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山西省太原五中2012-2013学年高二下学期期中数学文试题


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太 高
一、选择题

原 二 数





2012—2013 年学年度第二学期期中

学(文)

1、复数 z 对应的点在第二象限,它的模为 3,实部

是 ? 5 ,则 z 是( ) (A) ? 5 +2i (B) ? 5 -2i (C) 5 +2i ) (D) 5 -2i

1+ai 2、设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( 2-i 1 1 A.2 B.-2 C.- D. 2 2 3、极坐标方程 表示的图形是( (? - 1 )(? - ?) ?( 0 ? ? 0) (A)两个圆 (C)一个圆和一条射线 4、 右图给出的是计算 (B)两条直线

)
开始 s:=0 i:=1

(D)一条直线和一条射线

1 1 1 1 其 ? ? ? ? ? 的值的一个流程图, 2 4 6 20
) (C) i ? 20 (D) i ? 20

中判断框内应填入的条件是( (A) i ? 10 (B) i ? 10

s :? s ?
i : = i+1
否 是

1 2i

5、对于任意实数 a、b、c、d,命题① 若a ? b, c ? 0, 则ac ? bc ; ② 若a ? b, 则ac ? bc
2 2 2 2

1 1 ③ 若ac ? bc , 则a ? b ;④ 若a ? b, 则 ? ; a b
⑤ 若a ? b ? 0, c ? d , 则ac ? bd . 其中真命题的个数是 ( (A)1 ) (B)2 (C)3

输出 s 结束

(D)4

6、设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( ) a+b a+b A.a<b< ab< B.a< ab< <b 2 2 a+b a+b C.a< ab<b< D. ab<a< <b 2 2 7、已知 x ? , 则f ( x) ? A.最大值

5 2

x 2 ? 4x ? 5 有( 2x ? 4
B.最小值



5 4

5 4

C.最大值 1

D.最小值 1 ( )

8、下列各式中,最小值是 2 的是

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A.

2 x ? x 2

B. x ? 2 ?
2

1 x ?2
2

C.

1 ? tan ? tan ?

D. e ? e
x

?x

9、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: ^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( )A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 (参考公式: b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

? x)

2

?x
i ?1

2 i

, a ? y ? bx )

10、设 a ? b ? c, n ? N ,且 A. 2
?

1 1 n 恒成立,则 n 的最大值是( ? ? a?b b?c a ?c
C. 4 D. 6



B. 3

11、.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有( A. 0 ? M ?

1 a

1 b

1 c



1 8

B. ? M ? 1

1 8

C.1 ? M ? 8

D. M ? 8 www.7caiedu.cn

12、将正奇数数列 1,3,5,7,9,…进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个 数{3,5};第三组含 3 个数{7,9,11};第四组含 4 个数{13,15,17,19};….记第 n 组内各数之和为 Sn,则 Sn 与 n 的关系为( ) + - 2 3 (A)Sn=n (B)Sn=n (C)Sn=2 n 1 (D)Sn=3n 1 二、填空题 13、对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________. 14、对任意实数 x,不等式 x ? 1 ? kx 恒成立,则 k 的取值范围是 15、如图, AC 为⊙O 的直径,弦 BD ? AC 于点 P , ;
A

PC ? 2 , PA ? 8 ,则 cos ?ACB 的值为

.

D P C

O

π 16、 在极坐标系中, 圆 ρ=4sinθ 的圆心到直线 θ= (ρ∈R)的距离是________. 6

B

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2012—2013 年学年度第二学期期中
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高二数学答卷纸(文)
一、选择题:
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题: 13. 三、解答题:

14.

15.

16.

17、 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的 列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中, A1 , A2 , A3 还喜欢打羽毛球, B1,B2,B3 还喜欢打 乒乓球,C1,C2 还喜欢踢足球,现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球 的 8 位女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率.(下 面的临界值表供参考:)
p( K ? k )
2

不喜爱打篮球 5

合计

10 50

3 5

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

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C
18、如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点 为 B , ADE, CFD, CGE 都是⊙ O 的割线, 已知 AC ? AB . (1)证明: AD ? AE ? AC ; (2)证明: FG // AC .
O
2

G F D A

E B

19、在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? (? 为参数) ,M 为 C1 上的 ? y ? 2 ? 2sin ?

