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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-6


基础巩固强化 一、选择题 1. (文)(2013· 江西吉安模拟)若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则点 P 的轨迹方程为( A.y2=8x C.x2=8y [答案] C [解析] 由题意知点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的 距离小 2, 因此点 P 到点 F(0,2)的距离与到直线 y+2=0 的距离相等, 故点 P

的轨迹是以 F 为焦点,y=-2 为准线的抛物线,∴P 的轨迹 方程为 x2=8y.选 C. (理)(2013· 东北三校模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, 点 P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3)在抛物线上, 且 2x2=x1+x3, 则有( A.|FP1|+|FP2|=|FP3| C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| [答案] C [解析] p p 抛物线的准线方程为 x=-2,由定义得|FP1|=x1+2, B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 D.|FP2|2=|FP1|· |FP3| ) )

B.y2=-8x D.x2=-8y

p p p p |FP2|=x2+2,|FP3|=x3+2,则|FP1|+|FP3|=x1+2+x3+2=x1+x3+ p,2|FP2|=2x2+p,由 2x2=x1+x3,得 2|FP2|=|FP1|+|FP3|,故选 C. x2 y 2 2. (文)抛物线 y =8x 的焦点到双曲线12- 4 =1 的渐近线的距离
2

为(

)

A.1 3 C. 3 [答案] A

B. 3 3 D. 6

x2 y2 [解析] 抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0)到双曲线12- 4 =1 的渐近
2

3 线 y=± 3 x 的距离 d=1. x2 y2 (理)设椭圆m2+n2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦 1 点相同,离心率为2,则此椭圆的方程为( x2 y2 A.12+16=1 x2 y 2 C.48+64=1 [答案] B [解析] 抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0), )

x2 y2 B.16+12=1 x2 y2 D.64+48=1

?m -n =4, 由条件得? 2 1 ?m=2.

2

2

2 ? ?m =16, ∴? 2 故选 B. ? ?n =12.

3.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦 点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的 取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) [答案] C [解析] 设圆的半径为 r,因为 F(0,2)是圆心,抛物线 C 的准线 方程 y=-2.圆与准线相切时半径为 4.若圆与准线相交则 r>4.又因为 ) B.[0,2] D.[2,+∞)

点 M(x0,y0)为抛物线 x2=8y 上一点,所以有 x2 0=8y0.又点 M(x0,y0)
2 在圆 x2+(y-2)2=r2 上.所以 x0 +(y0-2)2=r2>16,所以 8y0+(y0- 2 2)2>16,即有 y0 +4y0-12>0,解得 y0>2 或 y0<-6(舍),

∴y0>2.故选 C. 4.(2013· 安徽省级示范高中联考)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 → y =4x 的焦点,A 是抛物线上的一点,FA与 x 轴正方向的夹角为 60° ,
2

则△OAF 的面积为( 3 A. 2 C. 3 [答案] C

) B.2 D.1

[解析] 由题意知,F(1,0),过 A 作 AD⊥x 轴于 D.令|FD|=m, 则|FA|=2m,由抛物线的定义知|AF|=p+|FD|=2+m=2m,即 m=2, 所以|AD|=2 3, 1 1 S△OAF=2|OF|· |AD|=2×1×2 3= 3. 5.(文)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( A.2 1 C.2 [答案] A p [解析] 抛物线 y2=2px 的准线方程是 x=-2,曲线 x2+y2-6x -7=0,即(x-3)2+y2=16 是圆心为(3,0),半径为 4 的圆,依题意有 p p |2+3|=4.因为 p>0,所以有2+3=4,解得 p=2,故选 A. ) B.1 1 D.4

(理)设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上 → → 一点,若OA· AF=-4,则点 A 的坐标为( A.(2,± 2 2) C.(1,2) [答案] B [解析] 设点 A 的坐标为(x0,y0),∴y2 0=4x0① → → 又 F(1,0),∴OA=(x0,y0),AF=(1-x0,-y0), → → 2 ∵OA· AF=-4,∴x0-x2 0-y0=-4,②
? ? ?x0=1, ?x0=1, ? 解①②组成的方程组得 或? ?y0=2, ? ? ?y0=-2.

