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数学建模作业实验2微分方程实验


数学建模作业
(实验 2 微分方程实验)
基本实验

1.微分方程稳定性分析
绘出下列自治系统相应的轨线,并标出随 t 增加的运动方向,确定平衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类:

? dx ? dx ? dx ? dx ? x , ? ? x , ? y , ? ? x +1, ? ? ? ? ? dt ? dt ? dt ? dt (1) ? (2) ? (3) ? (4) ? dy dy dy ? ? y; ? ? 2 y; ? ? ?2 x; ? dy ? ?2 y. ? ? ? ? ? dt ? dt ? dt ? dt

解答
解: (1) 由平衡点的定义可得, f(x)=x=0,f( y)=y=0,因此平衡点为(0,0) ,
微分方程组的系数矩阵为 A ? ?

?1 0 ? ? ,显然其特征值为 ?1 =1,?2 =1 ;由根与 ?0 1 ?

系数的关系可得:

p ? ?(?1 ? ?2 ) ? ?2 ? 0,q ? ?1?2 ? 1 ? 0 且 p2 ? 4q ,由平衡点与稳定性的各种
情况可知,平衡点(0,0)是不稳定的。

自治系统相应轨线为:
y

x

(2)由平衡点的定义可得,f(x)=-x=0,f(y)=2y=0,因此平衡点为(0,0) ,
微分方程组的系数矩阵为 A ? ?

?-1 0? ? ,显然其特征值为 ?1 =-1,?2 =2 ;由根与系数的 ? 0 2?

关系可得:

p ? ?(?1 ? ?2 ) ? ?1 ? 0,q ? ?1?2 ? -2<0 ,平衡点(0,0)是不稳定的。
自治系统相应轨线为:
y

x

(3)由平衡点的定义可得,f(x)=y=0,f(y)=-2x=0,因此平衡点为(0,0) ,
微分方程组的系数矩阵为 A ? ?

? 0 1? ? ,显然其特征值为 ?1 =1.4142i,?2 =-1.4142i ; ? 2 0 ? ?

由根与系数的关系可得:

p ? ?(?1 ? ?2 ) ? 0,q ? ?1?2 ? 1.4142 ? 0 ,由平衡点与稳定性的各种情况可知,
平衡点(0,0)是不稳定的。 自治系统相应轨线为:
y

x

(4)由平衡点的定义可得,f(x)=-x=0,f(y)=-2y=0,因此平衡点为(0,0) ,
微分方程组的系数矩阵为 A ? ?

?-1 0 ? ? ,显然其特征值为 ?1 =-1,?2 =-2 ;由根与系数 ? 0 -2?

的关系可得:

p ? ?(?1 ? ?2 ) ? 3 ? 0,q ? ?1?2 ? 2 ? 0 且 p2 ? 4q ,由平衡点与稳定性的各种情
况可知,平衡点(0,0)是稳定的。

自治系统相应轨线为:
y

x

2.种群增长模型
一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为 N,单位 成员的增长率为 r1,则由 Malthus 生长律有
dN ? r1 ? N ,但是,处于周界表面的 dt

那些病菌由于寒冷而受到损伤, 它们死亡的数量与 N1/2 成比例, 其比例系数为 r2, 求 N 满足的微分方程.不用求解,图示其解族.方程是否有平衡解,如果有,是否 为稳定的?

解答
1 dN ? r1 N ? r2 N 2 ? f ( N ) , 解:由题意可得 N 满足的微分方程为: dt

令 f ( N ) =0,可求得方程的两个平衡点 N1=0,N2= r2 / r1 ,
分析可得,当 N ? 0 时,单调递减,当 0 ? N ? r2 单调递减,所以 N1=0 是不稳定的,N2= r2 求二次微分可得:
1 1 ? d 2N 1 2 ? (r1 ? r2 N ) ? (r1 N ? r2 N 2 ) , dt 2 2

