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湖南省长沙一中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


湖南省长沙一中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)集合 M={1,2},N={1,2,3},P={x|x=ab,a∈M,b∈N},则集合 P 的元素个数为 () A.3 B. 4 C. 5 D.6 2. (5 分)在索

契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次.设命 题 p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为() A.p∨q B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨(¬q)

3. (5 分)如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则

=()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)复数 m(3+i)﹣(2+i) (m∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入某个正整数 n 后,输出的 S∈ (31,72) ,则 n 的值为()

A.5 6. (5 分)已知 x0 是

B. 6

C. 7

D.8

的一个零点,x1∈(﹣∞,x0) ,x2∈(x0,0) ,则() B.f(x1)>0,f(x2)>0 C. f(x1)>0,f f(x1)<0,f(x2)>0

A.f(x1)<0,f(x2)<0 (x2)<0 D.

7. (5 分)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是() A. B. C. D.

8. (5 分)已知 x,y∈R,且命题 p:x>y,命题 q:x﹣y+sin(x﹣y)>0,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

9. (5 分)当实数 x,y 满足

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G:y=ln(x+1)上,若线段 AB 与曲线 M:y= 相 交且交点恰为线段 AB 的中点,则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点. 记曲线 G 关于曲 线 M 的关联点的个数为 a,则() A.a=0 B.a=1 C.a=2 D.a>2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. )

11. (5 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 sin(

+α)=.

12. (5 分)已知 4 = ,lgx=a,则 x=.

a

13. (5 分)若 f(x)=



,则满足 f(x)<0 的 x 的取值范围是.

14. (5 分)已知 , , 均为单位向量,且满足 ? =0,则( + + )?( + )的最大值 是. 15. (5 分)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2, 3,5,8,13,…其中从第三个数起,每一个数都等于他前而两个数的和.该数列是一个非常 美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性.比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比 越逼近黄金分割 0.6180339887….人们称该数列{an}为“斐波那契数列”.若把该数列{an}的每 一项除以 4 所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn},在数列{bn}中第 2014 项的值是;数 列{bn}中,第 2014 个值为 1 的项的序号是.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣2sin x+a,a∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若函数 f(x)有零点,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)已知圆内接四边形 ABCD 的边 AB=1,BC=3,CD=DA=2. (Ⅰ)求角 C 的大小和 BD 的长; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积及外接圆半径.
2

18. (12 分)某工厂统计资料显示,产品次品率 p 与日产量 n (件) (n∈N ,且 1≤n≤98)的 关系表如下: n 1 2 3 4 … 98 p … 1

+

又知每生产一件正品盈利 a 元,每生产一件次品损失 元(a>0) .

(1)将该厂日盈利额 T(元)表示为日产量 n(件)的一种函数关系式; (2)为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?( ≈1.73) . 19. (13 分)数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=(1+ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,Sn=b1+b2+…+bn,证明:Sn<2(n∈N+) . )an+sin
2

,n∈N+.

20. (13 分)如图,椭圆

=1(a>b>0)与一等轴双曲线相交,M 是其中一个交点,并

且双曲线的顶点是该椭圆的焦点 F1,F2,双曲线的焦点是椭圆的顶点 A1,A2,△ MF1F2 的周 长为 4( +1) .设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,证明 k1?k2=1; (Ⅲ)是否存在常数 λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立?若存在,求 λ 的值;若不存在,请 说明理由.

21. (13 分) 已知 x=a、 x=b 是函数 f (x) =lnx+ (Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)求 f(b)﹣f(a)的最大值.

﹣ (m+2) x (m∈R) 的两个极值点, 若 ≥4.

