山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高一数学测试题4

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1、 cos 210 ? （
?

） B． ?

A．

3 2

3 2

C．

1 2

D． ?

1 2
）

2、若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ A． EF ? OF ? OE

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

B． EF ? ?OF ? OE D． EF ? OF ? OE

??? ?

??? ? ??? ?

C． EF ? ?OF ? OE

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?
）

3、某扇形的半径为 1cm ，它的弧长为 2cm ，那么该扇形圆心角为（ Ａ． 2
?

Ｂ． 2 rad

Ｃ． 4

?

Ｄ． 4 rad ）

4、函数 y ? 2cos ? ? x ?

? ?

π? ? ,(? ? 0) 两相邻最高点之间的距离为 ? ，则图象（ 3?
Ｂ．关于直线 x ?

Ａ．关于点 ?

? π ? ， 0 ? 对称 ? 12 ? ? ?

π 对称 12 π 对称 4
） D． 180
?

Ｃ．关于点 ? ， 0 ? 对称

?π ?4

Ｄ．关于直线 x ?

5、 | a |? 1, b ? (1,1) ，且 a? (a ? b) ? 0 ，则 a 与 b 的夹角为（ A． 60
?

?

?

? ? ?
?

?

?

B． 120

C． 135

?

6、函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? A． y ? 2 sin(

10 x ? ? ) 11 6

C． y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 的图象如图所示，则 y 的表达式为 （ 2 10 x ? ? ) B． y ? 2 sin( 11 6
D. y ? 2 sin( 2 x ?

?

）

)

?

6

)
）

7、要得到函数 y ? sin x 的图象，只需将函数 y ? cos ? x ?

? ?

?? ? 的图象（ ??

? 个单位 ? ? C．向右平移 个单位 ?
A．向左平移 8、下列命题中正确的是(

B．向左平移 D．向右平移 )

? 个单位 ?

? 个单位 ?

A．若 a ? 0 ， a ? b ? a ? c ，则 b ? c

?

?

? ?

? ?

?

?

B．若 a ? b ? 0 ，则 a 与 b 中至少有一个为 0 C．对于任意向量 a ， b ， c ，有 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) D．对于任意向量 a ，有 (a)2 ?| a |2 9、函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[ ??,0]) 的单调递增区间是（ A． [ ?? , ? ） D． [ ?

? ?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

? ? ?

?

?

?

5? ] 6

B． [ ?

?
6

, 0]

C． [ ?

?
3

, 0]

?

,? ] 2 3
）

?

10、已知 sin ? ? A．

5 10 ，且 ? , ? 均为锐角，则 ? ? ? 的值为（ , sin ? ? 5 10
B．

? 4

3? 4

C．

? 3? 或 4 4

D．

? 2
）

11、已知 tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B 且 cos A? sin A ? A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形

3 ，则 ?ABC 是（ 4
D.等边三角形或直角三角形 ）

? ? ? ? ? ? ? 12、已知向量 a ? e, e ? 1 ，对任意 t ? R ，恒有 a ? te ? a ? e ，则 （
A. a ? e

?

?

B . a ? (a ? e)

?

? ?

C . e ? (a ? e)

?

? ?

D.

? ? ? ? (a ? e) ? (a ? e)

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
13、已知平面向量 a ? (3,1), b ? ( x, ?3) ，且 a ? b ，则 x ? 14、在 ?ABC 中，若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ，则 ? B 的大小是 15、若 ? , ? ? (0,

?

?

?

?

. .

?
2

) ， cos(? ?

?
2

)?

? 1 3 , sin( ? ? ) ? ? ，则 cos(? ? ? ) ? 2 2 2

.

16、在 ?ABC 中，已知 tan ①

A? B ? sin C ，给出以下四个论断： 2
② 0 ? sin A ? sin B ? 2

tan A ?1 tan B
2 2

③ sin A ? cos B ? 1 其中正确的是

④ cos A ? cos B ? sin C
2 2 2

．

三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、 （本小题满分 12 分） 已知 a ? (2sin x,cos x), b ? ( 3 cos x, 2cos x) ，函数 f ( x) ? a? b ? 1， x ? R .

?

?

??

（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的单调减区间.