动点,P 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 . (I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

??? ?

???? ?

?
3

与 C1 的异于极点

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20、设 f ( x) ? 2 x - x ? 3 (1)求不等式 f ( x) ? 7 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2t - 3 ? 0 有解,求参数 t 的取值范围.

21、已知 a ? R ,设关于 x 的不等式 2 x - a ? x ? 3 ? 2 x ? 4 的解集为 A . (1)若 a ? 1 ,求 A ; (2)若 A ? R ,求 a 的取值范围.

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一、选择题:(每题 3 分,共 30 分) 1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 二、填空题:(每题 4 分,共 16 分) 11. (0,1) 三、解答题: 15. (10 分) (1) f '( x) ? 12. ? ?

9.B 10.A

?
4

13.36

14.-3

2 …………………………….……..(2 分) 4x ? 8

f '(6) ?

2 1 ? ………………………………………………………………..(3 分) 4? 6 ? 8 2

1 1 ?曲线在(6,4)点的切线 l 的方程为: y ? 4 ? ( x ? 6) ,即 y ? x ? 1 ;………..(5 分) 2 2 6 1 6 (2)根据题意有: S ? ? x ? 1dx ? ? 4 x ? 8dx ?2 2 2
?
3 1 2 1 x ? x ? ? 4 x ? 8? 2 4 6 ?2 6 6

2

? 16 ? ?
2

32 3

………………………...…..(10 分)

16 3

16. (1) f '( x) ? 3x ? 3ax 又? a ? 1 令 f '( x) ? 0, 有 x ? a或x ? 0 ;令 f '( x) ? 0 ,有 0 ? x ? a ; 所以, f ( x) 的单调递增区间为: ? ??, 0 ? 、 ? a, ?? ? ,单调递减区间为: ? 0, a ? ………....(2 分) 于是对区间[-1,1] f ( x) 在[-1,0]上单调递增,在区间[0,1]上单调递减, ∴ f ( x) 在[-1,1]上的最大值为: f (0) ? b

3 3 a ? b, f (1) ? 1 ? a ? b ,显然 f (?1) ? f (1) ; 2 2 3 ∴ f ( x) 在[-1,1]上的最小值为: f (?1) ? ?1 ? a ? b 2
而 f (?1) ? ?1 ?

?b ? 1 ? 于是有 ? 3 ?1 ? a ? b ? ?2 ? ? 2

4 ? ?a ? ,解之得: ? 3 ………………………………..…..(5 分) ? ?b ? 1

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∴ f ( x) 的解析式为: f ( x) ? x ? 2 x ? 1 。……………………………………………..(6 分)
3 2

(2)∵ g ( x) ? f ( x) ? mx ? x ? 2 x ? mx ? 1 ,在区间[-2,2]上为减函数,
3 2

则 g '( x) ? 3x ? 4 x ? m ? 0 在区间[-2,2]上恒成立,
2

即有 ?

? g '(?2) ? 0 ?12 ? 8 ? m ? 0 ,即 ? ,解得: m ? 20 ? g '(2) ? 0 ?12 ? 8 ? m ? 0

所以实数 m 的取值范围为: ? 20, ?? ? ........................................(10 分) 17.(1)如果四位数里没有 0,那么符合条件的四位数共有个 c9 ? 126 个,
4

如果四位数里包括 0,那么符合条件的四位数共有 C9 ? 84 个,
3

所以这样的数共有 126+84=210 个。…………………………………………………..(3 分) (2)这十个数能组成 9 A9 个四位数, 而 1 在末位的有 8 A8 个, 那么能组成 1 不在末位的四位数有: 9 A9 - 8 A8 =4088………… ……….……..(6 分) (3)个位,百位全是偶数: A5 A5 =400 个位,百位有一个是偶数: 2C5 A5 ? 600
1 3 2 2
3 2 2 3

个位,百位都不为偶数: A5 ? 120
4

所以,共有 A5 A5 + 2C5 A5 + A5 ? 1120 ……………………………………..…..(10 分)
2 2 1 3 4

18.(1)如图,由题意知 AC⊥BC , BC = 400 ? x
2

2

∴y?