湖南省长沙一中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)集合 M={1,2},N={1,2,3},P={x|x=ab,a∈M,b∈N},则集合 P 的元素个数为 () A.3 B. 4 C. 5 D.6 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 首先,根据 a∈M,b∈N,逐一对 a,b 的取值情形进行讨论,然后,求解 x=ab 的取 值情形. 解答: 解:当 a=1,b=1 时,x=1; 当 a=1,b=2 时,x=2; 当 a=1,b=3 时,x=3; 当 a=2,b=1 时,x=2; 当 a=2,b=2 时,x=4; 当 a=2,b=3 时,x=6; 根据集合的元素满足互异性,得 P={1,2,3,4,6}共 5 个元素. 故选 C. 点评: 本题重点考查集合中的元素性质,集合的列举法表示等,属于容易题. 2. (5 分)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次.设命 题 p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为() A.p∨q B.p∨(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨(¬q) 考点: 复合命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示“甲落地没有站稳”与“乙落地没有站稳至少 一个发生”. 解答: 解:设命题 p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”, 则命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示¬p 与¬q 至少一个发生, 即¬p 与¬q 至少一个发 生, 表示为(¬)p∨(¬q) . 故选:D 点评: 本题考查用简单命题表示复合命题的非命题,属于基础题

3. (5 分)如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则

=()

A.

B.

C.

D.

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用平行四边形法则做出向量 . 解答: 解:设 线对应的向量即为向量 ∴ , ,以 OP、OQ 为邻边作平行四边形,则夹在 OP、OQ 之间的对角 ,由 和 长度相等,方向相同, ,再进行平移,利用向量相等的条件,可得

故选 C. 点评: 本题考查向量的加法及其几何意义,向量相等的条件,利用向量相等的条件是解题 的关键. 4. (5 分)复数 m(3+i)﹣(2+i) (m∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 专题: 分析: 解答: 当 复数的代数表示法及其几何意义. 数系的扩充和复数. 根据复数的几何意义,即可得到结论. 解:m(3+i)﹣(2+i)=3m﹣2+(m﹣1)i,对应的坐标为(3m﹣2,m﹣1) , 时,即 ,此时不等式无解,

即复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限, 故选:B. 点评: 本题主要考查复数的几何意义,利用复数的基本运算即可得到结论,比较基础. 5. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入某个正整数 n 后,输出的 S∈ (31,72) ,则 n 的值为()

A.5

B. 6

C. 7

D.8

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程依次计算程序运行的结果,直到输出的 S∈(31,72) ,确定跳出循环 的 k 值,从而确定判断框的条件,可得答案. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 S=1+0=1,k=2; 第二次循环 S=1+2×1=3,k=3; 第三次循环 S=1+2×3=7,k=4; 第四次循环 S=1+2×7=15,k=5; 第五次循环 S=1+2×15=31.k=6; 第六次循环 S=1+2×31=63,k=7; 第七次循环 S=1+2×63=127,k=8. ∵输出的 S∈(31,72) , ∴跳出循环的 k 值为 7,∴判断框的条件为 k>6. 故选:B. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答 此类问题的常用方法. 的一个零点,x1∈(﹣∞,x0) ,x2∈(x0,0) ,则() B.f(x1)>0,f(x2)>0 C. f(x1)>0,f f(x1)<0,f(x2)>0

6. (5 分)已知 x0 是 A.f(x1)<0,f(x2)<0 (x2)<0 D. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 已知 x0 是

的一个零点,可令 h(x)=

,g(x)=﹣ ,

画出 h(x)与 g(x)的图象,判断 h(x)与 g(x)的大小,从而进行求解; 解答: 解:∵已知 x0 是 的一个零点,x1∈(﹣∞,x0) ,x2∈(x0,0) ,

可令 h(x)= 如下图:

,g(x)=﹣ ,

当 0>x>x0,时 g(x)>h(x) ,h(x)﹣g(x)= 当 x<x0 时,g(x)<h(x) ,h(x)﹣g(x)= ∵x1∈(﹣∞,x0) ,x2∈(x0,0) , ∴f(x1)>0,f(x2)<0, 故选 C;