2

2

2

/ r12 时,单调递增,当 N ? r22 / r12 时,

2

/ r12 为稳定的。

d 2N 2 2 令 2 ? 0 得 N= r2 / 4r1 ,该点即为曲线的拐点。 dt
方程的解族如下图所示:
y

x

由图形也可以看出, 对于方程的两个平衡点, 其中 N1=0 是不稳定的; N2= r2 / r1 是稳定的。

2

2

3.单种群开发模型
考虑单种群开发方程
dx x ?( r 1- )x-Ex ( E ? r ). dt N

用数学表达式证明:在稳定状态下,最优捕捞率为 E*=

r 2

解答
解:本题不需要解出方程,而只需得到 x 的动态变化过程和、渔场稳定的鱼量和 保持稳定的条件本质上是要讨论方程的平衡点并分析其稳定性。 令
f (x)= dx x ?( r 1- )x-Ex ? 0 dt N

解得的两个平衡点为:
x0 ? N (1 ? E ) , x1 ? 0 r

易得 f (x0 ) = E ? r ,f (x1 ) = r ? E.
' '

由课件定理 2.1 可得: 若

f '(x0 )<0 ,则 x0 是稳定的;若 f '(x0 )>0 ,则 x0 不是稳定的。

应用上述近似判别法,所以有 当 E<r 时,

f '(x0 )<0, f '(x1 )>0 ? x0 是稳定平衡点, x1 不是;
f '(x0 )>0, f '(x1 )<0 ? x0 是不是稳定平衡点, x1 是;
E ) ,从而获得持 r

当 E>r 时,

所以,当捕捞适度(即:E<r)时,可使渔场产量稳定在 x0 ? N (1 ?

续产量,而当捕捞过度(即:E>r)时,渔场产量将减至 x1 ? 0 ,破坏性捕捞,从 而是不可持续的。 令
h( x0 ) ? N (1 ? E )E r

求导可得:

dh 2E r ? N (1 ? ) ? 0 ? E* ? dx r 2

所以,最优捕捞率为 E * ?

r 。 2

4.Gompertz 模型
设渔场鱼量自然增长服从 Gompertz 模型:
dx N ? rx ln dt x

其中 r 为固有增长率,N 为最大种群数量。若单位时间捕捞量为 h ? Ex .讨论渔 场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量 hm 及获得最大产量的捕捞强度 Em 和渔场鱼量水平 x0 。
*

解答
解:令
f ( x) ?rx ln N ? Ex x
E

? N 由 f ? x? ? 0 , rx ln ? Ex ? 0 ,解得该方程的平衡点为 x0 ? Ne r , x1 ? 0 . x

f ' ? x ? ? r ln

N ?r ?E , x

f ' ? x0 ? ? ?r ? 0, f ' ? x1 ? ? ? ,

可得平衡点 xo 是稳定的,而平衡点 x1 不稳定. 最大持续产量的数学模型为:
?max h ? Ex ? N ? s.t.  rx ln ? Ex ? 0, x ? 0. ? x ?

由前面的结果可得 h ? ENe

?

E r
? dh EN ? r ? Ne r ? e dE r E E





dh ? 0 可得最大产量的捕捞强度 E m ? r ,从而得到最大持续产量 hm ? rN / e , dE

* 此时,渔场鱼量水平 x0 ?

N 。 e

5.有限资源竞争模型
微分方程

? dx1 ? x1[?a1 ? c1 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )] ? ? dt ? ? dx2 ? x [?a ? c (1 ? b x ? b x )] 2 2 2 1 1 2 2 ? ? dt
是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型,假设 c1>a1,c2>a2。试用微分方 程稳定性理论分析: (1)如果

a1 a2 a a ? ,则 x1 (t ) ?0( t ??); (2)如果 1 ? 2 则 c1 c2 c1 c2

x2 (t ) ? 0(t ? ?); (3)用图形分析方法来说明上述两种情况。

解答
解: (1)

dx ? f ( x1 ) ? 1 ? x1[?a1 ? c1 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )] ? 0 ? ? dt 令? ? f ( x ) ? dx2 ? x [?a ? c (1 ? b x ? b x )] ? 0 2 2 2 2 1 1 2 2 ? dt ?
得方程的平衡点为 P0(0,0) ,P1( 对平衡点 P0(0,0) , 系数矩阵 A ? ?

c1 ? a1 c ?a ,0) ,P2(0, 2 2 ). c1b1 c2b2

0 ? ?c1 ? a1 c2 ? a2 ? ? 0 ?

