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云南省巧家县第二中学2015届高三数学专题复习 数列综合


高三数学复习之数列综合
?S1 , (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 , (n ? 2) 1. 遇到数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系的问题应利用
使用这个结论的程序是:写出 Sn 的表达式,再“后退”一步(降标)得 Sn-1 的表达式,作差; 得 an 的表达式。注意:n≥2 的要求切不可疏忽!若 Sn 的表达式无法写出,亦可

将 an 表示成 Sn-Sn-1,得到一个关于 Sn 的递推关系后,进一步求解。 数列

?an ? 的前

n 项和

S n =an+b,(a ? 0, 且 a ? 1), 则数列 ?an ? 成等比数列的充要条件是

__________ 解析:降标得:

S n ?1 =an-1+b, (n≥2),作差得:an=an- an-1= an-1(a-1), (n≥2)

a n ?1 ?a ?a ? a n 再“升标”得:an+1= an(a-1);∴ ,(n≥2),∴数列 n 成等比数列的充要条件是:
a2 a (a ? 1) ?a ?a? a1 ,即 a ? b b= –1。
数列

?an ?中,a1=1,Sn 为数列{ an }的前 n 项和,n≥2 时 an =3Sn,则 Sn=



an 1 ?? a 2 (n≥3) ∴数列 ?an ? 从第二项开始成 解析:思路一:同得:an –an-1=3an (n≥3) ? n ?1
?
等比数列(注意:不是从第三项开始) ,又 a2=3(a1+a2)得 a2=

3 2 ,∴n≥2 时

?1, (n ? 1) ? ? 3 1 3 1 (? )(? ) n ?2 , (n ? 2) ? ? an = a2qn-2=( 2 )( 2 )n-2(这个地方极容易出错),即 an = ? 2 ? 2 ?1, (n ? 1) ? ? 1 n ?1 1 1 (? ) , (n ? 2) (? ) n ?1 ? a ∴Sn= 3 n = ? 2 ,注意到 n=1 和 n≥2 可以统一,∴Sn= 2 。 (冗长烦琐,
步步荆棘! )思路二:要求的不是

an 而是 Sn,可以考虑在 an =3Sn 中用 Sn-Sn-1 代换 an (体现 an ) 得: Sn-Sn-1=3Sn,

的是 “消元” 的思想, 思路一是加减消元, 消去 Sn; 思路二是代入消元, 消去

Sn 1 1 ?? (? ) n ?1 S 2 (n≥2) ,即 n ?1 , (n≥2) ,又 S1=1,∴Sn = 2 。
数列{an}的前 n 项和

S n ? 2an ? 1,数列{bn}满足: b1 ? 3, bn?1 ? an ? bn (n ? N ? ) .
-1-

(Ⅰ)证明数列{an}为等比数列; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 等差数列

?an ? 的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列{bn } 的

第二项、第三项、第四项 求数列

?an ? 与 {bn } 的通项公式;

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1 {c } b b2 bn 设数列 n 对任意整数 n 都有 1 成立,
求 c1+c2+?+c2007 的值.

2.形如:

an?1 ? an + f (n) 的递推数列,求通项时先“移项”得 an?1 ? an = f (n) 后,再用叠加

a n?1 ? g ( n) a n (消项)法;形如: 的递推数列,求通项用连乘(约项)法;形如:an+1= qan+p
(a1=a,p、q 为常数)的递推数列求通项公式可以逐项递推出通项(在递推的过程中把握规律)

a n ?1 ?
或用待定系数法构造等比数列(公比为 q) ;形如:

an dan ? 1( d 为常数)的递推数列求

1 a 通项,先“取倒数” ,可得数列{ n }是等差数列(公差为 d ) 。
①已知数列? an ?满足 a1=1,an+1=an+2n-1,则 a10 ; 解析: an+1-an=2n-1,分别取 n=1,2,?9,叠加得:a10-a1=(2+22+?+29)-9=210-11

? a10=210-10.