4 k ? 2 x 400 ? x 2

? 0 ? x ? 20 ?
20 ? 10 2 时, y ? 0.065 2

又根据题意得,当 x =BC= 由此得: k ? 9 ∴y?

18 x 4 ? 8 ? 400 ? x 2 ? 10 ? x 2 ? 160 ?? x 2 ? 800 ? 8 18 x y' ? ? 3 ? ? ? 2 2 (2) x ? 400 ? x 2 ?2 x3 ? 400 ? x 2 ? x3 ? 400 ? x 2 ?
2

4 9 ? ? 0 ? x ? 20 ? ………………………………..(5 分) 2 x 400 ? x 2

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令 y ' ? 0, 有x ? 4 10 ∴当 0 ? x ? 4 10 时, y ' ? 0 ;当 4 10 ? x ? 20 时, y ' ? 0

4 9 在区间 0, 4 10 上单调递减,在区间 4 10, 20 上单调递增 ? 2 x 400 ? x 2 4 9 ∴当 x ? 4 10 时,函数 y ? 2 ? 取到最小值…………………………….(10 分) x 400 ? x 2
即y? 所以,在弧 AB 上存在一点,当它到 A 的距离为 4 10 时,在此建立垃圾处理厂对镇 A 和镇 B 的总影响度最小。……………………………………………………………….…..(12 分)

?

?

?

?

x 2 ? 2 ?1 ? a ? x ? 1 1 2a ? 19.(1) f '( x) ? ? 2 x ? x ? 1? 2 x ? x ? 1?
由题意得, f '( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立, 即 x ? 2 ?1 ? a ? x ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立,
2

? x ? 0?

x 2 ? 2x ? 1 x 1 解法一:∴ a ? ? ? ? 1 对 x ? 0 恒成立 2x 2 2x


x 1 ? ?1 ? 2 2 2x ∴a ? 2
2

x ? 2 ?1 ? a ? x ? 1 ? 0 恒成立; 解法二:当 a ? 1 ? 0,即a ? 1时,
当 a ? 1 ? 0,即a ? 1时 ,要是 x ? 2 ?1 ? a ? x ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立,需满足:
2

4 ?1 ? a ? ? 4 ? 0 ,得 0 ? a ? 2 ,所以 1 ? a ? 2
2

∴a ? 2 所以 a 的取值范围为

? ??, 2? 。……………………………………………………...(6 分)
c x

(2)∵ G '( x) ? 2 x ? b ? ∴ G '( x0 ) ? 2 x0 ? b ?

c 2c ? x1 ? x2 ? b ? …………………………………….(8 分) x0 x1 ? x2
2 2

∵ G '( x) ? 0 有两根 x1 , x2 ,∴ c ln x1 ? x1 ? bx1 ? 2, c ln x2 ? x2 ? bx2 ? 2 (设 x1 ? x2 ) 于是有 c ? ln x1 ? ln x2 ? ? x1 ? x2 ? b ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? b
2 2

?

?



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x1 ? x2 ? b ?

c ? ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2

G '( x0 ) ?

c ? ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2

?

2c c ? x1 ? x2 x1 ? x2

? x1 2 ? x1 ? x2 ? ? ?ln ? ? x1 ? x2 ? ? x2
…………..(10 分)

? ?x ?? 2 ? 1 ? 1? ? ? x c ? x1 ? ln ? ? 2 ? ? x1 ? x1 ? x2 ? x2 ?1 ? ? x2 ? ? ? ?
?x ? 2 ? 1 ? 1? x x ? x2 ? ? ln t ? 2 ? t ? 1? t ? 1 令 1 ? t , g (t ) ? ln 1 ? ? ? x1 x2 t ? 1 x2 ?1 x2
由(1)知, a ? 2 时, f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增 ∴ g (t ) ? g (1) ? 0 ,又 c ? 0, x1 ? x2 ? 0 , ∴ G '( x0 ) ? 0 ………………………………………………………………..(12 分)

∴ g (t ) 在 ?1, ?? ? 上单调递增

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