18、 （本小题满分 12 分） 已知向量 a ? (1, 2) ， b ? (?3, 2) ， （Ⅰ）求 | a ? b | ； （Ⅱ）当 k 为何值时， (ka ? b) //(a ? 3b) .

?

?

? ?

? ?

?

?

19、 （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? cos x ? cos 2 x ? 1 （Ⅰ）判断函数的奇偶性； （Ⅱ）当 ?

2? ? ? x ? 时，求 f ( x) 的最值. 3 3

20、（本小题满分 12 分） 已知

?
4

2 tan ? （Ⅰ）求 的值；

?? ?

?

, tan ? ?

1 10 ? tan ? 3

5sin 2
（Ⅱ）求

?

2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8
的值.

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

21、 （本小题满分 12 分） 设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 a ? 2b sin A ． （Ⅰ）求 B 的大小； （Ⅱ）求 cos A ? sin C 的取值范围．

22.、 （本小题满分 14 分） 如图， ABCD 是一块边长为 1 的正方形地皮， 其中 AST 是一占地半径为 a(0 ? a ? 1) 的扇形小山，

? 上，相邻两 其余部分为平地，开发商想在平地上建立一个矩形停车场，使矩形一顶点 P 落在 ST
边 CQ, CR 落在正方形 BC , CD 的边上，设 ?SAP ? ? ，停车 场 PQCR 的面积为 f (? ) . （Ⅰ）求 f (? ) ; （Ⅱ）记 f (? ) 的最大值为 g (a ) ，求 g (a ) ; （Ⅲ）对任意 a ? (0,1] ，总存在实数 M , N ? R ，使得 M ? g (a) ? N ，求 N ? M 的最小值.

D T

R

C

P A

Q B

?
S

参考答案
一、 1—6 选择题（每小题 5 分共 60 分） B D B A C C 7—12 D D B A C C

二、填空题（每小题 4 分共 16 分）
13.

1

14.

60?

15.

?

1 2

16. ②④

三、解答题（共 74 分）
17、 （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ） f ( x) ? a? b ? 1 ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ? 3sin 2x ? cos 2 x ? 2

??

? 2sin(2 x ? ) ? 2 6
? x ? R ?当 2 x ?

?

………………………………………………………………3 分

?

6

?

?
2

? 2k? , (k ? z ) 时，有 f ( x)max ? 4 。此时 x ?

?
6

? k? ( k ? z ) 。

? f ( x)max ? 4 ，此时 x ?{x x ?
（Ⅱ）由

?
6

? k? , k ? z} ……………………………………6 分

?

2 6 ? 2? ? k? ， k ? z ………………………………………………10 分 解得 ? k? ? x ? 6 3 ? 2? ? k? ], k ? z …………………………12 分 所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 [ ? k? , 6 3
18、 （本小题满分 12 分）

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

3? ? 2 k? ， k ? z 2

| a ? b |? 解： （Ⅰ）依题： a ? b ? (?2, 4) ，?

? ?

?

?

(?2) 2 ? 42 ? 2 5

……………………4 分

（Ⅱ）法一： ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2) ，

? ?

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) ? ? ? ? 10 ? (2k ? 2)? (?4) ? 0 ?(ka ? b) //(a ? 3b) ，?(k ? 3)?
? ? ? ? 1 1 ………………12 分 ? 当 k ? ? 时， (ka ? b) //(a ? 3b) 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 法二：? a ? 3b ? 0 ，?由(ka ? b) //(a ? 3b) ，可得： (ka ? b) ? ? (a ? 3b)
解得： k ? ?

? 3? ? 1， 即 ka ? b ? ? a ? 3? b ，又? a ? 3b ? 0 不共线，? k ? ?，

? ?

?

?

?

?

?

解得： k ? ?

1 3

?当 k ? ?

? ? ? ? 1 时， (ka ? b) //(a ? 3b) 3

……… ………12 分

19、 （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ）易知的 f ( x ) 定义域为 R ，关于原点对称 又 f (? x) ? cos(? x) ? cos 2(? x) ? 1 ? cos x ? cos 2 x ? 1 ? f ( x)

? f ( x) 是偶函数.