1 a ? an?1 n 2 ? an?1 (n≥2), 则 an= ②若数列? an ?满足 a1= 3 ,



1 1 2 ? ?1 a a a n ?1 解析: “取倒数”得: n (n≥2) ,记数列{ n + ? }为等比数列,且公比为 2, 1 1 1 1 2 ? ?? a a a a a n ?1 ( ? 为常数) ,则 n + ? =2( n ?1 + ? ) ? n (n≥2) ,可见 ? =-1,而 1 -1=2 1 1 1 n a a ∴ n -1=2n, n =2n+1, an= 2 ? 1 。注: (ⅰ) ? 有时能够看、猜、试出来,未必非要“待定 1 1 1 a a a 系数” 。 (ⅱ)数列{ n + ? }为等比数列,其首项是 1 + ? 而不是 a1,同样,通项是 n + ? 而
不是 an,这是很容易出错的一个地方。 (ⅲ)若递推关系变为 an+1= qan+pn,则 ? 也相应变为

? pn,其他做法不变。
-2-

③已知数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=an+1 且 a2=2, 则 an 解析: “降标”得 a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an, (n≥2)



a n?1 ? n ?1 a ? n 作差得(n+1)an=an+1(n≥2) (n≥2)分别取 n=2,3,?,n-1, 连乘得: an ?2, (n ? 1) ? 3 ? 4 ? ?? n ? n!, (n ? 2) 。 a2 ,又 a2=2 得 an=n! (n≥2)而 a1=a2,∴an= ?
某顾客购买一件售价为 1 万元的商品,拟采用分期付款的方式在一年内分 12 次等额付清, 即在购买后 1 个月第一次付款, 以后每月付款一次, 若商场按 0.8%的月利率受取利息(计复利), 则该顾客每月付款的数额为______ 3. 应掌握数列求和的常用方法:应用公式(必须要记住几个常见数列的前 n 项和) 、折项分组 (几个数列的和、差) 、裂项相消( “裂”成某个数列的相邻两项差后叠加) 、错位相减(适用 于一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的数列) 、倒序相加等,要根据不同数列的 特点合理选择求和方法(其中最重要、最常见的是裂项) 。

①数列 和为

?an ? 中,若


a1 ? 1, a n?1 ?

an a n ? 1 ,数列 {bn } 满足 bn ? an an?1 ,则数列 {bn } 的前 n 项
1 1 1 1 ? ? n ? bn = n(n ? 1) n n ? 1 ,

解析:求

an 的过程请读者自己完成。

an ?

n { b } ∴数列 n 的前 n 项和为: n ? 1 。一般地:通项为分式的数列求和多用“裂项” , “裂项”是
“通分”的逆运算,可以先“裂开”再回头通分“凑”系数。 ②已知

an = 2 n ,Sn 为数列{ an }的前 n 项和, bn =nSn,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn;
n ?1

解析:Sn= 2 (视数列{

-2 ?

bn =n× 2 n ?1 -2n, Tn=1×22+2×23+3×24+?+ n× 2 n ?1 -2(1+2+3+?+n)

bn }的前 n 项和为两个数列的前 n 项和的差,此即“分组求和”)记:
n ?1

Rn=1×22+2×23+3×24+?+ n× 2
2 3 4

,求 Rn 用“错位相减”法:
n ?1

Rn=1×2 +2×2 +3×2 +?+ n× 2 3 4 n ? 2 n ?1 -)2Rn= 1×2 +2×2 +?+(n-1)× 2 + n× 2 - Rn=1×2 +1×2 +1×2 +?+ 1× 2
2 3 4

n ?1

- n× 2

n ? 2

- Rn=2n+2-4-n×2n+2=-(n-1) 2n+2-4,∴Rn=(n-1) 2n+2+4 ? Tn=(n-1) 2n+2+4-n(n+1)。 注: “错位相减”法在中学数学中除推倒等比数列的求和公式外就仅此一用。 “相减”后的 n+1 项中, “掐头去尾”中间的 n-1 项成等比数列。 ③
1 2 3 n?1 n Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? (n ? 1)Cn ? nCn = 1 2 3 n?1 n 0 1 n ?2 n?1 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? (n ? 1)Cn ? nCn nCn ? (n ? 1)Cn ? ? ? 2Cn ? Cn =

解析:S=

-3-

用“倒序相加” :得 2S=

0 1 2 n?1 n nCn ? nCn ? nCn ? ? ? nCn ? nCn =n2n, ∴S=n2n-1 。

S3 S4 ?a ? S 设数列 n 是公差不为零的等差数列,其前 n 项之和为 n ,已知 3 与 4 的等比中项为 1 1 1 S5 S3 S4 5 ,且 3 与 4 的等差中项为 1。(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

1

1

(2)若数列

?bn ?的前项之和为 Tn ,其中

bn ?