)

B.(1,± 2) D.(2,2 2)

[点评] 向量与解析几何相结合,向量往往要化为坐标的形式. 6.(文)(2013· 武汉市部分学校联考)过抛物线 y2=4x 的焦点作一 条直线与抛物线相交于 A,B 两点,它们到直线 x=-2 的距离之和 等于 7,则这样的直线( A.有且仅有一条 C.有无穷多条 [答案] B [解析] 抛物线 y2=4x 的通径(过焦点垂直于对称轴的线段)长为 4,由抛物线的定义及题设条件知,|AB|=7-2=5>4,故这样的直线 有且仅有两条. (理)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 ( ) A.2 B.3 ) B.有且仅有两条 D.不存在

11 C. 5 [答案] A

37 D.16

[解析] 直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物线的定 义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离,故本题化 为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P, 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l2 的距离 之和最小,最小值为 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,即 dmin |4-0+6| = =2,故选 A. 5 二、填空题 7.(2013· 辽宁大连一模)已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,且 l 经过抛物线的焦点 F,A 点的坐标为(8,8),则线段 AB 的中 点到准线的距离是________. [答案] 25 4

[解析] 由 y2=8x 知 2p=8,∴p=4,则点 F 的坐标为(2,0). 由题设可知, 直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y=k(x-2), 点 A, B 的坐标分别为(8,8),(xB,yB). 又点 A(8,8)在直线 l 上,∴8=k(8-2), 4 解得 k=3. 4 ∴直线 l 的方程为 y=3(x-2).① 将①代入 y2=8x,整理得 2x2-17x+8=0, 17 1 则 8+xB= 2 ,∴xB=2. ∴线段 AB 的中点到准线的距离是

xA+xB p 17 25 + = + 2 = 2 2 4 4. 1 [解法探究] 求得 xB=2后,进一步可得 yB=-2, 25 ∴|AB|= 2 . 1 1 25 ∴AB 的中点到准线距离 d=2(|AF|+|BF|)=2|AB|= 4 . 1 8.(2013· 甘肃天水调研)已知 P 为抛物线 y=4x2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是 ________. [答案] [解析] 5-1

1 如图,抛物线 y=4x2,即 x2=4y 的焦点 F(0,1),记点 P 在抛物线 的准线 l: y=-1 上的射影为 P′, 根据抛物线的定义知, |PP′|=|PF|, 则|PP′|+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|= 22+12= 5. 所以(|PA|+|PM|)min =(|PA|+|PP′|-1)min= 5-1. 9.(文)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面 2m 时,测量水面宽为 1 8m,当水面上升2m 后,水面的宽度是________m. [答案] 4 3

[解析]

建立平面直角坐标系如图, 设开始时水面与抛物线的一个交点为 1 A,由题意可知 A(4,-2),故可求得抛物线的方程为 y=-8x2,设水 3 1 面上升后交点为 B,则点 B 的纵坐标为-2,代入抛物线方程 y=-8 x2 可求出 B 点的横坐标为 2 3,所以水面宽为 4 3m. (理)(2012· 陕西理,13)下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱 顶离水面 2m,水面宽 4m,水位下降 1m 后,水面宽________m.

[答案] 2 6 [解析] 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用.

