150 分 命题:李远明 审题: 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
2 1. x ? 3 是 x ? 5x ? 6 ? 0 的 (

A

r />) D.既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

2.设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则( D ) A. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B

1,2,3,4,5?, B ? ?x ? R | x ? 3? ,下图中阴影部分所表 3. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ?
示的集合为( B )

1? A. ? 1,2, 3? C. ?

1,2? B. ? 2? D. ?0,1,
)

4.已知数列{an}是等差数列,若 a1+a5+a9=π ,则 cos(a2+a8)=( A 1 3 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 1 1 5.若 < <0,则下列结论不 正确的是( D ) . a b A. a ? b
2 2

B. ab ? b

2

C. a ? b ? 0

D. | a | ? | b |?| a ? b |

6.将函数 y= 3 cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图 象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( B ) A.

? 12

B.

? 6

C.

? 3

D

5? 6

【解题指南】先化简,再平移,余弦函数关于 y 轴对称。

1

【解析】选 B.由已知 y ? 2(

? 3 1 ? cos x ? sin x) ? 2sin( x ? ), 当 m ? 时,平移后函数为 2 2 3 6

y ? 2sin( x ? ) ? 2cos x ,其图象关于 y 轴对称,且此时 m 最小。 2 7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 m 项 am 满足 5<am<8,则 m= ( B ) A.9 B.8 C.7 D.6 2 7.B 解析:由 Sn=n -9n,当 n=1 时,a1=S1=-8,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 2n-10,由于 5<am<8,则 5<2m-10<8,解得 7.5<m<9,又 m∈N*,所以 m=8,故选 B. 8.若向量 a 与向量 b 的夹角为 60° , 且|b|=4, (a+2b)· (a-3b)=-72, 则向量 a 的模为(C ) A.2 B.4 C.6 D.12
9.已知 f ?x ? ? ? ? ? log3 x , 实数 a、 b、 c 满足 f ? a ? ? f ?b ? ? f ?c ? <0, 且 0<a<b<c, 若 实 数 x0 是 函 数 f ?x ? 的 一 个 零 点 , 那 么 下 列 不 等 式 中 , 不 .可 .能 .成 立 的 是 ( D ) A. x0 <a B. x0 >b
x

?

?1? ? 3?

x

C. x0 <c

D. x0 >c
x

?1? ?1? 【解析】当 x ? x0 时, f ?x ? ? ? ? ? log3 x ? 0, 当 x ? x0 时 f ?x ? ? ? ? ? log3 x ? 0, ? 3? ? 3?

f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? <0,且 0 ? a ? b ? c ,所以 x0 ? c 不可能成立.
10.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),设其导函数为 f′(x),当 x∈(-∞,0]时, 恒有 xf′(x)<f(-x),令 F(x)=xf(x),则满足 F(3)>F(2x-1)的实数 x 的取值范围是( C ) 1 ? A.? ?2,2? B.(-2,1) C.(-1,2) 1? D.? ?-1,2?

10. 选 A 由 F(x)=xf(x), 得 F′(x)=f(x)+xf′(x)=xf′(x)-f(-x)<0, 所以 F(x)在(- ∞,0)上单调递减,又可证 F(x)为偶函数,从而 F(x)在[0,+∞)上单调递增,故原不等式 可化为-3<2x-1<3,解得-1<x<2. 二、填空题,本大题共 5 小题每小题 5 分共 25 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 11. 函数 f ( x) ? 1 ? 2 ?
x

1 的定义域为 (?3, 0] x?3

12 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB = 2,则角 A 的大小为__ . π 6

? __ 6

[解析] 由 sinB+cosB= 2得 1+2sinBcosB=2,即 sin2B=1,因为 0<B<π ,
2

π 2 2 所以 B= .又因为 a= 2, b=2, 所以在△ABC 中, 由正弦定理得 = , 解得 sinA 4 sinA π sin 4 1 π π = .又 a<b,所以 A<B= ,所以 A= . 2 4 6 13.公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a3=9,且 a1,a2,a5 成等比数列,则数列{an} 的公差为 2 2 4.B [解析] 由等差数列的性质知 3a2=9,所以 a2=3,又 a2=(a2-d)(a2+3d),解 得 d=2.故选 B. 2 14. 函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是 (0,3) x
3 2 15、 对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) , 给出定义: 设 f '( x) 是函数 y ? f ( x)

的导数, f ''(x ) 是函数 y ? f '( x) 的导数,若方程 f ''(x ) ? 0有实数解 x0 ,则称点 。某同学经过探究发现:任何一个三次函数都 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点” 有“拐点” ,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。若

