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上海市松江区2013届高三数学一模试卷(理 含答案)


松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷(一模)
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2013.1

一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? ? 0, a ? , B ? ?1,

a 2 ? ,若 A ? B ? ? 0,1, 4,16? ,则 a ? 2.若行列式
2
x ?1





4 2

? 0 ,则 x ?



. ▲ .

1

3.若函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 的图像与 g ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (5) = 方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为
n

4.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的 ▲ . 5.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 2 ? n ,则 a 3 ? ▲ . ? ? 6.己知 a ? (1, 2 sin ? ) , b ?(cos ? , 1 ,且 a ? b ,则 tan ? ? ?) 7.抛物线的焦点为椭圆 ▲ 8.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则
2 x ? 5 y x
2



. .

?

y

2

? 1 的右焦点,顶点在椭圆的中心,则抛物线方程为

5

4

的最小值为





9.在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,若 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,且 bc ? 8 , 则△ABC 的面积等于 ▲ .
2 4 2n n? ?

10.若二项式 ( x ? a ) 7 展开式中 x 5 项的系数是 7,则 lim ( a ? a ? ? ? a 11.给出四个函数:① f ( x ) ? x ?
1 x

)=





,② g ( x ) ? 3 x ? 3 ? x ,③ u ( x ) ? x 3 ,④ v ( x ) ? sin x ,

其中满足条件: 对任意实数 x 及任意正数 m , 都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 及 f ( x ? m ) ? f ( x ) 的 函数为 ▲ . (写出所有满足条件的函数的序号) 12.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜想甲刚才想的数 字,把乙猜的数字记为 b ,且 a , b ? ?0 ,1, 2 ,3 , ? 9 ? ,若 a ? b ? 1 ,则称甲乙“心有灵犀” .现 找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 ▲ . 13.已知 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且 y ? f ( x ) 的图像关于点 (6, 0) 对称.若实数
x, y 满足不等式 f ( x ? 6 x ) ? f ( y ? 8 y ? 36) ? 0 ,则 x ? y 的取值范围是
2 2

2

2


y) .



14.定义变换 T 将平面内的点 P ( x , y )( x ? 0, y ? 0) 变换到平面内的点 Q ( x , 若曲线 C 0 :
x 4 ? y 2

? 1( x ? 0, y ? 0) 经变换 T 后得到曲线 C 1 ,曲线 C 1 经变换 T 后得到 曲线

1/4

C 2 ? ,依次类推,曲线 C n ?1 经变换 T 后得到曲线 C n ,当 n ? N 时,记曲线 C n 与 x 、 y 轴
*

正半轴的交点为 An ( a n , 0) 和 B n (0, bn ) .某同学研究后认为曲线 C n 具有如下性质: ①对任意的 n ? N * ,曲线 C n 都关于原点对称; ②对任意的 n ? N * ,曲线 C n 恒过点 (0, 2) ; ③对任意的 n ? N * ,曲线 C n 均在矩形 O An D n B n (含边界)的内部,其中 D n 的坐标为
D n ( a n , bn ) ;

④记矩形 O An D n B n 的面积为 S n ,则 lim S n ? 1
n? ?

其中所有正确结论的序号是





二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在 答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

16.对于原命题: “已知 a、 b、 c ? R ,若 a ? b ,则 ,以及它的逆命题、否命题、逆否命题, ac ? bc ”
2 2

在这 4 个命题中,真命题的个数为 A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.4 个

17.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值, 输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相 等,则这样的 x 值有 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

18.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当
1 x x ? [ ? 2, 0] 时, f ( x ) ? ( ) ? 1 .若在区间 ( ? 2, 6] 内关于 x 的方程 2

f ( x ) ? log a ( x ? 2) ? 0( a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是

A. (1, 2)

B. (2, ?? )

C. (1, 3 4 )

D. ( 3 4 , 2)

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)
?