<0; >0;

点评: 此题主要考查指数函数的图象及其性质,解题的过程中用到了分类讨论的思想,这 是 2015 届高考的热点问题,是一道基础题; 7. (5 分)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是() A. B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用两角和的正弦函数对解析式进行化简,由所得到的图象关于 y 轴对称,根据对 称轴方程求出 φ 的最小值. 解答: 解:函数 f(x)=sin2x+cos2x= 所得图象是函数 y= sin(2x+ ﹣2φ) , , sin(2x+ )的图象向右平移 φ 的单位,

图象关于 y 轴对称,可得 即 φ=﹣ ,

﹣2φ=kπ+

当 k=﹣1 时,φ 的最小正值是



故选:C. 点评: 本题考查三角函数的图象变换,考查正弦函数图象的特点,属于基础题. 8. (5 分)已知 x,y∈R,且命题 p:x>y,命题 q:x﹣y+sin(x﹣y)>0,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 构造函数 f(t)=t+sint,利用导数研究函数的单调性,结合充分条件和必要条件的定 义即可得到结论. 解答: 解:令 t=x﹣y,设 f(t)=t+sint, 则 f′(t)=1+cost≥0, 于是函数 f(t)在 R 上是单调递增函数, 若 x>y,即 x﹣y>0 时, 因为函数 f(t)在 R 上是单调递增函, 所以当 t>0,有 f(t)>f(0)成立,而 f(0)=0+sin0=0, 即有当 x﹣y>0,有 x﹣y+sin(x﹣y)>0 成立,即充分性成立; 若 x﹣y+sin(x﹣y)>0 时,即 t+sint>0, 即是 f(t)>f(0) (因为 f(0)=0, 由函数 f(t)在 R 上是单调递增函, 所以由 f(t)>f(0)得 t>0, 即是 x﹣y>0,即必要性成立, 综上所述:p 是 q 的充要条件. 故选:C. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,构造函数,利用函数的单调性是解决本 题的关键.

9. (5 分)当实数 x,y 满足

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,再由 1≤ax+y≤4 恒成立,结合可行域内特殊点 A,B,C 的 坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数 a 的取值范围. 解答: 解:由约束条件作可行域如图, 联立 ,解得 C(1, ) .

联立

,解得 B(2,1) .

在 x﹣y﹣1=0 中取 y=0 得 A(1,0) . 要使 1≤ax+y≤4 恒成立,



,解得:1≤a≤ .

∴实数 a 的取值范围是. 故选:C

点评: 本题考查线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法, 训练了不等式组得解法,是中档题.

10. (5 分)已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G:y=ln(x+1)上,若线段 AB 与曲线 M:y= 相 交且交点恰为线段 AB 的中点,则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点. 记曲线 G 关于曲 线 M 的关联点的个数为 a,则() A.a=0 B.a=1 C.a=2 D.a>2 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由定义,可先设点 B 的坐标,再由点 A,B 的坐标表示出中点的坐标,由中点坐标 在曲线 M 上,建立关于 x 的方程,研究此方程有几个根,即可得出 a 的值 解答: 解:设点 B(x,ln(x+1) ) ,则点 A,B 的中点的坐标是( 于此点在曲线 M:y= 上,故有 = ,即 ln(x+1)= , ) ,由

,此方程的根即两函数

y=ln (x+1) 与 y= (x+1)与 y=

的交点的横坐标, 由于此二函数一为增函数, 一为减函数, 故两函数 y=ln 的交点个数为 1,故符合条件的关联点仅有一个,所以 a=1

故选:B. 点评: 本题考查函数图象的对称性,方程的根与相应函数交点个数的关系,考查了转化思 想,数形结合的思想,解答本题的关键是如何入手, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. ) 11. (5 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 sin( +α)= .

