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江苏省阜宁中学2014届高三数学第三次调研测试试题 文 苏教版


2014 届高三年级第三次调研测试数学(文)试卷
分值:160 分 时间:120 分钟 日期:2013.12 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需写出解答过程.请把答案直接填写 在答案卷上. .... 1. 若集合 ?1, 2? ? A ? ?1, 2,3, 4? ,则满足条件 A 有 2. 若复数 z ? i ? i
2014

二、解答题:本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并 请将答案写在答题纸相应的位置上. 15. (本小题满分 14 分)设向量 m ? ? cos x,sin x ? , n ?

??

?

▲ . ▲

个.
i ?1 While i ? 8

,则 z ? 10 的模等于

3. 函数 y ? sin x ? sin x ? ? 的最小正周期为

?

3

?

z



?? ? ⑴若 m ? n ,求 x 的值; ?? ? ⑵设函数 f ? x ? ? m ? n ,求 f ? x ? 的最大值.

?

3 sin x,sin x , x ? ?0, ? ? . ? 2? ? ?

?

. = ▲ .

i?i?2 S ? 2i ? 3 End While Pr int S

4. 已知函数 f ? x ? ? ?

第5题 5. 根据如图所示的伪代码,可知输出 S 的值为 ▲ . 6. 中小学校车安全引起全社会的关注, 为了消除安全隐患, 某市组织校车安全大检查, 某校有甲、 乙、丙、丁四辆车,分两天对其进行检测,每天检测两辆车,则甲、乙两辆车在同一天被检测 的概率为 ▲ . 7. 某高中共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如右表,已知 高一 高二 高三 在全校学生中随机抽取 1 人,抽到高二年级女生的概率是 女生 373 m n 0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则在高三 男生 377 370 p 年级应抽取 ▲ 名学生.

? ?log 2 x, x ≥1 ? ,则 f ? 1 ? f ? 2x? , 0 ? x ? 1 ? 2 ? ?

? ? ???
3 2

?

1 是定义在 ? ??, ?1? ? ?1, ?? ? 上的奇函数,则 f ? x ? 的值域为 2 ?? 1 ? ? ? x y 9. 已知 a ? ? x ? 1, 2 ? , b ? ? 4, y ? ,若 a ? b ,则 9 ? 3 的最小值为 ▲ .
8. 已知 f ? x ? ? a ?
x



.

16. (本小题满分 14 分)如图长方体 ABCD A1 B1C1D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形, O 是 BD 的 中点, E 是棱 AA1 上任意一点. ⑴求证: BD ? EC1 ; ⑵如果 AB ? 2, AE ? D C B

__

10.



? an ?

为 递 减 的 等 比 数 列 , 其 中 q 为 公 比 , 前 n 项 和 Sn , 且

S 2 , ? ,则 , 2 5, =3 , 4 0 , 1 10 ▲ . 1? q ___ 11. 已知在棱长为 3 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中,P,M 分别为线段 BD1 , B1C1 上的点,若

?a1 ,

a2 , ? 3 ? ? 4 ? 3?, a? ,

2, OE ? EC1 ,求 AA1 的长.

O

A E D1 A1

BP ? 1 ,则三棱锥 M __ PBC 的体积为 PD1 2
2



.

C1 B1

2 y 12. 双曲线 x 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P 在第

b 一象限内且在 l1 上,若 l2 ? PF1 , l2 ∥ PF2 ,则双曲线的离心率为

a



.

?4 x ? 3 y ? 12 ≥ 0 ? 13. 设命题 p : ? k ? x ≥ 0 若 ? x, y, k ? R且k ? 0 ? ;命题 q : ? x ? 3?2 ? y 2 ≤ 27 ? x, y ? R ? , ? x ? 3 y ≤12 ?
▲ . p 是 q 的充分不必要条件.则 k 的取值范围是 14. 若对于给定的负实数 k ,函数 f ? x ? ? k 的图象上总存在点 C,使得以 C 为圆心,1 为半径的 x 圆上有两上不同的点到原点的距离为 2,则 k 的取值范围为 ▲ .
1

17. (本小题满分 14 分)某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,∠C=90°,AB=2 百米,BC=1 百米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1),使得 EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2),建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,设求△DEF 边长的最小值.

19. (本小题满分 16 分)已知各项均为正数的数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,数列 an 的前 n 项和为
2

? ?

Tn ,且 ? Sn ? 2 ? ? 3Tn ? 4, n ? N ? .
2

⑴证明:数列 ? an ? 是等比数列,并写出通项公式;
? ⑵若 Sn ? ?Tn ? 0 对 n ? N 恒成立,求 ? 的最小值;
2

⑶若 an , 2 an ?1 , 2 an ? 2 成等差数列,求正整数 x, y 的值.

x

y

\

18. (本小题满分 16 分)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 1 的椭圆 E 的一个焦

2

点为圆 C : x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 的圆心. ⑴求椭圆 E 的方程;
2 2

20. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 2 x? a, x 0 ?

⑵设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 1 的直线 l1 , l2 ,当直线 l1 , l2 都与圆 C 相切时,

2

, ? l nx x ? 0 A ? x1 , f ? x1 ? ? , B ? x2 , f ? x2 ? ? 为该函数的图象上的两点,且 x1 ? x2 .

,其中 a 是实数,设

求 P 点坐标.

⑴指出函数 f ? x ? 的单调区间; ⑵若函数 f ? x ? 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; ⑶若函数 f ? x ? 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

2

…………………………………………密……………………………………………封………………………………………………线…………………………………

2014 届高三年级第三次调研测试 数学(文)试卷答题纸 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需写出解 答过程.请把答案直接填写在答案卷上. .... 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.