已知 a ? (2 co s x ,1) ,b ? (cos x , 3 sin 2 x ) ,其中 x ? R .设函数 f ( x ) ? a ? b ,求 f ( x ) 的 最小正周期、最大值和最小值.

?

? ?

2/4

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知 z ? C ,且满足 z ? ( z ? z ) i ? 5 ? 2 i . (1)求 z ; (2)若 m ? R , w ? zi ? m ,求证: w ? 1 .
2

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网” 养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v (单位:千克/年)是养殖密度 x (单位:尾/立方米)的函数.当 x 不超过 4(尾/立方米)时, v 的值为 2 (千克/年) ;当
4 ? x ? 20 时, v 是 x 的一次函数;当 x 达到 20 (尾/立方米)时,因缺氧等原因, v 的值

为 0 (千克/年) 。 (1)当 0 ? x ? 20 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量 (单位:千克/立方米) f ( x ) ? x ? v ( x ) 可以达 到最大,并求出最大值.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 已知递增的等差数列 { a n } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a 2 、 a 4 成等比数列. (1)求数列 { a n } 的通项公式 a n ; (2)设数列 { c n } 对任意 n ? N ,都有
*

c1 2

?

c2 2
2

?? ?

cn 2
n

? a n ?1 成立,求 c1 ? c 2 ? ? ? c 2012 的

值. (3)若 b n ?
a n ?1 an

( n ? N ) ,求证:数列 {b n } 中的任意一项总可以表示成其他两项之积.
*

3/4

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 对于双曲线 C :
x a
2 2 2 2 2 2 2 2

?

y b

? 1 ( a ? 0, b ? 0) ,定义 C 1 :

x a

?

y b

? 1 为其伴随曲线,记

双曲线 C 的左、右顶点为 A 、 B . (1)当 a ? b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c ,其伴随椭圆 C 1 的半焦距为 c1 ,若 c ? 2 c1 ,求 双曲线 C 的渐近线方程; (2) 若双曲线 C 的方程为 求动点 M 的轨迹方程; (3)过双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 的左焦点 F ,且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 交于 N 1 、 N 2 两 点,求证:对任意的 k ? [ ? 2
? 1 4 ? 1 4

x

2

?

y

2

弦 记直线 P A 与直线 Q B 的交点为 M , ? 1 , PQ ? x 轴,

4

2

,2

???? ????? ??? 2 ? ? ] ,在伴随曲线 C 1 上总存在点 S ,使得 F N 1 ? F N 2 ? F S .

4/4

松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷参考答案
2013.1 1. 4 3. 1 5. 5 7. y ? 4 x
2

2. 2 4. 20 6.
1 2

8. 2 10. 12.
1 2 7

9. 2 3 11.③ 13. [16, 36] 15.D 16. C 17.C

25

14. ③④ 18.D
3 sin 2 x

? ? 19.解:由题意知 f ( x ) ? a ? b ? 2 cos 2 x ?

????????? 3 分

? 2?

cos 2 x ? 1 2

?

3 sin 2 x

? cos 2 x ?

3 sin 2 x ? 1

? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 6 ? ?

????????????? 6 分 ????????8 分

∴最小正周期 当 2x ? 当 2x ?
?
6 ?

T ?

2? 2

??

?
2 3?

? ? 2 k ? ,即 x ? ? k ? , ? k ? Z ? 时, f ( x ) max ? 2 ? 1 ? 3 ????? ?10 分
6

?
6

?

2

2? ? 2 k ? ,即 x ? ? k ? , ? k ? Z ? 时, f 3
2 2

? x ? m in
2

? ? 2 ? 1 ? ? 1 ????12 分
????2 分

20.解: (1)设 z ? a ? bi ( a , b ? R ) ,则 z 由 a ? b ? 2 ai ? 5 ? 2 i
2 2

? a ? b , ( z ? z ) i ? 2 ai

?a2 ? b2 ? 5 得? ? 2a ? 2

???????????4 分

?a ?1 ? a ?1 解得 ? 或 ? ???????????? 5 分 ?b ? 2 ?b ? ?2 ∴ z ? 1 ? 2 i 或 z ? 1 ? 2 i ???????????? 7 分 (2)当 z ? 1 ? 2 i 时,
w ? zi ? m ? (1 ? 2 i ) i ? m ? ? 2 ? i ? m ? ( m ? 2) ? 1 ? 1 ???????? 1 0 分
2