考点: 同角三角函数间的基本关系;任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用任意角的三角函数的定义可求得 cosα=﹣ ,再利用诱导公式即可求得答案. 解答: 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) , ∴cosα= =﹣ ,

∴sin(

+α)=cosα=﹣ , .

故答案为:

点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
a

12. (5 分)已知 4 = ,lgx=a,则 x=



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先对 4 = 两边取对数,求出 a 的值,再根据对数的运算性质计算即可, 解答: 解:∵4 = , ∴a=log4 =﹣ ∵lgx=﹣ =lg ∴x= . ,
a a

故答案为:

点评: 本题主要考查对数运算性质,属于基础题.

13. (5 分)若 f(x)=



,则满足 f(x)<0 的 x 的取值范围是(0,1) .

考点: 指、对数不等式的解法;其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接利用已知条件转化不等式求解即可. 解答: 解:f(x)= 即 ∴ ∵y= ∴ < , , 是增函数, 的解集为: (0,1) . ﹣ ,若满足 f(x)<0,

故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查指数不等式的解法,函数的单调性的应用,考查计算能力.

14. (5 分)已知 , , 均为单位向量,且满足 ? =0,则( + + )?( + )的最大值 是 2+ .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先将已知等式展开,得到( + + )?( + )=2+ ?(2 + ) ,再利用向量的数 量积转为关于向量夹角的式子,求最值. 解答: 解:∵ , , 均为单位向量,且满足 ? =0, ∴ ( + + ) ? ( + ) = >=2+
2

+ ? +2 ? +

2

+ ? =2+ ? (2 + ) =2+| |?|2 + |cos< , 2 +

cos< ,2 + >, .

∴当 cos< ,2 + >=1 时, ( + + )?( + )的最大值是 2+

故答案为:2+ . 点评: 本题考查了向量的数量积的定义以及运用,当向量的夹角为 0°时,数量积最大. 15. (5 分)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2, 3,5,8,13,…其中从第三个数起,每一个数都等于他前而两个数的和.该数列是一个非常 美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性.比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比

越逼近黄金分割 0.6180339887….人们称该数列{an}为“斐波那契数列”.若把该数列{an}的每 一项除以 4 所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}, 在数列{bn}中第 2014 项的值是 3; 数 列{bn}中,第 2014 个值为 1 的项的序号是 4027. 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列,得到余数构成是数列是周期数列,即可得到结论. 解答: 解:1,1,2,3,5,8,13,…除以 4 所得的余数分别为 1,1,2,3,1,0, ;1,1, 2,3,1,0…, 即新数列{bn}是周期为 6 的周期数列, b2014=b235×6+4=b4=3, 在每一个周期内,含有 3 个 1, 2014=671×3+1, ∴第 2014 个值为 1 是项,位于第 672 个周期内的第一个 1, 则 671×6+1=4027, 故答案为:3;4027 点评: 本题主要考查数列的应用,利用条件推导数列为周期数列是解决本题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 16. (12 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣2sin x+a,a∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若函数 f(x)有零点,求实数 a 的取值范围. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)首先,利用二倍角公式,化简函数解析式,然后,利用周期公式确定该函数 的最小正周期; (Ⅱ)令 f(x)=0,然后,结合三角函数的图象与性质进行求解. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)= sin2x+cos2x+a﹣1 =2sin(2x+ ∴T= )+a﹣1,

=π,

∴函数 f(x)的最小正周期为 π. (Ⅱ)令 f(x)=0,即 2sin(2x+ 则 a=1﹣2sin(2x+ ∵﹣1≤sin(2x+ ) , )≤1, )≤3, )+a﹣1=0,

∴﹣1≤1﹣2sin(2x+

∴若 f(x)有零点,则实数 a 的取值范围是.

点评: 本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式,三角函数的图象与性质等知识, 考查比较综合,属于中档题. 17. (12 分)已知圆内接四边形 ABCD 的边 AB=1,BC=3,CD=DA=2. (Ⅰ)求角 C 的大小和 BD 的长; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积及外接圆半径.

