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高考数学一轮复习 题组层级快练80(含解析)


题组层级快练(八十)
1.(2015·沧州七校联考)某道路的 A,B,C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间 分别为 25 秒,35 秒,45 秒.某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是( A. C. 35 192 55 192 B. D. 25 192 65 192 )

答案 A 25 35 45 35 解析 三处都不停车的概

率是 P(ABC)= × × = . 60 60 60 192 2.(2015·湖南师大附中模拟)一个盒子里有 6 支好晶体管,4 支坏晶体管,任取两次,每次取一支, 每次取后不放回,已知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为( A. C. 2 3 5 9 B. D. 5 12 7 9 )

答案 C C6C5 5 解析 P= 1 1= .故选 C. C6C9 9 1 3.已知随机变量 ξ ~B(6, ),则 P(ξ =2)等于( 3 A. C. 3 16 13 243 B. D. 1 243 80 243 )
1 1

答案 D 1 k k n-k 解析 已知 ξ ~B(6, ),P(ξ =k)=Cnp q . 3 1 当 ξ =2,n=6,p= 时, 3
2 6-2 2 2 4 P(ξ =2)=C2 =C6( ) ( ) = 6( ) (1- )

1 3

1 3

1 3

2 3

80 . 243 ) B.0.008 56 D.0.991 44

4.若 X~B(5,0.1),则 P(X≤2)等于( A.0.665 C.0.918 54 答案 D

5.某厂大量生产某种小零件,经抽样检验知道其次品率是 1%,现把这种零件每 6 件装成一盒,那么 每盒中恰好含一件次品的概率是( )

99 6 A.( ) 100 C. C6 1 5 (1- ) 100 100
1

B.0.01 D.C6(
2

1 2 1 4 ) (1- ) 100 100

答案 C 1 5 1 解析 P=C6·1%·(1- ) . 100 6.箱子里有 5 个黑球,4 个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取 出白球,则停止取球,那么在第 4 次取球之后停止的概率为( A. C5C4 4 C5
3 1

)

?5?3 4 B.? ? × ?9? 9 ?5?3 4 1 D.C4×? ? × ?9? 9

3 1 C. × 5 4 答案 B

解析 由题意知,第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球,第四次取的球是白球的情况,

?5?3 4 此事件发生的概率为? ? × . ?9? 9
7.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在 奇数所在区域的概率是( )

A. C.

4 9 2 3

B. D.

2 9 1 3

答案 A 2 解析 设 A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则 P(A)= ,B 表示“第二个圆盘的指 3 2 针落在奇数所在的区域”,则 P(B)= . 3 2 2 4 则 P(AB)=P(A)P(B)= × = . 3 3 9 5 8.设随机变量 X~B(2,p),Y~B(4,p),若 P(X≥1)= ,则 P(Y≥2)的值为( 9 A. C. 32 81 65 81 B. D. 11 27 16 81 )

答案 B 5 1 5 1 2 2 解析 P(X≥1)=P(X=1)+P(x=2)=C2p(1-p)+C2p = ,解得 p= .(0≤p≤1,故 p= 舍去). 9 3 3 2 4 1 1 2 3 11 0 故 P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-C4×( ) -C4× ×( ) = . 3 3 3 27 9.如图所示,用 K,A1,A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1,A2 至少有一个正常工 作时, 系统正常工作, 已知 K, A1, A2 正常工作的概率依次是 0.9,0.8,0.8, 则系统正常工作的概率为( )

A.0.960 C.0.720 答案 B

B.0.864 D.0.576

解析 A1,A2 不能同时工作的概率为 0.2×0.2=0.04,所以 A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 1- 0.04=0.96,所以系统正常工作的概率为 0.9×0.96=0.864. 10 .口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列 {an} :an =
? ?-1,第n次摸取红球, ? ?1,第n次摸取白球. ?