如图建立坐标系 设方程 x2=-2py(p>0),由题意知点(2,-2)在抛物线上,可得 p

=1, 则方程为 x2=-2y,当 y=-3 时,x=± 6, 所以水面宽 2 6m. [点评] 抛物线方程在实际问题中的应用,关键是合理建立平面 直角坐标系,还要注意数据的实际意义. 三、解答题 1 10.(2013· 长春三校调研)在直角坐标系 xOy 中,点 M(2,-2), 点 F 在抛物线 C:y=mx2(m>0)的焦点,线段 MF 恰被抛物线 C 平分. (1)求 m 的值; (2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,设直线 FA、FM、 FB 的斜率分别为 k1、k2、k3,问 k1、k2、k3 能否成公差不为零的等差 数列?若能,求直线 l 的方程;若不能,请说明理由. 1 [解析] (1)由题得抛物线 C 的焦点 F 的坐标为(0, 线段 MF 4 m ), 1 1 的中点 N(1,8m-4)在抛物线 C 上, 1 1 1 1 ∴8m-4=m,8m2+2m-1=0,∴m=4(m=-2舍去). (2)由(1)知抛物线 C:x2=4y,F(0,1). 1 设直线 l 的方程为 y+2=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),

?y+1=k?x-2?, 由? 2 ?x2=4y,

得 x2-4kx+8k+2=0,

2- 6 2+ 6 Δ=16k2-4(8k+2)>0,∴k< 2 或 k> 2 .

? ?x1+x2=4k, ? ?x1x2=8k+2. ?

假设 k1、k2、k3 能成公差不为零的等差数列,则 k1+k3=2k2. y1-1 y2-1 x2y1+x1y2-x2-x1 而 k1+k3= x + x = x1 x2 1 2 x2x2 x1x2 x1 x 2 1 2 + - x ? 2-x1 4 4 4 -1??x1+x2? = = x1 x2 x1 x2 8k+2 ? 4 -1?· 4k 4k2-k = = , 8k+2 4k+1 4k2-k 3 3 k2=-4,∴ =-2,8k2+10k+3=0, 4k+1 1 3 解得 k=-2(符合题意)或 k=-4(不合题意,舍去). 1 1 ∴直线 l 的方程为 y+2=-2(x-2), 即 x+2y-1=0. ∴k1、k2、k3 能成公差不为零的等差数列,此时直线 l 的方程为 x +2y-1=0. 能力拓展提升 一、选择题 11.(文)若抛物线 y2=4x 的焦点是 F,准线是 l,则经过点 F、 M(4,4)且与 l 相切的圆共有( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 经过 F、M 的圆的圆心在线段 FM 的垂直平分线上,设 圆心为 C, 则|CF|=|CM|, 又圆 C 与 l 相切, 所以 C 到 l 距离等于|CF|, ) B.1 个 D.3 个

从而 C 在抛物线 y2=4x 上. 故圆心为 FM 的垂直平分线与抛物线的交点,显然有两个交点, 所以共有两个圆. (理)将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物 线焦点的正三角形个数记为 n,则( A.n=0 C.n=2 [答案] C [解析] ) B.n=1 D.n≥3

2 y1 y2 2 设抛物线上点 A(2p,y1),B(2p,y2),

p 且 y1≠y2,焦点 F(2,0), 由|AF|=|BF|得,
2 2 2 2 2 y1+y2+2p (y1-y2)( )=0, 2

4p

∵y1≠y2,∴y1=-y2.∴A、B 关于 x 轴对称. 3 p 3 p 过点 F 作直线 y= 3 (x-2),y=- 3 (x-2)分别与抛物线有 2 个 交点. ∴等边三角形有△AFB 和△A′FB′,2 个,故选 C. 12.(2013· 郑州第一次质量预测)过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾

斜角为 135° 的直线交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的长为( A.4 C.12 [答案] D B.8 D.16

)

[解析] 抛物线 y2=8x 的焦点 F 的坐标为(2,0),直线 AB 的倾斜 角为 135° ,故直线 AB 的方程为 y=-x+2,代入抛物线方程 y2=8x, 得 x2-12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦 AB 的长|AB|=x1+x2 +4=12+4=16. x2 13. (2013· 乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域 D 是由双曲线 y - 4
2