当 z ? 1 ? 2 i 时,
w ? zi ? m ? (1 ? 2 i ) i ? m ? 2 ? i ? m ? ( m ? 2 ) ? 1 ? 1 ?????????13 分
2

∴ w ?1 21.解: (1)由题意:当 0 ? x ? 4 时, v ? x ? ? 2 ;

???????????14 分 ??????????2 分

5/4

当 4 ? x ? 20 时,设 v ? x ? ? ax ? b ,显然 v ? x ? ? ax ? b 在 [4, 20] 是减函数,
1 ? ?a ? ? 8 ? 20 a ? b ? 0 ? 由已知得 ? ,解得 ? ?4a ? b ? 2 ?b ? 5 ? ? 2
? 2, ? 故函数 v ? x ? = ? 1 5 ?? x ? , 2 ? 8 0 ? x ? 4, x ? N
*

??????????4 分

4 ? x ? 20, x ? N

*

??????????6 分

* ? 2 x, 0 ? x ? 4, x ? N ? (2)依题意并由(1)可得 f ? x ? ? ? 1 2 5 * 4 ? x ? 20, x ? N . ?? x ? x, 2 ? 8

???8 分

当 0 ? x ? 4 时, f ? x ? 为增函数,故 f m ax ? x ? ? f (4) ? 4 ? 2 ? 8 ; 当 4 ? x ? 20 时, f ? x ? ? ?
f m ax ? x ? ? f (10) ? 12.5 .
1 8 x ?
2

????10 分
2

5 2

x??

1 8

( x ? 20 x ) ? ?
2

1 8

( x ? 10) ?

100 8

2



??????????12 分

所以,当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 的最大值为 12.5 . 当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为 12.5 千克/立方米. ??????????14 分 22.解: (1)∵ ? a n ? 是递增的等差数列,设公差为 d
? a1 、 a 2 、 a 4 成等比数列,∴ a 2 = a1 ? a 4
2

( d ? 0) ????????1 分

????????2 分
d ?1



( 1? d ) ? ? 1
2

?1 d 3 及 d ? 0 得 ( )

???????????3 分 ???????????4 分

∴ a n ? n ( n ? N *) (2)∵ a n ?1 ? n ? 1 , 当 n ? 1 时,
c1 2 c1 2 ? c2 2
2

?? ?

cn 2
n

? n ?1

对 n ? N 都成立
*

? 2 得 c1 ? 4 c1 2 ? c2 2
2

???????????5 分
cn 2
n

当 n ? 2 时,由 ①-②得
cn 2
n

?? ?
n

? n ? 1 ①,及

c1 2

?

c2 2
2

?? ?

c n ?1 2
n ?1

? n②

? 1 ,得 c n ? 2

????7 分

? 4 ( n ? 1) ∴ cn ? ? n ? 2 ( n ? 2)

?????8 分

∴ c1 ? c 2 ? ? ? c 2012 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3

2012

? 4?
*

2 (1 ? 2
2

2011

)

1? 2

?2

2013

????10 分 ???11 分

(3)对于给定的 n ? N ,若存在 k , t ? n , k , t ? N ,使得 bn ? bk ? bt
*

∵ bn ?

n ?1 n

,只需

n ?1 n

?

k ?1 t ?1 , ? k t

???????12 分

6/4

1 1 1 1 1 ) ? (1 ? ) ,即 ? ? ? n k t n k t kt n ( k ? 1) 即 kt ? nt ? nk ? n , t ? 取 k ? n ? 1 ,则 t ? n ( n ? 2) k?n

即1 ?

1

? (1 ?