如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和,那么 S7=3 的概率为(

)

?2?5 5?1?2 A.C7? ? ·? ? ?3? ?3? ?1?5 4?2?2 C.C7? ? ·? ? ?3? ?3?
答案 B

?1?5 2?2?2 B.C7? ? ·? ? ?3? ?3? ?1?5 3?1?2 D.C7? ? ·? ? ?3? ?3?

?1?5 2?2?2 解析 S7=3 说明摸取 2 个红球,5 个白球,故 S7=3 的概率为 C7? ? ·? ? . ?3? ?3?
65 11.在 4 次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同,若事件 A 至少发生一次的概率为 ,则事件 A 在 81 1 次试验中出现的概率为________. 答案 1 3

65 65 16 2 4 解析 A 至少发生一次的概率为 ,事件 A 都不发生的概率为 1- = =( ) ,所以 A 在一次试验中 81 81 81 3 2 1 出现的概率为 1- = . 3 3 12.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得 冠军. 若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为________. 答案 3 4

1 解析 方法一:以甲再打的局数分类讨论,若甲再打一局得冠军的概率为 p1,则 p1= .若甲打两局得 2 1 1 1 3 冠军的概率为 p2,则 p2= × = .故甲获得冠军的概率为 p1+p2= . 2 2 4 4 1 1 1 3 方法二:先求乙获得冠军的概率 p1,则 p1= × = ,故甲获得冠军的概率为 p=1-p1= . 2 2 4 4 13.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18,19,20 层停靠.若该电梯在底层载有 5 位乘客,且 1 每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用 ξ 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数,则 P(ξ 3 =4)=________. 答案 10 243

1 解析 考查一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验,这是 5 次独立重复试验,故 ξ ~B(5, ). 3 2 5-k k 1 k 即有 P(ξ =k)=C5( ) ×( ) ,k=0,1,2,3,4,5. 3 3 2 1 10 4 1 4 ∴P(ξ =4)=C5( ) ×( ) = . 3 3 243 14.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停 止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独立, 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于________. 答案 0.128 解析 依题意得,事件“该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮”即意味着“该选手在回答前面 4 个问题的过程中,要么第一个问题答对且第二个问题答错,第三、四个问题都答对了;要么第一、二个问 题都答错;第三、四个问题都答对了”,因此所求事件的概率等于[0.8×(1-0.8)+(1-0.8) ]×0.8 = 0.128. 15.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验,准备用 A,B,C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、 丙三地实施人工降雨,其试验数据统计如下: 方式 实施地点 甲 乙 丙 大雨 4次 3次 2次 中雨 6次 6次 2次 小雨 2次 3次 8次 模拟实验总次数 12 次 12 次 12 次
2 2

A B C

假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响,请你根据人工降雨模拟试验的统计数据. (1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率; (2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同,如果甲地恰需中雨即达到理想状态,乙地必须是大雨才 达到理想状态,丙地只需小雨或中雨即达到理想状态,记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随 机变量 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ ).

1 答案 (1) 24

19 (2) 12

解析 (1)由人工降雨模拟的统计数据,用 A,B,C 三种人工降雨方式对甲、乙、丙三地实施人工降 雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示. 方式 实施地点 甲 乙 丙 大雨 中雨 1 3 1 4 1 6 小雨 1 2 1 2 1 6

A B C

P(A1)= P(B1)= P(C1)=

P(A2)= P(B2)= P(C2)=

P(A3)= P(B3)= P(C3)=

1 6 1 4 2 3

设“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件 E,则

P(E)=P(A2)P(B2)P(C2)= × × = .
1 1 (2)设甲、 乙、 丙三地达到理想状态的概率分别为 P1, P2,P3, 则 P1=P(A2)= , P2=P(B1)= ,P3=P(C2) 2 4 5 +P(C3)= . 6 ξ 的可能取值为 0,1,2,3.

