一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1、 cos 210 ? (
?
) B. ?
A.
3 2
3 2
C.
1 2
D. ?
1 2
)
2、若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( A. EF ? OF ? OE
??? ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
B. EF ? ?OF ? OE D. EF ? OF ? OE
??? ?
??? ? ??? ?
C. EF ? ?OF ? OE
??? ?
??? ?
??? ? ??? ?
)
3、某扇形的半径为 1cm ,它的弧长为 2cm ,那么该扇形圆心角为( A. 2
?
B. 2 rad
C. 4
?
D. 4 rad )
4、函数 y ? 2cos ? ? x ?
? ?
π? ? ,(? ? 0) 两相邻最高点之间的距离为 ? ,则图象( 3?
B.关于直线 x ?
A.关于点 ?
? π ? , 0 ? 对称 ? 12 ? ? ?
π 对称 12 π 对称 4
) D. 180
?
C.关于点 ? , 0 ? 对称
?π ?4
D.关于直线 x ?
5、 | a |? 1, b ? (1,1) ,且 a? (a ? b) ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为( A. 60
?
?
?
? ? ?
?
?
?
B. 120
C. 135
?
6、函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? A. y ? 2 sin(
10 x ? ? ) 11 6
C. y ? 2 sin( 2 x ?
?
6
) 的图象如图所示,则 y 的表达式为 ( 2 10 x ? ? ) B. y ? 2 sin( 11 6
D. y ? 2 sin( 2 x ?
?
)
)
?
6
)
)
7、要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ?
? ?
?? ? 的图象( ??
? 个单位 ? ? C.向右平移 个单位 ?
A.向左平移 8、下列命题中正确的是(
B.向左平移 D.向右平移 )
? 个单位 ?
? 个单位 ?
A.若 a ? 0 , a ? b ? a ? c ,则 b ? c
?
?
? ?
? ?
?
?
B.若 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 中至少有一个为 0 C.对于任意向量 a , b , c ,有 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) D.对于任意向量 a ,有 (a)2 ?| a |2 9、函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[ ??,0]) 的单调递增区间是( A. [ ?? , ? ) D. [ ?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
5? ] 6
B. [ ?
?
6
, 0]
C. [ ?
?
3
, 0]
?
,? ] 2 3
)
?
10、已知 sin ? ? A.
5 10 ,且 ? , ? 均为锐角,则 ? ? ? 的值为( , sin ? ? 5 10
B.
? 4
3? 4
C.
? 3? 或 4 4
D.
? 2
)
11、已知 tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B 且 cos A? sin A ? A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形
3 ,则 ?ABC 是( 4
D.等边三角形或直角三角形 )
? ? ? ? ? ? ? 12、已知向量 a ? e, e ? 1 ,对任意 t ? R ,恒有 a ? te ? a ? e ,则 (
A. a ? e
?
?
B . a ? (a ? e)
?
? ?
C . e ? (a ? e)
?
? ?
D.
? ? ? ? (a ? e) ? (a ? e)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13、已知平面向量 a ? (3,1), b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? 14、在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是 15、若 ? , ? ? (0,
?
?
?
?
. .
?
2
) , cos(? ?
?
2
)?
? 1 3 , sin( ? ? ) ? ? ,则 cos(? ? ? ) ? 2 2 2
.
16、在 ?ABC 中,已知 tan ①
A? B ? sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 ? sin A ? sin B ? 2
tan A ?1 tan B
2 2
③ sin A ? cos B ? 1 其中正确的是
④ cos A ? cos B ? sin C
2 2 2
.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分) 已知 a ? (2sin x,cos x), b ? ( 3 cos x, 2cos x) ,函数 f ( x) ? a? b ? 1, x ? R .
?
?
??
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调减区间.
18、 (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?3, 2) , (Ⅰ)求 | a ? b | ; (Ⅱ)当 k 为何值时, (ka ? b) //(a ? 3b) .
?
?
? ?
? ?
?
?
19、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? cos 2 x ? 1 (Ⅰ)判断函数的奇偶性; (Ⅱ)当 ?
