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高中数学人教B版必修2课件:1.1.7 柱、锥、台和球的体积


1.1.7 柱、锥、台和球的体积

1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式(不要求记忆公式). 2.理解柱、锥和台的体积公式的推导,并知道“祖暅原理”在解决 体积问题中的重要作用. 3.会求几何体的体积.

1

2

3

1.祖暅原理及应用 (1)祖暅原理. 幂势既同,则积不容异. 这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个 平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这 两个几何体的体积相等. (2)祖暅原理的应用. 等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 名师点拨 “祖暅原理”充分体现了空间与平面问题的相互转化的思 想方法,这一原理是推导柱、锥、台和球的体积公式的基础和纽带.

1

2

3

【做一做1】 已知一斜棱柱的底面积为S,上、下两底面间的距 离为h,则利用祖暅原理可知此斜棱柱的体积为 . 答案:Sh

1

2

3

2.柱、锥、台的体积 柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中S',S分别表示上、下 底面的面积,h表示高,r'和r分别表示上、下底面圆的半径.
名称 柱体 棱柱 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 棱台 台体 圆台 体积(V) Sh πr2h 1 ? 3 1 π2? 3

1 ?( + S·S'+ ′) 3 1 π?(2 + ′ + ′2) 3

1

2

3

名师点拨 柱体、锥体、台体的体积有如下关系:

1

2

3

【做一做2-1】 在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱 中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积 是( )

A. 3

2

B. 6

7

C. 5

4

D. 6
1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 6 5 6

5

解析:截去的每个小三棱锥的体积为 × × × × = ×
1 4 1 1 4 , 则剩余部分的体积V=1? × 2 3 2

×8=1? = .

答案:D

1

2

3

【做一做2-2】 用半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体 积是( )
3 A. π3 24

B.

3 π3 8

5 C. π3 24

D.

5 π3 8

解析:如图,设圆锥的底面半径为 r, 则 2πr=l=π· R.所以 r= 2 . 所以圆锥的高 h= 故 V锥 =
答案:A
1

2 - 2 =
3

1 4

3 . 2 3

1 π 2 π2· h= 3 · 4 3

· 2 = 24 π3.

1

2

3

【做一做2-3】 有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该 几何体的体积为 .

解析:由三视图知这是一个圆柱,其底面半径是3,母线长为6,因此 体积V=π×32×6=54π. 答案:54π

1

2

3

3.球的体积
V 球= 3 π3, 其中为球的半径.
4

【做一做3】 充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行.现有一个飞 艇,若它的半径扩大为原来的4倍,那么它的体积增大到原来的( ) A.4倍 B.8倍 C.64倍 D.16倍

解析:设气球原来半径为 R,则现在半径为 4R,此时体积 V=
4 π(4)3 3

= 64 ×

4π3 . 故选C. 3

答案:C

1

2

1.割补法在空间几何中的应用 剖析:试用割补法探究以下问题: (1)用割补的方法说明斜三棱柱的体积等于与它等底等高的三棱 锥体积的三倍; (2)在斜棱柱中,我们把与侧棱垂直的截面称作斜棱柱的直截面. 试说明斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积;斜棱柱 的体积等于直截面的面积与侧棱长的乘积. 在(1)中,关键在于要说明如何去找截面,为什么如图①所示的几 何体被截得的三个三棱锥的体积是相等的,这里用了这样一个结论: 若一条线段与平面相交且交点是线段的中点,则这条线段的两个端 点到这个平面的距离相等.如图②所示的点A1与点C到截面ABC1的 距离相等.

1

2

在(2)中,如图③,从割补的过程中,我们不难发现在割补前后斜棱 柱的每个侧面上相当于将一个平行四边形割补成一个矩形,因而侧 面积没有变化,体积也没有发生变化.

1

2

名师点拨 在解题中使用体积公式时一定要注意棱锥和棱台的体积 1 公式中都有个 3 . 三棱锥是一种比较特殊的棱锥,在求体积时可以根 据条件适当转换顶点以达到简化运算的目的,根据这一思想还可以 求一些简单的距离问题.

1

2

2.由锥体的体积可得到台体的体积

剖析:利用锥体和台体的联系,用平行于底面的平面截锥体,截面和 底面之间的部分是台体,结合锥体的体积公式即得台体的体积公式. 如图所示,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S',S,高是h,设 截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是

h+x,则 V 台体=V 大锥体-V 小锥体 = 3 (? + ) ? 3 ′ = 3 [? + ( ?
' 2 ' ′)], 而 = 2 , 所以 = ?+, ( ?+)

1

1

1

1

2

于是有 x=
1 ? 3

'? , 代入体积表达式,得 - ' ' - ' 1 ?( + 3

V 台体 =

+ ( - ' )

=

'+ ′).