=1 的两条渐近线和抛物线 y2=-8x 的准线所围成的三角形(含边界 与内部).若点(x,y)∈D,则 x+y 的最小值为( A.-1 C.1 [答案] B 1 [解析] 由题意知,双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,抛物线的准 线方程为 x=2, 设 z=x+y, 得 y=-x+z, 平移直线 y=-x 过点 O(0,0) 时,直线 y=-x+z 的纵截距最小,故 zmin=0. 二、填空题 14.(文)已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运 → → 动,则AP· BP取得最小值时的点 P 的坐标是______. [答案] (0,0) [解析] → ? y2 → ? y2 ?-y2 ? ? ? ?, 设 P? 则AP=?- 4 -2,y?, BP=?- 4 -4,y?, , y ? ? ? ? ? 4 ? B.0 D.3 )

→ → ? y 2 ? ? y2 ? y4 5 2 2 AP· BP=?- 4 -2??- 4 -4?+y =16+2y +8≥8, 当且仅当 y=0 时取
? ?? ?

等号,此时点 P 的坐标为(0,0). (理)已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距 x2 2 离为 5,双曲线 a -y =1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直 线 AM 平行,则实数 a 的值是________. 1 [答案] 9 [解析] 根据抛物线定义可得,抛物线准线方程为 x=-4,则抛 物线方程为 y2=16x. 把 M(1,m)代入 y2=16x 得 m=4,即 M(1,4). x2 2 在双曲线 a -y =1 中,A(- a,0),则 kAM= 4 1 1 = .解得 a=9. 1+ a a

15.(2013· 辽宁五校联考)设抛物线 x2=12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A, B 两点, 又知点 P 恰为 AB 的中点, 则|AF|+|BF|=________. [答案] 8 [解析] 分别过点 A,B,P 作准线的垂线,垂足分别为 M,N, Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得 |AF| +|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8. 三、解答题 x2 y2 3 16.(文)若椭圆 C1: 4 +b2=1(0<b<2)的离心率等于 2 ,抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点在椭圆 C1 的顶点上. (1)求抛物线 C2 的方程;

(2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点,又过 E、 F 作抛物线 C2 的切线 l1、l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程. [解析] (1)已知椭圆的长半轴长为 a=2,半焦距 c= 4-b2, 4-b2 c 3 由离心率 e=a= 2 = 2 得,b2=1. ∴椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1), ∴p=2,抛物线的方程为 x2=4y. (2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零,则可设直线 l 的方程为 y =k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2), 1 1 ∵y=4x2,∴y′=2x, 1 1 ∴切线 l1、l2 的斜率分别为2x1、2x2, 1 1 当 l1⊥l2 时,2x1· x2=-4, 2x2=-1,即 x1·
?y=k?x+1?, ? 由? 2 得 x2-4kx-4k=0, ? ?x =4y.

由 Δ=(-4k)2-4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0. 又 x1· x2=-4k=-4,得 k=1. ∴直线 l 的方程为 y=x+1. (理)已知点 C(1,0),点 A、B 是⊙O:x2+y2=9 上任意两个不同 → → 的点,且满足AC· BC=0,设 P 为弦 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x=-1 的距 离恰好等于到点 C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存 在,说明理由.

→ → [解析] (1)法一:连接 CP,由AC· BC=0 知,AC⊥BC,∴|CP| 1 =|AP|=|BP|=2|AB|, 由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9,

设点 P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9, 化简得,x2-x+y2=4. 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
2 2 2 根据题意知,x1 +y1 =9,x2 +y2 2=9,2x=x1+x2,2y=y1+y2, 2 2 2 2 ∴4x2=x1 +2x1x2+x2 2,4y =y1+2y1y2+y2, 2 2 2 故 4x2 + 4y2 = (x1 + y1 ) + (2x1x2 + 2y1y2) + (x 2 2 + y 2 ) = 18 + 2(x1x2 +

y1y2),① → → 又∵AC· BC=0,∴(1-x1,-y1)· (1-x2,-y2)=0, ∴(1-x1)×(1-x2)+y1y2=0,故 x1x2+y1y2=(x1+x2)-1=2x-1, 代入①式得,4x2+4y2=18+2(2x-1), 化简得,x2-x+y2=4. (2)根据抛物线的定义,到直线 x=-1 的距离等于到点 C(1,0)的 p 距离的点都在抛物线 y2=2px 上,其中2=1,∴p=2,故抛物线方程 为 y2=4x,
2 ? ?y =4x, 由方程组? 2 得,x2+3x-4=0, 2 ? ?x -x+y =4.