2? ? ? x ? 时,求 f ( x) 的最值. 3 3
20、(本小题满分 12 分) 已知
?
4
2 tan ? (Ⅰ)求 的值;
?? ?
?
, tan ? ?
1 10 ? tan ? 3
5sin 2
(Ⅱ)求
?
2
? 8sin
?
2
cos
?
2
? 11cos 2
?
2
?8
的值.
?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?
21、 (本小题满分 12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.
22.、 (本小题满分 14 分) 如图, ABCD 是一块边长为 1 的正方形地皮, 其中 AST 是一占地半径为 a(0 ? a ? 1) 的扇形小山,
? 上,相邻两 其余部分为平地,开发商想在平地上建立一个矩形停车场,使矩形一顶点 P 落在 ST
边 CQ, CR 落在正方形 BC , CD 的边上,设 ?SAP ? ? ,停车 场 PQCR 的面积为 f (? ) . (Ⅰ)求 f (? ) ; (Ⅱ)记 f (? ) 的最大值为 g (a ) ,求 g (a ) ; (Ⅲ)对任意 a ? (0,1] ,总存在实数 M , N ? R ,使得 M ? g (a) ? N ,求 N ? M 的最小值.
D T
R
C
P A
Q B
?
S
参考答案
一、 1—6 选择题(每小题 5 分共 60 分) B D B A C C 7—12 D D B A C C
二、填空题(每小题 4 分共 16 分)
13.
1
14.
60?
15.
?
1 2
16. ②④
三、解答题(共 74 分)
17、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? a? b ? 1 ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ? 3sin 2x ? cos 2 x ? 2
??
? 2sin(2 x ? ) ? 2 6
? x ? R ?当 2 x ?
?
………………………………………………………………3 分
?
6
?
?
2
? 2k? , (k ? z ) 时,有 f ( x)max ? 4 。此时 x ?
?
6
? k? ( k ? z ) 。
? f ( x)max ? 4 ,此时 x ?{x x ?
(Ⅱ)由
?
6
? k? , k ? z} ……………………………………6 分
?
2 6 ? 2? ? k? , k ? z ………………………………………………10 分 解得 ? k? ? x ? 6 3 ? 2? ? k? ], k ? z …………………………12 分 所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 [ ? k? , 6 3
18、 (本小题满分 12 分)
? 2 k? ? 2 x ?
?
?
3? ? 2 k? , k ? z 2
| a ? b |? 解: (Ⅰ)依题: a ? b ? (?2, 4) ,?
? ?
?
?
(?2) 2 ? 42 ? 2 5
……………………4 分
(Ⅱ)法一: ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2) ,
? ?
? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) ? ? ? ? 10 ? (2k ? 2)? (?4) ? 0 ?(ka ? b) //(a ? 3b) ,?(k ? 3)?
? ? ? ? 1 1 ………………12 分 ? 当 k ? ? 时, (ka ? b) //(a ? 3b) 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 法二:? a ? 3b ? 0 ,?由(ka ? b) //(a ? 3b) ,可得: (ka ? b) ? ? (a ? 3b)
解得: k ? ?
? 3? ? 1, 即 ka ? b ? ? a ? 3? b ,又? a ? 3b ? 0 不共线,? k ? ?,
? ?
?
?
?
?
?
解得: k ? ?
1 3
?当 k ? ?
? ? ? ? 1 时, (ka ? b) //(a ? 3b) 3
……… ………12 分
19、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)易知的 f ( x ) 定义域为 R ,关于原点对称 又 f (? x) ? cos(? x) ? cos 2(? x) ? 1 ? cos x ? cos 2 x ? 1 ? f ( x)
? f ( x) 是偶函数.