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)连结 BD,由于 A+C=180°,则 cosA=﹣cosC,在△ BCD 中,和在△ ABD 中分 别应用余弦定理即可求得 BD 和角 C; (Ⅱ)由于 A+C=180°,则 sinA=sinC,由四边形 ABCD 的面积为 S△ ABD+S△ BCD,应用面积 公式,即可得到面积,再由正弦定理,得到比值为外接圆的直径,即可得到半径. 解答: 解: (Ⅰ)连结 BD,由于 A+C=180°,则 cosA=﹣cosC, 由题设及余弦定理得, 在△ BCD 中,BD =BC +CD ﹣2BC?CDcosC=13﹣12cosC,…① 2 2 2 在△ ABD 中,BD =AB +DA ﹣2AB?DAcosA=5+4cosC,…② 由①②得 ,故 C=60°,
2 2 2

则 . (Ⅱ)由于 A+C=180°,则 sinA=sinC, 由(Ⅰ)的结果及题设,可知四边形 ABCD 的面积

=

. .

由正弦定理,可得四边形 ABCD 的外接圆的半径

点评: 本题考查余弦定理以及应用,三角形的面积公式及正弦定理中的比值为外接圆的直 径,考查运算能力,属于中档题.

18. (12 分)某工厂统计资料显示,产品次品率 p 与日产量 n (件) (n∈N ,且 1≤n≤98)的 关系表如下: n 1 2 3 4 … 98 p … 1

+

又知每生产一件正品盈利 a 元,每生产一件次品损失 元(a>0) . (1)将该厂日盈利额 T(元)表示为日产量 n(件)的一种函数关系式; (2)为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?( ≈1.73) . 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)由题意可知 p= (1≤n≤98,n∈N+) .日产量 n 件中,正品(n﹣pn)件,

从而可得日盈利额函数; (2)求出日产量函数,利用基本不等式,即可求得结论. 解答: 解: (1)由题意可知 p= 件, 日盈利额 T(n)=a(n﹣pn)﹣ pn=a(n﹣ (2) 即 n=100﹣10 故当 n=83 时, =3+n﹣ ) (1≤n≤98,n∈N+) . ≈68.4,当且仅当 100﹣n= , , (1≤n≤98,n∈N+) .日产量 n 件中,正品(n﹣pn)

(a>0)=103﹣≤103﹣2 <

≈82.7,而 n∈N+,且

取得最大值,即 T 取得最大值.

点评: 本题考查根据实际问题选择函数类型,根据题意列出函数关系式,并考查利用基本 不等式求最值,属于中档题.
2

19. (13 分)数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=(1+ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=

)an+sin

,n∈N+.

,Sn=b1+b2+…+bn,证明:Sn<2(n∈N+) .

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知结合 an+2=(1+ 时,a2k+1﹣a2k﹣1=1. )an+sin
2

,n∈N+,得到当 n=2k﹣1(k∈N+)

当 n=2k(k∈N+)时,a2k+2=2a2k.然后分别利用等差数列和等比数列的通项公式求得数列{an} 的通项公式; (Ⅱ)把数列{an}的通项公式代入 bn= 得 Sn<2(n∈N+) . 解答: (Ⅰ)解:∵a1=1,a2=2, ∴由题设递推关系式有 . 一般地,当 n=2k﹣1(k∈N+)时, , 即 a2k+1﹣a2k﹣1=1. ∴数列{a2k﹣1}是首项为 1 公差为 1 的等差数列,因此 a2k﹣1=k. 当 n=2k(k∈N+)时, , ∴数列{a2k}是首项为 2 公比为 2 的等比数列,因此 . , ,利用错位相减法求出 Sn=b1+b2+…+bn,放缩证

故数列{an}的通项公式为



(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 于是 ,…①



从而

,…②

①﹣②得

=







故有 Sn<2. 点评: 本题考查了等差关系和等比关系的确定,考查了错位相减法去数列的和,体现了分 类讨论的数学思想方法,训练了放缩法证明数列不等式,是中档题.