解得 x1=1,x2=-4, 由于 x≥0,故取 x=1,此时 y=± 2, 故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).

考纲要求 1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几 何性质. 2.理解数形结合的思想,了解抛物线的简单应用. 补充说明 1.由于抛物线的标准方程有四种不同形式,故求抛物线标准方 程时,一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论.抓准抛物线的开口 方向及 p 的几何意义是准确迅速求解的关键. 2.抛物线的焦点弦

涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题,常考虑应用定义求解. (1)若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2), 则有如下结论: p2 ①|AB|=x1+x2+p; ②y1y2=-p ; ③x1x2= 4 .
2

?p ? (2)直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F?2,0?时,常设 l:x= ? ?

p my+2以简化运算. 3.韦达定理的应用 涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达 定理,以避免求交点坐标的复杂运算. 4.关于抛物线的最值问题 (1)A 为抛物线弧内一定点,F 为焦点,P 为抛物线上任一点,求 |PA|+|PF|的最小值问题常用定义转化,由 A 向抛物线的准线作垂线 与抛物线的交点为取到最小值的 P 点. (2)直线 l 与抛物线无公共点, 求抛物线上的点到 l 的最小值问题, 一般可设出抛物线上的点, 用点到直线距离公式转化为二次函数求最 值,或设出与 l 平行且与抛物线相切的直线,转化为两平行直线间的 距离,后者更简便. (3)解题原理:“两点之间线段最短”,“点到直线的垂线段最 短”,三点 A、B、C 中,|AB|+|BC|≥|AC|等. 5.求参数范围的方法有两种:①根据题目给出的已知条件列出 一个关于参数的函数关系式,将其代入由题目列出的不等式(消元), 然后求解不等式;②由题目条件和结论建立目标函数,进而转化为求 函数的值域. 备选习题

1. (2013· 深圳调研)已知点 P 在直线 x+y+5=0 上, 点 Q 在抛物 线 y2=2x 上,则|PQ|的最小值等于________. [答案] 9 2 4

[解析] 设与直线 x+y+5=0 平行且与抛物线 y2=2x 相切的直
?x+y+m=0 ? 线方程是 x+y+m=0,则由? 2 消去 x 得 y2+2y+2m=0, ?y =2x ?

1 令 Δ=4-8m=0,得 m=2,因此|PQ|的最小值等于直线 x+y+5=0 1 |5-2| 1 9 2 与直线 x+y+2=0 之间的距离,即等于 = 4 . 2 2.(2013· 福州期末)若抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,动点 P 在曲线 y2=-4x(y≥0)上,则 △PAB 的面积的最小值为________. [答案] 2 2 [解析] 由题意得 F(1,0),直线 AB 的方程为 y=x-1.
? ?y=x-1, 由? 2 得 x2-6x+1=0. ? ?y =4x,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=6,x1x2=1, ∴|AB|= 2· ?x1+x2?2-4x1x2=8. y2 0 | 4 +y0+1| 2 y0 设 P(- 4 ,y0),则点 P 到直线 AB 的距离为 , 2 |y2 ?y0+2?2 0+4y0+4| ∴△PAB 的面积 S= = ≥2 2,即△PAB 的面 2 2 积的最小值是 2 2. 3. (2014· 扶余一中质检)已知抛物线 y2=2px(p>0), 过其焦点且斜

率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为________. [答案] x=-1 [解析]

?y =2px, 由? p y = x - ? 2,

2

消去 x 得, y2-2py-p2=0, 设 A(x1, y1),

B(x2,y2),则 y1+y2=2p,由条件知,y1+y2=4,∴p=2,∴抛物线 的准线方程为 x=-1.


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