………………………………………………………4 分

（Ⅱ） f ( x) ? cos x ? cos 2 x ?1 ? cos x ? (2cos2 x ?1) ?1 ? ?2cos2 x ? cos x

1 1 ? ?2(cos x ? ) 2 ? ， …………………………………………………8 分 4 8 2? ? 1 ?? ? x ? ,?? ? cos x ? 1, 3 3 2 1 1 有 f ( x ) max ? ? 当 cos x ? 时， 4 8 1 ? 当 cos x ? ? 或 1 时，有 f ( x)min ? ?1. ………………………………12 分 2
20、（本小题满分 12 分）

1 10 ? 得 3tan 2 ? ? 10 tan ? ? 3 ? 0 ， tan ? 3 1 即 tan ? ? 3或 tan ? ? ， 3
解：(Ⅰ)由 tan ? ? 又

?

4

?? ?

?

2

，所以 tan ? ? 3 为所求. …………………………………………6 分

2 ?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ? 4sin ? ? 3cos ? 4 tan ? ? 3 ? = ? 2 cos ? ? 2
（Ⅱ） =?

5sin 2

?
2

? 8sin

?
2

cos

?

? 11cos 2

?

1+ cos ? ?8 ? 8 5 ? 4sin ? ? 6? 2 2 = ? 2 cos ?

…………………………………………10 分 ……………………………………………12 分

15 2 2

21、 （本小题满分 12 分）

2 R sin B sin A ，所以 sin B ? 解： （Ⅰ）由 a ? 2b sin A ，根据正弦定理得 2 R sin A ? 2?
由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 ， 2

π ． 6

………………………… ……………………4 分

（Ⅱ） cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

1 3 ?? ? sin A ? cos A ? sin ? ? A ? ? cos A ? cos A ? 2 2 ?6 ? ?? ? ? 3 sin ? A ? ? 3? ?
………………………………………………………………8 分

2 2 5 ? ? ? ? 0 ? A ? , 0 ? ? ? A ? ，? ? A ? 2 6 2 3 2 ?? ? 5? ? ? A? ? ， ………………………………………………………………10 分 3 3 6

由 △ ABC 为锐角三角形知 0 ? A ?

?

,0 ? C ?

?

，又 B ?

?

π 6

所以

1 ?? 3 3 ?? 3 ? ? ． 由此有 ? sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3， 2 3? 2 2 3? 2 ? ?
? 3 3? ? ? 2 ， 2? ? ?
……………………………………12 分

所以， cos A ? sin C 的取值范围为 ? 22.、 （本小题满分 14 分）

解： （Ⅰ）依题： f (? ) ? (1 ? a cos ? )(1 ? a sin ? )

? a2 s i n ? co ?s ?a

? ，? (? s? i n ? c? os ) ? [0, 1 ] 2

…………5 分

（Ⅱ）令 t ? sin ? ? cos ? ，则 sin ? cos ? ?

? t 2 ?1 ，?? ? [0, ] ，?t ?[1, 2], 2 2

t 2 ?1 a2 2 a2 ? at ? 1 ? t ? at ? ? 1 则 f (t ) ? a 2 2 2
2

?
?0 ?

a2 1 1 a2 (t ? )2 ? ? , t ? [1, 2], 2 a 2 2

1 1 ? 1,? ? 1, ?t ?[1, 2], a a

? ①当 1 ?

a2 1 2 ?1 ? 2a ? 1 ; ? 时，即 2( 2 ?1) ? a ? 1 时， g (a) ? f ( 2) ? 2 a 2
即 0 ? a ? 2( 2 ?1) 时， g (a) ? f (1) ? ?a ? 1 ;

? ②当

1 2 ?1 ? 时， a 2

??a ? 1, 0 ? a ? 2( 2 ? 1) ? ? g (a) ? ? a 2 ? ? 2a ? 1, 2( 2 ? 1) ? a ? 1 ?2

……………………………………………10 分

（Ⅲ）当 0 ? a ? 2( 2 ?1) 时，? g (a) ? ?a ? 1 ，?3 ? 2 2 ? g (a) ? 1 ， 当 2( 2 ?1) ? a ? 1 时

? g ( a )?

a2 ? 2

3 2a ? ， 1 ? ? 2 ? g (a) ? 3 ? 2 2 ， 2

3 3 ? ? 2 ? g (a ) ? ， 1 ? M ? g (a) ? N ? M ? ? 2, N ? 1, 2 2 3 1 ? ( N ? M ) m i n? 1 ? ( ? 2) ? 2 ? ……………………………………14 分 2 2