1

???????14 分
? n ? 2n ? 1
2

∴对数列 {b n } 中的任意一项 b n ? 使得 b n ? b n ? 1 ? b n
2

n ?1 n

,都存在 bn ?1 ?

n?2 n ?1

和 bn

2

?2n

n ? 2n
2

?2n

?????????16 分
a ? b , c1 ?
2 2

23.解: (1)∵ c ?
2

a ?b
2

2

?????????1 分
[来源:Z。xx。k.Com]

由 c ? 2 c1 ,得 a ? b ? 2 a ? b ,即 a 2 ? b 2 ? 4( a 2 ? b 2 )
2 2 2

可得
Z#X#X#K]

b a

2 2

?

3 5
15 5
y0 x0 ? 2 ? y0 x0 ? 2

?????????3 分 ?????????4 分

[来源:学#科#网

∴ C 的渐近线方程为 y ? ?

x

(2)设 P ( x 0 , y 0 ) , Q ( x 0 , ? y 0 ) ,又 A ( ? 2, 0) 、 B (2, 0) , ∴直线 P A 的方程为 y ? 直线 Q B 的方程为 y ?
4 ? ? x0 ? x ? 由①②得 ? ?y ? 2y ? 0 x ?
( x ? 2 ) ????① ( x ? 2 ) ????②

????????6 分

????????????8 分

∵ P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
4
2 2

x

2

?

y

2

?1上

4 x
2

2 ? y
2

4y
2

2

∴ x ? x
4

?1



?1

????????????10 分

2

4

2
2),

(3)证明:点 F 的坐标为 F ( ? 2 , 0) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ?
? y ? k(x ? 2) ? 则由 ? 2 2 ? x ? y ?1 ?
2 2 2

设 N 1 、 N 2 的坐标分别为 N 1 ( x1 , y1 ) 、 N 2 ( x 2 , y 2 ) ???????????11 分 得 x ? k (x ?
2 2

2) ? 1,
2

即 (1 ? k ) x ? 2 2 k x ? (2 k ? 1) ? 0 ,
2

当 k ? ? 1 时, 4 2 2 4 4 2 2 ∵ ? ? 8 k ? 4(1 ? k )(2 k ? 1) ? 8 k ? 8 k ? 4 k ? 4 ? 4 k ? 4 ? 0 ∴ x1 ? x 2 ? , x1 ? x 2 ? ? 2 2 1? k 1? k ???? ????? ? FN 1 ? FN 2 ? ( x1 ? 2 , y1 ) ? ( x 2 ? 2 , y 2 ) ? ( x1 ?
? ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? k ( x1 ? 2 )k ( x2 ?
2 2k
2

2k ? 1
2

?????????13 分
2 )( x 2 ?
2

2 ) ? y1 y 2

2 ) ? (1 ? k )[ x1 x 2 ?

2 ( x1 ? x 2 ) ? 2]

7/4

? (1 ? k )( ?
2

2k ? 1
2

1? k
? 1 4

2

?

2?
2

2 2k 1? k
2

2

? 2) ? ],

1? k 1? k

2 2

由 k ? [?2 ∴
1? k 1? k
2 2

?

1 4

,2

] 知 k ? [0,

2 2

? [1, 3 ? 2 2 ] ???????? ?????16 分
2 2

∵双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 的伴随曲线是圆 C 1 : x ? y ? 1 ,圆 C 1 上任意一点 S 到 F 的距离
S F ? [ 2 ? 1,1 ? 2 ] , ??? 2 ? ∴ SF ? [3 ? 2 2 , 3 ? 2 2 ]

?????????????17 分
2 ?, 3 2 2 2 ]



[1, ? 3

2

2 ] ?
? 1 4

?3 [
? 1 4

∴ 对任意的 k ? [ ? 2

] ,在伴随曲线 C 1 上总存在点 S , ???? ????? ??? 2 ? ? 使得 F N 1 ? F N 2 ? F S ????????????18 分 ,2

8/4


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