………………………………………………………4 分
(Ⅱ) f ( x) ? cos x ? cos 2 x ?1 ? cos x ? (2cos2 x ?1) ?1 ? ?2cos2 x ? cos x
1 1 ? ?2(cos x ? ) 2 ? , …………………………………………………8 分 4 8 2? ? 1 ?? ? x ? ,?? ? cos x ? 1, 3 3 2 1 1 有 f ( x ) max ? ? 当 cos x ? 时, 4 8 1 ? 当 cos x ? ? 或 1 时,有 f ( x)min ? ?1. ………………………………12 分 2
20、(本小题满分 12 分)
1 10 ? 得 3tan 2 ? ? 10 tan ? ? 3 ? 0 , tan ? 3 1 即 tan ? ? 3或 tan ? ? , 3
解:(Ⅰ)由 tan ? ? 又
?
4
?? ?
?
2
,所以 tan ? ? 3 为所求. …………………………………………6 分
2 ?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ? 4sin ? ? 3cos ? 4 tan ? ? 3 ? = ? 2 cos ? ? 2
(Ⅱ) =?
5sin 2
?
2
? 8sin
?
2
cos
?
? 11cos 2
?
1+ cos ? ?8 ? 8 5 ? 4sin ? ? 6? 2 2 = ? 2 cos ?
…………………………………………10 分 ……………………………………………12 分
15 2 2
21、 (本小题满分 12 分)
2 R sin B sin A ,所以 sin B ? 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 2 R sin A ? 2?
由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?
1 , 2
π . 6
………………………… ……………………4 分
(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?
? ?
? ? ? A? ? ?
1 3 ?? ? sin A ? cos A ? sin ? ? A ? ? cos A ? cos A ? 2 2 ?6 ? ?? ? ? 3 sin ? A ? ? 3? ?
………………………………………………………………8 分
2 2 5 ? ? ? ? 0 ? A ? , 0 ? ? ? A ? ,? ? A ? 2 6 2 3 2 ?? ? 5? ? ? A? ? , ………………………………………………………………10 分 3 3 6
由 △ ABC 为锐角三角形知 0 ? A ?
?
,0 ? C ?
?
,又 B ?
?
π 6
所以
1 ?? 3 3 ?? 3 ? ? . 由此有 ? sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 2 3? 2 ? ?
? 3 3? ? ? 2 , 2? ? ?
……………………………………12 分
所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ? 22.、 (本小题满分 14 分)
解: (Ⅰ)依题: f (? ) ? (1 ? a cos ? )(1 ? a sin ? )
? a2 s i n ? co ?s ?a
? ,? (? s? i n ? c? os ) ? [0, 1 ] 2
…………5 分
(Ⅱ)令 t ? sin ? ? cos ? ,则 sin ? cos ? ?
? t 2 ?1 ,?? ? [0, ] ,?t ?[1, 2], 2 2
t 2 ?1 a2 2 a2 ? at ? 1 ? t ? at ? ? 1 则 f (t ) ? a 2 2 2
2
?
?0 ?
a2 1 1 a2 (t ? )2 ? ? , t ? [1, 2], 2 a 2 2
1 1 ? 1,? ? 1, ?t ?[1, 2], a a
? ①当 1 ?
a2 1 2 ?1 ? 2a ? 1 ; ? 时,即 2( 2 ?1) ? a ? 1 时, g (a) ? f ( 2) ? 2 a 2
即 0 ? a ? 2( 2 ?1) 时, g (a) ? f (1) ? ?a ? 1 ;
? ②当
1 2 ?1 ? 时, a 2
??a ? 1, 0 ? a ? 2( 2 ? 1) ? ? g (a) ? ? a 2 ? ? 2a ? 1, 2( 2 ? 1) ? a ? 1 ?2
……………………………………………10 分
(Ⅲ)当 0 ? a ? 2( 2 ?1) 时,? g (a) ? ?a ? 1 ,?3 ? 2 2 ? g (a) ? 1 , 当 2( 2 ?1) ? a ? 1 时
? g ( a )?
a2 ? 2
3 2a ? , 1 ? ? 2 ? g (a) ? 3 ? 2 2 , 2
3 3 ? ? 2 ? g (a ) ? , 1 ? M ? g (a) ? N ? M ? ? 2, N ? 1, 2 2 3 1 ? ( N ? M ) m i n? 1 ? ( ? 2) ? 2 ? ……………………………………14 分 2 2