归纳总结 棱锥、圆锥的截面(平行于底面的截面)有如下性质:

小锥底 大锥底 小锥 大锥

=



小锥侧 大锥侧

=



小锥全 大锥全

= 对应线段比的平方;



= 对应线段比的立方.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型一

有关柱体体积的问题

【例1】 已知一个圆柱去掉两个底面,沿任一条母线割开,然后放 在平面上展开后得到的平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图)是一 个矩形,它的对角线长为m,对角线与底边成α角(0°<α<90°),求圆柱 的体积. 分析:(1)圆柱的侧面展开图是一个矩形;(2)已知矩形的对角线长 为m,对角线与底边成α角.解答本题可先明确展开前图形与展开后 图形中量与量之间的关系,再画图求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解:设圆柱的底面半径为r,高为h,如图,

? = sin, 2π = cos, cos 所以 h=msin α,r= 2π , 则由题意可知: 所以 V 圆柱 =πr2h=π

cos 2 · msin 2π

α=

3 sincos2 . 4π

反思 对于几何体的侧面展开图问题,要注意展开前后的“变”与“不 变”.对此题而言,为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、 高.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练1】 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图②.则该正三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 .

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解析:由三视图可知:在正三棱柱中,AD= 3, 1 = 3, 从而在底面即等边△ABC 中,AB=
1 sin60°

=

3
3 2

= 2,
1

所以正三棱柱的体积V=Sh= 2 × × × 1 = 2 × 2 × 3 × 3 = 3 3.
答案: 3 3

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型二

有关锥体体积的问题

【例2】 (1)若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其 体积等于 . (2)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6 cm,在棱AB,AD,AA1上分 别取点P,Q,R,使得AP=2 cm,AQ=3 cm,AR=4 cm,则三棱锥A-PQR的 体积为 .

解析:(1)该圆锥的底面半径为 R,由于轴截面是等腰直角三角形, 所以圆锥的高为 R.又轴截面面积为 9,所以有 2· 2R· R=9,解得 R=3, 于是体积 V= ? = π2? = π × 32 × 3 = 9π.
1 3 1 3 1 3 1

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

(2)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,VA-PQR=VR-APQ =
1 1 1 1 1 △APQ· RA= 3 ·2· AP· AQ· AR= 3 × 2 × 3

2 × 3 × 4 = 4(cm3).

即三棱锥 A-PQR 的体积为 4 cm3.
答案:(1)9π (2)4 cm3

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都 可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转 换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求, 这一方法叫作等积法.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练 2】 一个正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 15, 求这个正三棱锥的体积.

解:如图,在正三棱锥S-ABC中,设H为△ABC的中心,连接SH,则SH 的长即为该正三棱锥的高. 连接AH,延长后交BC于点E,则E为BC的中点,且AH⊥BC. 因为△ABC是边长为6的正三角形,

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

所以 AE= 2 × 6 = 3 3. 2 所以 AH= = 2 3.
3

3

在 Rt△SHA 中,SA= 15, = 2 3, 所以 SH= 2 - 2 = 15-12 = 3. 6 × 3 3 = 9 3.

在△ABC 中,S△ABC= 所以 VS-ABC=
1 × 3

1 1 · AE= 2 × 2

9 3 × 3 = 9.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型三

有关台体体积的问题

【例3】 圆台上底的面积为16π cm2,下底半径为6 cm,母线长为10 cm,那么,圆台的侧面积和体积各是多少? 分析:在本题中要求圆台的体积必须先求出圆台的高,通过作轴 截面可以得到等腰梯形,进一步可以得到矩形和直角三角形,利用 它们可以方便地解决本问题.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解:首先,圆台的上底的半径为 4 cm,于是 S 圆台侧 =π(r+r')l=100π(cm2). 其次,如图,圆台的高 h=BC= 2 -(-)2 =
1

102 -(6-4)2
1

=4 6(cm), 所以 V 圆台 = 3 ?( + '+ ′) = 3 × 4 6 × (16π + 16π × 36π + 36π) =
304 6π (cm3). 3

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 在多面体和旋转体中的有关计算通常转化到平面图形(三角 形或特殊的四边形)中来计算.对于棱锥中的计算问题往往要构造 直角三角形,即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直 角三角形,或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的 直角三角形;对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形;在旋转 体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练3】 若某几何体的三视图(单位:cm)如图,则此几何体 的体积是 .

