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两角和与差的三角函数及二倍角公式


高三 学生姓名:
专 目 题 标

年级

数学

科辅导讲义(第 讲) 授课时间:

授课教师:

两角和与差的三角函数以及二倍角公式 掌握公式;学会灵活应用公式 公式在计算过程中的应用 化简和代入求值

重 难 点 常 考 点 第一部分 知识梳理 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α ±β )= cos(α ±β )= tan(α ±β )= 二、二倍角的正弦、余 弦和正切公式 sin 2α = cos 2α = tan 2α = 三、二倍角余弦公式的变式

(简记为 Sα ±β ); (简记为 Cα ±β ); (简记为 Tα ±β ).

(简记为 S2α ); (简记为 C2α ); (简记 为 T2α ).

1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 1.降幂公式:cos α = ,sin α = . 2 2 2.升幂公式:1+cos 2α =2cos α ,1-cos 2α =2sin α . 四、辅助角公式 asin x+ bcos x= a +b sin(x+φ )其中φ 角所在的象限由 a,b 的符号确定,φ 角的值由 tan φ
2 2 2 2

b = 确定.[来源:www.shulihua.net] a 第二部分 基础自测 1.若 sin 2 A.- 3 α 3 = ,则 cos α =( 2 3 1 B.- 3 ) 3 3 2 2 ) C. 1 3 D. 2 3

1-tan 15° 2. =( 1+tan 15° A. 1 B.

C.

D. 3

1

1 α ? π ? 3.若 cos α = ,其中α ∈?- ,0?,则 sin 的值是____________. 2 2 ? 2 ?

4 4.已知α 是第二象限的角,tan(π +2α )=- ,则 tan α =________. 3

高考真题

?π ? 1.设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. ?2 ?

? π? 2.已知函数 f(x)= 2cos?x- ?,x∈R. ? 12? ?π ? (1)求 f? ?的值; ?3?
π? 3 ?3π ? ? (2)若 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,求 f?θ - ?. 6? 5 ? 2 ? ?

3.已知 f(x)= 3cos 2x+2 sin xcos x,则 f?

?13π ?( ? ? 6 ?
2

)

A. 3

B.- 3

3 C. 2

3 D.- 2

π? 4 3 π ? 4.已知 sin?α + ?+sin α =- ,- <α <0,则 cos α =__________. 3? 5 2 ?

第三部分 课堂练习 1.化简 cos 15° cos 45° -cos 75° sin 45° 的值为( 1 A.2 3 B. 2 1 C.-2 ) 3 D.- 2 )

2.设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan (α+β)的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3 ) D.2- 3

π? ?π ? ?π 3.函数 f(x)=2sin2?4+x?- 3cos 2x,?4≤x≤2?的最大值为( ? ? ? ? A.2 B.3 C.2+ 3

4. 在斜三角形 ABC 中, sin A=- 2cos B· cos C, 且 tan B· tan C=1- 2, 则角 A 的值为( π A.4 π B.3 π C.2 3π D. 4

)

5.对于集合{a1,a2,?,an}和常数 a0,定义: sin2?a1-a0?+sin2?a2-a0?+?+sin2?an-a0? ω= 为集合{a1,a2,?,an}相对 a0 的“正弦 n
?π 5π 7π? 方差”,则集合?2, 6 , 6 ?相对 a0 的“正弦方差”为( ? ?

)

1 A.2

1 B.3

1 C.4

D.与 a0 有关的一个值

4 6.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=-3,则 tan α=________.
3

π? π? ? ? 7.化简 sin2?α-6?+sin2?α+6?-sin2α 的结果是________. ? ? ? ?

8.化简

2tan?45° -α? sin αcos α · 2 =________. 2 1-tan ?45° -α? cos α-sin2α

π? π? 1 ? ? 9.已知 α∈?0,2?,tan α=2,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值. ? ? ? ?

x ?π x ? 10.已知函数 f(x)=sin2sin?2+2?. ? ? (1)求函数 f(x)在[-π,0]上的单调区间. π? ? ?π ? (2)已知角 α 满足 α∈?0,2?,2f(2α)+4f?2-2α?=1,求 f(α)的值. ? ? ? ?

4

π ?1? 11.若 tan α=lg(10a),tan β=lg?a?,且 α+β=4,则实数 a 的值为( ? ? A.1 1 B.10 1 C.1 或10 D.1 或 10

)

12.已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β∈(0,π),角 β 的终边 1 4 与单位圆交点的横坐标是-3, 角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是5, 则 cos α=________.