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,请你根据这一发现,求解下列问题: 3 2 12 1 3 1 2 5 (1)函数 f ( x) ? x ? x ? 3 x ? 的对称中心为 3 2 12 1 2 3 2012 )? f ( )? f ( )? ? f ( )? (2)计算: f ( 2013 2013 2013 2013 1 15、 (1) ( ,1) (2)2012 2 f ( x) ?
2 16(本小题满分 12 分)若集合 A ? {x | loga ( x ? x ? 2) ? 2 , a ? 0 且 a ? 1}

;



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(1)若 a ? 2 ,求集合 A ; (2)若

9 ? A ,求 a 的取值范围. 4
………………2 分 ………………4 分 ………………6 分 ………………8 分

2 2 答案:[解](1)若 a ? 2 , log2 ( x ? x ? 2) ? 2 ,则 x ? x ? 2 ? 4

x 2 ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)(x ? 2) ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? 3
所以 A ? {x x ? ?2, 或 x ? 3} (2)因为

9 9 9 ? A ,所以 log a [( ) 2 ? ? 2] ? 2 4 4 4
3

log a


13 ? 2, 16

因为 log a

13 ?2?0 16

所以 0 ? a ? 1

………………10 分

13 ? a2 16

………………11 分

13 ? a ?1 4

………………12 分

17.(本小题满分 12 分) π 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及解析式; π (2)设 g(x)=f(x)-cos 2x,求函数 g(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 2

T 2π π π (17)解:(1)由图可得 A=1, = - = ,所以 T=π.所以 ω=2. 2 3 6 2 π π 当 x= 时,f(x)=1,可得 sin(2× +φ)=1. 6 6 π π 因为|φ|< ,所以 φ= , 2 6 π 所以 f(x)=sin(2x+ ). 6 (2)g(x)=f(x)-cos 2x π =sin(2x+ )-cos 2x 6 π π =sin 2xcos +cos 2xsin -cos 2x 6 6 3 1 = sin 2x- cos 2x 2 2 π =sin(2x- ). 6 π π π 5π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 π π π 当 2x- = ,即 x= 时,g(x)有最大值,最大值为 1; 6 2 3

4

π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,g(x)有最小值,最小值为- . 6 6 2 π 18. (本小题满分 12 分)如图,在△ABC 中,B= ,BC=2,点 D 在边 AB 上,AD=DC, 3 DE⊥AC,E 为垂足. 3 6 (1)若△BCD 的面积为 ,求 CD 的长;(2)若 DE= ,求角 A 的大小. 3 2

1 3 18.解:(1)由已知得 S△BCD= BC· BD· sin B= , 2 3 3 2 又 BC=2,sin B= ,得 BD= . 2 3 在△BCD 中,由余弦定理得 2 2 1 CD= BC2+BD2-2BC· BD· cos B= 22+? ?2-2×2× × 3 3 2 2 7 = . 3 2 7 所以 CD 的长为 . 3 DE 6 (2)(方法一)因为 CD=AD= = , sin A 2sin A BC CD 在△BCD 中,由正弦定理得 = , sin ∠BDC sin B 2 6 2 π 又∠BDC=2A,得 = ,解得 cos A= ,所以 A= 即为所求. sin 2A 2sin Asin 60° 2 4 (方法二)在△ABC 中, 2 AC 由正弦定理得 = ,又由已知得,E 为 AC 的中点,所以 AC=2AE, sin A sin B 3 DE sin A 所以 AE· sin A=sin B= ,又 =tan A= , 2 AE cos A 6 2 π 所以 AE·sin A=DE·cos A= cos A,得 cos A= ,所以 A= 即为所求 2 2 4 19. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数;
5

(Ⅱ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求 实数 b 的取值范围; 19.解:(Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ,当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,函数 f ( x) 在 ? x x (0,??) 单调递减,∴ f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点; 1 1 , f ?( x) ? 0 得 x ? , a a

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 得 0 ? x ?

1 ? 1? ?1 ? ∴ f ( x) 在 ? 0, ? 上递减,在 ? ,?? ? 上递增,即 f ( x) 在 x ? 处有极小值. a ? a? ?a ?
∴当 a ? 0 时 f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点, 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上有一个极值点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)∵函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 ,∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ? 令 g ( x) ? 1 ?

1 ln x ? ?b, x x

1nx ? 2 1 ln x ' , g ( x) ? 可得 g ( x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增, ? x x x2

?

?

?