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解析:此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而 V 正四棱台 =
1 3

82 + 42 + 82 × 42 × 3 = 112 cm3 , 正四棱柱=4×4×2=32(cm3), 故 V=112+32=144(cm3).
答案:144 cm3

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型四

有关球体体积的问题

【例4】 设A,B,C,D是球面上的四个点,且在同一平面 内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离为球半径的一半,则球 的体积为( )

A.8 6π

B. 64 6π

C. 24 2π

D. 72 2π

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解析:根据截面圆的性质求球的半径. 设 A,B,C,D 所在小圆半径为 r,则 2r=3 2, 所以 r= 2 . 设球半径为 R,则 所以
3 2

3 2

R2=

2 2

+ 2.

= . 所以R= 6.
4

所以 V球 = 3 π3 = 8 6π.
答案:A

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 计算球的体积,关键是求出球的半径.另外,球的体积公式具有 “双向”作用,如果已知球的体积,则可求得球的半径的值.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练 4】

32 已知正方体的外接球的体积是 3 π,

则这个正方体的棱长等于
4

.
32

解析:设球的半径为 r,则 3 π3 = 3 π, 解得r=2, 于是球的直径为 4. 设正方体棱长为 a,则 3 = 4, 得a= 3 .
答案: 3
4 3

4 3

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型五

易错辨析

易错点:体积公式使用不当而致错 【例5】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中 点,平面EB1C1F将三棱柱分成了几何体AEF-A1B1C1和C1B1-EFCB两 部分,几何体AEF-A1B1C1的体积为V1,几何体C1B1-EFCB的体积为V2, 则V1∶V2= .

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

错解:由已知可知几何体AEF-A1B1C1是三棱台,几何体C1B1-EFCB 是四棱锥.设三棱柱底面积为S,高为h, 则由锥、台的体积公式可得

V1= 3 ? + 4 + · 4 = 12 ?, V2= 3 ? ·4 = 4 ?. 所以 V1∶V2=
1 3 1 7 ? 12
1 4

1

1



7

∶ ? = 7 ∶ 3.

错因分析:几何体C1B1-EFCB不是一个规则的几何体,而错解中将 其看成锥体了.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

错因分析:几何体C1B1-EFCB不是一个规则的几何体,而错解中将 其看成锥体了. 正解:设三棱柱的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.

因为 E,F 分别为 AB,AC 的中点,所以 S△AEF= 4 , 1 =
1 ? 3

1

+ + · =

1 4

4

7 ?, 2 12

= ? ? 1 =

5 ?, 故V1∶V2=7∶ 12

5.
答案:7∶5

1

2

3

4

5

1.若一个球的表面积为4π,则这个球的体积是(

)

A. B.

π 3

4π 8π 32π C. D. 3 3 3
4 4π

解析:设球的半径为 R,则 4πR2=4π,解得 R=1,于是 V= 3 π3 = 3 .

答案:B

1

2

3

4

5

2.将两个棱长为10 cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm的 正四棱柱,则该四棱柱的高为( )

A.8 cm

B.80 cm

C.40 cm

16 D. 5

cm

解析:设正四棱柱的高为h cm,依题意得5×5×h=2×103,解得 h=80(cm). 答案:B

1

2

3

4

5

3.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中 标出的数据,则这个几何体的体积是( )

A.288+36π B.60π C.288+72π D.288+18π 解析:由题意可知,该几何体是一组合体,其上面部分是半径为3,高 为8的半圆柱;下面部分是长为8,宽为6,高为6的长方体.故其体积 1 V= 2 × π × 32 × 8 + 6 × 8 × 6 = 288 + 36π. 答案:A

1

2

3

4

5

4.已知正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8,体积为14 cm3,则此棱台的高为 . 解析:如图,设正四棱台AC'的上底面边长为2a cm, 则斜高EE'、下底面边长分别为5a cm,8a cm.

所以高 OO'=

2 2 ( 5) -( 4- ) = 4(cm).

1 又 × 4 × (642 + 42 + 42 × 642 ) = 14, 3
所以 a= 2 , 即高为2 cm.
答案:2 cm
1

1

2

3

4

5

5.根据图中标出的尺寸,求各几何体的体积.

1

2

3

4

5

解:(1)该几何体是圆锥,高 h=10,底面圆半径 r=3, 所以底面积 S=πr2=9π, 则 V= 3 ? = 3 × 9π × 10 = 30π. (2)该几何体是正四棱台,两底面中心连线段就是高 h=6, 上底面积 S 上=64,下底面积 S 下=144, 则 V= (上+S下 + 上 · 下 )? = × (64 + 144 + 64 × 144) × 6 = 608.
1 3 1 3 1 1


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