又 c1>a1,c2>a2 则 p=-[(c1-a1)+(c2-a2)] <0,所以该平衡点不稳定。

b (c ? a ) ? ? a1 ? c1 ? 2 1 1 ? ? c1 ? a1 b1 ? ? 对平衡点 P1( ,0) ,系数矩阵 A ? c1b1 (c1 ? a1 )c2 ? ? ?a1 ? c1 ? ? 0 ? c1 ? ?
则 p= c1 ? a1 ?

a 2c1 ? a1c2 (c ? a )c a a , q= ?(c1 ? a1 )[(c2 ? a2 ) ? 1 1 2 )] , 若 1? 2 , 且 c1>a1, c1 c1 c2 c1

c2>a2,则 q<0 不稳定。

而对于 P2(0, 最终要灭亡。 (2)如果

c 2 ? a2 ) ,有 p>0,且 q>0 稳定,此时 x1 (t ) ? 0(t ??); 说明物种 1 c2b2

a1 a2 c ?a ? 的情况下,方程在 P1( 1 1 ,0)稳定,其他点不稳定,此时 c1 c2 c1b1

x2 (t ) ? 0(t ? ?); 说明物种 2 最终会灭亡。
(3)对于线性方程组

x1 ? x2 ? ?1 ? N ? N ? 0 直线l1 ? 1 1 , ? x ? x 1 2 ?1 ? ? ? 0 直线l2 ? ? N1 N 2
其中, N1

?

c1 -a1 c -a b , N 2 ? 2 2 , ? ? ? ? 2 . 直线 l1和l2 将第一象限分成三个区域。 b1c1 b1c2 b1

① 当

a1 a2 ? 时,P2 点稳定,通过分析 x1,x2 的单调性可得下图: c1 c2

此时 x1 (t ) ? 0(t ??); 说明物种 1 最终要灭亡。 ② 当

a1 a2 ? 时,P1 点稳定,通过分析 x1,x2 的单调性可得下图: c1 c2

此时 x2 (t ) ? 0(t ? ?); 说明物种 2 最终要灭亡。

6.蝴蝶效应与混沌解
考虑 Lorenz 模型

? x1' (t ) ? ? ? x1 (t ) ? x2 (t ) x3 (t ) ? x2 ' (t ) ? ?? x2 (t ) ? ? x3 (t ) ? ? x ' (t ) ? ? x (t ) x (t ) ? ? x (t ) ? x (t ) 1 2 2 3 ? 3
( ) ?x ( ) ? 0,x ( ) ? ? ,ε 为一个小 其中 ? ? 10,? ? 28,? ? 8 / 3 ,且初值为, x 1 0 2 0 3 0
常数,假设 ? ? 10?10 ,且 0 ? t ? 100 。 (1)用函数 ode45 求解,并画出 x2~x1,x2~x3,x3~x1 的平面图; (2)适当地调整参数 σ,ρ,β 值,和初始值 x1(0) ,x2(0)=0,x3(0) ,重复 一的工作,看有什么现象发生。

解答
解:

(1)分别创建 lorenzeq.m 和 huatu26.m 两个文件,在 lorenzeq.m 文件中编写下 面的语句:
f=@(t,x)[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];

在 huatu26.m 文件中,编写下面的语句:
t_final=100;x0=[0;0;1e-10];[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0); subplot(2,2,1),plot(x(:,2),x(:,1)) xlabel('x_2');ylabel('x_1'); subplot(2,2,2),plot(x(:,2),x(:,3)) xlabel('x_2');ylabel('x_3'); subplot(2,2,3),plot(x(:,3),x(:,1)) xlabel('x_3');ylabel('x_1');

运行程序,可得下面的图形:

( ) ?x ( ) ? 5, (2)修改此题的参数,令 ? ? 5,? ? 14,? ? 4 / 3 ,且初值为, x 1 0 2 0

x ( ? ? ,其中 ? ? 10?10 保持不变,运行上面的程序,可得下面的图形: 3 0)
可以发现,修改参数和初始值,图形会发生很大变化。

7.血液中的药物浓度测定
考虑口服某种药物后,该药物在血液中的浓度,以便更好地确定治疗方案。 假定给测试者口服某种药物,并每隔一段时间,测试该药物在血液中的浓度,用 这种方法得到药物在血液中浓度的变化曲线。 所述的生物系统可看成两个房室——肠道和血液,其模型可以描述如下

药物在肠道中的浓度

药物在肠道中的浓度

设 ? 1 (t ) 和 ? 2 (t ) 分别是 t 时刻药物在肠道和血液中的浓度, ? 1 是药物从肠道转移到血液的

?2 是药物从血液向外界转移的速率。 速率, 并且在初始时刻 (t=0) , 肠道中的药物浓度为 ?3 ,
血液中的药物浓度为 0。 (1)试建立相应的微分方程模型。 (2)假定测得某测试者血液中的药物浓度如下: 测 试 1 时刻 t 血 液 0.7 中 药 物 浓 度 ?2 试确定参数 ?1 ?2和?3 的估计值。 2 1.2 3 1.4 4 1.4 6 1.1 8 0.8 10 0.6 12 0.5 16 0.3

提示:可先求出微分方程的表达式,再选择优化参数,求参数的最小二乘解。

解答
解: (1)由题意可得微分方程为:
? d? 1 ? dt ? ??1? 1 ? ? d? 2 ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 ? dt ? ?? 1 (0) ? ?3 ?? (0) ? 0 ? 2

(2)首先求解微分方程的解 在 d27 的.m 文件中编写下面的语句:
[x,y]=dsolve('Dx=-a*x','Dy=a*x-b*y','x(0)=c','y(0)=0')

可以得到下面的结果: >> d27

x=

c*exp(-a*t)

y=

exp(-a*t)*exp(-b*t)*((a*c*exp(a*t))/(a - b) - (a*c*exp(b*t))/(a - b)) 最后采用最小二乘曲线拟合的方法求解参数: 在 d272 的.m 文件中编写下面的语句:
t=[1 2 3 4 6 8 10 12 16]; y=[0.7 1.2 1.4 1.4 1.1 0.8 0.6 0.5 0.3]; f=@(a,t)exp(-a(1)*t).*exp(-a(2)*t).*((a(1)*a(3).*exp(a(1)*t))/(a(1)-a(2)) (a(1)*a(3).*exp(a(2)*t))/(a(1)-a(2)));a=[1;2;3]; [a,b,c]=lsqcurvefit(f,a,t,y)

可以得到下面的结果:

>> d272

Local minimum possible.

lsqcurvefit stopped because the final change in the sum of squares relative to its initial value is less than the default value of the function tolerance.

<stopping criteria details>

a=

0.1830 0.4347 5.9981

b=

0.0356

c=

0.1080 -0.0384 所以:

-0.0039

-0.0652

-0.0691

0.0333

0.0741

0.0432

-0.0707

参数的估计值为: ?1 ? 0.1830, ?2 =0.4347,?3 ? 5.9981.

2.3 加分实验(餐厅废物的堆肥优化问题)
一家环保餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料。 餐厅每天将剩余的食物制成桨状 物并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料,加入真菌菌种后放入容器内。真菌消化 这此混合原料,变成肥料,由于原料充足,肥料需求旺盛,餐厅希望增加肥料产 量。由于无力购置新设备,餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产.试 通过分析以前肥料生产的记录(如表 2.1 所示),建立反映肥料生成机理的数学模 型,提出改善肥料生产的建议。

解答
解:

1.问题假设
1) 每次堆肥的质量不同 2) 所给的几次堆肥混合物的比例仅由当天的实际情况决定 3) 所有分离堆肥仓工作条件相同 4)每磅蔬菜所提供的氧气量相同 5)细菌消耗的溶解氧完全由蔬菜叶提供

6)每天提供的废料混合物中的化学成分大致相同 7)废料混合物在喂给细菌前混合均匀并保持良好的通气环境。

2.问题分析
堆肥是利用微生物的分解作用将有机废物转化成无害稳定形式的生物化学 过程,要提高堆肥常量方法之一是通过强细菌的生长繁殖能力提高分解率 细菌群体的增长一般要经历延滞期, 加速生长期, 对数生长期, 减速生长期, 稳定期,加速死亡期和对数死亡期,其它典型生长曲线如图 1 所示:

细 菌 数 目 的 对 数 倍 增 速 率

+ 0 9 c 7 5 a b 时间 d e f g

图1 其中对数生长期培养基中所有养分都过剩,细菌可以充分繁殖,其倍增速率 恒定,取决于底物浓度,温度,水活度,供养量。对于当前该餐厅来说底物浓度 由每天的剩余食物,蔬菜叶和碎纸屑决定。碎纸屑是吸收水分的调理剂,微菌呼 吸所需要的溶解氧由蔬菜叶提供,水活度可以通过测定相对湿度来决定,其关系 式是 相对湿度

B=P/P0 × 100%
水活度 aw =p/po 其中 P 为该溶液蒸气压;Po 为纯水蒸气压 在这个堆肥系统中, 可供微菌消耗营养底物和溶解氧都是有限的,它们的消

耗会对微菌生长率产生重要影响。 一种微菌消耗营养底物的速率和底物浓度之间 的关系曲线如图 2 所示:

比 生 长 速 率

?m / a

Ks
底物浓度和微菌浓度的关系为 ds/dt=(-kmsx)/(ks+s)

底物浓度

式中 ds/dt 表示为底物的有效消耗率:x 表示为微菌浓度;km 表示最大有效系数, 在高浓度营养底物中最大的物料消耗率(物质质量/微菌—天的质量) ;ks 表示半 速系数(质量/体积) ;S 表示为有限底物的浓度(质量/体积) 微菌生长过程是一个生物化学反应过程。其生长率和温度之间满足公式: K=Ae-Ea/RT 式中 K 表示为反应速度常数;T 表示反应的绝对温度;R 表示气体常数;Ea 表 示反应活化能;A 表示频率因子。 对于大多数微菌来说, 如果以比生长速度常数 (dx/Xdt) 的对数对 1/T 作图, 可得下面的曲线图(图 3)

1 n?

6 4 高温 2 40 0.0032 30

线形

低温 20 10

0o C

0.0033 0.0034 0.0035 1/T(K)

0.0036

0.0037

因此各种微菌都有一格最适圣战个 we 浓度。如温度控制在最适值时微菌生 长速率最高 微菌生长对水湿度也有一定的要求, 与微菌最高生长速率相对的有一最适水 活度。 优化堆肥意味着尽可能短的时间内生常出高质量的肥料, 参数的优化依赖于 所应用的系统。

3.模型的建立 模型 1
假设每天投入的肥料比是随意的,仅仅取决于当天的情况,首先从已知数据 中得到经验最佳比例, 由于假设各次堆肥后肥料质量相同,因此堆肥时间较短就 对应了较好的肥料配比,装 12 组数据按其堆肥日期及完全堆肥时间分成三组, 每组中较优比例如表 2 表2

分组 1~4 5~8 9~12

每组中的最短天数 N0.4:26 N0.5:33 N0.9:49

比例 203:82:0 79:28:0 82:44:9

上述经验默想显然过于粗糙

模型 2
营养底物和氧气是细菌生长的两种底物,物耗公式为: dSi /dt=-kmixsi/(Ksi+Si) (1)

i=1 时代表营养底物中可降解的有机物。 i=2 时代表氧气 1)在高浓度底物中,物料的转化过程很迅速,仅一步增加第五浓度就不再营区 底物转化率的提高,可假设 S1>>Ks1,S2>>Ks2 则(1)式简化为:
dS i dt

X-1=-Kmi

(2)
这是关于底物浓度的零级反应,消去 X 得到

dS1= (3)
积分后得:

K m1 K m2

dS2

S1(t)= (4)

K m1 K m2

S2(t)+(

S1(0)-

K m1 K m2

S2(0))

2)在低浓度底物中,可假设 S1<<Ks1,S2<<Ks2 则(1)式简化为:
dS i dt

X-1=-

K mi Si K si

(5)

消去 X 得

dS1 -1 K m1K s2 dS 2 X = K m2K s1 S2 S1

? S ?t ? ? K m1Ks1 S1 ?t ? ? S1 ?0?? 2 ? ? S2 ?0??