1 2

1 1 2 6

1 24

P(ξ =0)=(1-P1)(1-P2)(1-P3)= × × = ; P(ξ =1)=P1(1-P2)(1-P3)+(1-P1)P2(1-P3)+(1-P1)(1-P2)P3= × × + × × + × × =
19 ; 48 1 2 3 4 1 6 1 2 1 4 1 6 1 2 3 4 5 6

1 3 1 1 2 4 6 16

P(ξ =2)=(1-P1)P2P3+P1(1-P2)P3+P1P2(1-P3)= × × + × × + × × = ; P(ξ =3)=P1P2P3= × × = .
所以随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 1 16 1 19 48 2 7 16 3 5 48 1 2 1 5 5 4 6 48

1 2

1 5 4 6

1 3 2 4

5 1 6 2

1 1 4 6

7 16

P

1 19 7 5 19 所以数学期望 E(ξ )= ×0+ ×1+ ×2+ ×3= . 16 48 16 48 12 16.(2015·山东淄博一模)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜).进入 2 1 总决赛的甲、乙两队中,若每一场比赛甲队获胜的概率为 ,乙队获胜的概率为 ,假设每场比赛的结果相 3 3 互独立.现已赛完两场,乙队以 2∶0 暂时领先. (1)求这次比赛甲队获胜的概率;

(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望. 112 488 答案 (1) (2) 243 81 解析 (1)设甲队获胜为事件 A,则甲队获胜包括甲队以 4∶2 获胜和甲队以 4∶3 获胜两种情况. 2 4 16 设甲队以 4∶2 获胜为事件 A1,则 P(A1)=( ) = . 3 81 2 3 1 2 64 3 设甲队以 4∶3 获胜为事件 A2,则 P(A2)=C4×( ) × × = . 3 3 3 243 16 64 112 故 P(A)=P(A1)+P(A2)= + = . 81 243 243 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 4,5,6,7.

P(X=4)=( )2= , P(X=5)=C1 , 2× × × =
2 4 P(X=6)=C1 , 3× ×( ) × +( ) =

1 3

1 9

1 2 1 3 3 3 1 3 1 3 2 3 2 3

4 27

1 3

2 3

28 81

3 P(X=7)=C1 , 4× ×( ) =

32 81

1 2 3 1 3 2 3 1 2 32 64 32 1 (或 P(X=7)=C4× ×( ) × +C4( ) × × = + = ) 3 3 3 3 3 3 243 243 81 所以 X 的分布列为

X P E(X)=4× +5× +6× +7× =
1 9 4 27 28 81

4 1 9

5 4 27

6 28 81

7 32 81

32 488 . 81 81

2 3 17.(2014·湖南理)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排 3 5 甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 13 答案 (1) (2)140 15 2 1 解析 记 E={甲组研发新产品成功}, F={乙组研发新产品成功}. 由题设知 P(E)= , P( E )= , P(F) 3 3 3 2 = ,P( F )= ,且事件 E 与 F,E 与 F , E 与 F, E 与 F 都相互独立. 5 5

(1)记 H={至少有一种新产品研发成功},则 H = E 2 13 故所求的概率为 P(H)=1-P( H )=1- = . 15 15

F ,于是 P( H )=P( E )P( F )= × = ,

1 2 2 3 5 15

(2)设企业可获利润为 X(万元),则 X 的可能取值为 0,100,120,220. 因为 P(X=0)=P( E

F )= × = ,
1 3 1 3 5 5 2 2 3 5

1 2 3 5

2 15

P(X=100)=P( E F)= × = , P(X=120)=P(E F )= × = , P(X=220)=P(EF)= × = .
故所求的分布列为 2 3 3 5 2 5 4 15

X P

0 2 15

100 1 5

120 4 15

220 2 5

2 1 4 2 300+480+1 320 2 100 数学期望为 E(X)=0× +100× +120× +220× = = =140. 15 5 15 5 15 15


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