?

e 20.(本小题满分 13 分)某企业 2013 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企 业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元, 今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造, 预测在未扣除技术改造资 1 金的情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+ n)万元(n 为正整数). 2 (1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技 术改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金),求 An、Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过 不进行技术改造的累计纯利润? 7.解:(1)依题意知,数列{An}是一个以 500 为首项,-20 为公差的等差数列, n?n-1? 所以 An=480n+ ×(-20)=490n-10n2, 2 1 1 1 Bn=500(1+ )+500(1+ 2)+?+500(1+ n)-600 2 2 2 1 1 1 =500n+500( + 2+?+ n)-600 2 2 2 1 1n [1-? ? ] 2 2 =500n+500× -600 1 1- 2 500 =500n- n -100. 2 (2)依题意得,Bn>An,
6

∴ g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ?

1
2

,即 b ? 1 ?

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 e2

500 即 500n- n -100>490n-10n2, 2 50 2 可化简得 n <n +n-10, 2 50 所以可设 f(n)= n ,g(n)=n2+n-10. 2 又因为 n∈N*,f(n)是减函数,g(n)是增函数. 50 50 又 f(3)= >g(3)=2,f(4)= <g(4)=10, 8 16 则 n≥4 时不等式成立,即至少经过 4 年进行技术改造后累计纯利润将超过不改造的 累计纯利润. 21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? ax2 ? 2lnx . (1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 f ? x ? 在 ? 0,1? 上的最大值是 ?2 ,求 a 的值; (3)记 g ? x ? ? f ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? 1 ,当 a ≤ ?2 时,求证:对任意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,总 有 g ? x 1 ? ? g ? x2 ? ≥ 4 x1 ? x2 . 【解析】 : (1) f ? x ? 的定义域是 ? 0, ?? ? . f ? ? x ? ? 2ax ? 当 a ≥ 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数; 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x1 ? ?

2 2ax 2 ? 2 ? . x x

1 1 , x2 ? ? ? (舍去) a a

当 x ? ? 0, ?

? ? ?

? 1? 1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上是增函数; ? ? ? a? a? ? ? ? ? ?

当 x ? ? ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? ? , ?? ? 上是减函数. 故当 a ≥ 0 时, f ? x ? 的增区间是 ? 0, ?? ? ; 当 a ? 0 时, f ? x ? 的增区间是 ? 0, ? ? ,减区间是 ? ? , ?? ? .(4 分) ? ? ? ?

? ? ?

1 a

? ? ?

1 a

? ? ?

? ?

1? a?

? ?

1 a

? ?

(2)①当 a ≥ 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数,故在 ? 0,1? 上的最大值为 f ?1? ? a ? ?2 ,
7

显然不合题意;

?a ? 0 ? 1? ? ②若 ? ,即 ?1 ≤ a ? 0 时, ? 0,1? ? ? 0, ? ? ,则 f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数,故在 1 ? a? ? ? ≥1 ? ? ? a

? 0,1? 上最大值为 f ?1? ? a ? ?2 ,不合题意,舍去;
?a ? 0 ? ? 1? 1 ? ? ③若 ? 1 ,即 a ? -1 时, f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上是增函数,在 ? ? ,1? 上为减函数, ? ? a? a ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? a
故在 ? 0,1? 上的最大值是 f ? ? ?

? ?

1? 1 ? ?1 ? 2ln ? ? ?2 ,解得: a ? ?e ,符合. ? a? a ?
a ?1 2a x2 ? a? 1 ? 2 a x? , 当 a ≤ ?2 时 , x x

综合①、②、③得: a ? ?e . (8 分) ( 3 ) g ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? ax2 ? 1 , 则 g ? ? x? ?

g ? ? x ? ? 0 ,故当 a ≤ ?2 时, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为减函数.
不 妨 设 x2 ≥ x1 ? 0 , 则 g ? x2 ? ≤ g ? x1 ? , 故 g ? x 1? ?

≥4 ?g 2 ?x

? 1x

等 2x 价 于

g ? x 1 ? ? g ? x2 ? ≥ 4 ? x2 ? x1 ? ,即 g ? x 1 ? ? 4x1 ≥ g ? x2 ? ? 4x2 .
记 ? ? x ? ? g ? x ? ? 4 x ,下面证明当 x2 ≥ x1 ? 0 时, ? ? x1 ? ≥? ? x2 ? 由

? ? x ? ? ? a ? 1? lnx ? ax2 ? 4x ? 1
2





2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ?4 x 2 ? 4 x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ??? x? ? ≤ ? x x x

≤ 0 ,从而 ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为减函数,故当 x2 ≥ x1 ? 0 时, ? ? x1 ? ≥? ? x2 ? ,即有:

g ? x 1 ? ? 4x1 ≥ g ? x2 ? ? 4x2 ,
故当 a ≤ ?2 时,对任意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,总有 g ? x 1 ? ? g ? x2 ? ≥ 4 x1 ? x2 . (13 分)

8


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