K m1 K S2

(6)

3)当 Si =Ksi ,

i=1,2 时有:

dS1=

K m1 dS2 同 1 K m2

4.结果分析
由上节知,当 S>>Ks 时,简化方程为(4) 且 Km1 = Ae RT 其中 R=8.31J/(mol.K) Ea=51.3KJ/mol T=25 摄氏度=298K 时,Km1=12 克底物/(克微菌.天)
51.3?1000 ?Ea

可确定 A ? 12e 8.31?298 当 T= 49o C =322K 时,可得
51.3?1000

K m1 ? A ? e 8.31?322 =55.7
不同微生物的耗氧速度不同,此处可取 86,经过单位换算,可估算出

K m1 =
从而

86 ? 10?3 ? 24 ? 223 =20.548 22.4

K m1 55.7 = =2.711 K m 2 20.548

下面从已知数据中选取几组典型的数来定性说明(4)式在不同情况下的物 理意义。 设废食浆中含有 40%的有机挥发性物质,有几物的降解为 66%,并设波蔬 菜叶中含有 25%的氧气。 a)对于第二组数据:
S1 (0) =112 ? 40% ? 60%=22.704 S 2 (0) =79 ? 25%=19.75 S1 (t ) =2.711 S 2 (t ) -23.974

当 S1 (t ) =0 时,有 S 2 (t ) =8.84,这表明在此情况下废食浆中所含有的可降解的有机 物可以全部被降解,氧气的量是充足的。 b)对于第五组数据: S1 (0) =20.856m
S 2 (0) =7 S1 (t ) =2.711 S 2 (t ) +1.879

在时间足够长的情况下, S 2 (t ) =0, S1 (t ) =1.879 这表明氧气的量是不充足的, 废食浆中所含有可降解有机物只能有 ( S1 (0) ~ S1 (?) ) /= S1 (0) =91%被降解。 由此我们可以确定出废食浆和蔬菜叶的最优比例关系,最优情况为在某一时刻

t 0 有 S1 (t0 ) = S 2 (t 0 ) =0。既废食浆中可降解的有机物和蔬菜叶所提供的氧气均可
被利用完。 设堆肥原料中废食浆的量为 x, 蔬菜叶的量为 y, 则由 S1 (t 0 ) = S 2 (t 0 ) =0 可得 S1 (0) -2.711 S 2 (0) =0, 故有 x ? 40% ? 66%-2.711 ? y ? 25%=0, 从而可得 x : y ? 2.567:1 对 S<< K s 及 S= K s 两种情况。可用类似方法进行分析。

5.进一步的探讨 模型评价
我们将堆肥过程中微菌与堆肥颜料之间复杂的相互作用, 根据三种不同的情 形进行了较为合理的简化, 建立了一个比较简单的反应废食浆和蔬菜叶关系的数 学模型, 并对其中两种情况作出了物理解释。但没有考虑本微菌与堆肥原料之间 更为复杂的相互促进和限制作用,模型建立过于简单,另外,由于所给数据有限 及堆肥问题的复杂性, 对一些影响堆肥的因素只做了定性分析,而缺乏更精确的 定量分析。

实施建议
1)堆肥过程中要保证适量的水分,含水量保持在原料湿度 60%~70%为宜 2)堆肥过程忠,每隔一段时间添加一定量的新鲜废物。并从堆肥仓中排出等量 的液体,使营养底物的浓度保持在一定水平上,促进伪军大量繁殖。

3)堆肥初期经常通气以利用伪军活动,后期则应少通气以利用腐殖后形成和减 少养分损失。 4)微菌为了进行呼吸和繁殖,对堆肥的碳氮比有一定要求,多数微菌最适碳氮 比是 25:1。 5)控制堆温室微菌能长时间在最适温度下生存。 6)中性和微碱性条件有利于微菌活动,可加入一些石灰,草木灰等碱性物质。 7)具体操作时,应对堆肥进行充分搅拌以后混合均匀。


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