16.(本题满分 14 分) D A E D1 A1 B1 C1 O B C

17.(本题满分 14 分)

座位号:

考试号:

二、解答题:本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说 明、 证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上. 15.(本题满分 14 分)

班级:

姓名:

学号:

3

18. (本题满分 16 分)

19.(本题满分 16 分)

20.(本题满分 16 分)

4

5

2014 届高三年级第三次调研测试 数学(文)试卷答题纸 1. 3 2. 6 2 3. 2? 4. 1

?? 3 , ? 1 ? 1 , 3 ? ? 2 2 2 2? ? ?
9. 6 15. (1) ? 10. 33

? ?
6

2

5. 21

6. 1

3

7. 16

8.

4

11. 3

2

12. 2

13.

? 0, 6?

14. ? 9 ? k ? 0

2

……………………7 分

(2) f ? x ? ? sin 2 x ? ? ? 1

?

6

?

2

∵0 ? x ? ?

2 6 6

∴ ? ? 2 x ? ? ? 5?

6

∴ f ? x ? 最大值为 3

2

……………………14 分 ……………………7

16. (1) BD ? 面 AA1C1C 分 (2) AA1 ? 3 2 17.

……………………14 分

……………………5 分

…………7 分

……………………12 分

……………………14 分

2 y 18. (1) x ? ?1

2

16

12

……………………4 分 (2)设 P ? x0 , y0 ? ,得 l1 : y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , l2 : y ? y0 ? k2 ? x ? x0 ?

2k1 ? y0 ? k1 x0 ? ∵ k1k2 ? 1 ,依题意 C ? 2, 0 ? 到 l1 的距离为

2

1 ? k12

2

整理得 ?? 2 ? x0 ? ? 2? k1 ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k1 ? y0 ? 2 ? 0 同理
2

?

?

2

2

?? 2 ? x0 ?2 ? 2? k22 ? 2 ? 2 ? x0 ? y0k2 ? y02 ? 2 ? 0 ? ?
∴ k1k2 是方程 ?? 2 ? x0 ? ? 2? k ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两实根…………
2

?

?

2

2

10 分

?? 2 ? x0 ?2 ? 2 ? 0 ? ? ? 2 2 ?? ? 8 ?? 2 ? x0 ? ? y0 ? 2 ? ? 0 ? ? ? 2 y0 ? 2 ? ?1 2 ?k1k2 ? ? 2 ? x0 ? ? 2 2 ?
12 分

…………………

? x0 2 y0 2 ? ?1 ? ∴ ? 16 12 ?? 2 ? x ?2 ? 2 ? 2 ? y 2 ? 2 ? 0 0 ?
…………………14 分

? ? ? ? ? P ? ?2,3? 或P ? ?2, ?3? 或 ? 18 , 57 ? 或 ? 18 , ? 57 ? 5 ? ?5 5 ? ?5
……………16 分 19. 解: (1)当 n=1 时, a1 ? 1 ;当 n=2 时, a2 ? 1
2

2
2

当 n ? 3 时,有 ? Sn?1 ? 2? ? 3Tn?1 ? ?? Sn ? 2 ? ? 3Tn ? ? 0 得:

?

?

化简得: Sn ?1 ? Sn ? 4 ? 3an ?1 ? 0 …………3 分 又

Sn ? Sn -1 ? 4 ? 3an ? 0

∴ 2an ?1 ? an

∴ ? an ? 是 1 为首项, 1 为公比的等比数列

2

an ? 1?1 , n ? N ? 2n

n n ? 1 ? , T ? 4 ?1 ? 1 ? (2) S n =4 ?1 ? 2 ? n 3? 4 ? ? ? ? ? 2

………………6

??

2

??

∴? ? 分

Sn 2 ? 3 ? n6 Tn 2 ?1

∴? ? 3

………………11

(3)若三项成等差,则有 2 ? 1 ? 2
x

y ?2

? x, y ? N ?
?

y ? 2 ,右边为大于 2 的奇数,左边为偶数或 1,不成立
∴ x ? 1, y ? 2 ………………16 分 20. (1)单调减区间为 ? ??, ?1? ,单调增区间为 ? ?1, 0 ? , ? 0, ?? ? ………………4 分

? ? (2) f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?1
当 x ? 0 时,因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? ?1 . … … … … … … 8 分

2 x1 ? 2 ? 0, 2 x2 ? 2 ? 0
∴ x2 ? x1 ? 1 ?? ? 2 x1 ? 2 ? ? ? 2 x2 ? 2 ?? ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? 1 ? ?

2

当且仅当 x1 ? ? 3 , x2 ? ? 1 时等号成立,

2

2

∴ x2 ? x1 的最小值为 1. ………………10 分

? ? (3)当 x1 ? x2 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,故 x1 ? 0 ? x2
当 x1 ? 0 时,函数 f ? x ? 的图象在点 x1 , f ? x1 ? 的切线方程为

?

?

y ? ? x12 ? 2 x1 ? a ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? x ? x1 ?
即 y ? ? 2 x1 ? 2 ? x ? x1 ? a
2

当 x2 ? 0 时,函数 f ? x ? 在 x2 , f ? x2 ? 切线方程为 y ? 1 ? x ? ln x2 ? 1

?

?

x2

? 1 ? 2x ? 2 ① 1 ? 两切线重合的充要条件是 ? x2 ?ln x2 ? 1 ? ? x12 ? a ② ?
………………13 分 由①及 x1 ? 0 ? x2 知 ?1 ? x1 ? 0 由①②得 a ? x1 ? ln ? 2 x1 ? 2 ? ? 1
2

又 y ? x1 ,与 y ? ? ln ? 2 x1 ? 2 ? 在 ? ?1, 0 ? 都为减函数.
2

∴ a ? ? ? ln 2 ? 1, ?? ? 分

………………16


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