1 a n a n ?1 ,问是否存在实数 M,使得 Tn ? M 对任意

正整数 n 都成立?若存在,试求出实数 M 的范围;若不存在,试说明理由。 4.与数列相关的不等式问题多用“放缩法”或数列的单调性解决。

在数列

?an ?中,已知 a1 ? 2 ,

an?1 ?

2an an ? 1 ,

1 ?a ? a (Ⅰ)证明数列{ n -1}是等比数列,并求数列 n 的通项公式;

(Ⅱ)求证:

? a (a
i i ?1

n

i

? 1) ? 3
2n 2n ? 1 ; (Ⅱ)

解析: (Ⅰ)留给读者自己完成(参看第 2 条②) ,

an ?

ai (ai ? 1) ?
n

2i 2i 2 i ?1 1 1 ? ? ? i ?1 ? i i 2 i i i i ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 ( i ≥2)



? ai (ai ? 1)
i ?1

=2+ i ? 2

? a (a
i

n

i

? 1)

1 <2+1- 2 ? 1 <3.
n

?a ? 已知在数列 n 的前 n 和为 Sn ,且对一切正整数 n 都有 Sn=n2+ 2 an,
(Ⅰ)求证:an+1+ an=4n+2; (Ⅱ)求数列

1

?an ?的通项公式;

(1 ?
(Ⅲ)是否存在实数 a,使不等式

1 1 1 2a 2 ? 3 )(1 ? )?(1 ? ) ? a1 a2 an 2a 2n ? 1 对一切正整数 n

都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。 5.在解以数列为数学模型的应用题时,要选择好研究对象,即选择好以“哪一个量”作为数 列的“项” ,并确定好以哪一时刻的量为第一项;对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数” 的关系,对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系(即数列的递推关系) ,然后再求通项。 从盛满 729 升纯酒精的容器里倒出 a 升,然后用水填满,再倒出 a 升混合溶液,用水填满,
-4-

这样继续进行, 一共倒了 6 次, 这时容器里还含有 64 升纯酒精, 则 a 的值为

.

解析:记:倒了 n 次后容器里还含有 an 升纯酒精,则

a n ?1 ? a n ?

a n ?1 729 ? a an 729 a ? a n = 729 ,

?a ? 数列 n 为等比数列,公比为

729 ? a 729 ? a 5 a 6 ? (729 ? a )( ) 729 ,a1=729-a,∴ 729

?64×7295=(729-a ) 6, ? 2×35=729-a ? a=343。
在占地 3250 亩的荒山上建造森林公园,2000 年春季植树 100 亩,以后每年春季植树面积都比上 一年多植树 50 亩,直到荒山全部绿化为止. 到哪一年春季才能将荒山全部绿化完? 如果新植树木的每亩木材量为 2m3,树木每年自然增长率为 20%,到全部绿化完的那年春季,该 森林公园的木材总量是多少?(精确到 1m3,1.29≈1.56)

简答 1. bn=2n-1+2,Tn=2n+2n-1, (1)an=2n-1,bn=3n-1,(2)32007, 2. 记每次还款 x 万元,则第一次还款后尚欠商场 1.008-x 万元 , 第二次还款后尚欠商场 (1.008-x)1.008-x=1.0082-1.008x-x 万 元 , ? , 第 12 次 还 款 后 尚 欠 商 场 1.00812-1.00811x-1.00810x-?-1.008x-x=0,得 x=

0.008(1 ? 0.008)12 12 32 5 1 5 ? n? ? ( ? 12 T 1.008 ? 1 5 ,对数列{bn}“裂项”求得 n = 12 4 12 n ? 20 ) , 3. an= 5
5 5 T ( n )max= T1 = 32 ∴M≥ 32 ;4., (Ⅱ)an=2n,

1 1 1 2a 2 ? 3 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) 2n ? 1 ? a1 a2 an 2a (Ⅲ)记 f ( n) =
2a 2 ? 3 3 3 去证 f ( n) 递增, 2a >( f ( n) )max= f (1) = 2 得 a> 3 或- 2 <a<0.
5. (1)2009 年, (2)第 n 年(2000 年为第一年)该森林木材总量 Tn = 200×1.29+300×1.28+400×1.27+?+1000×1.2+1100,错位相减得 Tn=100(42×1.29-85)≈ 13172.

-5-


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