20. (13 分)如图,椭圆

=1(a>b>0)与一等轴双曲线相交,M 是其中一个交点,并

且双曲线的顶点是该椭圆的焦点 F1,F2,双曲线的焦点是椭圆的顶点 A1,A2,△ MF1F2 的周 长为 4( +1) .设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,证明 k1?k2=1; (Ⅲ)是否存在常数 λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立?若存在,求 λ 的值;若不存在,请 说明理由.

考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由题意知,确定椭圆离心率,利用椭圆的定义得到又 2a+2c=4( +1) ,解 方程组即可求得椭圆的方程,等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程; (Ⅱ)设点 P(x0,y0) ,根据斜率公式求得 k1、k2,把点 P(x0,y0)在双曲线上,即可证明 结果; (Ⅲ)设直线 AB 的方程为 y=k(x+2) ,则可求出直线 CD 的方程为 y= (x﹣2) ,联立直线 和椭圆方程,利用韦达定理,即可求得|AB|,|CD|,代入|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|,求得 λ 的值. 解答: (Ⅰ)解:由题意知,椭圆离心率为 = 又 2a+2c=4( +1) ,所以可解得 a=2 2 2 2 所以 b =a ﹣c =4, 所以椭圆的标准方程为 , ,c=2, ,得 a= c,

所以椭圆的焦点坐标为(±2,0) , 因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点, 所以该双曲线的标准方程为 ;

(Ⅱ)证明:设点 P(x0,y0) , 则 k1= ,k2= ,

∴k1?k2=

=



又点 P(x0,y0)在双曲线上, ∴ ,即 y0 =x0 ﹣4,
2 2

∴k1?k2=

=1;

(Ⅲ)解:假设存在常数 λ,使得得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立, 则由(II)知 k1?k2=1, ∴设直线 AB 的方程为 y=k(x+2) ,则直线 CD 的方程为 y= (x﹣2) , y=k(x+2)与椭圆方程联立,消 y 得: (2k +1)x +8k x+8k ﹣8=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则由韦达定理得,x1+x2= ,x1?x2= ,
2 2 2 2

∴|AB|=

|x1﹣x2|=



同理|CD|= ∵|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|, ∴λ= = =

∴存在常数 λ=

,使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立.

点评: 本题考查椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了学生综合 运用知识解决问题的能力,属于中档题. ﹣ (m+2) x (m∈R) 的两个极值点, 若 ≥4.

21. (13 分) 已知 x=a、 x=b 是函数 f (x) =lnx+ (Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)求 f(b)﹣f(a)的最大值. 考点: 利用导数研究函数的极值.

专题: 导数的综合应用. 分析: (1) 先求出函数的定义域, 接着求出函数的导数, 由于 x=a、 x=b 是函数 ( f x) =lnx+ ﹣(m+2)x(m∈R)的两个极值点,所以 x=a、x=b 是 f′(x)的 2 个根,根据导数的特点和 ≥4 可判断 a,b 是 2 个正值; (2)把 f(b)﹣f(a)的表达式求出来,利用导数求其最大值. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , . 由题意得:x=a、x=b 是方程 x ﹣(m+2)x+1=0 的两个不等正根,且 a<b, ∴ ?m>0 且 a+b=m+2,ab=1. …3 分
2



,则 t≥4, 在 .



易知函数 故实数 m 的取值范围是 (Ⅱ)∵ 所以

…6 分 ,

= . 构造函数 (其中 t≥4) ,则



所以函数 h(t)在[4,+∞)上单调递减,于是有 故 f(b)﹣f(a)的最大值为 . …13 分.



点评: 本题主要考查导数的综合应用,利用导数判断函数的单调性、求其最值,属于中档 题.


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