答 案
1.选 A cos 15° cos 45° -cos 75° sin 45° =cos 15° cos 45° -sin 15° sin 45° =cos(15° +45° )=cos 1 60° =2. 2.选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α· tan β=2,则 tan(α+β)= tan α+tan β =-3. 1-tan αtan β

π? ?π ? ? 3.选 B 依题意,f(x)=1-cos 2?4+x?- 3cos 2x=sin 2x- 3cos 2x+1=2sin?2x-3?+1, ? ? ? ? π? π π π π 2π 1 ? 当4≤x≤2时,6≤2x-3≤ 3 ,2≤sin?2x-3?≤1,此时 f(x)的最大值是 3,选 B. ? ? 4.选 A 由题意知,sin A=- 2cos B· cos C=sin(B+C)=sin B· cos C+cos B· sin C,在等式- 2cos B· cos C=sin B· cos C+cos B· sin C 两边同除以 cos B· cos C 得 tan B+tan C=- 2,又
5

tan(B+C)=

tan B+tan C π =-1=-tan A,即 tan A=1,所以 A=4. 1-tan Btan C

?π 5π 7π? 5.选 A 集合?2, 6 , 6 ?相对 a0 的“正弦方差” ? ?

?π ? ?5π ? ?7π ? sin2?2-a0?+sin2? 6 -a0?+sin2? 6 -a0? ? ? ? ? ? ? ω= 3 ?π ? ?π ? cos2a0+sin2?6+a0?+sin2?6-a0? ? ? ? ? = 3 ?1 ? ?1 ? 3 3 cos2a0+? cos a0+ sin a0?2+? cos a0- sin a0?2 2 2 ?2 ? ?2 ? = 3 1 3 cos2a0+2cos2a0+2sin2a0 3



3 2 2 2?sin a0+cos a0? 1 = =2. 3 4 6.解析:因为 tan(π+2α)=tan 2α=-3, 所以 tan 2α= 2tan α 4 2 =- , 3 1-tan α

整理得 2tan2α-3tan α-2=0, 1 解得 tan α=2 或 tan α=-2, 1 又 α 是第二象限的角,所以 tan α=-2. 1 答案:-2 π? π? ? ? 1-cos?2α-3? 1-cos?2α+3? ? ? ? ? 7.解析:原式= + -sin2α 2 2 π? π?? 1? ? π cos 2α 1-cos 2α 1 ? =1-2?cos?2α-3?+cos?2α+3??-sin2α=1-cos 2α· cos3-sin2α=1- 2 - =2. 2 ? ? ? ? ?? 1 答案:2

6

1 2sin 2α sin?90° -2α? 1 sin 2α cos 2α 1 sin 2α 1 8.解析:原式=tan(90° -2α)· = ·· = ·· = . cos 2α cos?90° -2α? 2 cos 2α sin 2α 2 cos 2α 2 1 答案:2 1 2tan α 9.解:∵tan α=2,∴tan 2α= = 1-tan2α 又 sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1, π? 5 2 5 ? 而 α∈?0,2?,∴sin α= 5 ,cos α= 5 . ? ? 5 2 5 4 ∴sin 2α=2sin αcos α=2× 5 × 5 =5, 4 1 3 cos 2α=cos2α-sin2α=5-5=5, π? π π 4 1 3 3 4+3 3 ? ∴sin?2α+3?=sin 2αcos3+cos 2αsin3=5×2+5× 2 = 10 . ? ? x ?π x ? x x 1 10.解:f(x)=sin2sin?2+2?=sin2cos2=2sin x. ? ? π? ? ? π ? (1)函数 f(x)的单调递减区间为?-π,-2?,单调递增区间为?-2,0?. ? ? ? ? ?π ? ?π ? (2)2f(2α) + 4f ?2-2α? = 1 ? sin 2α + 2sin ?2-2α? = 1 ? 2sin αcos α + 2(cos2α - sin2α) =1 ? ? ? ? ? cos2α+2sin αcos α-3sin2α=0 ?(cos α+3sin α)(cos α-sin α)=0. π? ? ∵α∈?0,2?, ? ? π ∴cos α-sin α=0?tan α=1 得 α=4, 2 1 2 故 sin α= 2 ,∴f(α)=2sin α= 4 . 11.选 C tan(α+β)=1 1 2×2 1-4 4 sin α 1 = ,且 1 3 cos α=2,即 cos α=2sin α,

?1? ?a? lg ? 10 a ? + lg tan α+tan β ? ? ? = =1 1-tan αtan β ?1? 1-lg?10a?· lg?a? ? ?
7

?lg2a+lg a=0, 1 所以 lg a=0 或 lg a=-1,即 a=1 或10. 12.解析:依题设及三角函数的定义得: 1 4 cos β=-3,sin(α+β)=5. π π 又∵0<β<π,∴2<β<π,2<α+β<π, sin β= 2 2 3 ,cos(α+β)=- . 3 5

∴cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β 3 ? 1? 4 2 2 3+8 2 =- ×?-3?+ × = . 5 ? ? 5 3 15 3+8 2 答案: 15

8


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